乘除法文字題解題相關研究

我 們 常 常 發 現 即 使 學 生 已 學 會 如 何 進 行 乘 除 運 算 ， 卻 無 法 正 確 判 斷 該 用 什 麼 運 算 方 法（ 孟 瑛 如、周 育 廉、袁 媛、吳 東 光，2 0 0 1 ）。

因 此 本 章 節 將 就 學 者 提 出 的 乘 除 法 的 運 算 結 構 與 整 理 現 行 課 程 中 乘 除 法 類 型 ， 以 釐 清 乘 除 法 文 字 題 的 模 式 ； 並 針 對 學 生 在 解 乘 除 法 文 字 題 時 ， 常 出 現 的 解 題 的 迷 思 加 以 探 討 ， 以 作 為 補 救 教 學 的 參 考 ； 最 後 整 理 學 者 對 乘 除 法 解 題 的 相 關 研 究 。

一 、 乘 除 法 文 字 題 的 運 算 結 構 與 現 行 課 程 的 相 關

要 了 解 數 學 學 習 者 ， 解 乘 除 法 文 字 題 的 困 難 所 在 ， 首 先 我 們 必 須 對 乘 除 法 文 字 題 的 呈 現 結 構 有 所 了 解，並 加 以 分 析 目 前 課 程 中 乘 除 法 的 安 排 模 式 與 乘 除 法 運 算 結 構 相 對 應 。 能 如 此 ， 我 們 才 能 確 切 的 掌 握 學 生 的 問 題 所 在 而 實 施 補 救 教 學，因 此 以 下 分 析 學 者 們 對 乘 除 法 文 字 題 運 算 結 構 的 分 類，並 針 對 九 年 一 貫 課 程 中 乘 除 法 文 字 題 加 以 分 析 。

( 一 ) 、 乘 除 法 運 算 結 構

以 下 分 別 就 V er g n au d （ 1 9 8 3 ） 與 G r e e r （ 1 9 9 2 ） 的 分 類 加 以 探 討 ：

V e r g n a u d （ 1 9 8 3 ） 乘 除 運 算 結 構 許 多 學 者 以 乘 的 結 構 為 基

礎 再 來 探 討 乘 除 法 的 相 關 概 念 ， 以 V e r g n a u d（ 1 9 8 3 ） 的 模 式 為 主 要 的 依 據 ， 其 以 向 量 空 間 和 向 度 將 乘 除 的 運 算 結 構 分 為 ： 量 數 同 構 型（i so m o r p h i sm o f m e a s u r e s ）、 量 數 乘 積 型（ p r o d u c t o f m e a s u r e s ） 、 多 重 比 例 型 （ mu l t i p l e p r o p o r t i o n s ） ， 茲 將 這 三 種 類 型 介 紹 如 下（ 引 自 林 碧 珍，1 9 9 1，2 2 5 頁； 孟 瑛 如 等 人，2 0 0 1，

8 4 頁 ） ：

1、 量 數 同 構 型 （i s o m o rp h i s m o f m e a s u r e s ） ： 分 為 兩 個 向 量 空 間 的 比 較 ， 當 四 個 數 值 中 的 一 個 值 為 1 時 ， 則 探 討 三 個 值 的 關 係 ， 並 依 其 位 置 分 為 乘 法 、 等 分 除 和 包 含 除 ， 若 是 探 討 四 個 數 值 得 關 係， 則 將 此 問 題 稱 為「 3 的 規 則 」（t h r e e - p l a c e ）

， 以 下 面 的 基 模 圖 作 介 紹 ： M 1 M 2

1 f （ 1 ） X f （ x ）

圖 2 - 1

若 求 f（ x ）則 屬 乘 法 問 題 ， 若 求 f（ 1 ）則 屬 等 分 除 問 題 ， 若 求 X 則 屬 包 含 除 問 題 ， 例 如 ：

（ 1 ）乘 法 問 題 ： 如 果 每 位 小 朋 友 有 3 粒 橘 子 ， 則 4 位 小 朋 友 共 有 幾 粒 橘 子 ？

M 1 ＝ 人 ， M 2 ＝ 橘 子 ， 所 以 f （ 1 ） ＝ 3 ， X ＝ 4 求 f （ 4 ） 。

（ 2 ） 等 分 除 問 題 ： 1 2 粒 橘 子 平 分 給 4 位 小 朋 友 ， 每 人 可 得 幾 粒 橘 子 ？

M 1 ＝ 人 ， M 2 ＝ 橘 子 ， 所 以 X ＝ 4 ， f （ x ） ＝ 1 2 求 f （ 1 ） 。

（ 3 ）包 含 除 問 題 ： 1 2 粒 橘 子 ，每 人 得 3 粒 橘 子 ， 則 可 分 給 幾 位 ？ M 1 ＝ 人 ， M 2 ＝ 橘 子 ， 所 以 f （ x ） ＝ 1 2 ， f （ 1 ） ＝ 3 求 X 。

（ 4 ） 「 3 的 規 則 」 其 基 模 圖 如 下 ：

M 1 M 2 X 1 f （ x 1 ） X 2 f（ x2）

圖 2 - 2

已 知 四 個 數 值 中 的 三 個 值 ， 求 其 中 的 一 個 值 ， 則 屬 「 3 的 規 則 」的 問 題 。 如 ： 三 枝 鉛 筆 賣 5 元 ， 則 小 華 買 了 1 2 枝 鉛 筆 ， 共 要 付 多 少 錢 ？

問 題 中 M 1 ＝ 鉛 筆 M 2 ＝ 價 錢 ， X 1 ＝ 3 ， f（ x 1 ） ＝ 5， X 2 ＝ 1 2 求 f （ x 2 ） 是 多 少 。

2 . 量 數 乘 積 型 （p ro d u ct o f m e a s u r e s ） ： 是 由 兩 個 量 結 合 成 第 三 種 的 量，例 如：長 方 形 的 長 5 公 分，寬 7 公 分 求 長 方 形 的 面 積 。 3 . 多 重 比 例 型 （m u l t i p l e p r o p o r t i o n s）： 這 類 題 型 包 含 三 個 量 ， 第

三 個 量 與 其 他 兩 個 量 成 比 例 關 係 ， 並 依 位 置 的 不 同 同 樣 分 為 乘 法 、 包 含 除 與 等 分 除 。

M 2

M 1 X 1

1 X 2

f （ 1 , 1 ） ＝ k

f （ x 1 , x 2 ） M 3

圖 2 - 3

（ 1 ） 乘 法 問 題 ： 小 美 家 有 5 個 電 錶 ， 每 個 電 錶 每 天 用 電 4 度 ， 則 小 美 家 3 0 天 用 電 量 多 少 ？ 則 M 1 ＝ 天 ， M 2 ＝ 電 錶 ， M 3 ＝ 電 量 ， f （ 1 , 1 ） ＝ 4 ， X 1 ＝ 3 0 ， X 2 ＝ 5 求 f

（ x 1 , x 2 ） 。

（ 2 ） 等 分 除 問 題 ： 小 美 家 有 5 個 電 錶 ， 用 了 3 0 天 共 用 了 6 0 0 度 ， 則 每 個 電 錶 每 天 用 多 少 電 量 ？ 則 M 1 ＝ 天 ， M 2 ＝ 電 錶 ， M 3 ＝ 電 量 ， f（ x 1 , x 2 ） ＝ 6 0 0 ， X 2 ＝ 5 ， X 1 ＝ 3 0 ， 求 f （ 1 , 1 ） 。

（ 3 ） 包 含 除 問 題 ： 小 美 家 有 幾 個 電 錶 ， 3 0 天 共 用 了 6 0 0 度 ， 而 每 個 電 錶 每 天 用 電 4 度 ， 問 小 美 家 共 裝 了 幾 個 電 錶 ？ 則 M 1 ＝ 天 ， M 2 ＝ 電 錶 ， M 3 ＝ 電 量 ， f

（ x 1 , x 2 ） ＝ 6 0 0 ， X 1 ＝ 3 0 ， f （ 1 , 1 ） ＝ 4 求 X 2 。

（ 二 ）Gr e e r （ 1 9 9 2 ） 乘 除 運 算 結 構

G r e e r （ 1 9 9 2 ） 將 正 整 數 乘 除 的 問 題 依 情 境 分 為 以 下 四 個 類 型 ：

1 . 等 組 類 型 （ e q u a l g r o u p s ） ：

是 由 一 些 相 同 個 數 的 物 體 之 集 合 所 構 成 的 情 境，包 含 乘 法 與 衍 生 出 來 的 兩 種 除 法 即 包 含 除 與 等 分 除。有 些 是 自 然 重 複 的 情 形 如 ： 1 個 人 有 2 隻 手 ， 4 個 人 有 幾 隻 手 ？ ； 有 些 是 重 複 做 一 些 動 作 如 ： 跑 一 圈 1 0 0 公 尺 ， 要 跑 五 圈 ； 有 些 是 人 們 的 習 慣 如 ： 老 師 發 給 3 個 小 朋 友 ， 每 人 2 片 餅 乾 。 等 組 類 型 與 V e r g n a u d 的 量

數 同 構 型 最 為 相 似 ， 且 此 種 類 型 於 國 小 階 段 最 為 常 見 。 2 . 乘 法 性 比 較 類 型 （mu l t i p l i c a t i v e c o m p a r i s o n） ：

比 較 型 乘 法 是 一 種 用 ＂ 多 少 倍 ＂ 來 敘 述 的 題 目 ， 這 類 的 問 題 常 以 倍 數 、 折 扣 、 加 成 投 票 率 、 百 分 比 值 、 利 率 、 比 例 尺 等 方 式 來 呈 現 ， 在 中 低 年 級 階 段 則 只 有 有 關 倍 數 的 問 題 出 現 ， 如 ： 小 華 有 7 顆 彈 珠 ， 小 英 的 彈 珠 是 他 的 2 倍 ， 問 小 英 有 幾 顆 彈 珠 ？

2 . 直 積 （ ca r t e s i a n p r o d u c t ）

直 積 是 由 一 個 集 合 的 每 一 個 元 素 與 另 一 個 集 合 的 所 有 元 素 有 順 序 的 結 合 而 成 的，主 要 在 敘 述 一 種 有 序 對 的 關 係 ， 如 ： 3 男 和 6 女 一 起 跳 舞 ， 共 有 多 少 種 組 合 方 式 ？；也 包 括 陣 列 的 問 題，如：牆 上 磁 磚 有 4 列 ， 直 的 有 8 排 ， 請 問 牆 上 共 有 多 少 塊 磁 磚 ？ 因 其 兩 個 因 素 為 相 同 的 角 色 ， 所 以 只 有 一 種 除 法 問 題 ， 這 種 類 型 於 國 小 中 低 年 級 也 較 少 出 現 。

3 . 矩 形 面 積 （ r e c t a n g u l a r a r e a ）

矩 形 面 積 可 以 用 正 方 形 的 個 數 來 計 數 ， 可 將 邊 長 分 割 成 邊 長 為 1 公 分 的 正 方 形 ， 這 類 型 的 問 題 也 只 有 一 種 除 法 。 N e s h e r（ 1 9 8 8 ）將 乘 的 類 型 分 為 函 數 規 則 問 題 、 比 較 型 問 題 、 笛 卡 兒 乘 積 。

( 三 ) 、 乘 除 法 課 程 結 構 分 析

國 小 學 生 所 必 須 獲 得 的 概 念 與 知 識 可 分 為 六 大

類 ， 包 括 1 . 數 與 計 算 ； 2 . 量 與 實 測 ； 3 . 圖 形 與 空 間 ； 4 .

乘 除 法 即 包 含 在 數 與 計 算 當 中 ， 小 學 課 程 中 自 二 年 級 上 學 期 起 即 開 始 介 紹 乘 除 法 ， 因 此 以 下 根 據 受 試 者 使 用 的 版 本 中 乘 除 法 教 材 ， 依 G r e e r （ 1 9 9 2 ） 的 分 類 作 分 析 。

二 、 乘 除 法 解 題 之 迷 思 數 學 領 域 知 識 包 含 陳 述 性 程 序 性 知 陳 述 性 知 識 指 的 是 對 一 些 事 實 、 理 論 、 物 件 與 事 件 加 以 描 述 的 知 識 ， 而 程 序 性 知 識 是 知 道 如 何 完 成 事 情 ， 強 調 步 驟 流 程 的 知 識 （ 許 清 陽 ， 2 0 0 1 ） 。 數 學 學 習 障 礙 者 在 解 文 字 題 時 ， 常 常 不 了 解 題 意 的 內 涵 ， 且 已 往 國 小 教 育 較 強 調 程 序 性 的 知 識 ， 而 近 年 來 建 構 主 義 的 盛 行 ， 陳 述 性 知 識 的 重 要 性 也 慢 慢 被 人 所 重 視，因 此 要 幫 助 學 習 障 礙 者 有 效 的 學 習 ， 則 需 對 乘 除 法 在 解 題 的 迷 思 加 以 探 討 ， 因 此 以 下 整 理 幾 位 學 者 的 研 究，歸 納 重 點 如 下（ 孟 瑛 如 等 人，2 0 0 1；

許 清 楊 ， 2 0 0 1 ； 甯 自 強 ， 1 9 9 7 ） 。

（ 一 ） 、 乘 法 就 是 累 加 的 錯 覺 ：

許 多 學 生 都 認 為 乘 法 的 結 果 其 積 會 越 來 越 大，然 而 在 啟 蒙 教 材 中 介 紹 乘 法 就 是 累 加 的 結 果 是 正 確 的，但 乘 法 並 不 是 累 加 ， 如 整 數 乘 以 小 數 ， 其 結 果 並 不 會 變 大 ， 這 個 迷 思 會 造 成 學 生 學 習 乘 數 為 小 數 或 分 數 時 的 障 礙 。

（ 二 ） 、 認 為 乘 法 、 除 法 為 較 高 級 的 解 題 方 法 ：

學 生 常 常 會 依 數 字 來 判 斷 應 用 問 題 該 用 乘 法 或 除 法，而 沒 有 對 應 用 問 題 的 陳 述 性 知 識 加 以 了 解，通 常 是 大 數 除 以 小 數 或 看 見 兩 數 值 相 當 時，則 以 乘 法 表 示，且 不 了 解 被 乘 數 、 乘 數 之 間 的 關 係 ， 只 認 為 答 案 一 樣 就 可 以 。

（ 三 ） 、 關 鍵 字 的 使 用 ：

傳 統 的 教 學 方 式 ， 老 師 會 教 導 小 朋 友 使 用 關 鍵 字 解 題 ， 學 生 從 文 字 呈 現 的 方 式 來 解 決 應 用 問 題 ， 如「 分 」就 用 除 或 減 ，「 總 共 」就 用 加 或 乘 ， 然 在 處 理 二 步 驟 應 用 問 題 時，其 關 鍵 字 解 題 就 無 法 發 揮 其 功 能，反 而 會 阻 礙 學 生 的 思 考 。

三 、 乘 除 法 解 題 相 關 研 究

針 對 國 小 兒 童 對 於 乘 除 法 應 用 問 題 之 認 知 結 構 加 以 分 析 ， 其 結 果 顯 示 ， 學 生 對 於 乘 除 法 應 用 問 題 的 了 解 由 易 而 難 是 量 數 同 構 型 、 叉 積 型 、 比 較 型 、 多 重 比 例 型 （ 林 碧 珍 ， 1 9 9 1 ） 。 在 量 數 同 構 型 的 規 則 問 題 以 「 最 初 量 未 知 」 最 容 易 ， 依 次 是

「 變 換 量 未 知 」 和 「 最 終 量 未 知 」 ， 學 童 以 乘 法 問 題 比 除 法 問 題 容 易 ， 除 法 問 題 以 包 含 除 比 等 分 除 容 易 。 且 在 乘 除 法 問 題 中 學 童 較 喜 歡 用 不 同 度 量 空 間 的 變 換 即 單 價 法 ， 而 且 是 連 續 性 的 使 用 ， 而 較 不 喜 歡 用 同 度 量 空 間 的 變 換 如 倍 數 法 。

在 國 小 數 學 實 驗 課 程 整 數 乘 除 算 則 的 教 材 處 理 中 提 出 ， 從 二 年 級 引 入 乘 法 情 境 問 題 ， 教 導 小 朋 友 使 用 畫 圖 來 表 徵 問 題 ， 進 而 解 決 問 題 。 在 三 年 級 時 ， 擴 展 乘 數 的 範 圍 ， 但 不 鼓 勵 學 生 使 用 直 式 紀 錄 解 決 問 題 ， 到 四 年 級 才 引 入 直 式 到 五 年 級 才 正 式 使 用 直 式 紀 錄 的 格 式 。 而 除 法 方 面 則 在 二 年 級 時 ， 使 用 累 進 性 合 成 運 思 來 解 決 包 含 除 問 題 ， 而 等 分 除 則 還 屬 於 嘗 試 錯 誤 階 段 ； 三 年 級 時 預 期 學 生 可 以 發 展 出 使 用 累 加 或 累 減 的 算 式 紀 錄 解 題 過 程 ； 四 年 級 時 ， 引 入 除 號 來 解 題 ； 五 年 級 時 則 重 新 探 討 除 法 的 直 式 紀 錄 格 式（ 楊 瑞 智，1 9 9 7 ）。

此 研 究 的 重 點 在 ， 一 . 重 視 基 本 乘 法 事 實 是 學 童 建 構 的 活 動 ； 二 . 重 視 從 學 童 解 決 乘 除 法 問 題 的 非 形 式 方 法 中 ， 引 導 建 構 乘 除 法 算 則 ； 三 . 使 用 「 單 位 量 轉 換 」 的 觀 點 ， 解 釋 乘 除 法 的 意 義 ； 四 . 乘 除 法 算 則 是 一 種 多 單 位 系 統 的 處 理 。

孟 瑛 如 等 人 （ 2 0 0 1 ） 針 對 數 學 學 習 多 媒 體 學 習 系 統 的 開 發 與 建 構 解 決 一 步 驟 乘 除 法 文 字 題 的 研 究 中 顯 示 ， 電 腦 課 程 會 依 據 解 決 文 字 題 的 五 個 步 驟 給 予 學 生 不 同 的 策 略 、 指 導 和 基 模 知 識 ， 以 解 決 乘 除 法 文 字 題 ， 例 如 ， 基 模 知 識 的 教 學 就 是 教 導 學 習 使 用 基 模 圖 來 區 分 乘 除 四 個 基 本 類 型 問 題 （ 如 ， 等 分 組 、 乘 法 比 較 、 組 合 問 題 、 單 位 度 量 積 ） ， 並 提 供 學 習 者 解 題 策 略 來 執 行 解 題 的 過 程 ， 電 腦 會 記 錄 學 生 執 行 的 過 程 ， 以 追 蹤 分 析 學 生 對 每 一 題 的 反 應 歷 程 ， 並 提 供 適 當 和 立 即 的 回 饋 ， 依 據 學 生 的 能 力 建 議 學 生 應 接 受 的 後 續 適 性 電 腦 課 程 。

針 對 國 小 三 年 級 數 學 學 習 困 難 學 生 乘 法 應 用 問 題 解 題 歷 程 做 研 究 ， 研 究 結 果 顯 示 ， 低 數 學 能 力 受 試 者 在 解 乘 法 應 用 問 題 時 ， 其 認 知 運 作 歷 程 可 能 遭 遇 的 障 礙 在 於 ， 對 特 定 概 念 的 理 解 有 困 難 （ 如 題 目 中 的 關 係 語 句 ）， 加 上 乘 法 概 念 的 知 識 不 足，以 至 於 難 以 運 用 這 些 概 念 知 識 來 促 進 其 對 問 題 的 轉 譯 與 題 意 的 整 合 。 另 一 方 面 ， 也 因 為 計 算 技 能 不 夠 熟 練 解 題 監 控 的 狀 況 不 夠 積 極 ， 導 致 解 題 的 效 率 不 佳 ， 解 題 錯 誤 的 情 形 容 易 出 現 （ 陳 瓊 瑜 ， 2 0 0 2 ） 。 根 據 以 上 的 資 料 ， 本 研 究 即 採 用 G r e e r（ 1 9 9 2 ）對 於 乘 除 法 的 分 類 來 分 析 國 小 三 年 的 數 學 課 程，顯 示 出 國 小 三 年 級 的 數 學 課 程 是 大 多 屬 於 等 組 型 並 包 含 了 少 數 的 比 較 型 與 直 積 型，因 此 本 實 驗 的 題 目 類 型

如 下 圖 ：

乘 除 法 應 用 問 題

等 組 類 型

（ 乘 法 、 包 含 除 、 等 分 除 ）

比 較 型

（ 乘 法 、 除 法 ）

直 積 型

（ 乘 法 ）

圖 2 - 4 乘 除 法 應 用 問 題 結 構 圖 ( 引 自 方 心 怡 ， 2 0 0 5 ， 頁 2 0 )

國 小 中 低 年 級 等 組 類 型 的 題 目 最 多 ， 例 如 ： 乘 法 － 每 位

國 小 中 低 年 級 等 組 類 型 的 題 目 最 多 ， 例 如 ： 乘 法 － 每 位