探討閱讀不同特徵之幾何尺規作圖與說理文本的理解表現

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 探討閱讀不同特徵之幾何尺規作圖與說理文本的理解表現. 研究生：張順良. 撰. 中華民國一 ○ 三年一月.

(2) 致. 謝. 首先誠摯的感謝指導教授楊凱琳博士，老師悉心的教導使我得以一窺數學教育領域的深奧，不時的討論並指點我正確的方向，使我在這些年中獲益匪淺。老師對學問的嚴謹更是我輩學習的典範。另外要特別感謝曹博盛教授與鄭英豪教授，不僅在百忙之中撥空擔任我的口試委員，同時給予我不少研究上實質的建議與鼓勵，使這份論文能夠更加充實。此外，亦要特別感謝林延輯教授，在研究中的試題編製給予我不少的建議，使得研究過程更加嚴謹完備。本論文的完成另外亦得感謝光明國中的黃慧芬老師及簡蓓萱老師大力協助，促使文本內容的用字遣詞更加順暢，光明國中呂佳儒老師、許玉芬老師、易欣穎老師、賴淑萍老師、洪頌媖老師、林曉君老師、康鴻彥老師、郭宗熹老師及余俊達老師扮演心靈上的導師，在精神上支持與鼓勵我，以及光明國中所有數學領域老師對我研究上的指教評點與協助。因為有你們的體諒及幫忙，使得本論文能夠更完整而嚴謹。感謝在論文期間一塊奮鬥的研究夥伴慧珍學姊、耀堂學長、志錩學長以及建霖同學，讓我在研究的過程中感到自己並不孤單，並在研究期間給予我幫助，耐心幫我解決各種問題，因為有你們的陪伴及協助，得以讓研究順利完成。最後，要感謝長久以來一直支持我求學的父母與親人，謝謝你們在我因為學業不順而耍脾氣的期間給予我最大的包容，在背後的默默支持更是我前進的動力，沒有你們的體諒與包容，相信求學的生活將是很不一樣的光景。謹將這份論文獻給我最摯愛的父母和親人，謝謝你們！. i.

(3) 中. 文. 摘. 要. 本研究旨在探討閱讀幾何尺規作圖及其說理文本時的理解目標為何，以及依據理解目標設計評量試題調查學生閱讀不同文本的理解表現，並探討不同類型的幾何先備知識如何影響學生閱讀尺規作圖及其說理的理解表現，以提供利於促進尺規作圖教學成效之建議。以桃園縣某區域大型國中八年級 474 位學生為研究對象，研究設計共三個階段：一、前測：以先備知識測驗卷施測，以了解學生的先備知識；二、實驗處理：不同學生個別自行閱讀理解不同特徵之幾何尺規作圖文本，並以閱讀理解評量測驗卷施測；三、晤談：針對四個版本文本之高、低分組各取 2 位（共 16 位）進行半結構晤談。研究方法為量化、質性並重，量化部分採相依 t 考驗、One Way-ANOVA 分析、單變項共變數（ANCOVA）及逐步多元迴歸分析。質性部分為考量 16 位半結構晤談學生的晤談內容與前測、實驗處理資料，以建構出閱讀尺規作圖與說理文本之理解歷程。結果顯示：(1)擷取再製能力、解釋連結能力均顯著優於反思延伸能力； (2)不同版本的「幾何尺規作圖與說理文本」對三個數學能力層次的表現未有顯著差異；(3)低閱讀能力組中，「問答式」文本在「概念心像」與「尺規操作」有較高的解釋力，「直述式」文本在「概念定義或性質」與「概念心像」有較高的解釋力；(4) 低成效學生傾向喜愛「作圖先」文本。本研究亦據此針對教學設計與未來研究提出一些建議。. 關鍵詞：尺規作圖、垂直平分線、閱讀理解. ii.

(4) 目. 錄. 致謝 ---------------------------------------------------------------------------. i. 中文摘要 ----------------------------------------------------------------------. ii. 目錄 ----------------------------------------------------------------------------. iii. 表目錄 -------------------------------------------------------------------------. v. 圖目錄 -------------------------------------------------------------------------. vii. 第一章. 緒論 ----------------------------------------------------------------. 1. 第一節. 研究動機 -------------------------------------------------------. 1. 第二節. 研究目的與研究問題 ----------------------------------------. 7. 第三節. 名詞界定 -------------------------------------------------------. 8. 第四節. 研究限制 -------------------------------------------------------. 10. 文獻探討 ----------------------------------------------------------. 13. 第一節. 文本編排方式之相關研究 ----------------------------------. 13. 第二節. 閱讀理解之相關研究 ----------------------------------------. 16. 第三節. 閱讀理解評量架構之相關研究 ----------------------------. 24. 研究方法 ----------------------------------------------------------. 33. 第一節. 研究設計 -------------------------------------------------------. 33. 第二節. 研究對象與背景 ----------------------------------------------. 36. 第三節. 研究工具 -------------------------------------------------------. 38. 第四節. 資料處理與分析 ----------------------------------------------. 70. 第五節. 研究流程 -------------------------------------------------------. 74. 第二章. 第三章. iii.

(5) 第四章. 研究結果與討論 --------------------------------------------------. 79. 第一節. 不同文本編排對學生數學能力表現的影響 --------------. 79. 第二節. 幾何先備知識對數學能力表現的影響 --------------------. 104. 第三節. 不同學習成效學生閱讀尺規作圖文本的困難與習性 --------------------------------------------------------------. 第五章. 112. 研究結論討論與建議 -------------------------------------------. 143. 第一節. 研究結論與討論 ---------------------------------------------. 143. 第二節. 研究建議 ------------------------------------------------------. 149. 參考文獻 ---------------------------------------------------------------------. 151. 一、英文部分 ---------------------------------------------------------------. 151. 二、中文部分 --------------------------------------------------------------英文部分. 152. 附錄 ---------------------------------------------------------------------------. 155. 附錄一. 尺規作圖與說理文本（A 版） ---------------------------. 155. 附錄二. 尺規作圖與說理文本（B 版） ---------------------------. 159. 附錄三. 尺規作圖與說理文本（C 版） ---------------------------. 163. 附錄四. 尺規作圖與說理文本（D 版） ---------------------------. 167. 附錄五. 幾何先備知識測驗卷 ---------------------------------------. 171. 附錄六. 閱讀理解評量測驗卷 ---------------------------------------. 176. 附錄七. 幾何先備知識測驗卷編碼表 ------------------------------. 180. 附錄八. 幾何先備知識測驗卷編碼給分表 ------------------------. 183. 附錄九. 閱讀理解評量測驗卷編碼表 ------------------------------. 184. 附錄十. 閱讀理解評量測驗卷編碼給分表 ------------------------. 187. 附錄十一. 個案學生訪談內容摘要 -----------------------------------. 188. iv.

(6) 表. 目. 錄. 表 2-3-1. 尺規作圖題目的類型 ----------------------------------------------. 30. 表 2-3-2. 尺規作圖閱讀理解評量架構 -------------------------------------. 30. 表 3-3-1. 「作圖先」與「說明先」的文本異同比較表 ----------------. 40. 表 3-3-2. 「直述式」與「問答式」的文本異同比較表 ----------------. 41. 表 3-3-3. 「先備知識測驗卷」題目設計架構表 -------------------------. 54. 表 3-3-4. 「閱讀理解評量測驗卷」題目設計架構表 -------------------. 55. 表 3-3-5. 尺規作圖之先備知識測驗卷（預試版）之雙向細目表 ----. 56. 表 3-3-6. 尺規作圖之閱讀理解評量測驗卷（預試版）之雙向細目表. 56. 表 3-3-7. 先備知識測驗卷（預試版）各題目鑑別度分析 -------------. 57. 表 3-3-8. 閱讀理解評量測驗卷（預試版）各題目鑑別度分析 -------. 59. 表 3-3-9. 尺規作圖之先備知識測驗卷（正式版）之雙向細目表 ----. 66. 表 3-3-10 尺規作圖之閱讀理解評量測驗卷（正式版）之雙向細目表. 66. 表 3-3-11 半結構式訪談表 ----------------------------------------------------. 67. 表 3-4-1. 尺規作圖之先備知識測驗卷交互結果分數計算範例 -------. 72. 表 3-4-2. 尺規作圖之閱讀理解評量測驗卷交互結果分數計算範例 --. 73. 表 4-1-1. 先備知識測驗知識認知各面向得分之敘述統計 -------------. 80. 表 4-1-2. 幾何先備知識分析表 ----------------------------------------------. 88. 表 4-1-3. 低閱讀能力組在閱讀理解評量測驗各能力層次得分之敘述統計 -------------------------------------------------------------------. 表 4-1-4. 低閱讀能力組在閱讀理解評量測驗兩認知內容得分之敘述統計 -------------------------------------------------------------------. 表 4-1-5. 94. A、B、C、D 四組在「擷取再製得分」之共變數分析摘要表（低閱讀能力組） ----------------------------------------------. 表 4-1-8. 93. A、B、C、D 四組在「閱讀理解評量測驗得分」共變數分析摘要表（低閱讀能力組） -------------------------------------. 表 4-1-7. 91. A、B、C、D 四組組內迴歸係數同質性檢定摘要表（低閱讀能力組） ----------------------------------------------------------. 表 4-1-6. 89. 95. A、B、C、D 四組在「解釋連結得分」之共變數分析摘要表（低閱讀能力組） ---------------------------------------------v. 96.

(7) 表 4-1-9. A、B、C、D 四組在「反思延伸得分」之共變數分析摘要表（低閱讀能力組） ----------------------------------------------. 96. 表 4-1-10 高閱讀能力組在閱讀理解評量測驗各能力層次得分之敘述統計 -------------------------------------------------------------------. 97. 表 4-1-11 高閱讀能力組在閱讀理解評量測驗各分格得分之敘述統計. 99. 表 4-1-12 高閱讀能力學生在 A、B、C、D 四組 oneway ANOVA 分析摘要表 ----------------------------------------------------------------. 102. 表 4-1-13 學生閱讀理解「幾何尺規作圖與說理」文本之摘要表 ----. 104. 表 4-2-1. 低閱讀能力組影響不同版本數學能力層次的幾何先備知識摘要表 ----------------------------------------------------------------. 表 4-2-2. 107. 高閱讀能力組數學能力與先備知識各面向之顯著相關摘要表 ----------------------------------------------------------------------. 110. 表 4-3-1. 受訪個案學生背景資料 -------------------------------------------. 112. 表 4-3-2. 個案學生閱讀習慣 -------------------------------------------------. 125. 表 4-3-3. 閱讀習慣晤談內容記錄示例（以 AH2、BH1 為例） ------. 126. 表 4-3-4. 個案學生面對困難採取的策略 ----------------------------------. 135. 表 4-3-5. 個案學生摘要文本重點 -------------------------------------------. 137. 表 4-3-6. 個案學生摘要文本重點之分類 ----------------------------------. 138. 表 4-3-7. AL1 部分晤談內容記錄 -------------------------------------------. 139. 表 4-3-8. 個案學生文本分類結果 -------------------------------------------. 140. 表 4-3-9. 個案學生所使用的分類方法 -------------------------------------. 140. 表 4-3-10 個案學生喜愛文本整理表 ----------------------------------------. 141. vi.

(8) 圖. 目. 錄. 圖 2-2-1. 理解幾何證明的假設模型（引自楊凱琳，2004） -----------. 19. 圖 2-3-1. PISA 閱讀素養與閱讀歷程架構圖 ------------------------------. 26. 圖 3-1-1. 尺規作圖與說理文本閱讀理解的研究架構圖 ----------------. 34. 圖 3-5-1. 研究設計流程圖 ----------------------------------------------------. 77. 圖 4-1-1. 低閱讀能力組在閱讀理解評量測驗各能力層次得分之長條圖 ----------------------------------------------------------------------. 圖 4-1-2. 低閱讀能力組在閱讀理解評量測驗偏概念性知識得分之長條圖 -------------------------------------------------------------------. 圖 4-1-3. 98. 高閱讀能力組在閱讀理解評量測驗偏概念性知識得分之長條圖 -------------------------------------------------------------------. 圖 4-1-6. 92. 高閱讀能力組在閱讀理解評量測驗各能力層次得分之長條圖 ----------------------------------------------------------------------. 圖 4-1-5. 91. 低閱讀能力組在閱讀理解評量測驗偏程序性知識得分之長條圖 -------------------------------------------------------------------. 圖 4-1-4. 90. 99. 高閱讀能力組在閱讀理解評量測驗偏程序性知識得分之長條圖 -------------------------------------------------------------------. vii. 100.

(9) 第一章. 第一節. 緒論. 研究動機. 歷史上，最著名的數學文本首推歐幾里得(Euclid, 325-265 B.C.)的《幾何原本》 (原名《原本》，The Elements)，書中許多命題(proposition)以作圖問題形式呈現成了著名的特徵之一，而且這些問題都可以利用無刻度的直尺與圓規完成 (Hartshorne, 2000)。同時書中也依循著演繹的規範提出嚴密的證明，造就其偉大的歷史意義──使用公理法建立起邏輯演繹體系。在這樣的歷史背景下，「幾何」為數學教學中重要的主題之一，其不但與日常生活息息相關，更是培養創造、推理及思考能力的有效途徑之一(謝豐瑞, 1994)。在我國目前中學數學課程中，幾何主要落在「程序計算的幾何」及「推理證明的幾何」，尺規作圖所佔比例並不高，但由歷年國中基本學力測驗試題分析，每年至少會有 1 題題目，其題幹本身會借用尺規作法的慣用敘述，或用以探索尺規作圖的過程、結論與應用(彭良禎與洪萬生, 2011)，足見尺規作圖在國中幾何教學仍佔有重要的地位。研究者在任教這幾年間，發現學生在尺規作圖的學習成效不彰，譬如研究者曾在課堂上測驗九年級學生 98 學年度第一次國中基本學力測驗數學科第 33 題，題目如下所示：. 1.

(10) 如右圖，直線 AB、直線 CD 為不平行之二 A. C. 直線，今欲作一圓 O 同時與直線 AB、直線 CD 相切，以下是甲、乙兩人的作法： (甲) 1.過 D，作一直線 L 與直線 AB 垂直， B. 且交直線 AB 於 E. D. 2.取 DE 中點 O 3.以 O 為圓心， OE 長為半徑畫圓，則圓 O 即為所求 (乙) 1.設直線 AB 與直線 CD 相交於 P 2.作∠BPD 之角平分線 L 3.過 C，作一直線 M 與直線 CD 垂直，且交直線 L 於 O 4.以 O 為圓心， OC 長為半徑畫圓，則圓 O 即為所求對於兩人的作法，下列敘述何者正確？ (A)兩人皆正確 (B)兩人皆錯誤 (C)甲正確，乙錯誤 (D)甲錯誤，乙正確. 結果班上超過一半的學生選擇(A)。此題學生可以透過閱讀作法並著手尺規作圖的方式發現，在甲作圖法中，若以 O 為圓心且 OE 長為半徑畫圓，該圓與直線 CD 將有兩個交點，其中一個交點即為 D 點，故此圓不與直線 AB 相切。譚克平與陳宥良 (2009)針對此題在該次測驗的作答情形進行分析，發現答對率僅約 28％，且發現超過半數的應試者選擇(A)及(C)選項，換句話說，有超過半數的應試者認為甲作圖法是正確的。雖然此題測驗判斷作圖方法的正確與否只需要有幾何知識「圓的切線性質」，但是藉由尺規作圖可以幫助學生具體思考題目，以利於判斷正. 2.

(11) 確與否。由此可發現即使國中畢業生，在「尺規作圖」這個主題的成就表現仍舊不佳。在「尺規作圖」單元的學習最大特色在於其工具使用上的限制──直尺只能用來畫出一條直線通過給定的兩點，不能使用上面的刻度，而圓規只能依給定的圓心和半徑畫圓或畫弧。在如此特殊的工具使用規定下，學生必須要有充足的幾何知識並主動去應用，才可以在尺規作圖中畫出特定的線段或角度(Kramer, Hadas, & Hershkowitz, 1986)。換句話說，尺規作圖解題者必須先假想圖形已完成，再藉由分析該圖形獲得圖形中未知元素與已知條件之間的關係，發現並應用相關的幾何性質，利用直尺及圓規在工具使用規定下完成作圖(Smart, 1988)。這種學習活動所需要的解析(analysis)與綜合(synthesis)能力，實在是數學經驗的極珍貴部分 (彭良禎與洪萬生, 2011)。因此，尺規作圖被認為訓練學生幾何思維的最好教材之一(Austin, 1982; Gibb, 1982; Robertson, 1986)。尺規作圖單元為國中數學不可或缺的一環，研究者好奇目前國內對於尺規作圖的有哪些相關研究，所以截至 2013 年 12 月 31 日止，透過臺灣博碩士論文知識加值系統，以「尺規作圖」為關鍵字進行搜索，可發現國內相關的尺規作圖研究主要有五類：(1)尺規作圖的學習成就表現(洪志宗, 2013; 劉繕榜, 2000)；(2)探究式教學法融入尺規作圖單元(許湄, 2008)；(3)多媒體教學融入尺規作圖單元(張祐誠, 2008; 曾妙玲, 2008; 曾喬志, 2008; 劉仁智, 2010)；(4)摺紙教學融入尺規作圖單元(陳宥良, 2008; 陳聖別, 2011; 曾喬志, 2008)；(5)數學史教學融入尺規作圖單元(王郁文, 2008)。雖然在尺規作圖的教學研究不在少數，卻大多集中於以教師為中心的教學法，但近年來，強調教學改以學生的為中心，老師扮演引導者的角色，所以研究者好奇學生在自我學習下，對於尺規作圖單元的學習會如何？ PISA（the Programme for International Student Assessment，國際學生能力評量計劃）是由 OECD（Organisation for Economic Co-operation and Development，經濟合作暨發展組織）從西元二○○○年起，每三年大規模舉行一項測驗，其目的. 3.

(12) 在評估十五歲青少年閱讀、數學和科學的素養，強調學生能夠在生活中靈活應用在學校習得的知識。我國自二○○六年第一次參加後，對於青少年是否具備參與未來社會所需的基礎知識和技能日益重視。「生活化」和「應用」是 PISA 評比的兩個關鍵字。思考、判斷和自學能力是 PISA 評比的三大素養最重視的核心能力。柯華葳 (2006)指出閱讀力就是一種「自學能力」和「思考能力」，所以閱讀已成為國民教育的能力指標之一(教育部, 2008)。近年來，在中小學的課程中閱讀被廣泛地提倡，但是閱讀不應只是一般語文閱讀而已，尚包括其他學科閱讀（content-area reading）能力提升(秦麗花與邱上真, 2004)。所以研究者認為若能在課室中讓學生透過自行閱讀的方式學習，將是一種以學生為中心的學習方式。然而，理解是閱讀的基本條件，若缺乏理解就算不上真正的閱讀(吳惠琪, 2004)。只是單純讓學生自行閱讀學習不代表其可以完整正確理解其文本呈現的知識內容。研究為了解閱讀理解的相關研究，透過臺灣博碩士論文知識加值系統，以「閱讀理解」對論文關鍵詞進行搜索，結果發現西元二○○六年後共計有 655 筆資料，進一步以「數學」為相關詞進行檢索結果只剩下 201 筆資料，再進一步以「幾何」為相關詞進行檢索，其結果只剩下 16 筆資料。顯示國內致力於數學閱讀理解的研究不在少數，但幾何閱讀理解的研究仍不多，且其研究主題或內容多半與幾何證明有關(王俐文, 2007; 王繹婷, 2008; 呂鳳琳, 2010)，查閱國外相關研究亦多限於幾何證明的閱讀理解(Mejia-Ramos, Fuller, Weber, Rhoads, & Samkoff, 2012; K. L. Yang & Lin, 2008)。所以尺規作圖文本的閱讀理解相關研究並不多見，故研究者好奇學生對於透過自行閱讀理解尺規作圖的文本內容後，可以真正理解的層次與表現。閱讀理解上，文本的編排佔有極大的重要性，理想的文本應具有結構性、連貫性、一致性、與合適性，如此才可幫助讀者在閱讀時的記憶與理解，及閱讀後的回憶(Armbruster & Anderson, 1981)。翻閱國內主要三家出版社的教科書後，可以發現教科書在尺規作圖的文本順序的編排上有兩種不同的順序，一種是「作圖. 4.

(13) 先」的呈現方式，即在命題之後，緊接著呈現作圖過程，然後才呈現說明作圖步驟的原由；另一種是「說明先」的呈現方式，即在命題之後，緊接著說明作圖步驟的原由，然後才呈現作圖過程。Dee-Lucas 與 Larkin (1990)的研究發現大學生在閱讀物理文本時，就立即性記憶而言，「應用先（principle-first）」的文本明顯比「論證先（proof-first）」的文本好。此外，陳雅華(2008)探討國中七年級學生自行閱讀不同編排順序的勾股定理文本後在數學能力的表現，結果指出學習成績較差的學生在閱讀「應用優先」的文本，因其內容一開始即平舖直述定理及應用方法，對學生在之後的文本內容理解與解題上則有較大的幫助。然而，物理文本與勾股定理文本在論證與應用之間的關係較為薄弱，換句話說，學生不懂得如何證明勾股定理，但仍有能力應用勾股定理進行解題。可是根據 Smart (1988)提出的尺規作圖學習步驟，建立圖形中未知元素與已知條件之間的關係，有助於學生理解作圖步驟。若能建立作圖物件與產物之間的關係，並了解作圖的原由，將有助於學生完成尺規作圖。所以學生在閱讀「作圖先」的文本是否對於學生在尺規作圖的數學能力表現上仍有較大的幫助；亦或閱讀「說明先」的文本，幫助學生連結作圖物件與產物之間的關係並建立尺規作圖的原由後，對於學生在尺規作圖的數學能力表現上有較大的幫助。這點仍有待研究進一步的確認探討。 Rothkoph (1971)以閱讀教學為例指出，學生展書而讀並不一定對字字有所反應，所以只構成所謂的「名義的刺激作用」（nominal stimulation）。學習的發生應始自學生從眾多刺激中作選擇性的反應，並加以瞭解與熟習，這些真正被個體所接受並反應的刺激，稱之為「有效的刺激作用」（effective stimulation）(張玉成, 1993)。依據聯結論或行為主義的學習理論觀點，發問乃是一種刺激，常能引起學生的注意，並促進學生思考。認知論者認為強調發問應能突破知識記憶水平，進而擴展至高層認知的思考領域。柯華葳 (2006)則將閱讀的自我發問視為閱讀中的自我對話，強調閱讀的自我監督，認為透過閱讀過程中的提問與思考，能促使學童進行反思，增進閱讀的深度與理解。同時，數學文本所涵蓋的內容主要以數學相關的. 5.

(14) 概念與方法為主，其表徵方式會採用較多非一般語言所見的數學符號；並且依循特有的數學結構與邏輯組織，以問題導向的方式引導學生思考數學概念或方法，有助於學生對內容有較完整的思考脈絡進而提升其閱讀理解成效，不會陷入文本的字詞中而未察覺統整摘要的必要性(陳雅華與楊凱琳, 2010)。在過去的教科書文本上，大多以直述的方式呈現，容易造成學生閱讀上被動的接受、機械式理解。若將文本的呈現方式更改為問答的方式，將可能有助於學生閱讀形成自我對話，促進學生思考。所以在尺規作圖文本的設計上，除了採取傳統直述式文本外，另外設計問答式的文本，並於研究中去調查學生對兩種文本呈現方式的接受程度。依據 PISA 在閱讀素養的試題評量，以閱讀歷程作為主要評量架構，將閱讀歷程分為三種主要歷程：(1)擷取與檢索（access and retrieve）；(2)統整與解釋（integrate and interpret）；(3)反思與評鑑（reflect and evaluate）。然而數學文本中的內容大多必須與既有知識建立連結，方可理解內容含義，依 PISA 閱讀評量架構分析，大部分數學解題將易被歸入「反思與評鑑」中。De Lange (2007)指出 PISA 的數學素養是以能力為核心而形成評量架構，此架構中將數學能力群劃分成三個層次：(1)再製（reproduction）；(2)連結（connection）；(3)反思（reflection）。再製包含習過知識的複製；連結是建立在再製之上，在此問題解決不是例行的；反思則包含學生對於問題解決必要的歷程及運用的反思性。綜合前述，研究者因此想到「作圖先」與「說明先」這兩種不同順序編排的文本，依照幾何證明閱讀理解相關文獻下，猜測「作圖先」的文本可能有助於學生閱讀理解歷程中建立作圖的程序步驟，並進一步將作圖法應用於其他相關問題上；「說明先」的文本可能有助於學生閱讀理解歷程中對作圖步驟有概念性的理解，較能清楚指出作圖步驟的原由。文本的編排與內容的陳述顯然是影響閱讀理解的因素之一，但是對於尺規作圖及其說理的閱讀理解之影響為何，仍需透過實徵研究的檢證。所以本研究首先設計「尺規作圖」之「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」與「直述式說明先」四種不同編排順序的文本，以及依據 De Lange 數學能力：「再製」、「連結」、「反思」三個層次，設計閱讀理解評量測驗卷。除進行大樣本施測，探討學生閱讀理解四種不同「尺規作圖與說理」文本 6.

(15) 的表現為何外，並選擇不同學習成效的個案學生們進行晤談，藉以了解學生閱讀理解的困難點及閱讀理解歷程。. 第二節. 研究目的與研究問題. 一、研究目的. 依據第一節所描述的研究動機，本研究以「垂直平分線的作圖」作為文本主要內容，在「順序不同」及「提問與否」兩個變因下編製形成四份不同版本的「幾何尺規作圖與說理文本」，企圖探討閱讀幾何尺規作圖及其說理文本時的理解目標為何，並依據理解目標設計評量試題調查學生閱讀不同文本的理解表現。此外，本研究也探討不同類型的幾何先備知識如何影響學生閱讀尺規作圖及其說理的理解表現，同時，藉由晤談個案學生的方式，進一步探討不同學習成效的學生閱讀理解文本時的困難點及文本偏好。期望經由本研究的探討、設計與調查分析後，除了瞭解我國學生透過閱讀可以理解多少尺規作圖及其說理的內容，也能對本單元的教材教法提出有實證支持的建議。. 二、研究問題. 基於上述研究目的，我們將在研究中回答下列問題：（一）八年級學生閱讀「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」、與「直述式說明先」四種不同特徵之尺規作圖文本的數學能力表現為何？. 7.

(16) （二）不同類型幾何先備知識對八年級學生閱讀「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」、與「直述式說明先」四種不同特徵之尺規作圖文本的數學能力表現的影響有何不同？（三）不同學習成效的八年級學生在閱讀尺規作圖文本之困難與文本偏好為何？. 第三節. 名詞界定. 本研究的重要名詞界定如下：. 一、「作圖先」文本. 在歐幾里得的《幾何原本》中，在探討尺規作圖相關的命題（proposition）後，均都先回答此命題的相關作圖步驟，再以嚴密的演繹方法對命題及作圖提出嚴謹的證明。但國中的幾何學習，乃由直觀、歸納轉入幾何推理與證明(教育部, 2008)，所以國中八年級尺規作圖單元，多採用摺紙的方式結合生活經驗，使學生直觀地瞭解作圖原理。文本內容在結構上，先告知尺規作圖的命題及相關作圖步驟，而後再說明作圖原理，此種文本結構稱之為「作圖先」之文本。. 二、「說明先」文本. 文本內容設計、編排順序與「作圖先」理念不同，在文本結構的開頭即先導入相關的生活經驗，述說尺規作圖物件與產物之間的關係，讓學生直觀地瞭解相關的幾何性質，以說明後續作圖的原理。接著再呈現尺規作圖命題及相關的作圖步驟，此種文本結構稱之為「說明先」之文本。 8.

(17) 三、「直述式」文本. 文本內容與一般書籍敘述無異，採取平鋪直述方法介紹尺規作圖步驟及相關數學性質，此種文本結構稱之為「直述式」之文本。. 四、「問答式」文本. 發問是促進學生思考發展的有效途徑之一(Aschner, 1961)，閱讀過程中自我發問視為閱讀中的自我對話，透過閱讀過程中的提問與思考，能促使讀者進行反思，增進閱讀的深度與理解。為促使讀者自我對話，在「直述式」文本的結構上，適當地加入問句以提供讀者思考的機會，此種文本結構稱之為「問答式」之文本。. 五、數學能力. PISA 數學素養以能力群組（competency clusters）來表示，分為再製、連結與反思三種層次。再製包含習過知識的複製，如事實、一般問題表徵的知識，標準算則及技術性技巧的應用，在標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的進行。連結是建立在再製之上，在此問題解決不是例行的，但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境。反思則包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性，這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關，相對於連結，反思的情境包含較多元素或者可能是更不熟悉(洪碧霞, 蕭嘉偉, 與林素微, 2010)。本研究尚有評量學生對尺規作圖與說理文本的閱讀理解，故結合 PISA 閱讀素養的三個歷程：擷取與檢索、統整與解釋、與反思與評鑑，形成三個數學能力層次：「擷取再製」、「解釋連結」、與「反思延伸」。. 9.

(18) 六、不同學習成效個案學生. 研究者將實驗活動中所獲得先備知識測驗成績及閱讀理解評量測驗成績進行分組，其中 PR 值≧73 者稱為高分組、PR 值≦27 者稱為低分組，將學生在實驗活動獲得的成績表現找出 2 個群體，分別為高成效組（先備知識測驗成績高分組且閱讀理解評量測驗成績高分組）及低成效組（先備知識測驗成績低分組且閱讀理解評量測驗低分組）。在 4 個不同類型的文本及 2 個成績表現群體中，各找出 2 位學生（分別為 1 男 1 女）共 16 位個案學生，而形成不同學習成效的個案學生。. 第四節. 研究限制. 本研究的限制包括研究對象的關係、研究的推論和研究的效度，分述如下：. 一、研究對象的限制. 本研究之對象為一般鄉鎮地區學生，對於都會區或偏遠鄉村地區的學生，學習成效表現結果可能有所差異。研究者在前導研究時，以九年級學生進行文本設計及開發試題的試測對象，同時晤談 2 位學生作為研究者修正文本內容及試題描述之依據，試測學生特質為數學成績在中下程度，但對數學仍有相當的興趣。. 二、研究推論的限制. 本研究所設計的文本內容，主要在於「垂直平分線」尺規作圖，研究者所設計的先備知識測驗卷及閱讀理解評量測驗卷亦針對「垂直平分線」的相關內容進 10.

(19) 行取材設計，因此對於其他的教學主題不可相提並論，研究結果亦不宜做過度的一般推論。. 三、研究效度的限制. 就外在效度而言，囿於研究者的時間及精力，故無法藉由多處場所的研究來強化外在效度。. 11.

(20) 12.

(21) 第二章. 文獻探討. 根據本研究的設計理念及研究目的，分別就文本編排方式、閱讀理解、閱讀理解評量架構之相關文獻進行探討，本章共分三小節進行討論。. 第一節. 文本編排方式之相關研究. van den Broek 與 Kremer (2000)認為閱讀的最終目標便是由文本中學習，包括：辨識事實或事件、在兩個不同的事件或事件與既有知識之間建立連結、記憶往後會運用到的結果，這樣的目標是需要高度有條理的過程。並提出讀者特性、文本性質、教學情境是閱讀理解的影響因素，其中文本性質包括「文本內容」與「文本結構」。接下來依「文本內容」與「文本結構」兩者不同編排方式相關研究進行探討。. 一、文本內容編排不同之相關研究. 王亦欣 (2003)將漫畫圖片加入地球科學課本當作插圖，形成四種不同表徵的閱讀教材(純文字、文字與無劇情的短漫畫、文字與有劇情的長漫畫、有劇情的長漫畫)讓學生自行閱讀理解，並以學生紙筆測驗的成績比較學生在整體、不同題型 (記憶題型、理解題型、困難主題、簡單主題)、不同能力(讀圖能力與學習成就) 與記憶保留的表現。研究結果發現在有文字的情況下，長、短漫畫對理解題型的學習有幫助，且在有文字的情況下，短漫畫可以幫助學生學習簡單主題。此外，如果讓學生自由選擇，學生最喜歡文字加上有劇情的長漫畫教材。. 13.

(22) 系統功能語言學（SFL）是由 M.A.K Halliday 與 J.R. Martin 等人所發展，該理論指出使用語言的情境脈絡連繫著語言的形式與意義。陳世文與楊文金 (2006)依 SFL 之技術性建構及語體組織設計的 SFL 文本為實驗組，並以國中傳統科學文本為對照組，分析兩組學生閱讀及作答的時間，並探討兩組學生對文本的閱讀理解。結果顯示 SFL 文本使學生花費較多的時間閱讀及作答，閱讀 SFL 文本的學生在閱讀理解的表現較佳，同時，閱讀 SFL 文本之低先備知識者在句義、推理及應用的表現明顯較佳，顯示 SFL 文本似乎可促進學生的閱讀理解，對低先備知識者尤具助益。. Ö sterholm (2006)提供兩種不同類型的數學文本及一份歷史文本給予中學生及大學生閱讀，兩種數學文本均提供群論基礎概念，但其一使用數學語言敘述、另一則使用自然語言敘述。結果顯示學生在使用自然語言敘述之數學文本與歷史文本的閱讀理解表現相似，而使用數學語言敘述之數學文本與歷史文本的閱讀理解表現則有顯著差異。所以即便大學生比中學生有更多數學學習的經驗，但數學本身並非是影響閱讀理解最大的因素，而文本符號的使用卻是最明顯的影響因素。. 陳奕帆 (2009)在幾何證明文本操弄中介步驟有、無提示語，亦即中介步驟成立的理由，以瞭解兩種不同敘寫方式的文本對於國中三年級學生閱讀理解的影響。結果以單因子變異數分析發現文本有提示語的受試者在問卷總分、缺漏性質，及事實性判斷等三個分數得分平均值顯著高於無提示語文本，而以積差相關求得研究對象在與幾何證明有關單元之在校成績和問卷總得分之相關均達顯著，且該二相關值之間無顯著差異，表示提示語整體而言有助於學生閱讀理解幾何證明的表現。. 14.

(23) 二、文本結構編排不同之相關研究. Dee-Lucas 與 Larkin (1990)指出科學的文本大多先提供一個證明，再陳述應用的原則，這樣的文本結構缺乏了主題訊息引導文本閱讀，所以其找了一些大學生，對科學文本進行了「論證先（proof-first）」和「應用先（principle-first）」的兩種不同編排順序的文本研究。研究結果發現讀者會花費較多的時間在文本一開始呈現的訊息上，同時也認為開頭部分的內容為重點所在。「論證先」的讀者在決定文本重點時也有較多的困難。同時在進行內容摘要時，「論證先」的讀者也常使用「應用先」的結構進行總結。「論證先」的組織亦減少讀者對應用原則的回憶，就立即性的記憶而言，「應用先」文本較「論證先」文本明顯地好，但就長期記憶而言，兩結構並沒有顯著的差異。. K.-L. Yang, Lin, 與 Wang (2008) 針對證明題的不同書寫格式「兩欄式」（two column）和「直述式」（line by line）對學生閱讀理解的影響，其中兩欄式的證明又可分為理由在左與理由在右，而直述式的證明則可分為論點在前與論點在後兩種形式，研究結果顯示四種不同的證明書寫格式對學生在幾何證明上的理解無顯著差異。. 陳雅華(2008)以「論證優先」、「應用優先」不同編排順序的「勾股定理」文本與沒有文本讓國中一年級的學生自行閱讀學習，並透過自行編擬的數學能力（勾股定理單元）前、後測卷及配合晤談資料，瞭解國一生在學習「勾股定理」的閱讀理解與歷程。研究顯示兩種文本對於數學成就高之學生的數學能力影響沒有顯著差異，可是「應用優先」文本比「論證優先」文本更有利於數學成就低之學生提昇其數學能力。高成就的學生對於文本沒有特別偏好，低成就的學生則多數喜歡「應用優先」的文本。 15.

(24) 綜合上述探討，研究者翻閱國內坊間國中數學領域教科書發行的三個版本在「尺規作圖」的內容與呈現方式，發現編排的順序上有兩種不同的類型：一種是先呈現作圖程序步驟，再說明作圖理由（作圖先）；另一種是先說明作圖理由，再呈現作圖程序步驟（說明先）。由文獻探討發現文本結構編排上的不同對於閱讀理解可能會造成影響，而且尺規作圖單元這兩種不同順序的編排方式是否會造成影響並無相關實徵性研究。同時，考量文本內容編排上的不同亦會對閱讀理解造成影響，而柯華葳 (2006)指出透過閱讀過程中的提問與思考能增進閱讀的深度與理解，研究者好奇在數學文本中適當加入提問句是否也助於學生提升閱讀理解的深度。因此，最後研究者以「順序不同」及「提問與否」兩個變因下編製形成四份不同版本的「幾何尺規作圖與說理文本」。. 第二節. 閱讀理解之相關研究. 閱讀（reading）可界定為：個體以既有之知識經驗為基礎，嘗試從書面資料擷取訊息，並進而統合建構出新義的過程，其中書面資料包括文字符號、圖片、表格。閱讀理解（reading comprehension）是多種認知能力互動的歷程，始自對字詞的瞭解，經推理、統合以摘取前後文的要義，進而以與既有知識經驗從事比較、分析、推論、批判、想像創新等思考過程，以建構自己的理性和感性的認知為終結(張玉成, 2001)。由上述可以閱讀是以自己既有的知識的基礎，透過自己的能力對於資料訊息進行檢索、解釋、統整、反思、或批判等。下述將對「閱讀理解歷程」及「閱讀理解策略」進行探討。. 16.

(25) 一、閱讀理解的歷程. 認知心理學家們視學習為個體對事物經由認識、辨別、理解，從而獲得新知識的歷程(張春興, 1996)。閱讀理解是一種複雜的心理歷程，主動、積極的讀者會整合已存在的舊知識與獲取的新資訊，並靈活運用策略樹立、監控、調控、維護閱讀理解的歷程，以達成有意義的學習(Dole, Duffy, Roehler, & Pearson, 1991)。不少學者以訊息處理理論為基礎，提出對閱讀歷程的看法，Mayer (1996)將訊息學習理論應用到閱讀歷程中，並提出 SOI（Selection-Organization-Integration）模型，認為達到有意義的學習應包括下列三個歷程： 1.. 選擇（Selection）：讀者能確定文本內容中重要的訊息，並將之由感官記憶（sensory memory）帶入短期記憶（short-term memory）中。. 2.. 組織（Organization）：在短期記憶中，將選定的重要訊息進行內部連結，將選定的訊息組織形成有一致性且可容納重要訊息的結構。. 3.. 整合（Integration）：將在短記記憶中組織獲得的新資訊，與已存在長期記憶中的舊知識，進行外部連結、整合，以達到有意義的學習。. 成功的閱讀理解包含概念性理解（敘述性知識），以及技能與策略（程序性知識）兩方面。程序性知識則是代表「如何」閱讀的知識，同時也是由多種的成分歷程（component processes）所組成(Gagne, Yekovich, & Yekovich, 1993)。這些歷程可被分成下列四個部分： 1.. 解碼（decoding）：使用書面文字去活化記憶中字詞的意義，其又可細分成兩種主要的歷程：其一是可以是經由書面文字與字義之間的直接聯結的歷程，稱之為配對（matching）。其二是可以透過呈現相對應的字音這樣的一個中間階段來達成，其聲音形式只是活化存在於長期記憶裡該字的字義，稱之為譯碼（recoding）。 17.

(26) 2.. 字義理解（literal comprehension）：將一些被活化的字義結合在一起形成命題。其包含兩個過程： (1) 字義取得（lexical access）：運用解碼歷程中所得的產品來辨識及選擇適當的字義。換句話說，解碼歷程活化了儲存在敘述性知識中字詞的知覺表象，而字義取得的運作歷程則會由所有被活化的知識當中，選取合於該字的正確解釋。 (2) 語法分析（parsing）：使用某種語言之句法（syntactic）和語言學（linguistic）之原則，來將一些字組合在一起，以形成有意義的概念。語法分析的產品其實便是命題（propositions）──屬於敘述性知識的單位，用來呈現文本的意義。. 3.. 推論理解（ inferential comprehension ）：超越明確陳述的概念，以整合（integrate）、摘要（summarize）、詳細論述（elaborate）這些概念。 (1) 整合（integration）：把兩個或兩個以上的命題結合在一起，因此「整合」會出現在複合句、不相連的兩句子間、甚至不相連的段落間。構成整合歷程之基礎程序性知識必須要如此具有彈性，因此，並非所有的整合歷程都會在自動的層次上運作，這些歷程往往需要一些認知資源（cognitive resources）。 (2) 摘要（summarization）：要使閱讀者在其敘述性記憶內產生一個通盤性或是一個「巨觀」（macro）的結構，來涵括一篇文章中的主要概念。 (3) 詳細論述（elaboration）：在一連貫的意義表徵上由帶入先前的知識來增進相關訊息。. 4.. 理解監控（comprehension monitoring）：功能在於確保閱讀者能夠既有效率又有效能地達成其閱讀目標。其所牽涉的過程包括：目標設定（goal setting）、策略選擇（strategy selection）、目標檢視（goal checking）以及修正補強（remediation）。. 18.

(27) Duval (1998)依據不同的資訊量將推理過程中資訊的組織細分成三種不同的層次：(1)微觀層次：能分辨各證明單一論點的前提或結論；(2)局部層次：能夠判斷兩個論點以上的邏輯關係；(3)整體層次：根據結論將每個論點組織統整。楊凱琳 (2004)研究依據 Duval (1998)所提出這三種不同組織資訊層次類推到閱讀證明的過程，並參照 Gagne 等 (1993)提出閱讀理解歷程探討學生如何從數學論證的文本中建構自己的意義，並且企圖勾勒證明的結構而提出幾何證明的假設模型（如圖 2-2-1），該模型將幾何證明閱讀理解分成五個面向： 1.. 表層理解：包含理解數學語言的意義。. 2.. 邏輯定位理解：包含辨識敘述間的邏輯次序、辨識證明引用的事實或性質。. 3.. 摘要理解：包含辨識命題或證明過程的重點。. 4.. 一般性理解：包含辨識命題和證明的正誤和辨識證明可有效化的命題。. 5.. 應用理解：包含把已證的命題應用到其他類似的問題情境。. 表層理解. 程序性知識. 概念性知識. 辨識元件子前提. 子結論. 引用性質. （論點元素）鏈結元件. 子前提. 子結論. （論點關係）. 引用性質. 膠囊化理解主前提. 主結論. （論點系統）圖 2-2-1. 理解幾何證明的假設模型（引自楊凱琳，2004） 19.

(28) 二、閱讀策略. 閱讀是個複雜的過程，文章本身的結構、讀者的先備知識與運用何種策略都會影響閱讀理解的成效，成功的閱讀取決於讀者、文章、情境脈絡三者間的互動，因此讀者在閱讀的過程中採用的閱讀策略便是影響閱讀理解的一大關鍵。Rao, Yongqi Gu, Jun Zhang, 與 Hu (2007)研究新加坡這個雙語國家的小學生在閱讀時使用的策略與方法，而提出深層閱讀策略（Deep-level processing strategies）及表層閱讀策略（Surface-level processing strategies），結果發現學童的閱讀成效受到閱讀策略的使用，並建議教師應整合深層閱讀策略融入閱讀教學中。其策略內容分述如下：（一）深層閱讀策略： 1.. 推論（Inferencing）：使用先備知識或其他相關知識猜測未知的含義。. 2.. 預測（Prediction）：預想接下來將會發生的文本內容是什麼。. 3.. 語境化（Contextualisation）：將新的資訊與先前的文本內容產生連結。. 4.. 文本全局性的提問（Global questioning of text）：提問文本內容的意義、一致性、或真實性。. 5.. 文本架構的識別（Recognition of text structure）：區辨主要想法及支持的相關細節。. 6.. 理解評價（Comprehension evaluation）：能注意到一個解釋或釋義是不正確的，並進行修正。. 7.. 摘要（Summarisation）：能用簡短文字敘述一個段落的重要內容。. 8.. 文本賞析（Appreciation of given text）：對文本內容進行賞析，提出自己的看法。. 9.. 重組（Reconstruction）：改組文本內容以掌握重要訊息。 20.

(29) （二）表層閱讀策略： 1.. 釋義（Paraphrasing）：使用不同文字但意義相同的詞彙改寫內容。. 2.. 重讀（Re-reading）：重複閱讀一個單字、片語、或一個段落。. 3.. 文本局部性提問（Local questioning of text）：詢問一個句子的意思。. 4.. 提問字彙（Questiongiong vocabulary）：詢問一個單字的意思。. 王繹婷 (2008)從文獻中歸納出十類關於中學生閱讀幾何證明的理解策略，將其歸納成閱讀前、閱讀時，以及閱讀後三種歷程，並透過實徵研究發現：閱讀前，學生使用瀏覽策略之成分顯著高於預測策略；閱讀時，使用推論策略顯著高於資訊擷取與表徵轉換策略，鮮少使用做重點策略與自詢策略；閱讀後使用澄清策略與補救策略顯著高於摘要應用策略。同時，無論閱讀理解表現優劣學生閱讀前，理解策略之使用無顯著差異；閱讀時，會抓取已知條件與欲證目標、詳細閱讀證明過程、依證明步驟於幾何圖形上做記號並釐清證明步驟與幾何圖形間的關係；閱讀後，能夠運用補救策略予以理解。侷限性地運用澄清策略，較少使用摘要應用策略。其策略內容如下所述：（一）閱讀前 1.. 瀏覽策略：在閱讀幾何證明題之前，閱讀者先概覽幾何證明題以約略瞭解所陳述之內容，留意命題、幾何圖形、證明過程、文本提問之問題等，讓閱讀者能有基本的心像與證明題的藍圖。. 2.. 預測策略：在瀏覽過所給予的命題、幾何圖形、證明過程、文本所提問之問題後，預測命題的正確性、證明發展之方向、或預先對幾何圖形做猜測等，亦可依證明過程之編排結構猜測作者欲表達之方向。. 21.

(30) （二）閱讀時 3.. 閱讀策略：在預測之後，閱讀者對幾何證明題有基本的藍圖心像，開始有目的性的閱讀證明過程與幾何圖形以理解作者所欲陳述的證明，亦為之前所做之預測尋找求證與解答。. 4.. 做重點策略：在閱讀歷程中，選擇性的注意某些重要資訊。對於幾何證明中熟悉或重要的資訊做記號，或者補充說明補強注意；對於幾何證明中不熟悉或自覺不重要的資訊做另一種記號，或簡短補充說明以便提醒著重於其他重要的資訊。而此策略之首要在於尋找幾何證明的正確命題、因果關係、與跟命題密切相關之內容等。. 5.. 結構分析策略：分析文本中幾何證明的結構與編排順序，以表格、圖像、或自己的語言文字以重新闡述詮釋作者對幾何證明之結構與編排順序的想法。. 6.. 推論策略：閱讀者依幾何證明步驟間的關係去推敲以深入了解證明，即閱讀者利用證明步驟或引用的性質來推論證明過程中自己所不了解的步驟，依步驟中的訊息推論可能隱涵的意義依所理解的部分內容，或預先推論可能的結果。由此可支持或否認閱讀者在邏輯上所預測的資訊。. 7.. 自詢策略：閱讀者在閱讀幾何證明過程中可利用每一個子標題與六何法（what、 why、when、where、which、how）擬定所欲自詢的問題，且嘗試自我回答。在閱讀中主動的自問自答以監控自己是否能理解文章的重要問題與內容。. （三）閱讀後 8.. 澄清策略：對於理解的部份，藉表格、圖表、或自己的語言來做進一步的系統化理解，且對所得到的新資訊做重新詮釋，並使用此些詮釋加以延伸思考。而對於不理解的部份，辨認釐清對於文本中之何處有理解上之困難。. 9.. 摘要策略：以自己的語言文字描寫統整幾何證明中重要的步驟，且用簡短的敘述來描寫重要之內容，而所摘要的內容不包括不重要的資訊或細節。. 22.

(31) 10. 補救策略：在使用澄清策略過後若仍不理解，則尋求補救策略，即知道理解失敗後進一步採取補救策略以解決理解上的困難。學生在閱讀時能留心是否了解文章的意義，發現理解上的困難後採取補救策略，如：重讀、做記號、回顧、調整閱讀速度、尋找他人協助。. K. Yang 與 Lin (2009) 參考 Palincsar 與 Brown 所提交互教學法中所教授之認知策略，將這些認知策略設計於工作單內，用以提升國中學生對於幾何證明的閱讀理解。其策略內容定義如下： 1.. 提出問題（questioning）讀者在閱讀證明時對於提出問題可能會產生問題，因此藉由提供學生既定的問題以幫助其辨別，如：以上證明所給定的條件是甚麼？所欲證明的是什麼？. 2.. 摘錄重點（summarizing）利用圖像來幫助讀者了解證明的架構並綜合其命題與論證步驟，透過此證明圖示來構建出證明的要素，教導學生認識重要的論證步驟並有條理的連結這些步驟。. 給定性質或定義. 3.. 欲證目標. 澄清（clarifying）閱讀者需辨別哪些部分是他所理解或不理解的。例如：在以上的證明中，那些所給定的性質是不清楚的？那些證明步驟不瞭解？是否可以思考哪些證明步驟是累贅或不需要的？. 4.. 預測（predicting）預測接下來所閱讀的內文，當閱讀命題及其證明時，讀者將預測所給定條件會指涉什麼。. 23.

(32) 第三節閱讀理解評量架構之相關研究. 一、PISA 閱讀素養. 近年來，閱讀素養愈被重視。PIRLS 於 2006 年對閱讀素養下了一個定義：「閱讀素養是指學生能理解並運用書寫語言的能力。學生能夠閱讀各式各樣的文章，並從中建構出意義、從中學習，參與學校及生活中不同閱讀社群的活動，並從閱讀中獲取樂趣。」所以 PIRLS 將閱讀理解分成四個部分： 1.. 直接提取（focus on and retrieve explicitly stated information）：找出文本內容中清楚寫出的訊息。. 2.. 直接推論（make straightforward inferences）：需要將文本內容中兩項以上訊息連結產生出新的訊息。. 3.. 詮釋、整合觀點和訊息（interpret and integrate ideas and information）：需要提取自己已有的知識、經驗，連結文本內容中未明顯表達的訊息。. 4.. 檢驗、評估內容、語言和文章的元素（examine and evaluate content, language, and textual elements）：需批判性考量文本內容中的訊息。. PISA 是由經濟合作暨發展組織（OECD）所委託的計畫，重點在於評估接近完成基礎教育的十五歲學生，是否能將在校習得的知識與技能應用於進入社會後所面臨的各種情境及挑戰。PISA 是採取素養的觀點來設計測驗，測驗的內容主要分為三個領域：閱讀、數學及科學。PISA 對閱讀素養的定義為：「閱讀素養是指為了達成個人目標、發展個人知識和潛能、與有效參與社會，去理解、運用及省思書面文本的能力。」閱讀素養超越了文字解析和詞彙理解的層次，更涉及因各種目的去理解、運用及省思語文訊息。其所涵蓋的評量層面包括三個面向：文 24.

(33) 本（text）、情境（situation）與歷程（aspect）。PISA 閱讀評量的文本包含「連續文本」與「非連續文本」，連續文本通常是由文字句子所組成，組織成段落，甚至可能變成較大的結構，諸如節、章、和書；非連續文本的組織不同於連續文本，主要是透過圖表、表格、地圖、廣告等方式引導受試者做進一步的思考。PISA 閱讀評量的情境是指文本的用途或目的，內容涵蓋：(1)個人用途的小說、書信、傳記、散文；(2)公共用途的官方文件或聲明；(3)職業用途的手冊或報告；(4)教育用途的教科書、學習手冊。PISA 閱讀評量的歷程分成三種：擷取與檢索（access and retrieve）、統整與解釋（integrate and interpret）以及反思與評鑑（reflect and evaluate），因為本研究根據此三種歷程形成評量數學能力的架構，所以詳細分述如下： 1.. 擷取與檢索：依據問題要求或指明的特點找出文本中清楚寫出的訊息。讀者必須從問題中偵測或辨識出一個或多個重要的元素，例如：人、事、時、地、物等，然後再尋找適合的（包含字面上或同義）的訊息。. 2.. 統整與解釋：正確解讀閱讀內容，且對所閱讀的內容有明確、完整的解釋。讀者能整合文本中各訊息以理解其主要概念，以及解釋文本中未提及的內容，其包括「形成廣泛普遍的理解」與「發展解釋」兩個部分。「形成廣泛普遍的理解」是指讀者需從整體或以廣泛的觀點來思考文本以形成廣泛普遍的理解。換句話說，讀者可藉由辨識主要標題或信息或確認文本的一般性目的或目的來證明其最初的理解，例如要求讀者確認一個圖形或表格的主要向度等。「發展解釋」是指讀者比較和對照文章訊息、連結訊息間的關係，而推論作者意圖、做出結論，並指出與列舉支持性證據。. 3.. 反思和評鑑：將所閱讀的內容與自己原有的知識、想法和經驗相連結，經過判斷與省思過後，就文本內容或形式提出自己的見解。讀者必須思考文本中所隱含的訊息，以便於連結文本訊息與個人的知識與經驗，而提出自己的見解，其包括「省思並評鑑文本內容」與「省思並評鑑文本形式」兩個部分。「省思並評鑑文本內容」是指讀者提取自己既有的知. 25.

(34) 識，建構自己對文章深層的理解，批判文本中的觀點，並提出理由來闡明或維護自己的評價。「思並評鑑文本形式」是指讀者需不受文本的影響，客觀地思考並評價本文的品質與適當性。. 閱讀素養. 所有訊息來自文本. 擷取與檢索. 取自外在知識. 統整與解釋. 形成廣泛理解. 發展解釋. 反思與評鑑. 省思評鑑文本內容. 省思評鑑文本形式. 圖 2-3-1 PISA 閱讀素養與閱讀歷程架構圖. 二、PISA 數學素養. PISA 數學素養與其它數學成就所強調的不同之處在於情境，其所界定的情境有四種：個人、教育或職業、公共、及科學情境。De Lange (2007)指出 PISA 數學素養以能力群組（competency clusters）來核心，分為再製、連結與反思三種層次。其分述如下： 1. 再製（Reproduction）：包含習過知識的複製，如事實、一般問題表徵的知識，標準算則及技術性技巧的應用。其問題多屬於簡單或例行性的計算、定義、與幾乎不需要數學化（單步驟或熟悉）的問題。. 26.

(35) 2. 連結（Connection）：建立在再製之上，在此問題解決多為更複雜的非例行問題，解題時涉及在不同數學領域或數學與情境脈絡之間（包含熟悉和半熟悉的情境）產生串連。 3. 反思（Reflection）：包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的數學思維、一般性、抽象性及反思性，相對於連結，反思的情境包含較多元素或者可能是更不熟悉。. 三、美國教育進展評量（NAEP）. 美國教育進展評量（National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP）將數學能力分成三個因子：概念性理解（Conceptual Understanding）、程序性知識（Procedural Knowledge）和問題解決（Problem Solving），指的是學生在特定的數學知識中展現他的能力。其分述如下：. （一）概念性理解依據 NAEP（NAGB，2002）的詮釋，概念性理解是指學生能辨識以及利用模型、圖形、或符號等不同方式來表達出某一數學概念，或舉出與此概念相關的例子或反例來說明；此外，學生亦能了解數學原理並將原理間做相互連結、比較、以及整合應用。換句話說，在兩個已存在記憶體的數學訊息片段之間，或是已存在的數學訊息片段與新學的數學訊息片段之間建構連結關係，就稱之為「概念性知識」(Hiebert, 1986)。學習者對意義的理解是評量的主要指標。以我國基本學力測驗評測概念性理解試題為範例說明：例：概念性知識（101 年基測試題第 18 題）判斷下列哪一組的 a、b、c，可使二次函數 y＝ax2＋bx＋c－5x2－3x＋7 在坐標平面上的圖形有最低點？ (A) a＝0，b＝4，c＝8 27.

(36) (B) a＝2，b＝4，c＝－8 (C) a＝4，b＝－4，c＝8 *(D) a＝6，b＝－4，c＝－8。說明：本題主要評量二次函數圖形開口方向相關性質，考生可藉由二次函數圖形在坐面平面上有最低點，判定二次函數圖形開口向上，並且由二次函數 x2 項係數與開口方向之關係，確定 x2 項係數 (a－5)＞0，而推知 a＞5。. （二）程序性知識 NAEP 對程序性知識的詮釋是指學生能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確。程序性知識可以反映出學生對指定的問題情況所連接算法的能力，並能正確地使用那種算法。程序性知識主要由兩個部分組成：「數學的形式化語言或是符號表徵系統」與「數學作業所需要的運算邏輯或是規則」。前者亦被稱為數學的『形式』，包含用來表徵數學概念的符號，以及在可以接受的形式中用符號來表示句法的規則。後者包含由一致的規則、運算邏輯或是解數學作業的算則與法則所組成，其特徵就是這些步驟在一個被規定的線性序列中執行，也就是說在開始規定步驟 n 之前，必須要先完成規定步驟 n－1(Hiebert, 1986)。以我國基本學力測驗評測程序性知識試題為範例說明：例：程序性知識（102 年基測試題第 8 題）坐標平面上有一函數 y＝－3x2＋12x－7 的圖形，其頂點坐標為何？ *(A) (2 , 5). (B) (2 , －19). (C) (－2 , 5). (D) (－2 , －43). 說明：本題主要在評量考生能否選擇適當程序來解題，考生只要利用配方法將 y＝ax2＋bx＋c 的二次函數式轉換成 y＝a ( x－h )2＋k，並且知道頂點坐標的判別法則即可判定作答。. 28.

(37) （三）問題解決 NAEP 對問題解決的詮釋是指學生能從所得的資料中分析辨識而形成問題，並能充分了解這些資料，運用相關的知識、推理能力以及採取合適的策略來找出答案；同時，也有能力去驗證所得答案的合理性與正確性，進而將之推廣應用。在問題解決上，學生必須能夠使用自己所累積的數學知識，將其應用於新的問題情境中，連接舊有的相關概念，使用策略、資料、圖形、模型等數學知識，熟練而精準地完成指定任務。以我國基本學力測驗評測問題解決試題為範例說明：例：問題解決（102 年基測試題第 28 題）圖(十六)為雅婷左手拿著 3 張深灰色與 2 張淺灰色的牌疊在一起的情形。以下是她每次洗牌的三個步驟：步驟一：用右手拿出疊在最下面的 2 張牌，如圖(十七)。步驟二：將右手拿的 2 張牌依序交錯插入左手拿的 3 張牌之間，如圖(十八)。步驟三：用左手拿著顏色順序已改變的 5 張牌，如圖(十九)。. 若依上述三個步驟洗牌，從圖(十六)的情形開始洗牌若干次後，其顏色順序會再次與圖(十六)相同，則洗牌次數可能為下列何者？ (A) 18. *(B) 20. (C) 25. (D) 27. 說明：此題主要在評量考生能否融合「符號表徵」及「尋找數形關係」，並將相關數學知識應用於問題情境中。首先使用兩種不同符號代表題目中的兩種色牌，進而由洗牌步驟形成色牌順序變換的規則。再由規則尋找色牌順序與洗牌次數之間的規律，即可回答此題。. 29.

(38) 四、尺規作圖文本閱讀理解評量架構. 李建霖 (2013 年 12 月) 的研究將尺規作圖的類型分成三類，如表 2-3-1。為了探究國中生在這三種類型尺規作圖閱讀理解的特徵，將尺規作圖歷程分解成「物件」、「動作」、與「產物」，並利用 PISA 閱讀素養的三個歷程（擷取與辨識、解釋與統整、反思與評鑑）作為閱讀理解的三個層次，進而形成尺規作圖閱讀理解評量架構，如表 2-3-2。. 表 2-3-1. 尺規作圖的類型. 基本尺規作圖. 初階應用尺規作圖. 進階應用尺規作圖. 包含複製已知的線段、從數學情境轉換到尺規從數學情境轉換到尺規圓、角、三角形、中垂線作圖的過程中，僅使用到作圖的過程中，不僅使用作圖（平分線段）、角平前述的基本尺規作圖，且到前述的基本尺規作分作圖、過線外一點作線不需利用題目未提及的平行線與垂直線、過線上數學概念之定義與性一點作垂直線。質，就能達成題目需求之尺規作圖題。. 表 2-3-2. 圖，還需利用題目未提及的數學概念之定義與性質，才能達成題目需求之尺規作圖題。. 尺規作圖閱讀理解評量架構尺規歷程. 理解層次. 物件. 能辨識文本裡尺規擷取與辨識. 解釋與統整. 反思與評鑑. 動作能配對文本中尺規. 產物能辨識文本裡尺規. 步驟中，使用的物件步驟中，文字和圖形步驟中，作出的產物符號、文字的訊息。之間的對應關係。符號、文字的訊息。比較兩個使用不同能詮釋出尺規作圖過濾尺規作圖步驟物件的圖文關係，判步驟中，未提及的新產生的新訊息，掌握斷其合理性。訊息。產物的關鍵資訊。面對新的尺規作圖題，能利用原尺規作圖的解題原則，做合適的修正，進行問題. 能整合原本的尺規作圖法，和另一個不熟悉的尺規作圖法，比較出兩者的相. 能透過精確的推論過程，證明尺規作圖的正確性。並且面對另一個不熟悉的尺. 解決。. 同處及相異處。. 規作圖，推論出作圖的目的。. 30.

(39) 陳雅華 (2008)以 NAEP 的三個數學能力因子為評量架構，評量學生在自行閱讀不同編排順序之勾股定理文本後的學習表現，其評量上較著重於學習後的遷移狀況，同時在勾股定理單元的題目設計上較側重於計算應用，但本研究除了評量學生閱讀理解尺規作圖與說理文本後的學習延伸外，還需評量學生對文本內容的理解。李建霖 (2013 年 12 月) 研究設計之評量架構主要是瞭解學生閱讀理解尺規作圖文本的歷程，評量學生對物件、動作、產物的擷取檢索、統整解釋、與反思評鑑，但本研究除評量學生是否理解尺規作圖的歷程外，尚會評量學生說明其作圖歷程理由的能力。綜合上述理由，研究者將以 PISA 為主要評量設計架構，由文獻探討中可發現 PISA 閱讀素養的三個歷程（擷取與檢索、統整與解釋、反思與評鑑）中，當需要使用文本外之相關知識時，均屬於「反思與評鑑」，但在閱讀數學文本中時，有很多的內容訊息必須不斷連結到既有的先備知識才能加以判斷理解，而受限文本內容的篇幅有限，不可能將尺規作圖單元內所有知識訊息均同時呈現與單一文本中，故依 PISA 閱讀素養評量架構，數學文本的閱讀理解都將劃分為「反思與評鑑」。再考量 PISA 的數學素養以能力為核心，將數學能力分成「再製」、「連結」、與「反思」，所以研究者結合 PISA 的閱讀素養與數學素養，形成新的評量架構，冀望透過此架構評量學生閱讀「尺規作圖與說理文本」後的理解表現。. 31.

(40) 32.

(41) 第三章. 研究方法. 本章旨在說明本研究的研究設計、研究對象與背景、研究工具、資料分析及處理、研究流程等，本章共分成五小節說明本研究之研究方法。. 第一節. 研究設計. 因我國參與 PISA 評比，及十二年國民基本教育推行的影響下，國中小的教育更重視培養學生的「自學能力」與「思考能力」。柯華葳 (2006)提出「閱讀力」就是一種「自學能力」與「思考能力」，所以研究者發現期許「學生透過閱讀自行學習」的紛圍漸濃。數學主題的難易差異很大，學生在「幾何」主題的學習表現不盡理想，尤其「尺規作圖」與「幾何證明」這兩主題(譚克平與陳宥良, 2009)，面對這樣艱澀的主題，是否可以自行閱讀文本內容和相關問題就能邊讀邊寫的完成相關學習，其對主題瞭解的層次又有多深呢？因此本研究安排閱讀「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」與「直述式說明先」四種不同類型的文本的實驗組（依序以 A、B、C、D 組表示），讓四組實驗組學生均做「尺規作圖先備知識測驗卷」與「尺規作圖閱讀理解評量測驗卷」，以瞭解學生的起點行為與數學能力層次，並比較四種不同版本之間是否有顯著性的差異。同時藉由半結構晤談更深入瞭解學生個體在閱讀理解的思考推理歷程，及閱讀過程中使用的策略和對不同類型文本的喜好。. 33.

(42) 1. 2. 3. 4.. 1. 2. 3.. 實驗操作閱讀「問答式作圖先」文本（A 組）閱讀「問答式說明先」文本（B 組）閱讀「直述式作圖先」文本（C 組）閱讀「直述式說明先」文本（D 組）. 數學能力層次擷取再製解釋連結反思延伸. 1. 2.. 外. 內. 顯. 隱. 結. 思. 果. 考. 閱讀理解歷程閱讀困難文本偏好. 晤. 談. 法. 問卷調查圖 3-1-1. 尺規作圖與說理文本閱讀理解的研究架構圖. 本研究第一階段，擬先探討「作圖先」及「說明先」兩種不同理念為出發點的文獻，以及尺規作圖實徵性研究和閱讀理解等相關文獻，搭配參閱目前仿間國中數學領域教科書發行的三個版本在「尺規作圖」的內容，由研究者自行設計編排「尺規作圖」之「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」與「直述式說明先」四種不同類型的文本，經由指導教授的指導及校內 2 位國文科專任教師（教學年資 10 年以上）審閱，以提高文本內容的正確性及用字遣詞的流暢性 34.

(43) 與合宜性，期能減少其他因素干擾研究實驗，以符合本研究之研究目標。另外，研究者亦設計與文本內容相關的「尺規作圖先備知識測驗卷（預試版）」與「尺規作圖閱讀理解評量測驗卷（預試版）」，在初步完成測驗卷後，找 1 班已學過的九年級進行試測，將所蒐集的資料統整，予以修正題目。並在與同儕的討論及專家學者協助下分析題目的合宜性，進一步修正完成尺規作圖之「先備知識測驗卷」與「閱讀理解評量測驗卷」，且期能夠提高測驗的內在效度。本研究的第二階段，使用最後修正完成的「尺規作圖」之「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」與「直述式說明先」四種不同類型的文本，及尺規作圖之「先備知識測驗卷」與「閱讀理解評量測驗卷」進行實驗活動，實驗時間均為兩節課。第一節課，所有受試學生均先接受研究者設計之「尺規作圖先備知識測驗卷」作為「先備知識成績」，測驗時間為 25 分鐘。因為實驗班級需再分成 4 組分別閱讀「尺規作圖」之「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」與「直述式說明先」四種不同類型的文本，所以研究者先將受測八年級男學生座號（1～20 號）均除以 4，受測八年級女學生座號（31～45 號）均減 30 後再除以 4，所得餘數相同者分成同一組，再透過八年級上學期三次數學段考成績平均發現所得餘數為 1 的同學共有 141 人，平均分數為 53 分；所得餘數為 2 的同學共有 131 人，平均分數為 50 分；所得餘數為 3 的同學共有 121 人，平均分數為 53 分；所得餘數為 0 的同學共有 112 人，平均分數為 51 分。為檢驗「處於不同分組的學生，其數學段考平均成績有所不同」而進行獨立樣本單因子變異數分析（Anova），其 Levene 的變異數同質性檢定並未達顯著（Levene=.136，p=.938），表示這四個分組的離散情形並無明顯差別，整體考驗結果，處於不同分組的學生，其數學段考平均成績不同亦未達顯著（F(3,501)=.410，p=.746），表示學生的數學段考成績不因分組而有所差異。因此研究者安排座號所得餘數為 1 的同學閱讀「問答式作圖先」的文本（A 組）、座號所得餘數為 2 的同學閱讀「問答式說明先」的文本（B 組）、座號所得餘數為 3 的同學閱讀「直述式作圖先」的文本（C 組）、. 35.

(44) 座號所得餘數為 0 的同學閱讀「直述式說明先」的文本（D 組），讓學生藉由文本進行「尺規作圖」之閱讀理解自學活動（教師不介入教學），同時讓學生接受研究者設計之「尺規作圖閱讀理解評量測驗卷」作為「評量測驗成績」，實驗時間預計為 35 分鐘，若學生來不及完成，得延長至完成測驗為止。研究者將以學生問卷成績作為評估學生在閱讀理解「幾何尺規作圖與說理文本」之三個數學能力層次表現之依據。本研究第三個階段，在實驗活動結束後，依據學生在實驗活動時獲得之「先備知識成績」及「評量測驗成績」，在閱讀四個不同類型文本群體中，找出 2 種不同「成績表現」的學生各 2 人（男、女生各 1 人），共 16 位個案學生以半結構式晤談的方式蒐集資料，探究不同「成績表現」的學生數學能力表現內隱思考歷程及閱讀理解歷程策略的使用。另外，讓個案學生閱讀除實驗活動時的另外三個類型的文本，並對這三個類型的文本進行分類比較，瞭解個案學生如何區分不同內容順序（作圖先、說明先）及不同敘述方式（問答式、直述式）的文本，並讓個案學生對不同類型的文本深入分析或了解，進一步瞭解個案學生如何看待不同類型的文本。最後整合質與量的分析結果，以瞭解「作圖先」及「說明先」的文本對於「尺規作圖」之數學能力層次與閱讀理解歷程的影響。. 第二節. 研究對象與背景. 一、研究對象學校. 研究者目前服務於桃園縣某鄉鎮的一所公立國中，該國中各年級約有 20 班，全校學生人數約二千人，教職員工人數約一百五十人，屬於地區型大型學校。本校七、八年級各設有一個體育專班，主要培養訓練有棒球、田徑、羽球專長的學生，其餘學生均於入學時，按入學考試分數高低採 S 型常態編班。本校每個年級 36.

(45) 均有 10 多位輕度、中度障礙學生融合在一般教室上課，部分這些學生會在國文、英文、數學課程抽離到多元學習中心進行小班教學。本校每個年級亦約有 10 位學生通過桃園縣數理資優鑑定方案，這些學生會利用假日外聘專門講師另行授課，並不影響平日學習。本校教師大多教學認真，並且致力於班級經營，教學方式大多採取傳統教學，也很重視學生的段考成績表現。本校學生大多來自中產階級家庭，家長職業大多為工廠勞工或一般上班族。學校雖然重視學業成績表現，但是校內仍規劃多種競賽活動，如：足壘球賽、排球賽、籃球賽、英語歌謠比賽、直笛比賽等，鼓勵學生進行多元學習，並探索自己的興趣及性向。. 二、研究對象. （一）實驗活動施測研究對象本研究對象主要是研究者任教學校的八年級學生，施測時程為「線對稱圖形授課完畢後，尺規作圖授課開始前」，基於部分教師在教學上採取「線對稱圖形與尺規作圖同步進行」的教學方式，故有 5 個班級不適用於本研究施測對象，其餘 16 個班級均配合進行實驗研究。選取的 16 個班級均進行「尺規作圖」之「問答式作圖先」、「問答式說明先」、「直述式作圖先」、「直述式說明先」四種不同類型的文本閱讀理解（不介入教學），與「尺規作圖先備知識測驗」、「尺規作圖閱讀理解評量測驗」。研究者所任教之國中，八年級共有 21 個普通班級，每個班級學生約 30 人（採取亂數異質編班）。. （二）晤談對象配合學生在實驗活動時獲得之「先備知識測驗成績」及「閱讀理解評量測驗成績」，將所得分數在前 27%的學生（即 PR 值≧73）稱為「高分組」、所得分數在後 27%的學生（即 PR 值≦27）稱為「低分組」，將學生在實驗活動獲得的成績 37.