數學整數計算錯誤類型與相關研究

一 、 數 學 整 數 計 算 錯 誤 類 型

由 於 數 概 念 是 數 學 的 基 本 要 素 ， 而 整 數 的 計 算 能 力 又 為 更 高 層 次 能 力 ， 例 如 ： 分 數 、 文 字 題 的 基 礎 ， 因 此 學 生 在 整 數 計 算 時 所 出 現 的 錯 誤 ， 並 將 錯 誤 類 型 分 為 數 概 念 、 基 本 數 事 實 與 多 位 數 計 算 三 部 分 。 國 內 外 已 有 許 多 研 究 者 從 一 般 學 生 或 數 學 學 習 障 礙 學 生 的 計 算 歷 程 中 所 產 生 的 錯 誤 類 型 進 行 研 究 。 本 節 的 文 獻 資 料 來 源 ， 在 國 內 部 分 係 從「 全 國 碩 博 士 論 文 網 」、「 專 案 研 究 報 告 資 料 庫 」、「 教 育 論 文 線 上 資 料 庫 」 以 及 「 中 華 民 國 期 刊 論 文 索 引 系 統 」 ， 國 外 則 是 由 「Ac a d e m i c S e a r c h P r e m i e r」 、 「 JS T O R - A r t s & S c i e n c e s Ⅰ C o l l e c t i o n 」 、 「 P r o Q u e s t - E d u c a t i o n J o u r n a l s 」 中 以 「 數 學 」 、 「 錯 誤 類 型 」 、 「 數 學 障 礙 」 等 關 鍵 詞 進 行 檢 索 ， 此 外 ， 並 參 考 A s h l o c k

（ 1 9 9 8 ） 與 訪 談 教 師 實 際 教 學 ， 整 理 歸 納 出 學 生 在 整 數 計 算 過 程 中 容 易 出 現 的 錯 誤（ 請 參 閱 表 2 - 1 ）。以 下 將 從 各 類 錯 誤 類 型 進 行 討 論 。

（ 一 ） 數 概 念

因 對 數 概 念 不 清 楚 所 造 成 的 錯 誤 包 括 了 ： 1 . 對 「 0 」 的 錯 誤 概 念，例 如：0 - N ＝ 0、0 ＋ N ＝ 0、N - 0 ＝ 0（ 朱 瑞 珠，1 9 9 8；陳 麗 玲，1 9 9 3 ； 梅 文 慧 ， 2 0 0 3 ； 楊 瑞 智 ， 1 9 9 0 ，E n g e l h a r d t 1 9 9 0 , 1 9 7 7 ; L e r n e r , 2 0 0 3 ; R e s n i c k & O m a n so n ,1 9 8 7 ; V a n l e h n）； 2 . 從 任 意 數 開 始 N 個 一 數 往

道 或 不 熟 悉 合 十 的 概 念 ， 例 如 ： 不 知 道 或 不 熟 悉 7 和 3 能 湊 成 1 0；4 . 欠 缺 位 值 之 概 念，例 如：不 知 道 或 不 清 楚 2 3 的 2 代 表 2 0，

3 代 表 3 ； 5 . 不 知 道 或 不 清 楚 運 算 符 號 （ ＋ ， － ， × ， ÷ ） 的 意 義 與 規 則 （ 陳 麗 玲 ，1 9 9 3 ; B r y a n t , B r y an t , & H a m m i l l , 2 0 0 0 ）； 6 . 不 知 道 或 不 清 楚 運 算 符 號 （ ＋ ， － ， × ， ÷ ） 之 間 的 關 係 ； 7 . 不 知 道 或 不 清 楚 等 號 的 對 等 關 係 ， 於 算 式 中 不 正 確 地 使 用 等 號 ， 例 如 ： 會 寫 出 4 ＋ 2

＝ 6 ＋ 3 ＝ 9 這 樣 的 算 式 ； 8 . 解 應 用 題 時 ， 不 能 選 用 正 確 的 運 算 符 號

（ 陳 國 雄 ， 2 0 0 6， 陳 麗 玲 ， 1 9 9 3； 秦 麗 花 ， 1 9 9 5 ;E n g e l h a r d t , J o r d a n

& H a n i c h , 2 0 0 0 ） 。

（ 二 ） 基 本 數 事 實

基 本 數 事 實 的 錯 誤 包 括 了 ： 1 . 學 生 不 知 道 或 不 熟 悉 數 字 之 間 的 關 係 ，例 如 ： 不 能 很 快 反 應 7 比 6 多 1 ， 或 7 比 9 少 2 ， 或 是 ； 2 . 在 進 行 一 位 數 加 一 位 數、一 位 數 減 一 位 數、二 位 數 減 一 位 數 與 個 位 數 乘 法 的 計 算 時 ， 計 算 速 度較 慢、呈 現 較 多 的 錯 誤，顯 示 學 生 計 算 能 力 未 達 到 精 熟 的 程 度 ( 林 逸 文 ， 2 0 0 2 ； 林 穎 義 ， 2 0 0 2 ； 楊 招 謨 ， 2 0 0 8 ； 秦 麗 花 ， 1 9 9 5 ； 蔣 淑 琪 ，2 0 0 5 ； A n d e r s s o n , 2 0 0 8 ; B a i n b r i d g e , 1 9 8 1 ; G e a r y , H o a r d , &

H a m s o n ,1 9 9 9 ; J o rd a n & H a n i c h 2 0 0 0 ;Jo r d an , H an i c h , & K a p la n , 2 0 0 3 ; L e r n e r , 2 0 0 3 ; O s t a d , 1 9 9 7 ,1 9 9 8 ; R u s s e l l & G i n s b u rg , 1 9 8 4 )， 且 學 生 也 常 出 現 使 用 不 成 熟 的 策 略 的 情 形 （Br y a n t , B ry a n t , & H a m m i l l , 2 0 0 0 ; G e a r y , H o a r d , & H a m s o n , 1 9 9 9 ; G e ar y , H a m s o n & H o ar d , 2 0 0 0 ; H a n i c h J o r d a n , K a p l a n , & D i c k , 2 0 0 1 ; R u s s e l l & G i n s b u r g , 1 9 8 4 ） 。

（ 三 ） 多 位 數 計 算

學 生 在 進 行 多 位 數 的 計 算 時 ， 常 因 不 知 道 或 不 清 楚 計 算 規 則 而 造 成 計 算 錯 誤 的 情 形 發 生，包 括 了：1 . 由 錯 誤 方 向 開 始 計 算，例 如 ： 由 右 至 左 、 由 下 到 上 計 算 （ 王 瑋 華 ， 2 0 0 1 ； 林 穎 義 ， 2 0 0 2 ； 周 台 傑

＆ 陳 麗 玲 ， 1 9 9 3 ； 秦 麗 花 ， 1 9 9 5 ； 梅 文 慧 ， 2 0 0 3 ； 黃 偉 鵑 ， 1 9 9 4 ；

H a m m i l l , 2 0 0 0 ; L e r n e r , 2 0 0 3 ）；2 . 直 式 計 算 時，由 左 到 右 排 列 數 值（ 陳 麗 玲，1 9 9 3；黃 偉 鵑，1 9 9 4 ），例 如：1 2 ＋ 2 3，寫 直 式 時 會 變 成 1 2 + 3 2；

3 . 進 位 的 錯 誤 ， 例 如 ： 不 須 進 位 而 進 位 、 未 加 進 位 數 值 、 寫 錯 進 位 數 值、進 位 數 全 部 加 到 最 左 邊 的 數 等（ 林 逸 文，2 0 0 2；陳 國 雄，2 0 0 6；

陳 麗 玲，1 9 9 3；黃 偉 鵑，1 9 9 4; A s h l o c k , 1 9 9 8 ; G u , 2 0 01 ; J o r d a n & H a n i c h , 2 0 0 0 ; L e r n e r , 2 0 0 3 ）； 4 . 退 、 借 位 的 錯 誤 ， 例 如 ： 不 須 借 位 而 借 位 、 不 須 退 位 而 退 位 、 未 借 位 ， 卻 把 十 位 數 減 一 、 借 位 後 數 字 未 消 耗 、 借 1 當 1 0，卻 忽 略 原 有 被 減 數 位 值、跨 越 借 位、向 最 左 邊 位 數 借 位（ 朱 瑞 珠，1 9 9 8；陳 麗 玲，1 9 9 3；楊 招 謨，2 0 0 8 ; A s h l o ck ,1 9 9 8 ; B ry a n t , B r y an t

& H a m m i l l , 2 0 0 0 ; J o r d a n & H a n i c h ,2 0 0 0 ; R e s n i c k , 1 9 8 7 ; V a n l e h n , 1 9 9 0 ）。

在 加 、 減 法 計 算 方 面 的 錯 誤 類 型 ， 包 括 了 ： 1 . 將 被 加 數 的 數 字 相 加 當 作 結 果 的 十 位 數 ， 加 數 的 數 字 相 加 當 作 結 果 的 個 位 數 （ 陳 麗 玲 ， 1 9 9 3； 黃 偉 鵑 ， 1 9 9 4； L e r n e r , 2 0 0 3 ） ； 2 . 以 同 位 數 的 大 數 減 小 數（ 朱 瑞 珠， 1 9 9 8；陳 麗 玲，1 9 9 3；楊 瑞 智，1 9 9 0 ; A s h l o ck ,1 9 9 8 ; J o rd a n H a n i c h， 2 0 0 0 R e s n i c k , 1 9 8 7 ; V a n l e h n , 1 9 9 0 ）； 3 . 擺 位 錯 誤 ， 例 如 ： 3 5 +2 = 5 5 、 4 3 - 2 = 2 3 ； 4 . 當 被 加 （ 減 ） 數 比 加 （ 減 ） 數 位 數 多 時 ， 多 出 來 的 位 數 加 上 加（ 減 ）數 的 第 一 個 數 字（ 陳 麗 玲 ， 1 9 9 3； 朱 瑞 珠 ， 1 9 9 8 ; A s h l o c k , 1 9 9 8 ; L e r n e r 2 0 0 3 ） ， 例 如 ： 3 5 - 2 ＝ 1 3 ， 3 5 + 2 ＝ 5 7 。 在 乘 除 法 方 面 的 錯 誤 類 型 則 是 有 ： 1 . 個 位 乘 個 位 、 十 位 乘 十 位 （ 百 位 ）， 例 如 ： 1 2 × 1 2 ＝ 1 4； 2 . 在 進 位 時 ， 先 相 加 到 被 乘 數 的 十 位 處 ， 再 以 乘 數 ， 乘 以 被 乘 數 的 十 位 數 ， 例 如 ： 1 2 × 6 = 1 2 2 . 3 . 將 所 有 數 字 視 為 個 別 的 單 位 計 算 ， 例 如 ： 6 6 × 2 = 1 2 1 2 4 . 餘 數 的 錯 誤 ， 包 括 了 忘 記 擺 放 餘 數 或 是 出 現 於 餘 數 大 於 或 等 於 除 數 的 情 形 （ 楊 招 謨 ，

2 0 0 8 ; A s h l o c k , 1 9 9 8 ） 5 . 由 右 至 左 排 列 商 數 （As h l o c k ,1 9 9 8 ） ； 5 . 當 除 數 數 值 大 於 被 除 數 時 ， 將 除 數 當 作 被 除 數 （A s h l o c k , 1 9 9 8 ） 6 .需 補 零 處 未 補 零 ，2 0 5 ÷ 2 = 1 2（ A n g h i l e r i , 2 0 0 1 ; A s h l o c k , 1 9 9 8 ） 擺 位 錯 誤 ， 例 如 ：21 5 ÷2 ＝ 1 7 0 （ A n g h i l e r i , 2 0 0 1 ; A s h lo c k , 1 9 9 8 ） 8 . 不 知 道 或 不

清 楚 先 乘 除 後 加 減 的 計 算 規 則 ； 9 . 不 知 道 或 不 清 楚 括 號 內 先 計 算 的 規 則（ 王 瑋 華 ， 2 0 0 1； 林 穎 義 ， 2 0 0 2； 陳 麗 玲 ， 1 9 9 3； 秦 麗 花 ， 1 9 9 5 ； 蕭 金 土 ， 1 9 9 5 ） 。

二 、 小 結

綜 合 上 述 ， 這 是 一 般 小 學 生 常 見 的 數 學 計 算 錯 誤 類 型 ， 當 數 學 概 念 為 熟 捻 之 初 ， 所 出 現 的 失 誤 ， 可 作 為 對 視 覺 障 礙 學 生 在 數 學 學 習 上 ， 可 能 碰 上 的 困 難 ， 做 為 參 考 。