分數的意義與相關研究

“分數”一詞來自於拉丁文「frangere」，它的意思為打破、分開。「frangere」

一字，通常是用來描述一個被分開的全體之各部分 (羅鴻翔譯，1980)。 分

6

教育部九年一貫課程綱要 (教育部，2003，2008) 中指出分數是指能化為 p q

型態，且 p、q 皆為整數者，其中 p≠0 (教育部，2008) 。由上述可知：分 數的等價集 (等值分數) 是有理數。而且，九年一貫課程綱要中指出小學的 有理數教學，必須釐清、練習並連結有理數的四種意涵：(a)平分的意涵；

(b)測量的意涵；(c)比例的意涵；(d)部分/全體的意涵。並在數學學習中歸 結成有理數最核心的意涵─「除的意涵」(教育部，2008)。

除此之外，國內外學者認為分數具有多重的意義：

(一) Behr, Lesh, Post & Silver (1983) 認為分數的意義有：

1.分數測量 (fraction measure) 2.比 (ratio)

3.平均 (含速度、密度) 4.商 (quotient)

5.線性座標 (linear coordinate) 6.小數 (decimals)

7.運算元 (opwrator)

(二) Dickson, Brown & Gibson (1984) 對分數提出的解釋是：

1.整個區域的子區域

2.子集合和全體集合的比較 3.數線上兩整數間的一點 4.除法運算的結果

5.兩個集合或兩個測量物大小的比較

(三) Kieren (1988) 提出的分數概念，包含五種子建構：

1.部分-整體 (part-whole) 2.測量 (measure)

3.商 (quotient) 4.比值 (ratio) 5.運算元 (operator)

7

(四)楊壬孝 (1988) 認為分數有四種意義：

1.一個全體的相等部分 2.一個集合等分後的幾組 3.數線上的一個數值 4.兩數相除的結果

(五)林碧珍 (1990) 對於分數的定義，包含下列五種情形：

1.部分-整體模式：全部區域的部分區域，以連續量 (長度、 面積、容 積) 為主。

2.子集合-集合模式：集合中的部分集合。

3.數線模式-數線上上的一個數值。

4.商模式-兩個整數相除的結果。

5.比值模式-二個集合或兩個度量相除的結果。

(六)楊瑞智 (2000），認為分數概念具有以下十種意義：

1.部分/全部 (連續量) 2.子集合/集合 (離散量) 3.乘法運算元

4.等值分數

5.整數除法的結果

6.分數是一個數/數線上的一個點 7.平均 (含速率、密度）

8.當量

9.比例中的比和比值 10.機率

綜合上述國內外學者的觀點，分數有多重的意義，可以描述部分-全體 的關係、有測量的意涵、涉及到兩個量的比較 (比和比值的意義)、整數除 法的結果 (商模式)、平分的意涵、數線上的一個數值及運算元等。由此可 知，隨著使用情境不同，分數呈現出不同的意義。

8

三、分數於數學課程中的編排

(一)九年一貫 (92 課綱) 關於分數的能力指標 (教育部，2003) 第一階段 (一至三年級 )

N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比 較與加減問題。

第二階段 (四至五年級)

N-2-06 能理解分數之「整數相除」意涵。

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數。

的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減 問題。

N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

N-2-14 能理解比率及其在生活上的應用。

第三階段六至七年級

N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用 來將分數約成最簡分數。

N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題。

N-3-05 能理解比、比例、比值與正反比的意義，並解決生活中的 問題。

N-3-07 能熟練比例式的基本運算。

(二)九年一貫 (97 課綱) 關於分數的能力指標 (教育部，2008) 第二階段 (三四年級)

N-2-09 能在具體情境中，初步認識分數。

N-2-10 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、

加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。

N-2-11 能理解分數之「整數相除」的意涵。

9

N-2-12 能認識等值分數，並做簡單的應用。

N-2-16 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分 數。

第二階段 (五、六年級)

N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用 來將分數化成最簡分數。

N-3-06 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-3-07 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減 問題。

N-3-09 能理解分數 (含小數) 乘法的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。

N-3-10 能理解分數 (含小數) 除法的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。

N-3-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用。(同 92 課綱 N-2-14) N-3-15 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。(修

N-3-05)

N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活 中的問題。(修 92 課綱 N-3-05)

N-4-04 能熟練比例式的基本運算。(同 N-3-07)

以上得知，九年一貫 (92 課綱) 課程數學學習領域綱要分段能力指標 中，「數與量」四個階段的能力指標共有 58 個，其中 N-1-09、N-2-06、 N-2-07、

N-2-08、 N-2-09、N-2-11、 N-2-13、 N-2-14、N-3-02、 N-3-03、N-3-05、

N-3-07 是關於「分數概念」的能力指標，共 12 個，占「數與量」主題能 力指標的 20.7%。同樣的，在九年一貫 (97 課綱) 課程數學學習領域綱要 分段能力指標中，「數與量」四個階段的能力指標共有 76 個，其中 N-2-09、

N-2-10、 N-2-11、 N-2-12、 N-2-16、 N-3-05、 N-3-06、N-3-07、 N-3-09、

N-3-10、N-3-13、 N-3-14、N-3-15、N-4-03、N-4-04 是關於「分數概念」

10

的能力指標，共 15 個，占「數與量」主題能力指標的 19.7 %。由此可知，

「分數」在國小數學課程上有相當的重要性。

四、分數的相關研究

「分數」在國小數學課程上是相當的重要的一個主題，但是對中、高

年級學生而言，是較為複雜難懂的概念 (林碧珍，1990)，且學生在解題時，

經常逃避使用分數 (呂玉琴，1991)。楊瑞智 (2000) 針對 57 位非數理系的 師院生做研究，發現多數的師院生對分數概念了解，相當的侷促與不足，

且 20 位 (約 3

1) 說明假分數的意義有困難，27 位 (約 2

1) 在合理解釋分數 乘法的意義上有困難(只能賦予程序系的解釋，缺乏關係性的說明)。

由上述可知，分數單元不論年齡，皆有不同程度的困難存在。因此，

增進學生分數相關課程的了解將是教師及研究者努力的目標。

Piaget, Inhelder & Szeminska ( 1960) 認為兒童要能理解分數的意義，

必須具有七個子概念：

(一) 能將整體分割：必須有一個可除盡的全體。

(二) 能決定部份量：一個分數包括各部份的限定數(determinant)，分配東 西時，各部份須與接受者相對應。

(三) 分割必須窮盡：子分割活動中，全體須被耗盡且沒有餘數。

(四) 能理解分割數和全體之間，有一種固定的關係。

(五) 分割後的每一部分皆相等。

(六) 了解部份來自於全體，而且部份也是一個可再細分的全體。

(七) 了解部份從全體而來，部份的總和等於全體，且全體是不會改變的。

綜合上述，Piaget et al. ( 1960 ) 的七個分數子概念具備之後，學生分 數的概念就能更清楚。關於分數概念，中外研究文獻相當的多，許多有關 於學童分數概念理解的研究，大都以 Piaget et al. ( 1960 ) 對分數理解的子 概念為基礎來進行。由此可見，如何促進學生對於分數概念的理解與應用，

應是分數教學上必須努力的方向。但是因研究目的與研究設計之差異，可 能採取不同的研究方法，以下依研究方法摘要部分文獻，分類如表 2-1-1 。

11

12 略（Integrated EduClick

＆ MathPS Diagnostic Teaching Strategy）對國

13