第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力值受試者的分數乘除法概念 ISM 圖之比較
為瞭解不同能力值學童的個別化概念結構之差異所在，研究者以全體受試者 能力值的平均數之上下一個標準差做為臨界點，將受試者依其能力值區分為低、
中、高三組，為了瞭解不同能力值受試者其概念結構是否有差異，因此在三組受 試者中各自隨機抽取一位受試者，即 A、B、C 三生，並以此三生做為比較不同 能力值學童的分數乘除法概念 ISM 圖之例子，其作答情形如表 4-1 所示，再分別 依分數乘法概念及分數除法概念作比較。
表 4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形
受試者代號 組別 能力值 答對題數
A 低能力阻 θ =-2.031 21 題
B 中能力阻 θ =0.064 49 題
C 高能力阻 θ =1.023 53 題
壹、分數乘法概念 ISM 圖
根據 SAS/IML 矩陣運算結果，低能力( A 受試者)、中能力 (B 受試者) 及高 能力 (C 受試者) 三位受試者的分數乘法概念模糊關係矩陣如附錄三所示，而 A、
B、C 三位受試者的模糊關係矩陣以α =.55進行截矩陣後，其概念屬性截矩陣如 表 4-2 所示。根據 A、B、C 三位受試者之概念屬性截矩陣，繪製其概念 ISM 圖，
如圖 4-1 至圖 4-3 所示。
簡化
根據圖 4-1 至圖 4-3，A、B、C 三生之分數乘法概念 ISM 圖，可歸納其異同 臚列於下：
一、 A 受試者的概念階層只有 4 層，B、C 受試者的概念階層則有 5 層。
二、 A 受試者的概念 1 (約分計算) 、概念 5 (被乘數是真分數或假分數) 、概念 6 (被乘數是帶分數) 、概念 7 (乘數是整數) 、概念 8 (乘數是真分數或假分 數) 、概念 9 (乘數是帶分數) 皆位於第一層，顯示低能力受試者對於真分 數、假分數及帶分數的乘法計算及約分的計算較精熟，至於概念 3 (兩步驟 計算) 及概念 4 (多步驟計算) 則較不精熟。
三、 B 受試者和 C 受試者雖然都有 5 層，但其概念 8 (乘數是真分數或假分數) 和 概念 4 (多步驟計算) 的位置卻不相同，各概念間的連結也不盡相同。
四、 B 受試者和 C 受試者都是對概念 3 (兩步驟計算) 最為精熟，且對於概念 4 (多步驟計算) 、概念 6 (被乘數是帶分數) 、概念 9 (乘數是帶分數) 較為不 精熟，顯示其對於帶分數的乘法計算較不精熟。
五、 概念 9 (乘數是帶分數) 位於 A 受試者的第一層，但卻位於 B、C 受試者的 最高層；概念 3 (兩步驟計算) 位於 A 受試者的最高層，但卻位於 B、C 受 試者的第一層，顯示低能力受試者和中、高能力受試者，對於概念 3 和概 念 9 在其 ISM 圖中有不同的精熟程度。根據附錄一分數乘法測驗得到，概 念 3 的先備知識為分數的意義 (兩個整數相除的結果) ，由此可得知低能 力受試者，對此概念較不精熟。
六、 綜上所述，不同能力的 A、B、C 三位受試者，其分數乘法概念的 ISM 圖 亦有所不同，低能力受試者對於分數的意義、兩步驟計算及多步驟計算較 不精熟；中、高能力受試者則對於帶分數的乘法計算較不精熟，故教學者 在實施分數乘法教學的個別化輔導時，可以參考個別學習者的分數乘法概 念 ISM 圖來進行。
貳、分數除法概念 ISM 圖
根據 SAS/IML 矩陣運算結果，低能力( A 受試者)、中能力 (B 受試者) 及高 能力 (C 受試者) 受試者的分數除法概念模糊關係矩陣如附錄四所示，A、B、C 三位受試者的模糊關係矩陣以α =.55進行截矩陣後，其概念屬性截矩陣如表 4-3 所示。根據 A、B、C 三位受試者概念屬性截矩陣，繪製其概念 ISM 圖，如圖 4-4 至圖 4-6 所示。
表 4-3 A、B、C 三受試者之分數除法概念屬性矩陣(α =.55)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
A1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 A3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 A6 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 A7 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 A8 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 A9 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 A
受 試 者
A10 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
A1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 A2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 A6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A7 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 A8 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 A9 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 B
受 試 者
A10 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
表 4-3 A、B、C 三受試者之分數除法概念屬性矩陣(α=.55) (續)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
A1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 A2 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 A3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 A6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A7 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 A8 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 A9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C
受 試 者
A10 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0
簡化
圖 4-4 A 生之分數除法概念 ISM 圖 (低能力θ =-2.031 α =.55) 第四層
第三層
第二層 第一層
通過率
.350~.394 .193~.208
.407~.438 .477
簡化
間的連結也不盡相同。
四、 B 受試者和 C 受試者都是對概念 3 (兩步驟計算) 和概念 10 (除數是整數) 最為精熟，且對於概念 4 (多步驟計算) 、概念 6 (被除數是帶分數) 、概念 9 (除數是帶分數) 則較為不精熟，顯示其對於帶分數的除法計算及多步驟 計算較不精熟。
五、 概念 4 (多步驟計算) 皆位於 A、B、C 受試者的最高層，顯示此概念對於 各受試者皆較為不精熟。根據附錄二分數除法測驗，多步驟計算的題目中 共有 3 個「÷」號及兩組「( )」，或許較容易造成學生在計算上的混淆及 錯誤。
六、 概念 6 (被除數是帶分數) 位於 A 受試者的第一層，但卻位於 B、C 受試者 的較高層；概念 3 (兩步驟計算) 位於 A 受試者的最高層，但卻位於 B、C 受試者的第一層，顯示低能力受試者和中、高能力受試者，對於概念 3 和 概念 6 在其 ISM 圖中有不同的精熟程度。根據附錄二分數除法測驗，概念 3 的先備知識為分數的意義 (兩個整數相除的結果) ，由此可得知低能力受 試者，對此概念較不精熟。
七、 綜上所述，不同能力的 A、B、C 三位受試者，其分數除法概念的 ISM 圖 亦有所不同，低能力受試者對於分數的意義較不精熟；對於所有受試者，
多步驟計算皆較不精熟，故教學者在實施分數除法教學的個別化輔導時，
可以參考個別學習者的分數除法概念 ISM 圖來進行。