擬題意義與相關研究

一、擬題的意義

擬題的教學活動與研究，近幾年來逐漸受到重視，國內外有許多專家 學者、數學教育工作者將「擬題」視為重要的數學教育方法（Moses, Bjork,

& Goldenberg, 1993; NCTM, 1989, 1991, 2000）。廣義來說，problem posing 是指所有的出題行為 (陶惠昭，1997)。梁淑坤 (1994）認為擬題是依自己 的想法擬出一個數學題目來。楊惠如 (2000) 認為擬題是學習者根據所學 的數學經驗，創造一個個人化的數學題目。Silver(1994) 指出擬題包含產 生新的問題和探究給定的問題情境，在解題的過程中同時形成一個新的問 題。王素幸 (2010) 認為無論是小組或個人活動，學生擬題活動是一種以 學生為主、教師從旁輔助的學習策略，也是一種學習者主動的學習過程 綜合上述研究者對擬題的看法：所謂的擬題，就是學生根據個人的生 活經驗和數學知識，在擬題的過程中，以「數學的觀點」出發，透過個人 化的思考過程來創造數學題目。

二、擬題的類型

擬題是一種表徵的轉換，依據擬題的素材 (圖片、文字、實物)、研究 方式與結果，而有不同的分類：

(一) Tsubota 以解題後擬題為主，也就是「從問題中出問題」，Tsubota 說明 出問題方法共有七個。（引自梁淑坤，1994）

1.模仿法或類題法：學習某個問題後，做出和此同樣的題目。

2.算式法：提出一個公式，再做出適用此公式的問題。

3.原理法：給與四則演算法和通分等原理，做出和此相對的題目。

4.訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必 要的條件，或做出矛盾而需訂正的方法。

5.實驗法：實驗或以具體東西的操作，再以此事項為根基做出問題。

6.自由法：以自由的題材，做成自由型式的問題。

7.題材法：給定題材來做問題。

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(二) Silver & Cai (1996) 認為擬題可以分成兩種方式：

1.由給定的題目中，再產生新的題目。

2.由情境或經驗中創造一個新的數學題目。

(三)梁淑坤的擬題類型

1.梁淑坤 (1994) 以寫故事題 (story problem) 的觀點，將擬題活動分 為：

(1)已有數學部份而欠故事内容

此類問題是透過表徵轉換活動，將數字轉為故事題。日本學者古藤 伶 (1986) 及英國學者 Greer (1991)都曾研究小朋友怎樣去寫出 5+3=8 的故事題。研究發現：小朋友在表徵轉換活動中，可以想出

「改變」型和「併加」 型、「排先後」與「加法反運算」的問題等 四類不同的故事來。從這些擬題中可以覺察學生的日常生活經驗，

也可以知道他們是否將生活與數學相結合。此外，學生在擬故事時，

有時會注意數學而忘記考慮真實生活情境，結果擬出不符合真實生 活情境，但計算上沒有問題，而且故事題內容也是配合算式的。

(2)已有情境安排 (文句或圖片）而欠缺數學部份

這一類型的擬題活動，是讓擬題者在己知的情境安排下，寫出數學 文字題來。情境安排可以是用文字描述或是用圖畫表示。擬題者要 用自己已理解的知識去閱讀圖片、文句，再擬出題目來，也就是擬 題者用個人的體驗把情境「數學化」。

2.梁淑坤 (1997)編製了 一套擬題的評量工具，在其擬題的教材 中，

將擬題類型分為三大類：

(1)文字類：呈現一段文字的敘述，讓學生依據文字敘述中所給的條件，

擬出一道題目。

(2)圖片、圖表類：給一張圖片或一個圖表，讓學生依據圖片或圖表擬 出一個内容相關的題目。

(3)答案類：給予一個或一組答案，要求學生擬出符合規定的題目。

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綜合上述，可以發現：一般的數學題型相較，擬題的類型更顯得多樣 貌。因為擬題的出題方式彈性較大，學生發揮的空間較多，因此所擬的題 目也比較多樣化。

三、擬題的特徵

擬題是結合了個人的認知基模，轉換後擬出一個新的數學題目，

因此擬題行為應具有下列特徵 (梁淑坤，1994):

(一) 組織的方法是屬於個人的 (idiosyncratic):

擬題是依據自己的數學知識和生活經驗，創造出一個新的數學題目。

(二) 過程中包括猜想及可信推理 (plausible reasoning):

擬題是在模擬的過程中想出一個題目來，擬題者在擬一個新題目時，

會反問自己一連串問題像「假如是…？」 (What if…？)、「假如不是…？」

(What if not…? )。

(三) 可以發生在解題前、解題中以及解題後( before, during, andafter problem solving)：

例如，我們給予學生一組「2、3、5」的質數，要求其擬出一新的題目，

擬題者可能擬出將三個質數相加是不是一個質數？解題後發現不是，

又想如果全部相乘呢？解題中又想，若把數字換掉，結果會不會一樣？

所以，在解題過程的任何階段我們都可以擬題。

(四)擬題者把想出的題目和課本的題目相比，是較「粗糙的」 (primitive)。

而且，這些題目可能是不完整的（incomplete)或非可行的(implausible) 或欠缺足夠解題資料的 (insufficient)。

綜合上述，學生的擬題内容大致來自本身的生活經驗，雖然題目較為 粗糙，但是擬題過程中，學生經由思考和推理，進而增進了學習。

四、擬題的相關研究

Silver & Cai (1996) 以 509 名七年級之中等學校的學生為研究對象，

提供學生一段故事題（story-problem) 敘述，讓學生參考其擬題内容，之 後再進行研究分析。此研究的目的，是想要發展和運用一套分析方法，來 測驗中等學校學生的擬題能力，以探討解題能力不同的學生之擬題能力的 差異。結果發現：解題能力高分組的學生擬出的題目數量和擬出多步驟題

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的表現皆優於低分組。因此得知：學生的解題能力與擬題能裡有高度相 關。

English (1998 ) 研究澳大利亞 54 位國小三年級學童在「教科書内的問 題」和「提供圖片或一段文字敘述的問題」之擬題能力。結果發現：(1) 擬題能力較強的學生，其題目的結構和運算也較為複雜。(2)學生在「提供 圖片或一段文字敘述的問題」比「教科書内的問題」擬出較多題型的題目，

此現象可能受教材內題目的影響，思考模式容易被固定了。

Lin (2004）的研究中邀請七位班級的老師共同參與設計擬題作業，來 評量學生的學習。這七位老師須擔任四種任務：(1)算式類擬題設計(2)圖畫 類擬題設計(3)文字類擬題設計(4)蒐集學生的擬題答案。研究結果發現，擬 題不但可以用來評量學生對數學的理解，還可以提供教師做教學決定時更 進一步的參考。

楊惠如 (2000) 採行動研究的方式，在研究者所任教的國小三年級數 學教室中，實施為期一學期的研究教學。在研究期間，研究者透過錄影、

訪談、省思札記、隨堂記錄以及學生活動記錄等多樣的方式來蒐集資料。

研究結果發現：教學者在擬題教學中，一共扮演了教學設計者、佈題者、

引導者時間掌控者以及成效評估者等五種角色，而這些角色，也顯示了教 師在擬題教學中的重要性。研究者在研究中展現了教師的專業與成長，並 且在研究的歷程中，找到自信。

陳薇雅 (2010) 以國小五年級為研究對象，透過實務的行動，瞭解擬 題活動在國小五年級實際教室的教學情階段況。擬題教學流程依序為「共 同擬題」、「合作擬題」和「個人擬題」三個，擬題教學的方式是以「擬題 活動」、「討論辯證」、「活動」交錯循環進行。擬題類型是採取梁淑坤教授 所編製的擬題教材中，將擬題類型分為六大類，研究者採用「題目類」、「算 式類」、「圖表類」這三種類型。在研究期間，研究者透過觀察、訪談、文 件收集、教師省思、學生的數學日記和最後調查學生在擬題活動課程方面 的接受度所施測的問卷等研究資料。研究結果發現透過合作擬題，可以提 供討論的機會促進彼此的學習，而個別擬題的優點則是能激發學童的創意。

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學生可藉由共同評鑑與討論的時機，發現自己的迷思概念，進行修正，同 時也在擬題活動教學中增加了學習數學的興趣和動機。

林群雄 (2004) 國小三年級為研究對象，透擬題活動融入數學課堂來探 討國小三年級學童數學能力成長的過程，並透過行動研究的方式，探討研 究過程中的教師專業成長，並瞭解擬題活動教學在實際執行上的困難與解 決方法研究結果。發現，教師不僅在教材內容要點的掌握，教學流程的鋪 陳，重點提問的介入時機，引導討論的氣氛和走向的能力獲致成長，最重 要的是教師本位的心態轉為學生本位的考量。而學童上數學課時，擬題內 容從不知所云到多元創意；解題從模仿到自我的見解，顯示出學童在數學 擬題活動教學中提升了學習興趣、動機和自信。

Xia, L ü and Wang (2008) 以 創 造 和 擬 題 為 基 準 的 課 程 (Situated Creation and Problem-Based Instruction) 做了一個實驗性研究，目的是改變 學生普遍缺乏擬題基礎的學習經驗和對問題的認識。研究結果發現：這種 以創造和擬題為基準的擬題的教學模式激勵了學生的學習興趣，也提升了 學生的擬題和數學學習能力。

Yuan (2009) 探討中國 2 組高中學生 (上海、膠州) 與美國 1 組高中學 生的創造力、擬題能力及創造力、擬題能力和這兩種文化的關係。研究結 果發現：(1)膠州 ( Jiaozhou ) 高中組在擬題方面優於其它兩組；(2)三組在 圖片的思考創造力的表現相似；(3)美國高中組在文字(words)的思考創造力 優於其它兩組；(4)擬題和創造力之間關係複雜，會隨著不同組別發生變 化。

綜合上述，擬題可以評量學生對數學的理解，並讓學生在學習中增加 樂趣，而且老師可透過擬題了解學生學習的迷思。因此，研究者將透過『擬 題』來了解學生分數的概念，進而作為教學補救或日後分數教學教材補充 的參考。

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