國小六年級學童分數乘除法的模糊詮釋結構概念分析

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：林原宏 博士

國小六年級學童分數乘除法的

模糊詮釋結構概念分析

研究生：陳建宏 撰

中華民國 九十七 年 八 月

摘要

本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數乘除 法概念階層結構。本研究以自編的「分數乘除法測驗」為研究工具，針對 457 名 六年級學童進行施測，探討其個人化的分數乘除法概念階層結構，圖繪出低、中、 高能力者的分數乘除法概念階層結構圖，分析比較其特徵的異同，並檢定不同能 力值學童的概念結構圖與專家的概念結構圖間差異性，研究結果如下： 一、模糊取向的詮釋結構模式分析法，可有效分析個人化的分數乘除法概念結構。 二、不同能力值的受試者，其分數乘除法概念結構圖有明顯的差異存在。 三、試題內概念屬性的結構圖，因學童的能力值不同而有明顯不同。 四、個別化的概念階層結構圖，其概念間的連結指向關係，可提供教學者分組教 學或補救教學的參考。 五、在分數乘除法測驗中，低能力受試者對於分數的意義 (兩個整數相除的結果) 較不精熟，而高能力受試者則對於帶分數的乘除法計算較不精熟。 六、低、中、高能力組的分數乘法 ISM 圖和專家的 ISM 圖之相似性係數皆有顯 著差異；低、中能力組的分數除法 ISM 圖和專家的 ISM 圖之相似性係數有 顯著差異，但高能力組的分數除法 ISM 圖和專家的 ISM 圖之相似性係數沒 有差異。 七、低、中、高不同能力組間的分數乘除法 ISM 圖之相似性係數皆達統計上的顯 著差異。 本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解學童的分數乘除法知識結構，以及 實施補救教學或分組教學之參考。最後，根據研究心得，研究者提出對未來研究 的相關建議。 關鍵字：分數乘法、分數除法、詮釋結構模式、試題反應理論、模糊理論

Abstract

The purpose of this study is to analyze the individualized hierarchical structures of fraction multiplication and fraction division concepts for sixth graders in Taiwan by using the fuzzy approach of interpretive structural model (FAISM). The researcher first tested 457 sixth graders of elementary schools by using self-designed fraction multiplication and fraction division concepts test and analyzed their individualized hierarchical structures of fraction multiplication and fraction division concepts. Secondly, the researcher used FAISM software to get the graphs of individualized hierarchical structures of fraction multiplication and fraction division concepts of low, middle and high-ability examinees and compared qualittively about their differences. Finally, the researcher explored the differences of ISM graphs among examinees with different abilities and those of experts.

Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1. The FAISM was a feasible way for analyzing the concepts structures of fraction

multiplication and fraction division.

2. The ISM graphs of examinees varied based on different abilities.

3. The concept structures in each item varied greatly with different-ability examinees.

4. According to individualized ISM graphs of fraction multiplication and fraction division concepts, the links among concepts could be as references for group teaching and remedial instruction.

5. On the fraction multiplication and fraction division test, the low-ability examinees are not master of the meaning of fraction ( the result of a division operation ) , and the high-ability examinees are not master of the multiplication and division of mixed number.

6. The similarity indices of fraction multiplication ISM graphs between different abilities level are significantly different. The similarity indices of fraction division ISM graphs between low-ability examiness and experts are significantly different as well as between middle-ability examinees and expert, but the similarity indices of fraction division ISM graphs between high-ability examiness and experts are not significantly different.

7. Based on the referenced standard of experts’ concept structures, the fraction multiplication and fraction division ISM graphs of examinees with different-ability are quantitatively different.

The findings of this study should be helpful for understanding the learning process of fraction multiplication and fraction division concepts and as references for

remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.

Keywords: Fraction multiplication, Fraction division, Interpretive structural modeling, Item response theory, Fuzzy theory.

目 錄

第一章 緒論

………1 第一節 研究動機...………...1 第二節 研究目的...………...3 第三節 名詞釋義...………...3

第二章 文獻探討

………..5 第一節 分數的意義………..5 第二節 分數乘除法概念研究...……….……..6 第三節 試題反應理論………11 第四節 模糊理論...……….14 第五節 模糊取向的詮釋結構模式.………...16 第六節 知識結構測量理論.………...22

第三章 研究方法與設計

……….39 第一節 研究架構...……….39 第二節 研究工具...……….40 第三節 研究對象...……….49 第四節 資料分析...……….49

第四章 研究結果與討論

……….59 第一節 不同能力值受試者的分數乘除法概念 ISM 圖之比較………...59 第二節 分析不同能力值受試者在試題內概念屬性的 ISM 圖之異同……...67 第三節 不同能力組間和專家的分數乘除法概念 ISM 圖之量化比較………82

第五章 結論與建議

………...87 第一節 結論...……….87 第二節 研究限制..………..88 第三節 建議...……….89

參考文獻

………...………90 壹、中文部份...………90 貳、日文部份...………95 叁、英文部份...………95

附錄

………...………99 附錄一 分數乘法測驗………..99 附錄二 分數除法測驗..………..100 附錄三 受試者的分數乘法測驗模糊關係矩陣..………..101 附錄四 受試者的分數除法測驗模糊關係矩陣...……….102 附錄五 計算概念 ISM 圖相似性係數之 SAS/IML 原始碼...………103

表目錄

表 2-1 分數的年級能力指標………...6 表 2-2 分數乘除法的錯誤類型………...8 表 2-3 試題反應理論常用的模式……….13 表 2-4 網路一與網路二之 PFC 算法……….29 表 2-5 網路一、網路二及網路三間之 GTD 指數算法………30 表 3-1 分數乘法概念編號及內容……….40 表 3-2 分數除法概念編號及內容……….40 表 3-3 分數乘法試題之概念屬性矩陣……….41 表 3-4 分數除法測驗之概念屬性矩陣……….42 表 3-5 分數乘法預試資料之難度鑑別度分析表……….44 表 3-6 分數除法預試資料之難度鑑別度分析表……….45 表 3-7 分數乘法正式施測資料之難度鑑別度分析表……….47 表 3-8 分數除法正式施測資料之難度鑑別度分析表……….48 表 3-9 樣本學校資料一覽表……….49 表 3-10 受試者S₃₄₅與專家的概念屬性矩陣比較………...56 表 4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形……….58 表 4-2 A、B、C 三受試者之分數乘法概念屬性矩陣………59 表 4-3 A、B、C 三受試者之分數除法概念屬性矩陣………62 表 4-4 個人化的分數乘法試題內概念屬性階層結構……….66 表 4-5 個人化的分數除法試題內概念屬性階層結構……….73 表 4-6 分數乘法測驗低、中、高能力組和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定…82 表 4-7 分數乘法測驗不同組別 ISM 圖之相似性係數變異數分析………82

表 4-8 分數乘法測驗不同組別 ISM 圖之相似性係數事後比較……….83

表 4-9 分數除法測驗低、中、高能力組和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定..83 表 4-10 分數除法測驗不同組別 ISM 圖之相似性係數變異數分析……….84

圖目錄

圖 2-1 ISM 圖的繪製………..19 圖 2-2 ISM 圖的簡化………..21 圖 2-3 概念圖計分例子……….25 圖 2-4 距離矩陣與徑路搜尋網路……….28 圖 2-5 網路一、網路二和網路三間的 PFC 和 GTD 指數………29 圖 2-6 5 道數學題目的 Hasse 圖………36 圖 2-7 知識空間K的學習路徑圖……….37 圖 3-1 研究架構圖……….39 圖 3-2 受試者S₃₄₅之分數乘法概念 ISM 圖………..54 圖 3-3 受試者S₃₄₅之分數乘法概念 ISM 圖簡化………..54 圖 4-1 A 生之分數乘法概念 ISM 圖……….60 圖 4-2 B 生之分數乘法概念 ISM 圖……….60 圖 4-3 C 生之分數乘法概念 ISM 圖……….60 圖 4-4 A 生之分數除法概念 ISM 圖………63 圖 4-5 B 生之分數除法概念 ISM 圖…. ………64 圖 4-6 C 生之分數除法概念 ISM 圖……….64

第一章 緒論

概念是一個層次性的結構，居於結構上層者為要領概念 (superordinate concept) ，居於下層者為附屬概念 (subordinate concept) 。D. P. Ausubel 解釋要領 概念就是個人的先備知識，即心理學所指的認知結構，配合學生的認知結構，教 他新的知識，就能使其產生有意義的學習，因此教學者若能掌握個別學生的認知 結構，則有助於其學習的成效。分數乘除法概念為分數四則運算概念的基礎，深 深影響往後比率、機率等概念的學習，本研究欲探討學生個別化分數乘除法概念 結構，以提供教學者進行教學或補救教學之參考。本研究之動機、目的及對本研 究所提及相關名詞之釋義分述如下。

第一節 研究動機

教學評量是教學情境中相當重要的一環，不僅可以發現學生是否學習困難， 也可提供教師立即的教學回饋，以改進教學方式，讓學生得到更高的學習成效。 研究並瞭解學生的認知結構，配合之以設計教學，從而產生有效的學習，就是教 育心理學的任務 (Ausubel, 1968) 。每一位學生皆有其不同的概念結構，傳統紙 筆測驗較難測出且呈現學生的概念結構，而個別晤談則需費時費力才能進一步了 解學生的思考過程，為了能依照個別學生的概念結構給予適性的教學輔導，使其 產生有意義的學習，因而量化且個人化的概念階層結構圖有其重要性。 在心理計量領域的研究方面，如何適切地表達個人的概念結構特性，一直是 方 法 論 探 討 的 主 題 ( 林 原 宏 ， 2004) 。 Warfield (1976) 提 出 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, ISM) ， 可 供 研 究 者 利 用 其 之 階 層 有 向 圖 (hierarchical digraph) 理論，提出階層化的結構教學設計。佐藤隆博 (1987) 舉出 許多 ISM 分析法在教育領域中課程與學習的應用實例。有關 ISM 分析法的實證

研究，許天維、林原宏 (1994) 認為 ISM 分析法主要功能是「建立整體概念元素 之間的關係，即經由部份元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係」。 彭淑珍 (2004) 將特殊學校高職部職業教育課程中的「洗車」及「廁所清潔」兩 職種作群集課程規劃，並運用「結構化教學設計」將這群集課程中的職業認知、 職業技能及職業態度三項擬出結構化課程，最後擬出動態評量方式指出學習者未 達成學習目標之癥結所在。黃敬書 (2007) 透過問卷調查方式進行彙整，與經由 ISM 分析，建立起阻礙企業實行產品服務系統之維修與再製造各元素間的結構模式。 但 ISM 分析法礙於其元素關係只限於二元關係，並不完全適用於描述學習者知識 結構中概念間的關係。而林原宏 (2005) 提出模糊取向的詮釋結構模式，則可改 進傳統 ISM 分析法受限於二元資料的限制，其方法論及實例可提供心理計量或課 程單元等有關複雜元素的系統化決定。 分數乘除法概念的學習是國民小學課程相當重要的一環，因為分數乘除法概 念為分數乘除法文字題及分數四則運算概念的基礎。而分數四則運算概念又會影 響到往後比率、比值、百分率、機率等概念的學習，因此分數乘除概念的重要性 不容我們所忽視。綜觀國內外相關文獻，國小學生在分數乘除法概念上產生相當 大的困難，但是大部分的研究方法卻以傳統紙筆測驗和個別晤談為主 (林碧珍， 1990；陳靜姿，1997；彭海燕，1998；湯錦雲，2002；詹婉華，2003； Hunting & Sharply, 1988; Piaget, Inhelder & Szemunska, 1960) 。因此，量化進行學童分數 乘除法概念的研究，以提供教學或輔導的參考，實是必要與可能的議題。 本研究應用林原宏 (2005) 所發展的模糊詮釋結構模式，進行國小六年級學 童的分數乘除法概念階層結構探討，根據個別受試者的 ISM 圖，比較不同能力值 受試者的分數乘除概念結構圖之差異、試題內概念結構圖差異，最後並比較不同 能力組和專家 (expert) 概念結構圖的相似性係數差異，冀能依照學生的概念結構 給予適性輔導，並引導學生朝專家的概念結構發展。

第二節 研究目的

基於以上敘述，本研究擬就分數乘除法的相關概念屬性 (concept attribute) ， 以國小六年級學童為研究對象，研究者編製分數乘除法測驗為工具，並以模糊取 向的詮釋結構模式進行施測所得資料之分析，以期呈現分數乘除法的概念結構。 本研究之目的臚列如下： 一、 利用模糊詮釋結構模式，探討學童的分數乘除法概念結構。 二、 比較低、中、高不同能力值學童，其分數乘除法概念結構圖之差異。 三、 比較低、中、高不同能力值學童，其試題內分數乘除法概念屬性結構圖的異 同。 四、 比較低、中、高不同能力組間，其分數乘除法概念結構圖和專家的概念結構 圖的相似性係數差異。

第三節 名詞釋義

本節內容係將本研究所使用的重要概念及變項釋義如下：

一、 試題反應理論

試題反應理論 (item response theory, IRT) 又稱作潛在特質理論 (latent trait theory, LTT) ，是假定個體在某一試題上的表現，可由一個或一組因素來表示， 這種因素稱為潛在特質 (latent trait) 或能力值 (ability) 。試題反應理論是根據受 試者在試題上的實際表現，來分析試題的難度、鑑別度和猜測度等測驗指標和受 試者個人潛在特質關係的一種理論。

二、模糊理論

活中，對於問題作判斷，並非都是百分之百的肯定它的對錯，無法符合傳統的二 元邏輯觀念。模糊理論主要利用隸屬函數 (membership function) 的觀念，賦予某

一集合一個介於 0 與 1 之間的數值，表示其所屬程度，進而實現定量刻畫不確定性問

題之模糊性質。此方法可改善古典集合理論 (classic set theory) 用二元邏輯來描 述個體心理運作多元性的不適切情形。

三、詮釋結構模式

詮釋結構模式 (interpretive structural model, ISM) 是由 Warfield (1976) 所提 出，它原本是社會工學的一種彙整訊息的建模方法，只適用於二元資料的分析， 其方法是根據元素之間的關係矩陣來分析元素之間的關聯順序，並將其轉變為具 體化及全面化的關聯結構階層圖。

四、模糊取向的詮釋結構模式分析

此分析法由林原宏 (2005) 提出，此分析方法的優點在於應用模糊理論的截 矩陣及察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) ，可改進傳 統受限於二元資料的詮釋結構模式，其應用軟體 AISM 程式可以繪製出受試者在 學習某個領域後所習得之概念結構圖。

五、專家

精於某種學識或技術的人稱之為專家，但本研究中所指專家為答對所有分數 乘法試題及分數除法試題的受試者。

第二章 文獻探討

本章根據本研究所涉及的相關理論進行探討，共分六節。第一節：分數的意 義，第二節：分數乘除法概念研究，第三節：模糊理論，第四節：模糊取向的詮 釋結構模式，第五節：試題反應理論，第六節：知識結構測量理論，分述如下：

第一節 分數的意義

分數概念在不同的情境中有不同的意義，它具有多重意義的特性。Kieren (1976) 提出對分數的解釋為部份/整體 (part-whole) 、比值、商、運算 (operator) 和度量 (measure) 五個部份。Dickson, Brown and Gibson (1984) 將分數的意義分 成全部區域的子區域 (sub-area of whole region) 、子集合和母集合的比較、數線 上兩個整數間的一點、除法運算的結果及二組集合或二個度量的大小比較的方法 五個部份。林碧珍 (1990) 將分數的意義分成全部區域的部份區域、集合中的部 份集合、數線上的一個數值、兩個整數相除的結果和二個集合或二個度量相比的 結果五類。教育部 (2004) 指出分數最核心的意涵為「除的意涵」，並將其意義歸 納為平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵和部分/全體的意涵四種。分數的形式 是學生首次碰到兩整數並置的約定，分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，但整數 計算的經驗，有時反而會造成分數學習的錯誤。 綜上所述，分數於許多情境中應用到，可見分數的學習對促進兒童數學觀念 相當重要。分數以除為核心意涵，再加上各種應用情境而具有豐富的意義，更是 造成學生學習困難的因素。

第二節 分數乘除法概念研究

本節將依序介紹九年一貫課程中分數教材的分析，說明分數的學習具有次序 性，其次綜合國內、外的研究，整理出分數乘除法的錯誤類型及其他相關文獻。

壹、九年一貫課程中分數教材分析

九年一貫課程綱要為現行國民義務教育中各學科領域教材的編輯依據。其中 數學領域分成數與量、幾何、代數、機率與統計和連結五大主題。國小課程中的 數與量範圍較大，因此分為整數、量與實測、有理數和估算等子題，其中分數即 是包含於有理數之中。茲將九年一貫數學課程綱要中，有關分數的年級能力指標 列於下表 2-1。 表 2-1 分數的年級能力指標 編碼 能力指標 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同 單位分數的大小。 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加 減問題。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換， 並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換。 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解 最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 資料來源：教育部 (2004) 九年一貫數學課程能力指標分年細目詮釋表 由表 2-1 中可知國小的分數課程設計從二年級開始，該年級學生要認識分母

在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小；三年級學生要在問題情境 中，比較同分母的分數大小並進行加減；四年級學生要能認識真分數、假分數與 帶分數，並熟悉假分數和帶分數的互換，也要理解等值分數，進行簡單異分母分 數的比較及分數和小數的互換；五年級學生必須熟悉約分、擴分及通分，做異分 母分數的比較及加減，並理解乘數為分數的意義及計算方法；六年級學生必須理 解最大公因數、最小公倍數的計算，並能將分數約成最簡分數，另外也必須理解 除數為分數的意義及計算方法。 綜上所述，分數的學習依照其難易度有其順序性，從同分母的分數比較加 減，到異分母的分數比較加減，進而分數的乘除計算。先前概念的學習完整與否， 往往會影響到後面的概念學習，本研究透過概念階層結構的測量，及時給予學生 補救教學，以利後續學習。

貳、分數乘除法錯誤類型之研究

有關分數的研究，國內外皆有許多文獻，本段將僅針對分數乘除法做深入探 討並歸納出分數乘除法的錯誤類型，茲將國內、外研究所發現的分數乘除法錯誤 類型整理成下表 2-2。

表 2-2 分數乘除法的錯誤類型 研究者(年代) 發現的分數乘除法錯誤類型 Painter (1989) 分數乘法錯誤類型： 1. 先通分後再計算。 2. 將第二個分數顛倒後再計算。 3. 交叉相乘而得到分子與分母。 4. 分母相乘，分子卻做加法計算。 5. 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分 6. 帶分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。 7. 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法計算。 分數除法錯誤類型： 1. 計算方法錯誤 (用乘法計算) 。 2. 計算錯誤。 3. 不瞭解計算步驟。 (被除數倒置、被除數及除數都倒置、 加分子、乘分母) 。 4. 約分時發生錯誤 (分母相約分、分子相約分) 。 5. 分母不變，分子直接做除法計算。 6. 帶分數除以整數時，只做整數的計算。 7. 帶分數除以分數時，整數不變，只處理分數的部分。 8. 未求出除數的倒數，而直接做乘法計算。 9. 分母不變，分子相減。 劉天民 (1993) 1. 帶分數化成假分數的錯誤。 2. 約分的錯誤 3. 除法改為乘法，除數未倒置的錯誤。 湯錦雲 (2002) 整數乘分數的錯誤類型： 1. 乘數的整數部份用乘法，真分數部份用加法。 2. 將被乘數分別成乘上乘數的整數、分子、分母成為答案 的 整數、分子、分母。 3. 被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不 相乘。 4. 只做真分數部份的乘法，整數部份則不相乘。 5. 乘法用加法算則計算。 6. 帶分數化成假分數的錯誤。 7. 假分數化成帶分數的錯誤。 8. 計算錯誤。

表 2-2 分數乘除法的錯誤類型 (續) 研究者(年代) 發現的分數乘除法錯誤類型 李浩然 (2003) 1. 分數的乘法運算過程的錯誤。 2. 分數的除法運算過程的錯誤。 3. 計算上的錯誤。 4. 分數乘法文字情境題的錯誤。 5. 分數除法文字情境題的錯誤。 洪素敏 (2004) 1. 等值分數的求法和分數乘法混淆。 由上可知，分數乘除法的學習過程中存在許多類型的錯誤，教學者於教學過 程中，應適時提醒學生，以期提高學習效率；而命題過程，則可以這些錯誤類型 為參考，期能更正確的測出學生的分數乘除法概念是否完整。

叁、分數乘除法的相關研究

國內外有關分數的相關研究相當多，但對於分數乘除法的研究則相對較少， 茲將分數乘除法的相關文獻歸納為三類：1.探討分數乘除法文字題相關研究；2. 探討分數乘除法教學或課程的研究；3.學生的分數乘除法個案研究。 ㄧ、探討分數乘除法文字題相關研究 Greer (1987) 指出對於乘除運算的概念化，兒童強烈地受到問題中所牽涉的 「數的類型」 (如分數或小數，尤其是小於 1 的數) 、「問題的情境模式」及「它

們之間的互動」所影響。Hardiman and Mestre (1989) 指出單步驟乘法文字題的解 題表現，和問題的架構及題目的數字類型有關，通常當數字小於 1 的時候，會增 加問題的困難度。Aksu (1997) 探討六年級學生在「分數的意義」、「分數的計算」 及「分數的文字題」的表現情形，發現：1.學生在分數的計算表現最好，在分數 的文字題表現最差。2.學生的分數的加、減、乘、除計算表現沒有差異。3.文字 題中，分數加法測驗最簡單，分數乘法測驗最難。邱裕淵 (2000) 對國小六年級 學生在乘法文字題的解題表現顯示，學生在倍數改變題目的解題表現顯著低於比 率和倍數比較類型的題目，但在部份/全體、倍數比較、比率這三種情境模式的解

題表現則沒有顯著差異。黃月平 (2004) 對國小六年級學童分數乘除文字題表徵 轉換能力與後設認知之研究，發現不同數字形式的被乘數或被除數的擬題能力表 現具有顯著差異，以被乘數或被除數為「整數」時表現最佳，其次為「真分數」、 「帶分數」；不同乘除類型的擬題在擬題能力上並無差異；不同乘除類型的後設 認知能力也沒有差異存在。羅素貞 (2004) 探討四、五年級學童分數乘法情境中哪 些因素的改變，會影響兒童對問題情境的理解，顯示分數的整數倍情境都比整數 的分數倍情境簡單，而單位分數內容物個數的改變，則不影響兒童對問題情境的 理解；在分數的整數倍情境中，答案為假分數或真分數並不會影響四年級兒童對 問題情境的理解，但是倍數的大小則會影響；從佈題方式來看，四、五年級兒童 在整數的分數倍情境中的困難來源，並不是兒童不具備該情境的解題技巧，而 是，當問題陳述沒有明確指出問題中的數量關係時，對於分數啟蒙階段的兒童不 易激發出適當的基模。 綜上所述，面對分數乘除法文字題時，學童強烈受到題目中數的類型、問題 情境及問題陳述情形所影響，教學者可針對這些問題適時給予指導。 二、探討分數乘除法教學或課程的研究 Warrington (1997) 針對一個由五、六年級學生組成的混合班級，以分組討論 的教學方式，引導學生發展自己的策略來解決分數除法的運算。陳姿靜 (2004) 提 出研究者個人進行五年級分數教學的行動研究歷程，並從進行教學的五個分數教 材－等值分數、分數大小比較、分數數線、分數乘以整數、整數乘以分數，提出 具體的教材詮釋與教學處理策略，且說明教師之行動策略，最後並分別對分數教 學、教師教學行動提出建議。罕驕蘭 (2005) 提出其個人在進行六年級分數教學 時的行動研究歷程，透過進行教學的四個「分數」單元，提出具體的教學處理策 略，並從實際的行動策略說明對教師教學的幫助，最後並對分數的教學、教師的 教學行動提出建議。孫德蘭 (2006) 以質的研究法針對三位國小五年級教師進行 訪談與教學觀察，探討國小教師對數學教科書文本的理解、形成的課程決定與實

際的教學行為，做成結論並提出具體建議。 綜上所述，教學者對於分數乘除法的教學都希望能發展出最適合學童的教學 策略，引導學童能正確的解決分數乘除法問題。 三、學生的分數乘除法個案研究 陳瑛 (2004) 探討三位國小六年級數學科低成就學童，透過 Excel 電腦輔助 軟體設計，進行分數乘法的補救教學活動，並觀察學童在活動之後，對分數乘法 概念的改變情形，發現學童在接受 Excel 電腦視覺化表徵視窗環境進行補救教學 後，學童在運思發展上獲得提升，學習態度也有所改變，而且也對數學科的學習 產生了興趣。顏宗斌 (2006) 以個案研究法，用工作單的問題為基礎，研究兩位 國小六年級學生分數除法的表現，依據學生在工作單問題的解題表現進行訪談， 發現圖形表徵能力的差異是影響兩位學生解題表現的關鍵，其中一位學生的理解 層次處於「製造心像」的階段，另一位則已達「擁有心像」與「關注性質」的階 段。 綜上所述，不同的學生在分數乘除法的表現也不盡相同，透過適時的補救教 學能提升學生的學習表現。

第三節 試題反應理論

古典測驗理論 (classical test theory, CTT) 主要是以真實分數模式 (觀察分數 等於真實分數與誤差分數的和) 為理論架構，其理論模式的發展為時甚久，所採 用的計算公式簡單明瞭、淺顯易懂，適用於大多數的教育與心理測驗資料，為目 前測驗學界使用與流通最廣的理論依據。但除了上述優點之外，古典測驗理論卻 有樣本依賴、沒有考慮受試者能力的個別差異、無法和非複本測驗做比較、對信 度的假設建立在複本測量的概念假設上、忽視受試者的試題反應組型等缺點 (余

民寧，1991) ，因此便有試題反應理論的興起。試題反應理論建立在兩個基本概 念上：1.受試者 (examinee) 在某一測驗試題上的表現情形，可由潛在特質或能力 值來加以預測或解釋。2.受試者的表現情形與這組潛在特質間的關係，可透過一 條連續性的遞增函數來加以詮釋，這個函數叫做試題特徵曲線 (item characteristic curve, ICC) 。茲將試題反應理論重點分述如下：

壹、基本假設

試題反應理論具有下列幾項基本假設，唯有在這些假設都成立的前提下，題 目反應模式才能被用來分析所有的測驗資料。 (余民寧，1992a； Hambleton & Swaminathan, 1985) 一、單向度 (unidimensionality) ：試題反應理論中的各種模式假設測驗中的各個 試題都測量到同一種共同的能力或潛在特質；這種單一能力或潛在特質 (因 素) 必須包含在試題裡的假設，便是單向度的假設。適用於含有單一主要因 素測驗資料的試題反應模式，稱作單向度模式；適用於含有多種主要因素的 試題反應模式，便稱為多向度 (multidimensional) 模式，此模式的數學公式 較複雜，因此本研究採單向度模式。 二、局部獨立 (local independence) ：當影響測驗表現的能力相同時，受試者在任 何一試題的反應，在統計學上是獨立的，這意謂涵蓋在試題反應模式裡的能 力因素，才是唯一影響考生在測驗試題上做反應的因素。 三、非速度測驗 (nonspeedness) ：測驗的實施不是在速度限制下完成的；換句話 說，受試者的考試成績不理想，是由於能力不足所引起，而不是由於時間不 夠答完所有試題所致。 四、「知道─正確」假設 (know-correct assumption) ：如果受試者知道某一試題的 正確答案，必然會答對該試題；換句話說，如果答錯某一試題，必然是不知 道該試題的答案。

貳、試題反應模式

試題反應模式是用來描述受試者能力和測驗反應間之關係，依照使用的試題 參數多寡分為單參數邏吉斯模式 (one-parameter logistic model) 、雙參數邏吉斯模 式 (two-parameter logistic model) 及三參數邏吉斯模式 (three-parameter logistic model) ，但都僅適用於二元化的反應資料。說明如表 2-3。 表 2-3 試題反應理論常用的模式 模式 數學函數 符號說明 單參數邏吉 斯模式 ) ( 1 1 ) ( i b i e P _{− −} + = _θ θ i=1,2,3...,n ) (θ i P ：能力值為θ 之受試者答對 第i題的機率。 θ ：受試者的能力值。 i b ：第i題的難易度。 n：測驗的題目數。 雙參數邏吉 斯模式 ) ( 1 1 ) ( i i b a i e P _{− −} + = _θ θ i=1,2,3...,n 將單參邏吉斯模式加入一個試題 鑑別參數 (item discrimination parameter) a 。_i 三參數邏吉 斯模式 ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( i i b a i i i e c c P _{− −} + − + = _θ θ i=1,2,3...,n 將雙參數邏吉斯模式加入猜測參 數 (pseudochance parameter) c 。i 參考資料：余民寧 (1992b) 試題反應理論的介紹 (三) ：試題反應模式及其特性 單參數邏吉斯模式僅有試題難度參數b_i，難度是與能力值同一個量尺單位。 i b 愈大，表示其試題愈難。當受試者能力值小於試題難度時，則其答對該試題的 機率小於.5 ；反之，當受試者能力值大於試題難度時，則其答對該試題的答對機 率大於.5。雙參數邏吉斯模式為將單參數邏吉斯模式加入一個試題鑑別參數ai， 鑑別度越大的試題，代表越能區分受試者的能力高低。三參數邏吉斯模式為將雙 參數邏吉斯模式加入猜測參數c_i，這個參數提供試題特徵曲線一個大於零的下 限，它代表能力很低的受試者答對某試題的機率。

第四節 模糊理論

壹、理論基礎

模糊理論是由Ｌ. A. Zadeh 在 1965 年提出，其提出不同於傳統二元邏輯來定 義事物現象的敘述方法，而改以隸屬度 (membership) 的概念來描述元素對集合 的隸屬關係 (林原宏，2005) 。 模糊理論將元素 x 與集合 A 之間的關係，藉由介於[0,1]之間的隸屬度來描 述，有關隸屬度函數和α截集的定義如下： 【定義 1】令 U 表示全域 (universal set) ，µ

( )

x 表示 0 到 1 之間的函數，則 U 之模糊子集A的隸屬函數記為µ_A

( )

x ，表示元素x隸屬於模糊 集合A的程度。可表示成： X =

[

x1,x2,K,xn

]

( )

( )

( )

n n n x x x x x x A= µ + µ +L+µ 2 2 2 1 1 1 【定義 2】模糊子集A的α截集定義為：

{

( )≥

}

, 0≤ ≤1 = µ α α α x x A _A A的α截集的隸屬度函數µ_Aα

( )

x 為：

( )

1 , ( ) 0 , ( ) A A A x x x α µ α µ µ α ≥  =  < 

貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣

模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 用於表示兩個集合元素間的關係。假設

論域X 有m個元素，論域Y有n個元素，則用來描述X 與Y兩集合元素間關係模

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2

(

)

n n i j m n m m m n

r

r

r

r

r

r

R

r

r

r

r

×













=

=













L

L

M

M

M

M

L

其中r_ij = f_R

(

x,y

)

:X ×Y →

[ ]

0,1 在給定α 值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算，亦即： J I ij r Rα =( α) _× 且       < ≥ = α α α ij ij ij r r r , 0 , 1 ，其中0≤α ≤1

叁、模糊理論的相關研究

模糊理論在教育領域上應用，Law (1996) 探討如何應用模糊綜合評估來評 量學生的學習成就，並應用模糊隸屬函數建立數學教育指標系統。劉昌國 (2007) 應用模糊理論於高中教科書評選，建立改進傳統系統的分析模式。首先使用評鑑 因素重要程度模糊問卷及教科書評鑑表，建立因素模糊相對權重矩陣與模糊評估 矩陣，同時以模糊眾數和模糊評估與傳統方法進行比較分析。經由實際評選發 現，應用模糊評選教科書，比傳統評選教科書來得合理，且在尋求適當的共識時， 模糊統計較能適時反應出人們實際的想法。其他領域上，洪鴻智 (2002) 引入模 糊理論建立多準則颱風損害模型，改善傳統評估模式的不足。陳耀霖 (2004) 應 用模糊理論與分析層級程序法在國小網站評鑑模式進行研究，發現利用分析層級 程序法簡單且結果易使人瞭解的特性，結合模糊理論的方法，使得決策考慮更為 周詳。林信成 (2005) 應用模糊分類與模糊詮釋資料的概念作為圖書管資訊選粹 服務系統的設計，以更滿足讀者的個人化資訊需求。 綜上所述，模糊理論被廣泛的應用於各領域，不同於傳統二元邏輯來定義事 物，其結果較符合實際現象。

第五節 模糊取向的詮釋結構模式

本節首先介紹詮釋結構模式及其運用，接著說明模糊取向的詮釋結構模式的 內涵、分析方法。

壹、詮釋結構模式

Warfield (1976) 提出詮釋結構模式，可供研究者分析一群元素之間的階層順 序關係，降低結構的複雜度，透過二維矩陣的運算，產生一個完整的多層級結構 化階層 (multilevel structural hierarchy) 。Warfield (1982) 指出 ISM 非常適用在巨 大模型的創造、推演與修正，每一步驟在整個模型裡都用圖例表示，並進而提出 了 ISM 在社會學、人類學、心理學及哲學等其他領域的應用。 ㄧ、ISM 分析法 佐藤隆博 (1987) 在其「構造學習法」一書中介紹 ISM 分析法在教育領域中 對於教材內容與學習者學習內容之應用，透過 ISM 法數學運算，可以產生構造化 教材。鍾靜蓉 (2002) 指出 ISM 分析法不但可以將教學者腦中抽象的教學要素轉 變為具體化的關聯構造階層圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得 到整體概念的結構圖。呂福祿 (2004) 運用詮釋結構模式於分析國小資訊融入教 學之需求評估與策略發展要素間的因果關係，並運用其產生之「多層次因果關係 圖」來輔助推動策略之擬定。鄭麗娜 (2004) 在九年一貫課程社會領域地理概念 的研究中，應用 ISM 的方法畫出課程領域的地理概念階層圖，並據以規劃地理概 念學習的最佳路徑與群組概念。李家豪 (2005) 導入 ISM 的方法，透過自然科學 與社會科學兩方面的觀念透鏡，以整個系統的關聯性觀點、流程觀點或影響性觀 點，作為部門劃分的依據，來進行組織設計分析。賴宛靖 (2006) 運用精緻理論 中的複雜任務分析方法來提取專家知識，以詮釋結構模式為研究工具將專家知識 外顯，進行數學與高中物理課程統整的內容分析，形成課程內容的階層概念圖， 以提供教師進行跨學科、相關主題統整時的參考。Hawthorme and Sage (1975) 應

用 ISM 法針對五種不同團體成員在高等教育課程計畫的討論做整合，此研究結果 顯示 ISM 法能有效的呈現計畫中實施方案的階層順序性。Tatsuoka (1995) 應用 ISM 法分析出具階層性的知識結構，此分析方法認為概念和認知具有關聯性。 Tatsuoka and Tatsuoka (1997) 將 ISM 分析 法 發 展成 電 腦認知 診斷 測驗 系統 (computerized cognitive diagnostic adaptive testing system) ，此系統對於補救教學 有極大幫助。 許天維、林原宏 (1994) 指出 ISM 分析法的功能是建立整體概念元素之間的 關係，即經由部份元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係。其在教 育上可用於下列幾項：1.教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標， 決定出各單元間教材內容的結構。2.編授教材內容：由教學者決定教材內容的目 標層次關係，以由下往上累積元素關係的方式，此方式可幫助教學者檢視教學目 標之間的順序關係。3.學習者知識的結構化：以學習者本身的概念結構為主，在 已知學習者概念元素彼此之間的關係時，可利用 ISM 分析法，以得到整體概念的 結構圖 二、ISM 分析法的步驟 若欲分析的系統內有K個元素，且已知其中任意兩元素A_i與Aj的二元關係， 以

( )

K K ij a A × = 表示。若a_ij =1，表示Ai從屬於Aj，即Ai為Aj的下階元素；若aij =0， 表示A_i不為A_j之下階元素。其步驟如下： (引自林原宏，2005) (一) 矩陣的運算 兩個矩陣A的運算的結果定義為

(

)

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 11 12 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 21 22 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 2 K K K K ij K K KK a a a a a a A a a a a ×       = _{ } =     L L M M M M L 2 A 矩陣內的元素 K

[

_{ik kj}

]

_{i j i j iK Kj} k ij a a a a a a a a a =⊕ ⊗ = ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ = L 2 2 1 1 1 ) 2 (

上式中⊗和⊕的運算，定義如下：    = ⊗ 1 = and 1 = if else 1 0 y x y x    = ⊕ else 0 = and 0 = if 1 0 x y y x (二) 傳遞閉包 (transitive closure) 定義_{Aˆ = A⊕A}2_⊕A3_⊕LAP_{，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。} (三) 可到達矩陣 (reachability matrix) 定義 P P I A I A A A A I Aˆ⊕ = ⊕ 2⊕ 3⊕L ⊕ =( ⊕ ) _{，其中I表示K×K階的單位矩} 陣。把如下的矩陣R，稱為可到達矩陣。 I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ = + +1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ L L (四) ISM 圖的繪製 以A1至A5元素為例 (佐籐隆博，1987) 。這五個元素之關係，假設可用矩 陣A表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為R，分別為：                 = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A                 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R= 為便於繪製 ISM 圖 ，將矩陣整理如下： k A R(Ak) M(Ak) R(Ak)∩M(Ak) 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 0 0 0 0 1 A A2 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 A5 1 A A2 A3 A4 A5 0 A2 0 0 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 A3 A4 0 0 0 A3 A4 0 0 0 0 0 A5

) (Ak R ：是A的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的 元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 ) (Ak M ：就R(Ak)矩陣中，M(Ak)的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 ) ( ) (Ak M Ak R ∩ ：是R(Ak)和M(Ak)兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在該 元素，則填出該元素；否則填上 0。 製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為： 【步驟一】針對R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)的每一列，找出列相等的元素。在上表中， 先找到相對應的第 1 列A1，則在R(Ak)、R(Ak)∩M(Ak)中A1所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。 【步驟二】以相同方法再找到第 5 列A5，以此類推，我們再次得到A3、A4一組 元素和A2元素。 【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依A中的元素關係，劃上箭頭， 如圖 2-1 所示，圖 2-1 中A3、A4是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪 製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖 形簡化。 圖 2-1 ISM 圖的繪製 A1 A5 A3 A4 A2 A1 A5 A3 A4 A2

貳、模糊取向的詮釋結構模式分析法

一、理論模式 傳統詮釋結構模式僅能針對二元關係的元素進行分析，而從認知心理學的觀 點來看，人的思維具有多元邏輯的特性，因此其在應用上便有所限制。有鑑於此， 林原宏 (2005) 提出模糊取向的詮釋結構模式，根據察覺的模糊邏輯模計算不同 能力值受試者的概念或試題的模糊關係矩陣，再將模糊關係矩陣進行截矩陣，以 衡量概念間的從屬關係。 模糊取向的詮釋結構模式提出個人化的模糊取向 ISM 分析。其分析步驟如下 (引自林原宏，2005)： 【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有M個試題或所有 試題所測量的概念總數為L個。 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值θ_k受試者在第m題的答對 機率為P_m(θ_k)，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關 係矩陣如下： 1.若所分析的元素單位為試題，則能力值θ_k 受試者的模糊關係矩陣為 M M k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，p_ij(θ_k)為符合試題i指向試題 j的機率。依察覺的模 糊邏輯模式意義，令c_i =P_i(θ_k) 且o_j =1−P_j(θ_k)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = 2.若所分析的元素單位為概念，則能力值θk 受試者的模糊關係矩陣為 L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，p_ij(θ_k)為符合概念i指向概念 j的機率。依每一試題測 得該概念與否的關係，設概念個數為L個，可形成一個二元關係的概念屬

性矩陣 (attribute matrix) A=(aml)M×L，aml =1表示第m題包含概念l，亦 即有測到概念l；aml =0表示第m題沒有包含概念l，亦即沒有測到概念 l。令 _{L l L} M m ml a a SA _{× • ×} = = =

∑

_{1 1} 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因 此 ， 能 力 值 θ_k 之 受 試 者 在 每 個 概 念 精 熟 的 機 率 為 L k l L M l ml M k m k _a ma a P MA _{× ×} • × = =[ ( )]1 [ ] [ ( )]1 ) (θ θ θ 。 依 察 覺 的 模 糊 邏 輯 模 式 意 義，令c_i =ma_i(θ_k) 且o_j =1−ma_j(θ_k)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = 【步驟三】選定 α 值且0≤α ≤1，將模糊關係矩陣為D(θ_k)=[p_ij(θ_k)]_M×M 或 L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： M M k ij k p Dα(θ )=[ α(θ )] _× 且    < ≥ = α θ α θ θ α ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ， 其中0≤α ≤1 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀 性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素Ai指向Aj有多條路徑 (path) ， 則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如： 簡化 圖 2-2 ISM 圖的簡化 Aj Ak Al Ai Am Aj Ak Al Ai Am

【步驟五】給定α值，可獲得能力值θ_k之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不 同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。 二、模糊取向詮釋結構模式分析的相關研究 陳紹銘 (2006) 應用模糊取向的詮釋結構模式分析國小六年級學童的等量公 理概念之階層結構，顯示學童的等量公理知識結構具有階層性；不同能力值學童 的等量公理概念結構圖有明顯的差異存在；筆試測驗總分相同但反應組型不同的 學童，其知識結構不盡相同。紀順雄 (2007) 利用模糊取向的詮釋結構分析國小 六年級學童的分數加法概念，也同樣顯示不同能力值的受試者，其分數加法概念 結構圖具有差異；試題內概念屬性的結構圖，因受試者能力值不同而不盡相同； 高、中、低三組的分數加法概念結構圖中，高能力組和專家概念結構圖之相似性 係數沒有差異；中、低能力二組和專家概念結構圖之相似性係數則有顯著差異。 李玉貞 (2008) 應用模糊詮釋結構模式分析法，探討國小一年級學童的個人化數 學學習領域數與量分年細目知識之概念階層結構，也同樣顯示概念結構圖因學童 能力值不同而有異；總分相同但反應組型不同的受試者，其知識結構不盡相同； 同能力組別的相似性係數均有顯著差異。 綜合上述，應用模糊取向的詮釋結構模式分析法於國小學童數學科領域，可 獲得其個人化的概念結構圖，並可依此作為教師教學參考或學童的輔導依據。

第六節 知識結構測量理論

Shavelson (1972) 指出知識結構是存在長期記憶中的認知結構，並能掌握知 識的組織特質和關係，個人可透過建構、修正和重組知識結構方式，來改變學習 和認知上的表現。知識結構的研究有助於瞭解個體如何獲取知識的心理歷程，幫 助個體找出迷失概念，以提高學習成效，因此知識結構的研究為近年來認知心裡

學的重要主題。本節將介紹五種知識結構的分析法：概念構圖 (concept

mapping) 、徑路搜尋法 (pathfinder) 、規則空間 (rule space) 、線性邏輯測驗模 式 (linear logistic test model, LLTM) 及知識空間理論 (knowledge space theory,

KST)，分述如下：

壹、概念構圖

Gordon and Jorgensen (2003) 指出知識結構圖為一種以視覺化方式呈現知識 與知識之間的關係、或知識彼此之間的關連程度的一種圖形，它可以有效的幫助 學習者降低學習時的孤獨。Ausubel (1963) 曾對學習提出認知同化論的觀點，闡 述有關「機械式學習」 (rote learning) 和「有意義的學習」 (meaningful learning) 的差別。他認為學習時，學習者應該要能有意識的將新知識和已經知道的舊概念 相聯結，學習才有意義。Novak and Gowin (1984)為了瞭解學生的認知結構和發 展 ， 依 據 Ausubel (1963) 的 上 位 學 習 (superordinate learning) 、 漸 進 分 化 (progressive differentiation) 和統整調和 (integration recilliation) 等原則發展出概 念構圖。其目的為探討學生的知識結構，做為改進和促進學生學習效率的方式。

概念構圖是利用概念圖 (concept map) 來表示關於知識主題結構的一種過 程。概念圖是由概念節點 (concept nodes) 和概念間的聯結語 (relation links) 所組 成，命題 (proposition) 則由兩個概念節點和節點間的聯結語所構成，節點是構成 命題和概念圖的基本單位，命題是概念圖中意義的基本單位，也是用來判斷概念 之 間 關 係 有 效 性 的 最 小 單 位 。 余 民 寧 (1999) 認 為 概 念 在 概 念 圖 中 以 階 層 (hierarchy) 的關係存在，屬於概括性的概念在上層，而較具體的概念在下層，最 下層的則是具體的範例。Novak and Gowin (1984) 提出概念構圖的計分原則如 下：1.命題原則的有效性：聯結語所聯結的的兩個概念間是否有關係？關係是否 有效？有意義的命題給 1 分。2.階層化的程度：概念圖中是否有階層存在？其階 層關係是否有效？每個有效的階層給 5 分。3.交互聯結的程度：兩個概念階層之

間是否有意義的關連？每個有意義的交互聯結給 10 分，有效但未能綜合一組相 關概念和命題者則給 2 分。4.舉例：能以特定的物體或事件來說明概念則給 1 分。 根據此計分原則，余民寧 (2002) 舉一概念構圖計分方式的例子如下：

圖 2-3 概念圖計分例子 (引自余民寧，2002) 階層 重要概念 聯結 聯結 聯結 一般化概念 一般化概念 一般化概念 第一階 聯結 聯結 概念 概念 聯結 聯結 例子 例子 事件 事件 聯結 聯結 較不一 般化概 念 特 殊 化 概 念 特 殊 化 概 念 聯結 聯結 聯結 聯結 概念 概念 第三階 例子 例子 物件 物件 第四階 較不一 般化概 念 交叉聯結 聯結 交 叉 特 殊 化 概 念 第二階 聯結 計分： (僅計算有效且重要者) (分數) (個數) 關係： 1 × 14 = 14 階層： 5 × 4 = 20 交叉聯結：10 × 2 = 20 舉例： 1 × 4 = 4 總計： 58 分

Novak (1990) 指出在增進科學學習和教學成效上，可將概念構圖當作一種學 習策略、教學策略、課程規劃設計和評量的方法。Zieneddine and Abd-El-Khalick (2001) 發現概念構圖雖然對大學生的物理概念理解無顯著幫助，但受試者確認為 概念構圖有助於他們組織知識和實驗的準備，以及對物理內容的瞭解。何治鈴 (2002) 以概念構圖和合作學習應用於綜合高中會計科目的教學，顯示經實施概念 構圖教學法之後，實驗班的會計學習成效較控制班傳統式直接教學法學生的會計 學習成效有顯著進步且學生的學習態度及班級氣氛皆有顯著進步。陳永春 (2003) 探討概念構圖教學策略對國小五年級學生社會科學習成就、學後保留的影響，顯 示實施「概念構圖」教學的學生在社會科學習成就測驗和學後保留測驗表現皆顯 著優於控制組學生。張秀鳳 (2005) 探討國小五年級學童在概念構圖融入數學教 學活動後的解題表現，顯示學習者的概念構圖解題表現，除了受到學習者的數學 成就影響外，還會因學習者的語文程度影響構圖表現，以致無法由題意表徵圖進 行解題；學童在「概念構圖融入數學解題」教學活動的學習表現，高成就學童最 好，中成就學童次之，最後為低成就學童；「概念構圖融入數學解題」教學活動 提昇國小五年級學童解題能力之成效上，中成就學童成效最好，低成就次之，高 成就學童最不明顯。 陳嘉成 (1996) 以概念構圖為學習策略之教學對小學生自然科學習之成效研 究，發現概念構圖的學習策略並未達顯著的效果。蘇昭博 (1998) 在探究國內的 國中二年級學生使用概念構圖策略學習理化科的成效中，發現使用概念構圖法和 傳統學習法，學生的學習成效並無明顯差異。時德平 (2001) 研究概念構圖式教 導國小學童「電與磁」的概念學習和傳統教學並無顯著差異，但在記憶保留方面， 構念構圖式學習優於傳統敘述方式。 綜合上述，運用構念構圖的成效，研究結果並不一致，部份研究顯示概 念構圖策略可增進學生的學習效果；然而亦有研究顯示概念構圖策略對學習 成效並無顯著的助益。

貳、徑路搜尋法

徑路搜尋法於 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室領導人 Schvaneveldt 與其研究小組根據網路模式和圖形理論，研究發展出徑路搜尋量尺 化算則 (pathfinder scaling algorithm) ，用來建構和分析知識結構，並設計知識網 路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT) ，來輔助、分析 和評量知識結構，藉此評量個體知識結構。徑路搜尋網路是以節點和鏈結相互連 接之網路結構，一個節點代表一個概念，節點與節點之間的鏈結關係以距離權值 表示其鏈結強度。鏈結的特色是能掌握知識結構中概念與概念間的關係，並藉此 了解哪些鏈結間的關係比較重要。

徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：引出知識

(knowledge elicitation) 、表徵知識結構 (knowledge representation) 與評價知識結 構 (evaluation of knowledge representation) ，茲以這三個程序來分析徑路搜尋法 的評量歷程。 一、引出知識 知識結構的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖等，徑路搜尋 法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間相互關係的瞭解情形。 首先挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由受試者進行判斷各配對概念間的 相似性、關聯性或心理距離，獲得受試者之接近性矩陣，接近性矩陣中數值愈小， 表示兩概念關係愈緊密。 二、表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之接近性矩陣資 料以徑路搜尋量尺化算則 (pathfinder scaling algorithm) 轉換成距離矩陣和徑路 搜尋網路 (PFNET) 。在徑路搜尋網路中的每個鏈結均有一徑路權值，包括直接 鏈和非直接鏈，徑路搜尋量尺化算則在轉換過程中，將只會保留接近性數值總和 最小的連結鍊，也就是保留「最短長度的徑路」 (涂金堂，2000) 。徑路搜尋量

尺算則的結果主要由 r 和 q 兩個參數所決定，參數 r 用來決定徑路的長度，範圍 從 1 至∞，對於次序量數而言 r 值通常設為∞，表示路徑的值等於徑路中任何一 個錬之最大值 (maximum weight) ；參數 q 能限制網路連結鍊的數目，其範圍由 1 到 n-1 之間，n 表示節點數量，當 n＝n-1 時，表示探測所有不同的節點連結路 徑，並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖。 參數r和q不同，其形成的徑路搜尋網路亦不同，當r→∞,q=n-1 時，則表 示探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖，如圖 2-4， 當r→∞,q=4 時，接近性矩陣經徑路搜尋量尺化算則轉換後，得到距離矩陣與最 少徑路的徑路搜尋網路 (涂金堂，2000；林曉芳、余民寧，2001；許淑貞，2003； 黃湃翔，2004) 。 距離矩陣 A B C D E A 0 1 1 2 3 B 1 0 1 2 3 C 1 1 0 2 3 D 2 2 2 0 3 E 3 3 3 3 0 圖 2-4 距離矩陣與徑路搜尋網路 (Goldsmith et al., 1991) 三、評價知識結構 徑路搜尋網路之評價，主要是將受試者的徑路搜尋網路和參照結構進行比 較，Goldsmith and Davenport (1990) 認為比較兩個徑路搜尋網路的相似程度，可 以區分為兩種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程 度，如圖形理論距離指數 (graphical theoretical distance，簡稱 GTD) 及接近性指 數 (proximity index，簡稱 PRX) ；第二種則以集合理論為基礎，計算兩個網路中 相鄰節點交集與聯集的商數平均值，稱為相似性指數 (closeness index，簡稱 PFC 或 C 指數)，茲以 Goldsmith, Jonson and Acton (1991) 所舉的例子，如圖 2-5 所示， 分別說明這三種相似指數。 PFNET( r＝∞，q＝4) C A B D E 3 1 2 1

圖 2-5 網路一、網路二和網路三間的 PFC 和 GTD 指數 (Goldsmith et al., 1991) 1.PFC 指數或 C 指數 PFC(A,B)=

∑

∈ ∪ ∩ I i i i i i B A B A n 1 ，其中 A、B 表示徑路搜尋網路，n 為兩個網路共有的 節點數，I為網路所有節點之集合，i為網路節點，PFC 指數的範圍在 0 至 1 之間， 指數愈大表示兩個網路愈相似，表 2-4 即以網路一與網路二為例之 PFC 指數算 法。由表中得到商數總和= 3，PFC = 3/7 = .43 表 2-4 網路一與網路二之 PFC 算法 (Goldsmith et al., 1991) 鄰近節點 交 集 聯 集 節點 網路一 網路二 集合 大小 集合 大小 商數 A {B,C} {B,D,E} {B} 1 {B,C,D,E} 4 1/4 B {A,D,E} {A,C} {A} 1 {A,C,D,E} 4 1/4 C {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2 {A,B,F,G} 4 2/4 D {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 E {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 F {C} {C} {C} 1 {C} 1 1/1 G {C} {C} {C} 1 {C} 1 1/1 註： U 表示空集合。 C A B D E F G 網路三 網路一 網路二 C A B D E F G C A B D E F G PFC=.43 GTD=.79 PFC=.74 GTD=.4 2

2.GTD 指數 圖解理論距離是以徑路聯結鏈的數目量來當作計算單位。例如圖 2-4 之網 路一，A 至 D 的連結方式為 A－B－D 有二個聯結鏈，因此 A 至 D 的圖解理論距 離為 2。將兩個徑路搜尋網路中各節點的圖解理論距離進行相關係數計算，即可 得到 GTD 指數。GTD 指數的範圍由-1 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相似。表 2-5 即為網路一、網路二和網路三的圖解理論距離矩陣，網路一和網路二的 GTD 指數為.79，網路一和網路三的 GTD 指數為.42。若運用 GTD 指數來判斷兩個徑 路搜尋網路之間的相似程度時，網路一和網路二之間的相似程度較網路一和網路 三間的相似程度高。 表 2-5 網路一、網路二及網路三間之 GTD 指數算法 (Goldsmith et al., 1991) 網路一 網路二 網路三 節點 節點 節點 節 點 A B C D E F G 節 點 A B C D E F G 節 點 A B C D E F G A - 1 1 2 2 2 2 A - 1 2 1 1 3 3 A - 1 4 2 2 3 5 B - 2 1 1 3 3 B - 1 2 2 2 2 B - 3 1 1 2 4 C - 3 3 1 1 C - 3 3 1 1 C - 4 2 1 1 D - 2 4 4 D - 2 4 4 D - 2 3 5 E - 4 4 E - 4 4 E - 1 3 F - 2 F - 2 F - 2 G - G - G - 3.PRX 指數 PRX 指數是直接計算兩個徑路搜尋網路其接近性矩陣中各相對應元素的相 關係數。PRX 指數的範圍由-1 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相似。 林原宏 (1996) 從已有的相關文獻中發現徑路網路搜尋法可用來：1.表達概念 的關係 (Rubin, 1990; Schvaneveldt & Durso, 1981) 。2.預測記憶搜尋 (memory retrieval) 及記憶組織 (memory organi-zation) (Cooke, Durso, & Schvaneveldt, 1986; Bajo & Canas, 1992) 。3.分析專家和生手的表徵不同及轉換 (Goldsmith & Davenport, 1991) 。近年來徑路搜尋法也常被運用在教育和訓練上，用來評估學 生的學習成效與訓練的有效性。

Acton, Johnson and Goldsmith (1994) 評定 24 個電腦程式概念間相關程度，研 究 61 位修習電腦課程學生知識結構與學業表現的關係，並建立九種參照結構。 研究結果發現，採用不同參照結構，所計算出來不同的 PFC 指數對學業表現都有 不錯的預測力。Chen (1996) 使用徑路網路搜尋法和相似性評定，研究高中學生 的牛頓運動定律知識結構和力學概念理解能力間的關係。 余民寧、林曉芳、蔡佳燕 (2001) 以國小六年級學生為研究樣本，使用路徑 蒐尋網路，利用其量尺化程序來分析學生的知識結構。研究證實了此種認知診斷 評量方法的可行性和價值性，並彰顯當今國小學生數學學習成就低落及數學科補 救教學的重要性。塗振洋 (2001) 以九個天文名詞概念，採用相似性評定量表， 針對 4 位老師與 45 位國小六年級學童，比較學生的知識結構與教師參照結構之 異同，發現高成就學生的天文概念知識結構比低成就學生更接近老師的知識結 構，且以知識結構量化指數來預測學生在自然科學業成績上的表現，以 PRX 指 數的預測力最好。黃湃翔 (2002) 以徑路搜尋法評量高中學生物理知識結構的應 用情形，比較不同知識結構指數和物理學習成就的相關性，以明瞭知識結構指數 是否可以預測學生物理學習成就，發現 PRX、GTD、PFC 指數均與物理學業成績 達顯著的相關，顯示知識結構指數可以預測學生物理學習成就。黃美盼 (2005) 在 整數加減法文字題知識結構與認知型式關係之研究中，發現知識結構量化指數中 以 GTD 指數具有最佳的預測力。李彥典 (2008) 應用徑路搜尋之方法探究國小四 年級學童分數概念的知識結構，發現以 GTD 指數預測效果最高。 綜合上述研究，徑路搜尋法以量化的方式評量受試者的知識結構，不但可以 分析知識結構與學習表現的關係、比較不同能力學習者的知識結構，甚至能根據 受試者知識結構圖的特徵，提供教學者參考，給予學習策略的指導或補教教學。

三、規則空間

分析法和試題反應理論的認知診斷評量系統，藉由試題評量的方式，找出受試者 的試題反應組型 (item response pattern) ，進而推論受試者的潛在知識狀態 (latent knowledge stage) 。規則空間大多應用在教育統計領域，能在大型測驗時做個人 化的認知診斷，利用類型分析 (pattern analysis) 對受試者反應歸類、識別學生的 知識結構及診斷受試者學習中所犯的錯誤類型。

進行規則空間分析時，通常包括五步驟：(一)定義試題的認知屬性；(二)將認 知屬性組合成試題；(三)確定各種知識狀態；(四)形成分類的空間；(五)對受試者 的反應進行分類 (Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka, 1998)。說明如下：

(一)定義試題的認知屬性 (defining attributes)

試題的認知屬性是指構成認知診斷評量的基礎，它包含陳述性知識、程序性 知識或解題策略等，通常以工作分析法來決定並選出該領域的重要概念做為試題 的認知屬性。

(二)將認知屬性組合成試題 (assigning attributes to items)

試題編製過程中，每道試題至少要包含一個認知屬性，且必須考量試題間認 知屬性的相關程度與難易程度。而試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣 (incidence matrix, 通常以Q表示) 加以呈現。例如有三道試題，分別為 j1、 j2、 3 j ，有兩個認知屬性k₁、k₂，其中試題 j₁和試題 j₃各含有認知屬性k₁，試題 j₂則 包含認知屬性k₂。受試者若想答對試題 j₁或試題 j₃，必須具備認知屬性k₁，若想 答對試題 j₂，則須具備認知屬性k₂的知識。其關聯矩陣Q (2×3) 矩陣，矩陣表示 如下。 3 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 j j j k k      

(三)確定各種知識狀態 (determining identifiable knowledge stage)

知識狀態的類型是透過試題與認知屬性的關聯矩陣Q來決定的。以上述例子

(0,0,0,)、(1,0,0,)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)。其中 1 代表 答對，0 代表答錯。其三道試題和二個認知屬性構成了四種可能的知識狀態，茲 簡述於下： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性k1的知識，而不具備認知屬性k2的知識，其 知識狀態為 (1,0,1)。 2.知識狀態二：受試者具備認知屬性k2的知識，而不具備認知屬性k1的知識，其 知識狀態為 (0,1,0)。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性k1和k2的知識，則其知識狀態為 (0,0,0)。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性k1和k2的知識，則其知識狀態為 (1,1,1)。 上述四種知識狀態是屬於典型的試題反應組型，若受試者的反應組型是屬於 另外四種類型：(1,0,0,)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型的試題反應組型。 施測者可以透過典型的反應組型，清楚掌握受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知 識。但是當受試者可能因猜題或不小心等因素產生非典型的反應組型時，施測者 則不易推估其具有或缺乏哪些認知屬性的知識。

(四)形成分類的空間 (formulating the classification space)

規則空間是以二維的笛卡兒座標來呈現，即以 IRT 中的能力參數θ值做為橫

座標，以非典型的反應組型

( )

ξ 為縱座標，而規則空間中的每個座標點代表一種反

應組型，也就是一種知識狀態。

(五)對受試者的反應組型進行分類 (classifying examinees’ responses)

當所有可能的反應型都標示到規則空間的笛卡兒座標上，就可根據受試者的 座標值大小來決定其可能的知識狀態。而受試者反應組型的分類是採馬氏距離 (Mahalanobis distance) 法，找出距離受試者的座標值最近的知識狀態的座標值， 並以此決定與受試者的反應組型較為類似的知識狀態。施測者即能根據此類似之 知識狀態瞭解受試者的學習狀況，進行個別的學習指導。