第三章 研究方法
第四節 研究工具
表 3-3-1
正式施測人數統計表
班級代號 男生 女生 小計
A 18 14 32
B 19 12 31
C 17 12 29
D 18 10 28
E 15 13 28
F 16 13 29
G 13 13 26
H 15 12 27
合計 131 99 230
第四節 研究工具
本研究的研究工具分為三類，分別是「分數除法擬題測驗」、「分數除 法解題測驗」與「半結構性晤談大綱」。此三類測驗為研究者自編的紙筆 測驗，前兩類採團體施測方式進行，後一類採一對一個別晤談。本測驗的 教材內容採「跨版本」方式。因此，版本的差異性，不在本研究的討論範 圍。各類研究工具分別說明如下：
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一、分數除法解題測驗 (一) 試題設計
本研究的解題測驗試題的設計是採用「數學文字題解題」，即將「文 字表徵」轉換為「算式表徵」。因為從解題的算式過程(算式表徵)中，
可以了解答題者概念的了解程度及作答的迷思。
(二)「分數除法解題測驗」的題型分類
本研究以 Vergnaud(1988)的乘除結構模式為依據，再加上 Nesher(1988) 的比較型，將符合算式(分數除法)的解題分為「量數同構型 2 的規則」、
「量數同構型 3 的規則」、「比較型」、「叉積型」、「多重比例型 4 的規 則」和「多重比例型 5 的規則」六種類型。
1. 量數同構型：涉及到二個度量空間 M1、M2的直接比較，而且每個 度量空間均包含兩個相異數，其結構是一種探討四個值關係的乘 除法問題。依四個數值中是否有一個值為 1，分為「2 的規則」和
「3 的規則」兩種類型：
(1) 2 的規則：如表 3-4-1 三個值中的兩個值，求未知的值。
表 3-4-1 2 的規則關係
M1 M2
1 f(1)
a f(a)
註： f(l):最初量 a:變換量 f(a):最终量
(2) 3 的規則：己知四個值中的三個值，求未知的值。
表 3-4-2 3 的規則關係
M1 M2
a1 f(a1)
a2 f(a2)
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2. 比較型：將一個基準量以某種特殊的函數關係對應到一比較量的乘 除法問題，型如：a × s = b a :基準量 s :常量 b：比較量 3. 叉積型：由二個度量空間的叉積合成而產生第三個度量空間，是屬
於「兩個集合的積集合」的乘除法問題，型如：a × b = c a，b 為最初量 c 為複合量
4. 多重比例型：涉及到三個度量空間，是二個簡單比值的合成是否依 此類型的基本量為而分成「4 的規則」和「5 的規則」兩種。
(1) 4 的規則：依題目的量分為「分離量和連續量」和「全為連續量」。 表 3-4-3
4 的規則關係
(M2)
1 b
1 f(11,1)
(M1) a f(a ,b) (M3)
註：M1, M2, M3 三個度量空間 1,1：基本量 a,b：變化量 f(1,1)：最初量 f(a,b)：最終量
(2) 5 的規則：依題目的量分為「分離量和連續量」和「全為連續量」
表 3-4-4 5 的規則關係
(M2)
b1 b2
a1 f(a1,b1)
(M1) a2 f(a2,b2’) (M3)
註：M1,M2,M3 三個度量空間 a1 , b1：基本量 a2 , b2：變化量 f (a1, b1)：最初量 f(a2, b2)：最終量
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(三) 「分數除法解題測驗」問題情境類型
本研究以測驗內容的問題情境以林碧珍 (1991)「國小兒童對於乘除法 應用問題之認知結構」的問題情境為依據，將分數除法的問題類型分 為「度量的累加」、「度量的推算」、「倍數問題」、「面積」、「分散量連 續量問題」等五種。
(四) 編製作答說明及教師指導手冊
為了讓受試者了解測驗的主旨與作答方式，研究者於「分數除法擬題 測驗」題目中附帶作答說明，希望學生在最沒有壓力的情況下，呈現 出他們最真實的表現。此外，研究者編製了教師施測之指導手冊 (詳 見附錄二 、附錄四)，提供教師參考，並可維持測驗的一致性，減少 系統性的誤差。
(五)預試 1.對象
以臺中市南屯區 A 國民小學六年級 120 位學生為預試對象，預試 樣本與正式樣本不重疊，如表 3-4-5：
表 3-4-5
預試人數統計表
班級代號 男生 女生 小計
I 班 18 12 30
J 班 18 14 32
K 班 17 12 29
H 班 19 10 29
合計 72 48 120
2.時間
預試時以讓學生寫完為原則，所以測驗時並沒有時間限制。預試時 約有 90%的學生在 40 分鐘內完成「分數除法解題測驗」，但全部學生完 成需 50 分鐘。因此，「分數除法解題測驗」正式施測訂為 50 分鐘。
3.信度
本測驗採內部一致性方法，以 Cronbach’s α 係數為信度，藉以瞭解 學生在本研究測驗中工具。本測驗之Cronbach’s α 係數.801，顯示本測
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50
Pb=
2
L
H P
P
其中，Pb 為難度指數，PH為高分組通過的百分比，PL為低分組通 過的百分比。在本研究中，Pa (通過率)和 Pb (難度指數)愈大，表 示試題難度愈低；Pa (通過率)和 Pb (難度指數)愈小，表示試題難 度愈高。
「鑑別度分析」的主要目的在區別受試者潛在特質高低的程度，試 題具有鑑別某種心理特質的作用，才能使到測驗成為有效的測驗工具。
鑑別度分析有三種方式：
(1)高低分組的通過率差距
先將受試者依測驗總分的高次序排列，取全體人數 25% –33%得分 最高的受試者為高分組，全體人數 25% –33%得分最低的受試者為 低分組，然後比較高分組和低分組在個別試題上通過的人數百分比，
作為鑑別指數（index of discrimination) 。 D =PH −PL
其中，D 為鑑別指數，PH為高分組通過的百分比，PL為低分組通 過的百分比。
(2) t 檢定（t-test):
比較高低分组受試者的平均答對率，若高低分組的平均答對率有顯 著的差異，則試題具有鑑別度。
(3)相關係數分析法：
試題鑑別度的分析，以每個試題與總分間的關聯性來表示，若達顯 著水準，表示試題的得分高低與總分高低愈一致，則為鑑別度良 好。
本研究的難度及鑑別度，經統計分析如表 3-4-7：
表 3-4-7
分數除法解題測驗難度與鑑別度分析(預試)
題目 難度 鑑別度
P PH+PL/2 PH-PL r
1 .97 .96 .09 .311**
(續下頁 )
51
2 .92 .89 .19 .324***
3 .84 .79 .36 .439***
4 .75 .68 .48 .482***
5 .67 .63 .63 .573***
6 .61 .54 .74 .642***
7 .41 .39 .66 .574***
8 .92 .89 .16 .300***
9 .85 .83 .23 .407***
10 .78 .75 .13 .192*
11 .92 .90 .17 .317***
12 .60 .56 .64 .545**
13 .44 .49 .76 .582***
14 .16 .19 .37 .489***
15 .12 .15 .31 .498***
16 .33 .40 .79 .681***
17 .13 .18 .30 .516**
18 .08 .10 .21 .458***
19 .03 .05 .10 .338***
整體試題 .55 .55 .39
*p<.05 ** p< .01 *** p< .001
本測驗難度分析結果，如表 3-4-7 所示，以通過率而言，介於.03 至.97，
整體試題通過率平均為.55 ；又以難度指數加以分析，介於.96 至.05，整 體試題通過率平均為.55。
本測驗鑑別度分析結果如表 3-4-7，鑑別指數介於.09 至.79， 整體試 題鑑別指數平均為. 39，因此為具有良好鑑別度之測驗。
由各題與總分的相關係數分析，每一題皆達顯著水準 (p <.05)，
與總分為高相關，顯示本測驗試題具有一致性。
52
53
4C 缺乏單位或單位詞使用錯誤 5 分 資料適中
(四)預試
1.對象：同「分數除法解題測驗」，共計 120 人。
2.時間
預試時以讓學生寫完為原則，所以測驗時並沒有時間限制。預試 時，全部的學生都可以在 40 分鐘內完成「分數除法擬題測驗」。因此，
「分數除法擬題測驗」正式施測也訂為 40 分鐘。
3.信度
本測驗採內部一致性方法，以 Cronbach’s α 係數為信度。本測驗之 Cronbach’s α 係數.73，顯示本測驗工具具有信度。
4.效度
本測驗採內容效度，由表 3-4-9 可以得知題目涵蓋本測驗在「分 數除法」的擬題編製原則及欲測量的內容。
表 3-4-9
分數除法擬題雙向細目表
未 知 數 位 置 未
知 數 數 值 類 型
被除數 除數 商
分數 5 3 1
整數 6 4 2
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5.難度及鑑別度
本研究的難度及鑑別度，經統計分析如表 3-4-10：
表 3-4-10
分數除法擬題測驗難度及鑑別度分析(預試)
難度 鑑別度
題目 P PH+PL/2 PH-PL r t 1 .91 .91 .13 .310*** 3.16**
2 .87 .88 .18 .478*** 4.21***
3 .70 .68 .53 .812*** 22.39***
4 .79 .74 .43 .718*** 10.10***
5 .67 .67 .42 .707*** 10.43***
6 .70 .68 .53 .781*** 18.43***
整體試題 .77 .76 .37
** p< .01 *** p< .001
本測驗難度分析結果如表 3-4-10 所示，以通過率而言，介於.67 至.91，整 體試題通過率平均為.77 ；又以難度指數加以分析，介於.67 至.91，整體 試題通過率平均為.76。
本測驗鑑別度分析結果如表 3-4-10，鑑別指數介於.13 至.53， 整體試 題鑑別指數平均為. 37，因此為具有良好鑑別度之測驗。
由各題與總分的相關係數分析，每一題皆達顯著水準（p <.001)，
與總分為高相關，顯示本測驗試題具有一致性。
再以 t 檢定分析結果，顯示高低分組受試者之平均答對率有顯著差異
（p <.01），其每一題高分組之平均答對率皆優於低分組平均答對率，顯示 本測驗能區分出高低分组的表現，具有高度鑑別力。
綜合以上之分析，顯示本「分數除法解題測驗」、「分數除法擬題測驗」
具有適當的鑑別度與信效度，因此決定以此為「分數除法解題測驗」、「分 數除法擬題測驗」之正式施測內容。(詳見附錄一和附錄二)
三、半結構性晤談大綱
研究者利用半結構性的晤談以瞭解學生擬題時的想法與分數概念，進 而分析學生因擬題所產生的錯誤類型。
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(一)訪談大綱
1.小朋友，這種「擬題測驗」(也就是題目設計的測驗)，你有沒有做過？
2.你了解「擬題」(也就是「題目設計」)的意思嗎？
3.請問你範例一的算式是屬於四則運算中的哪一種？
3 5 ÷
3
1 = ( )
4.範例一的算式是屬於哪一種數的除法？
5.你知道分數除法的算則嗎？這裡有二個題目，請你算算看？
29÷6 =( )……( ) 5
1 ÷ 3 3
2 = ( )
6.設計「分數除法」題目時，你會考慮到什麼因素，才能把問題合理 且正確的設計出來？
(譬如說：3+5=( )時，我會考慮到它是加法的問題。) (二)訪談樣本
本研究採立意取樣，訪談樣本由六年級學生中選取，依照各班「分數 除法擬題測驗」和「分數除法概念測驗」之結果，將其分為高高、高中、
高低、中高、中中、中低、低高、低中和低低共九組，再由每一組中選取 表達力較佳或擬題表現較特殊之學生共 18 人。
(三）樣本編碼
本研究的樣本編碼由分數概念結果之高、中、低分组來區別，編碼以 H、M、L 來代表「分數除法解題測驗」的高分組、中分組及低分組，編 碼 h、m、l 來代表「分數除法擬題測驗」的高分組、中分組及低分組。例 如： Hm2 代表「分數除法解題測驗」分數概念為高分、「分數除法擬題測 驗」為中分的第 2 位訪談學生。