分數乘除法概念研究

本節將依序介紹九年一貫課程中分數教材的分析，說明分數的學習具有次序 性，其次綜合國內、外的研究，整理出分數乘除法的錯誤類型及其他相關文獻。

壹、九年一貫課程中分數教材分析

九年一貫課程綱要為現行國民義務教育中各學科領域教材的編輯依據。其中 數學領域分成數與量、幾何、代數、機率與統計和連結五大主題。國小課程中的 數與量範圍較大，因此分為整數、量與實測、有理數和估算等子題，其中分數即 是包含於有理數之中。茲將九年一貫數學課程綱要中，有關分數的年級能力指標 列於下表 2-1。

表 2-1 分數的年級能力指標

編碼 能力指標

2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同 單位分數的大小。

3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加 減問題。

4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，

並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換。

5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解 最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。

6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

資料來源：教育部 (2004) 九年一貫數學課程能力指標分年細目詮釋表

由表 2-1 中可知國小的分數課程設計從二年級開始，該年級學生要認識分母

在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小；三年級學生要在問題情境 中，比較同分母的分數大小並進行加減；四年級學生要能認識真分數、假分數與 帶分數，並熟悉假分數和帶分數的互換，也要理解等值分數，進行簡單異分母分 數的比較及分數和小數的互換；五年級學生必須熟悉約分、擴分及通分，做異分 母分數的比較及加減，並理解乘數為分數的意義及計算方法；六年級學生必須理 解最大公因數、最小公倍數的計算，並能將分數約成最簡分數，另外也必須理解 除數為分數的意義及計算方法。

綜上所述，分數的學習依照其難易度有其順序性，從同分母的分數比較加 減，到異分母的分數比較加減，進而分數的乘除計算。先前概念的學習完整與否，

往往會影響到後面的概念學習，本研究透過概念階層結構的測量，及時給予學生 補救教學，以利後續學習。

貳、分數乘除法錯誤類型之研究

有關分數的研究，國內外皆有許多文獻，本段將僅針對分數乘除法做深入探 討並歸納出分數乘除法的錯誤類型，茲將國內、外研究所發現的分數乘除法錯誤 類型整理成下表 2-2。

表 2-2 分數乘除法的錯誤類型

研究者(年代) 發現的分數乘除法錯誤類型

Painter (1989)

分數乘法錯誤類型：

1. 先通分後再計算。

2. 將第二個分數顛倒後再計算。

3. 交叉相乘而得到分子與分母。

4. 分母相乘，分子卻做加法計算。

5. 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分 6. 帶分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。

7. 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法計算。

分數除法錯誤類型：

1. 計算方法錯誤 (用乘法計算) 。 2. 計算錯誤。

3. 不瞭解計算步驟。 (被除數倒置、被除數及除數都倒置、

加分子、乘分母) 。

4. 約分時發生錯誤 (分母相約分、分子相約分) 。 5. 分母不變，分子直接做除法計算。

6. 帶分數除以整數時，只做整數的計算。

7. 帶分數除以分數時，整數不變，只處理分數的部分。

8. 未求出除數的倒數，而直接做乘法計算。

9. 分母不變，分子相減。

劉天民 (1993)

1. 帶分數化成假分數的錯誤。

2. 約分的錯誤

3. 除法改為乘法，除數未倒置的錯誤。

湯錦雲 (2002)

整數乘分數的錯誤類型：

1. 乘數的整數部份用乘法，真分數部份用加法。

2. 將被乘數分別成乘上乘數的整數、分子、分母成為答案 的 整數、分子、分母。

3. 被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不 相乘。

4. 只做真分數部份的乘法，整數部份則不相乘。

5. 乘法用加法算則計算。

6. 帶分數化成假分數的錯誤。

7. 假分數化成帶分數的錯誤。

8. 計算錯誤。

表 2-2 分數乘除法的錯誤類型 (續)

研究者(年代) 發現的分數乘除法錯誤類型

李浩然 (2003)

1. 分數的乘法運算過程的錯誤。

2. 分數的除法運算過程的錯誤。

3. 計算上的錯誤。

4. 分數乘法文字情境題的錯誤。

5. 分數除法文字情境題的錯誤。

洪素敏 (2004) 1. 等值分數的求法和分數乘法混淆。

由上可知，分數乘除法的學習過程中存在許多類型的錯誤，教學者於教學過 程中，應適時提醒學生，以期提高學習效率；而命題過程，則可以這些錯誤類型 為參考，期能更正確的測出學生的分數乘除法概念是否完整。

叁、分數乘除法的相關研究

國內外有關分數的相關研究相當多，但對於分數乘除法的研究則相對較少，

茲將分數乘除法的相關文獻歸納為三類：1.探討分數乘除法文字題相關研究；2.

探討分數乘除法教學或課程的研究；3.學生的分數乘除法個案研究。

ㄧ、探討分數乘除法文字題相關研究

Greer (1987) 指出對於乘除運算的概念化，兒童強烈地受到問題中所牽涉的

「數的類型」 (如分數或小數，尤其是小於 1 的數) 、「問題的情境模式」及「它 們之間的互動」所影響。Hardiman and Mestre (1989) 指出單步驟乘法文字題的解 題表現，和問題的架構及題目的數字類型有關，通常當數字小於 1 的時候，會增 加問題的困難度。Aksu (1997) 探討六年級學生在「分數的意義」、「分數的計算」

及「分數的文字題」的表現情形，發現：1.學生在分數的計算表現最好，在分數 的文字題表現最差。2.學生的分數的加、減、乘、除計算表現沒有差異。3.文字 題中，分數加法測驗最簡單，分數乘法測驗最難。邱裕淵 (2000) 對國小六年級 學生在乘法文字題的解題表現顯示，學生在倍數改變題目的解題表現顯著低於比 率和倍數比較類型的題目，但在部份/全體、倍數比較、比率這三種情境模式的解

題表現則沒有顯著差異。黃月平 (2004) 對國小六年級學童分數乘除文字題表徵 轉換能力與後設認知之研究，發現不同數字形式的被乘數或被除數的擬題能力表 現具有顯著差異，以被乘數或被除數為「整數」時表現最佳，其次為「真分數」、

「帶分數」；不同乘除類型的擬題在擬題能力上並無差異；不同乘除類型的後設 認知能力也沒有差異存在。羅素貞 (2004) 探討四、五年級學童分數乘法情境中哪 些因素的改變，會影響兒童對問題情境的理解，顯示分數的整數倍情境都比整數 的分數倍情境簡單，而單位分數內容物個數的改變，則不影響兒童對問題情境的 理解；在分數的整數倍情境中，答案為假分數或真分數並不會影響四年級兒童對 問題情境的理解，但是倍數的大小則會影響；從佈題方式來看，四、五年級兒童 在整數的分數倍情境中的困難來源，並不是兒童不具備該情境的解題技巧，而 是，當問題陳述沒有明確指出問題中的數量關係時，對於分數啟蒙階段的兒童不 易激發出適當的基模。

綜上所述，面對分數乘除法文字題時，學童強烈受到題目中數的類型、問題 情境及問題陳述情形所影響，教學者可針對這些問題適時給予指導。

二、探討分數乘除法教學或課程的研究

Warrington (1997) 針對一個由五、六年級學生組成的混合班級，以分組討論 的教學方式，引導學生發展自己的策略來解決分數除法的運算。陳姿靜 (2004) 提 出研究者個人進行五年級分數教學的行動研究歷程，並從進行教學的五個分數教 材－等值分數、分數大小比較、分數數線、分數乘以整數、整數乘以分數，提出 具體的教材詮釋與教學處理策略，且說明教師之行動策略，最後並分別對分數教 學、教師教學行動提出建議。罕驕蘭 (2005) 提出其個人在進行六年級分數教學 時的行動研究歷程，透過進行教學的四個「分數」單元，提出具體的教學處理策 略，並從實際的行動策略說明對教師教學的幫助，最後並對分數的教學、教師的 教學行動提出建議。孫德蘭 (2006) 以質的研究法針對三位國小五年級教師進行 訪談與教學觀察，探討國小教師對數學教科書文本的理解、形成的課程決定與實

際的教學行為，做成結論並提出具體建議。

綜上所述，教學者對於分數乘除法的教學都希望能發展出最適合學童的教學 策略，引導學童能正確的解決分數乘除法問題。

三、學生的分數乘除法個案研究

陳瑛 (2004) 探討三位國小六年級數學科低成就學童，透過 Excel 電腦輔助 軟體設計，進行分數乘法的補救教學活動，並觀察學童在活動之後，對分數乘法 概念的改變情形，發現學童在接受 Excel 電腦視覺化表徵視窗環境進行補救教學 後，學童在運思發展上獲得提升，學習態度也有所改變，而且也對數學科的學習 產生了興趣。顏宗斌 (2006) 以個案研究法，用工作單的問題為基礎，研究兩位 國小六年級學生分數除法的表現，依據學生在工作單問題的解題表現進行訪談，

發現圖形表徵能力的差異是影響兩位學生解題表現的關鍵，其中一位學生的理解 層次處於「製造心像」的階段，另一位則已達「擁有心像」與「關注性質」的階

發現圖形表徵能力的差異是影響兩位學生解題表現的關鍵，其中一位學生的理解 層次處於「製造心像」的階段，另一位則已達「擁有心像」與「關注性質」的階