第一章 緒論
第一節 研究動機
在國小數學課程中，分數常被視為較難理解的主題之一。因為許多分 數的概念本身的邏輯性很複雜，意義又多樣化，且與許多數學概念相關連，
因此令現場教師的教學工作倍感辛苦。數學中的分數算則通常容易發展出 來，但是對分數的理解能力卻比較弱 (Aksu, 1997)。洪素敏和楊德清 (2002) 指出分數在數學課程中佔有極重要的地位，但分數概念的學習卻是令許多 學童深感困難的單元。日常生活中我們常在分東西，如：分蛋糕、分瓶中 汽水、切蘋果……等，有時剛好平分完，有時又剩下，諸如此類的問題與 分數有密切的關係。分數的概念本來就比較複難，若又遇到「分數的除法」， 對學生而言更是難上加難！分數除法的概念是所有分數中最後教到的概 念，而且文字題比一般演算涉及更複雜的認知歷程 (林麗華，2006)，所以 分數除法的教學中，文字題的表現通常會比計算題差。
至於數學解題 (problem solving)，是一個複雜的心智活動，也是許多 研究的主題，更是許多數學教育家們不斷研究的一個重要方向 (梁淑坤，
1997)。美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM , 1980) 強調「解題是數學教育的中心」，1989年NCTM 在其出版的 中小學課程及評量標準中第一項即指出「數學即解題」，NCTM (2000a) 也 把「問題解決」列為重點之一。我國九年一貫課程亦提出「獨立思考與解 決問題」為國民教育階段培養學生具備十大基本能力之一，由此可知「數 學解題能力」是學習數學過程重要的能力。影響解題的因素相當多，「解 題策略」是影響解題成功的關鍵因素之一。數學家G. Polya在半個世紀以 前，就曾呼籲：要把普通性的思考方法教給學生，並且要善於引導學生在 思考中發現問題的解法 (胡炳生，1997)。G. Polya所說的普通性的思考方 法，其實就是「解題策略」。既然解題活動是數學學習的主要核心，教師 應當努力培養學生數學的解題能力。
但是，解題相關聯的擬題 (problem posing)，卻沒有受到相同的重視
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(梁淑坤，1997; Silver, 1994)。此外，我們也發現「形成數學問題能力」早 已是美國數學課程發展所強調的重點之一 (NCTM, 1989, 1991, 2000b)。同 樣的，我國九年一貫數學學習領域包含發展學生「形成數學問題」（擬題）
與「解決問題」的能力的課程 (教育部，2000)。由此可見，培養學生形成 數學問題能力是我國數學課程未來發展的重點之一。
鄭毓信 (1993) 指出：「除了問題解決外，問題提出 (擬題) 也應被看 成數學活動的一個重要組成成分。」梁淑坤 (1997) 也指出用解題去評量 學生，似乎只知道學生不懂什麼，卻不知道學生真正懂得什麼？
所以，只依照解題過程及答案來判斷學生是否真正理解問題，似乎不 夠 完 備 。 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989)中特別提到學生應該要有一些經驗來覺察和闡述他們的問 題過程，而且這些過程要成為數學活動的核心。The Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991)中提到老師提供學生擬題的重要性，
及學生應該被給予機會從生活情境中想出問題，並且藉著修改給予的問題 條件產生一個新的問題。Eienstein 和 Infeld 宣稱形成問題的重要性不亞於 解決問題的重要性 (引自許育彰，2000)。由此可見，若想培養學生有自學 的精神，「擬題」這種啟發性的教學是數學科課程不可缺少的活動。
基於上述，本研究想要了解學生在分數除法方面「解題能力」和「擬
題能力」的相關。因此，研究者自編分數除法的「解題」與「擬題」的測 驗，希望藉著學生分數除法「解題」與「擬題」的作答結果，來探討六年 級「分數除法」概念及兩者間相關性，以做為日後老師教學之參考。
第二節 研究目的
本研究旨在探討國小六年級將分數除法之算式（符號）表徵轉為文字 表徵的擬題能力及各種分數除法類型的解題能力，並透過擬題及解題的錯 誤類型，來瞭解學生分數除法概念的發展情形及解題能力與擬題能力的相 關性。本研究的目的如下：
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(一)分析「擬題測驗」的難易度及學生擬題能力的差異性。
(二)分析學生在「分數除法擬題測驗」中的擬題類型及百分比。
(三)分析學生在「分數除法擬題測驗」中的錯誤類型及分數相關概念。
(四)分析「解題測驗」的難易度及學生解題能力的差異性。
(五)分析學生在擬題能力與解題能力的相關性。
(六)分析學生在擬題能力與解題能力的差異性。
第三節 名詞釋義
(一)分數除法
本研究的分數是指能化為 p
q 型態，且 p、q 皆為整數者，其中 p≠0，p 稱為分母，q 稱為分子 (
教育部，2003，2008 )
。其中分數除法是依國民 小學六年級現行 97 課程綱要中數學課程之「分數除法」教材為依據，內 容涵蓋「分數除以分數」、「分數除以整數」和「整數除以分數」等三種。(二)擬題
擬題是用自己的看法想出一個數學題目，這種活動強調讓學生在數學 學習過程中主動參與，自行建構 (梁淑坤，1993，1997 )。本研究之擬題，
是請學生根據研究者所提供的分數除法算式，在沒有教師或他人的協助下，
以自己的數學經驗及生活經驗為基礎，所發展出相對應於指定算式的數學 題目。
(三)解題
本研究之解題，是指學生根據研究者所提供的分數除法文字題，獨立 運用所學的數學知識和解題策略，成功解決數學問題的活動歷程。
第四節 研究範圍與限制
本研究將從各種角度來探討國小六年級學生「分數除法算式」之擬題 能力及「分數除法文字題」的解題能力，希望研究結果可以提供數學教育 者與課程設計者在分數課程上的參考，進而協助學生分數除法的學習。本 研究採用量的研究並輔以質的分析，是為了瞭解學生群體的表現及學生個
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別表現的深層意義，提供研究者對於整體趨勢的掌握；而擬題錯誤類型的 分析是為發現學生在擬題過程中分數除法概念的迷思。
但由於受限於研究者本身的能力與物力，本研究在推論對象、研究工 具、研究變項與研究方法上有若干的限制，若要將本研究的結果推論到研 究範圍以外的材料與情境時必須謹慎。茲說明如下：
一、研究對象之限制
本研究之樣本來自於臺中市某一所國民小學六年級學生，共八個班級，
在取樣上因僅來自於臺中市，且並未考慮到人文及地形因素，所以研究結 果未必能代表所有國小六年級學生的擬題及解題能力。因此，所得的結果 僅供類似地區的學校參考。
二、研究工具之限制
本研究所用之分數除法擬題僅限一個步驟的，不包含較複雜的多步驟 問題與乘除法混合問題。因此，在解釋非本研究所指錯誤類型時必須加以 保留。
再者，研究者所採用的擬題概念僅限於將分數之「算式表徵」轉換為
「文字表徵」，對於其它表徵間轉換的擬題並未做深入探討。因此，在研 究結果的推論上，應採較為謹慎與保留的態度為宜，不能過度引申，但可 提供作為相似研究情境下的參考。
三、研究方法之限制
本研究在質的研究方面採用「半結構性晤談」，研究國小六年級學生 在經由數學擬題測驗後所產生之錯誤類型。但是學生在擬題的歷程中所發 生的思考是很複雜的。因此，如何能更清楚的瞭解學生内心的概念，將有 待更多的研究來努力與克服。
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“分數”一詞來自於拉丁文「frangere」，它的意思為打破、分開。「frangere」
一字，通常是用來描述一個被分開的全體之各部分 (羅鴻翔譯，1980)。 分