第二章 文獻探討
第二節 乘除法類型與相關的研究
一、乘除法類型
乘除法則可能涉及二維或三維的度量空間，比一維度空間的加減法問 題複雜許多。關於「乘除法類型」分類的方式很多，本研究採取語意結構 的觀點分析，分成下列五種模式加以說明 (林碧珍，1991) ：
(一) Vergnaud (1988) : 從向量空間和向度 (dimension) 的觀點對乘除法問 題進行分析。
(二) Schwartz (1988) : 從問題中内涵量（intensive measures) 和 (extensive measures) 的觀點對乘除法問題進行分析。
(三) Greer (1987) : 以符號 STS，SSS，SRS 乘的結構將乘除法問題分類。
(四) Nesher (1988)：將乘法問題分類為三種。
(五) Usiskin & Bell (1983) : 乘法應用的觀點對乘除法問題進行分類。
以下針對此五種模式加以說明：
(一) Vergnaud 模式
Vergnaud (1988) 提出有關概念發展的研究，他認為單一概念不能只用 單一種情境來說明，而且單一情境也無法僅以一種概念加以分析。對於學 生數學概念的研究，他採用概念域 （conceptual fields) 的觀點來探討。所 謂的概念域，就是分析某一概念所需要的一組情境。例如：分析「簡單比 例」與「多重比例」的問題情境時，需要用到乘除結構的概念域。所以，
Vergnaud 模式是從度量空間和向度的觀點，將乘法的結構分為量數同構型 (isomorphisms of measures)、叉積型（product of measures)和多重比例型 (multiple proportion)三種：
1.量數同構型
涉及二個度量空間 M1與 M2的直接比例關係。其中同一度量空間内包 含兩個相異的數，x1和 x2屬於 M1，f(x1)和 f(x2)屬於 M2；x1和 x2、f(x1)和 f(x2)存在放大常數倍或縮小的關係，或在不同的兩個度量空間 M1 與 M2 之間，存在有一值為常數的函數關係，其關係如表 2-2-1：
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表 2-2-1
Vergnaud 量數同構型
M1 M2
x1 f(x1) x2 f(x2)
此結構若 x1=1，探討三個值的關係，依未知數所在的位置不同，可分 為乘法問題、等分除問題、包含除問題；若 x1 ≠ 1，探討三個值的關係，
則將這類問題稱為「3 的規則」，其關係如表 2-2-2：
表 2-2-2
Vergnaud 量數同構型問題題型
類型 x1 x2 f(x1) f(x2) 範例
乘法問題 1 6 5 未知 一袋橘子有 5 顆，6 袋橘子共 有幾顆？
M1=(袋)；M2=(顆) 等分除問題 1 4 未知 28
將 28 顆橘子，平分成 4 袋，
每袋有幾顆？
M1=(袋)；M2=(顆) 包含除問題 1 未知 4 28
將 28 顆橘子，每 4 顆裝成一 袋，可裝成幾袋？
M1=(袋)；M2=(顆)
3 的規則 7 3 70 未知 7 支筆賣 70 元，同樣的筆 3 支賣多少元？
M1=(支)；M2=(元)
Vergnaud (1988)研究發現，以上四種問題的學習層次，以「3 的規則」
最難，乘法問題最簡單。
2.叉積型
二個度量空間 M1與 M2的叉積合成，而產生第三個度量空間 M3。因 此，這類的問題涉及到三個度量空間。叉積 (cross products) 是兩集合的積 集合，是由有序對 (order pair) 所構成的集合，其關係如表 2-2-3：
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表 2-2-3
Vergnaud 叉積型關係 (M2)
x2
(M1) x1 f(x1,x2) (M3)
依未知數所在位置的不同，又分為乘法問題與除法問題，如表 2-2-4：
表 2-2-4
Vergnaud 叉積型問題類型
類型 x1 x2 f(x1 , x2) 範例
乘法問題 6 7 未知
長方形的長 6 公分、寬 7 公分，
則長方型的面積為 多少平方公 分？
除法問題 未知 8 72 長方形面積 72 平方公分，寬為 8 公分，則長為多少公分？
9 未知 72 長方形面積 72 平方公分，長為 9 公分，則寬為多少公分？
3. 多重比例型
涉及到三個度量空間 M1、M2 和 M3，其中 M3 度量空間與另外兩個 獨立的度量空間 M1、M2 成比例，是探討四個值的關係，如表 2-2-5：
表 2-2-5
多重比例關係
(M2)
x2 x2’ x1 f(x1 , x2)
(M1)
x1’ f(x1’ , x2’) (M3)
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Schwartz (1988)的乘法結構是從問題中的內涵量（intensive measures) 和外延量 (extensive measures) 考慮。Schwartz (1988) 將乘法以語意關係
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依外延量的組合情形，内涵量分為四種：(1) D/D ,如：人/隊；(2) C/D，如：
公升/瓶；(3) D/C，如：輛 /小時；(4) C/C，如：公里/時。
Schwartz (1988)將乘除問題分類如下：
1. ( I, E, E’ )結構
依三個量是已知或未知的關係，分為 I × E = E’ 、E’ / E = I、E’ / I= E 三種類型 (表 2-2-7 )。
表 2-2-7
Schwartz (I，E，E')問題類型
類型 關係 範例 說明
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等。例：小美有彈珠 10 顆，小亮的彈珠是小美的 5 倍，則小亮有多少顆 彈珠？
S=5、E=10 顆、E’為未知數。
(三) Nesher (1987) 模式
Nesher (1988) 認為學生對於文字題的解題困境在於無法將自然語言 所表徵的情境轉化為數學語言表徵，所以他對乘除文字題的研究著重在問 題中所涉及的「内文」如何轉化成為「數學語言」之探討。他參考 Vergnaud 和 Schwartz 乘法結構模式，將乘法問題分類為三種，每一種命題結構包 含三部分：
1. 函數規則的乘法問題
例如：小華有口香糖 5 條，每條口香糖有 7 片，小華共有幾片口香糖？
第一部份：說明一般的術語，有 n1個 x ,每一個 x 有 y，即存在有一個 敘述是描述兩個值 p(x , y)。（每條口香糖有 7 片）
第二部份：呈現一個映射規則個 x 對應到 y 的關係，是每一說明 p(x , y)中 x 與 y 的關係。(小華有 5 條口香糖）
第三部分：求答，共有多少個 y？ (小華共有幾片口香糖）
2. 比較型問題
例如：妹妹有 100 元，姊姊的錢是妹妹的 7 倍，則姊姊有多少元？
第一部份：有一參考集合 y 有 n1個元素 (妹妹有 100 元)。
第二部份：有一特殊的函數關係，將每一個參考集合 y 中的元素對應 到比較集合 x 的關係(姊姊的錢是妹妹的 7 倍)。
第三部分：求答，求出比較集合的元素個數 (姊姊有多少元？)。
3. 乘法叉積問題
例如：教室桌椅正好排成 6 行 5 列，問教室内共有幾張桌子？
第一部份和第二部份是描述兩個獨立的集合 (6 行桌子和 5 列桌子)。
第三部份：求答，有多少 z，z 是一個 x 與一個 y 的交乘積 (共有幾張 桌子？)。
(四) Greer 模式
Greer (1987) 是以符號 STS、SSS、SRS 乘法結構將乘除法問題分類。
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1. STS : 最初量(S)受到一種變換(transfornation)( T)造成另一個量(s)。而依 未知數所在的位置不同，又可以分為乘法問題(ST|S|)、等分除 (|S|TS)、 包含除(S|T|S)三種類型，此種結構相當於 Vergnaud 的度 量同構和 Schwartz 的( I，E，E’ )三元組。
2. SSS : 由二個量結合而成為第三個量，相當於 Vergnaud (1988)的叉積型 與 Schwartz (1988)的 ( E，E'，E” ) 三元組，常應用在長方形的陣 列、組合、面積等問題。
3. SRS：有一種關係(relation)R，存在於二個量中，相當於 Schartz (1981) 的( S, E, E' ） 乘法類型，此結構未歸在 Vergnaud (1988)的模式中。
(五) Usiskin & Bell (1983)的觀點
Usiskin & Bell (1983)以乘法應用的觀點，將乘法意義分為：
1. 比例因子類或相同等集合問題
此類型與連加法關係密切，基本算式為：
比例因子×數量=另一個量，這類問題相當於 Schwartz 模式的(I, E, E’）
和 Greer (1987)的 STS，以及 Nesher (1988)的函數規則問題。
1. 交叉運作或叉積
兩量交互運作之後，會得到一個具有複合單位的量，這種問題相 當於 Schwartz 模式的( E, E’, E” )。
2. 大小改變類或常量問題
原始量×改變大小的比率=改變後的量，其中改變大小的比率是一 個數值，沒有單位，如：倍數、利率、折扣……等，都可作為「改 變大小的比率」的因子，此種運算因子可以有二個或二個以上，相 當於 Schwartz 模式的 (S, E, E’)和 Greer 的 SRS 以及 Nesher 的比較 型問題。
以上各種乘除法模式的意義雖是相同的，但其所分類的觀點卻有所不 同。將其分析比較如表 2-2-8，其中同一欄的模式，意義是相同的:
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二、乘除法相關的研究
王秋芳 ( 2012 ) 以三年級數學科乘法和除法文字題為研究教材，透過 乘除互逆的概念，進行策略性探討，研究學生透過實際教學活動後，對於 乘除問題的解題能力是否可以提升。研究結果發現：(1)以乘法策略處理乘 除問題的教學策略可提升三年級學童的解題能力並具有良好的保留效果；
(2)乘除問題同時學習，對於乘除概念的連結有幫助，可以達到乘除互逆概 念的完整性；(3)實施「以乘法策略處理乘除問題」的教學策略，學生的解 題能力可以延伸至五年級「怎樣列式」單元。
馬秀蘭 ( 2007 ) 探討學童對乘除法算式發展問題歷程中涉及的知識，
文中指出學生若要成功發展問題必須具有策略性 (檢視列式)、基模(情境、
結構類型)、語意 (事物表示) 和語文 (正確中文表之 )四種知識。結果發 現：在發展問題時，學生之認知結構可透露出此四種知識，且學童涉及的 知識及內涵會受算式數字型式(如乘數是小數，非整數之被除數大於或小於 除數)影響。
表 2-2-8
乘除法類型之比較
模 式 乘 除 類 型
Vergnaud 叉積型 量數同構型 多重比例型
Schwartz (E, E’ ’, E’’) (I, E,E’) (S,E,E’) (I, I’, I’’) Nesher 叉積型 函數規則 比較型
Greer SSS STS SRS Usiskin & Bell 交叉運作 比例因子類
型
大小改變型
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