國小學生分數除法之解題與擬題表現及類型探討

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：林原宏博士. 易正明博士. 國小學生分數除法之解題與擬題表現及類型探討. 研究生：鄭麗貞撰. 中華民國一百零二年七月.

(2) 謝誌看著同事們一個個都唸完碩士班，心中很是羨慕與渴望！但是任教多年來，時間都奉獻給家庭和工作，再次踏入校園求學對我來說是件奢求的事。謝謝二年前莊教官一通鼓勵的電話，讓我在衝動中有勇氣完成報名。當金榜題名的那一刻，我仍然懷疑是否能順利念完碩士班課程？誠如易正明老師說過的話：「能否在職進修，需要天時、地利與人和。」很幸運的，我都遇到了！感謝指導教授林原宏老師及易正明老師的用心指導，讓我的論文從確定題目、文獻蒐集、研究方法的選擇與分析、論文寫作的基本素養……，乃至撰寫時一字一句不厭其煩的指導、解惑與鼓勵，使我的論文由一個簡單的架構而逐漸成形。兩位老師是經師亦是人師，論文寫作期間，我學到的不僅是寫作的知識、概念與邏輯，更從林原宏老師身上學習到用心踏實、實事求是的生活堅持，從易正明老師身上學到快樂生活、熱愛工作的人生哲學。論文初步完成後，感謝李林滄老師、陳錦杏老師及鄭博文老師在口試時提供寶貴的建議與方向，使麗貞的論文架構與內容更臻完備。感謝皇君主任的費心排課與軟體指導，讓我順利的求學及完成論文寫作；感謝施測班級的每一位老師與同學們的配合；感謝求學期間仁宏、嘉鴻和幸洵的協助與指導，美惠、彩暖、瑞麟、素琴、哲毓及明華等多位同學的鼓勵與幫忙；感謝六年八班與五年十班學生們的配合，讓我能安心求學。感謝婆婆在我二年漫長的研究所進修期間，於生活與家務上不遺餘力的支持與協助；感謝先生的支持及兒子宗軒與祖維的認真與獨立，讓我能心無旁鶩專心完成學業。二年教書與讀書的日子，過得充實又忙碌！大學畢業二十年後能再次回到學校求學是一件很美妙又很幸福的經驗。謹以此書獻給所有幫助我及陪伴我走過的每一個人！. 鄭麗貞. 謹誌. 2013.7.

(3) 中文摘要本研究以臺中市南屯區某國民小學六年級 230 名學生為施測對象，探討國小六年級將分數除法之算式(符號)表徵轉為文字表徵的擬題能力及與分數除法解題能力的相關性。研究過程以質量並行的方式分二階段進行，經統計分析後，結果摘要如下：一、學生分數除法擬題能力的表現 (一)「未知數在商」的擬題對學生而言較容易，其次是「未知數在除數」的擬題，而「未知數在被除數」擬題對學生而言較難。 (二)「未知數數值為整數」的擬題對學生而言較容易，而「未知數數值為分數」的擬題對學生而言稍難一些。 (三) 缺失擬題中，以不符合算式(數據、符號或問題）、題意不清、缺乏單位或單位詞使用錯誤、不合邏輯及情境不符生活經驗這五種的比例最高。 (四) 擬題類型中所占的比例由高到低分別是：比較型-倍數、量數同構型 2 的規則-度量的累加、叉積型-面積、量數同構型 2 的規則-度量的推算。二、學生分數除法解題能力的表現 (一) 分數除法解題中，以乘除結構分類的類型，由易到難分別是：比較型、量數同構型 2 的規則、叉積型、量數同構型 3 的規則、分散量連續量問題、全為連續量問題。 (二) 分數除法解題中情境分類的類型由易到難分別是：倍數問題、面積問題、度量的累加、度量的推算、多重比例型 4 的規則、多重比例型 5 的規則。三、擬題與解題能力有顯著相關，且為正相關，表示擬題能力愈好的學生，其解題能力也就愈好。關鍵字：分數除法、解題、擬題、表徵、乘除類型. I.

(4) Abstract In this study, two hundred and thirtysixth- graders from some elementary school at Nantun Dist., Taichung City were selected to do this study.The purpose of this study was to explore the sixth graders’ ability in translation of representation between word problems and algorithms which were fractional division. Accordingto the analysis of the above data,there were some results as follows: 1. About the description in fractional division problem – posing : (1)The problem – posing which the unknown numberin quotient was easier than in divisor, and the problem – posing which the unknown number in dividend was the most difficult for students; (2) The problem – posing which the unknown number was integer was easier than those which the unknown number was fraction ; (3) Among the wrong types in problem – posing, the porpotation of not answering to the formula, unclear problem, lacking units, illogical problem, not answering to the experience in life were higher than others; (4) Arrange the porpotations of all problem – posing types in order from high to low, we got “compare – multiple”, “isomorphisms of measures (rule of two) – iteration of measure”, “cross products – area”, “isomorphisms of measures ( rule of two ) – measure conversion”. 2.About the description in fractional division problem – solving : (1)Aarrange the type of fractional division problem – solving in situation in order from simpleness to difficulty, we got “compare”, “isomorphisms of measures (rule of two)” , “cross products”, “isomorphisms of measures (rule of three)”, “discrete and continuous number problem”, “continuous number problem”; (2) Aarrange the type of fractional division problem– solving in situation in order from simpleness to difficulty, we got “multiple” , “area” ， “iteration of measure” , “measure conversion”, “multiplicate rate (rule of four)”, “multiplicate rate (rule of five)”. 3.There was positive significant relation between the ability of problem-posing and problem – solving. Key words : fractional division, problem solving, problem posing, representation, multiplier and divider structure. II.

(5) 目錄第一章. 緒論 .................................................................................................. 1. 第一節. 研究動機 ..................................................................................... 1. 第二節. 研究目的 ..................................................................................... 2. 第三節. 名詞釋義 ..................................................................................... 3. 第四節. 研究範圍與限制 ......................................................................... 3. 第二章. 文獻探討 ............................................................................................. 5. 第一節. 分數的意義與相關研究............................................................. 5. 第二節. 乘除法類型與相關的研究....................................................... 13. 第三節. 擬題意義與相關研究 ............................................................... 21. 第四節. 數學解題與相關研究 ............................................................... 26. 第五節. 表徵的理論與相關研究........................................................... 35. 第三章. 研究方法 ........................................................................................... 42. 第一節. 研究架構 ................................................................................... 42. 第二節. 研究流程與步驟 ....................................................................... 43. 第三節. 研究對象 ................................................................................... 45. 第四節. 研究工具 ................................................................................... 45. 第五節. 資料分析 ................................................................................... 55. 第四章. 結果與討論 ....................................................................................... 57. 第一節. 「擬題測驗」結果分析........................................................... 57. 第二節. 分數除法擬題錯誤類型分析................................................... 62. 第三節. 「擬題測驗」晤談分析........................................................... 66. 第四節. 「解題測驗」結果分析........................................................... 84. 第五節. 擬題與解題之相關分析........................................................... 87. 第六節. 擬題能力與解題能力之差異分析........................................... 91. 第五章. 結論與建議 ....................................................................................... 98. 第一節. 結論 ........................................................................................... 98. 第二節. 研究限制 ................................................................................. 100. III.

(6) 第三節. 建議 ......................................................................................... 101. 參考文獻 ......................................................................................................... 104 一、中文部分 ......................................................................................... 104 二、英文部分 ......................................................................................... 107 附錄 ..................................................................................................................112 附錄一. 分數除法擬題測驗 ..................................................................112. 附錄二. 數學擬題測驗說明 ..................................................................115. 附錄三. 分數除法解題測驗...................................................................116. 附錄四. 分數除法解題測驗說明 ......................................................... 120. IV.

(7) 表目錄表 2-1-1. 國內外分數研究文獻一覽表 ....................................................11. 表 2-2-1. Vergnaud 量數同構型 ................................................................. 14. 表 2-2-2. Vergnaud 量數同構型問題題型 ................................................. 14. 表 2-2-3. Vergnaud 叉積型關係 ............................................................... 15. 表 2-2-4. Vergnaud 叉積型問題類型 ....................................................... 15. 表 2-2-5. 多重比例關係 ........................................................................... 15. 表 2-2-6. Vergnaud 多重比例型問題類型 ............................................... 16. 表 2-2-7. Schwartz (I，E，E')問題類型 ................................................. 17. 表 2-2-8. 乘除法類型之比較 ..................................................................... 20. 表 2-4-1. 胡炳生的數學解題思考步驟及程序表 ..................................... 31. 表 2-4-2. 解題歷程理論分析表 ................................................................. 32. 表 3-3-1. 正式施測人數統計表 ................................................................. 45. 表 3-4-1. 2 的規則關係 .............................................................................. 46. 表 3-4-2. 3 的規則關係 .............................................................................. 46. 表 3-4-3. 4 的規則關係 ............................................................................ 47. 表 3-4-4. 5 的規則關係 ............................................................................ 47. 表 3-4-5. 預試人數統計表 ......................................................................... 48. 表 3-4-6. 分數除法雙向細目表 ............................................................... 49. 表 3-4-7. 分數除法概念解題測驗難度與鑑別度分析(預試) .................. 50. 表 3-4-8. 數學擬題測驗計分法 ............................................................... 52. 表 3-4-9. 分數除法擬題雙向細目表 ....................................................... 53. 表 3-4-10. 分數除法擬題測驗難度及鑑別度分析(預試) .......................... 54. 表 4-1-1. 擬題測驗的平均數與標準差—以「未知數位置」分類 ......... 57. 表 4-1-2. 擬題測驗的平均數與標準差-以「未知數數值」分類 ........... 58. 表 4-1-3. 分數除法擬題測驗擬題類型百分比 ....................................... 59. 表 4-1-4. 「分數除法擬題測驗」之擬題類型 ........................................... 60. 表 4-3-1. 抽樣晤談學生代號 ................................................................... 66. V.

(8) 表 4-4-1. 「分數除法解題測驗」平均數與標準差 ............................... 84. 表 4-4-2. 「分數除法解題測驗」平均數與標準差--以乘除結構分類 .. 85. 表 4-4-3. 「分數除法解題測驗」平均數與標準差--以情境分類 .......... 86. 表 4-5-1. 分數除法擬題與解題能力 Pearson 積差相關 ........................ 88. 表 4-5-2. 乘除類型解題與擬題能力 Pearson 積差相關 ........................ 88. 表 4-5-3. 除法情境類型解題與擬題能力 Pearson 積差相關 ................ 89. 表 4-5-4. 未知數位置與解題能力 Pearson 積差相關 ............................ 90. 表 4-5-5. 未知數的數值與解題能力 Pearson 積差相關 ........................ 90. 表 4-6-1. 變異數分析摘要表(量數同構型 2 的規則得分) .................... 91. 表 4-6-2. 變異數分析摘要表(量數同構型 3 的規則得分) ...................... 92. 表 4-6-3. 變異數分析摘要表(比較型得分) ............................................ 93. 表 4-6-4. 變異數分析摘要表(叉積型得分) ............................................ 94. 表 4-6-5. 變異數分析摘要表(多重比例型 4 的規則得分) .................... 95. 表 4-6-6. 變異數分析摘要表(多重比例型 5 的規則得分) .................... 96. VI.

(9) 圖目錄圖 2-1-1. 中國古代分數的表示 ................................................................... 6. 圖 2-4-1. Krulik 和 Rudnick 的階層式數學解題歷程流程圖 ................. 30. 圖 2-5-1. 表徵系統交互作用模式 ............................................................. 39. 圖 3-1-1. 研究架構圖 ................................................................................. 42. 圖 3-2-1. 研究流程圖 ................................................................................. 44. 圖 4-2-1. 學生擬題類型(一) ...................................................................... 62. 圖 4-2-2. 學生擬題類型(二) ...................................................................... 62. 圖 4-2-3. 學生擬題類型(三) ...................................................................... 63. 圖 4-2-4. 學生擬題類型(四) ...................................................................... 63. 圖 4-2-5. 學生擬題類型(五) ...................................................................... 64. 圖 4-2-6. 學生擬題類型(六) ...................................................................... 64. 圖 4-2-7. 學生擬題類型(七) ...................................................................... 64. 圖 4-2-8. 學生擬題類型(八) ...................................................................... 65. 圖 4-2-9. 學生擬題類型(九) ...................................................................... 65. 圖 4-2-10. 學生擬題類型(十) ...................................................................... 66. 圖 4-2-11. 學生擬題類型(十一) .................................................................. 66. VII.

(10) 第一章第一節. 緒論研究動機. 在國小數學課程中，分數常被視為較難理解的主題之一。因為許多分數的概念本身的邏輯性很複雜，意義又多樣化，且與許多數學概念相關連，因此令現場教師的教學工作倍感辛苦。數學中的分數算則通常容易發展出來，但是對分數的理解能力卻比較弱 (Aksu, 1997)。洪素敏和楊德清 (2002) 指出分數在數學課程中佔有極重要的地位，但分數概念的學習卻是令許多學童深感困難的單元。日常生活中我們常在分東西，如：分蛋糕、分瓶中汽水、切蘋果……等，有時剛好平分完，有時又剩下，諸如此類的問題與分數有密切的關係。分數的概念本來就比較複難，若又遇到「分數的除法」，對學生而言更是難上加難！分數除法的概念是所有分數中最後教到的概念，而且文字題比一般演算涉及更複雜的認知歷程 (林麗華，2006)，所以分數除法的教學中，文字題的表現通常會比計算題差。至於數學解題 (problem solving)，是一個複雜的心智活動，也是許多研究的主題，更是許多數學教育家們不斷研究的一個重要方向 (梁淑坤， 1997)。美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM , 1980) 強調「解題是數學教育的中心」，1989年NCTM 在其出版的中小學課程及評量標準中第一項即指出「數學即解題」，NCTM (2000a) 也把「問題解決」列為重點之一。我國九年一貫課程亦提出「獨立思考與解決問題」為國民教育階段培養學生具備十大基本能力之一，由此可知「數學解題能力」是學習數學過程重要的能力。影響解題的因素相當多，「解題策略」是影響解題成功的關鍵因素之一。數學家G. Polya在半個世紀以前，就曾呼籲：要把普通性的思考方法教給學生，並且要善於引導學生在思考中發現問題的解法 (胡炳生，1997)。G. Polya所說的普通性的思考方法，其實就是「解題策略」。既然解題活動是數學學習的主要核心，教師應當努力培養學生數學的解題能力。但是，解題相關聯的擬題 (problem posing)，卻沒有受到相同的重視 1.

(11) (梁淑坤，1997; Silver, 1994)。此外，我們也發現「形成數學問題能力」早已是美國數學課程發展所強調的重點之一 (NCTM, 1989, 1991, 2000b)。同樣的，我國九年一貫數學學習領域包含發展學生「形成數學問題」（擬題）與「解決問題」的能力的課程 (教育部，2000)。由此可見，培養學生形成數學問題能力是我國數學課程未來發展的重點之一。鄭毓信 (1993) 指出：「除了問題解決外，問題提出 (擬題) 也應被看成數學活動的一個重要組成成分。」梁淑坤 (1997) 也指出用解題去評量學生，似乎只知道學生不懂什麼，卻不知道學生真正懂得什麼？所以，只依照解題過程及答案來判斷學生是否真正理解問題，似乎不夠完備。 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989)中特別提到學生應該要有一些經驗來覺察和闡述他們的問題過程，而且這些過程要成為數學活動的核心。The Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991)中提到老師提供學生擬題的重要性，及學生應該被給予機會從生活情境中想出問題，並且藉著修改給予的問題條件產生一個新的問題。Eienstein 和 Infeld 宣稱形成問題的重要性不亞於解決問題的重要性 (引自許育彰，2000)。由此可見，若想培養學生有自學的精神，「擬題」這種啟發性的教學是數學科課程不可缺少的活動。基於上述，本研究想要了解學生在分數除法方面「解題能力」和「擬題能力」的相關。因此，研究者自編分數除法的「解題」與「擬題」的測驗，希望藉著學生分數除法「解題」與「擬題」的作答結果，來探討六年級「分數除法」概念及兩者間相關性，以做為日後老師教學之參考。. 第二節. 研究目的. 本研究旨在探討國小六年級將分數除法之算式（符號）表徵轉為文字表徵的擬題能力及各種分數除法類型的解題能力，並透過擬題及解題的錯誤類型，來瞭解學生分數除法概念的發展情形及解題能力與擬題能力的相關性。本研究的目的如下：. 2.

(12) (一)分析「擬題測驗」的難易度及學生擬題能力的差異性。 (二)分析學生在「分數除法擬題測驗」中的擬題類型及百分比。 (三)分析學生在「分數除法擬題測驗」中的錯誤類型及分數相關概念。 (四)分析「解題測驗」的難易度及學生解題能力的差異性。 (五)分析學生在擬題能力與解題能力的相關性。 (六)分析學生在擬題能力與解題能力的差異性。. 第三節. 名詞釋義. (一)分數除法本研究的分數是指能化為. q 型態，且 p、q 皆為整數者，其中 p≠0，p p. 稱為分母，q 稱為分子 ( 教育部，2003，2008 )。其中分數除法是依國民小學六年級現行 97 課程綱要中數學課程之「分數除法」教材為依據，內容涵蓋「分數除以分數」、「分數除以整數」和「整數除以分數」等三種。 (二)擬題擬題是用自己的看法想出一個數學題目，這種活動強調讓學生在數學學習過程中主動參與，自行建構 (梁淑坤，1993，1997 )。本研究之擬題，是請學生根據研究者所提供的分數除法算式，在沒有教師或他人的協助下，以自己的數學經驗及生活經驗為基礎，所發展出相對應於指定算式的數學題目。 (三)解題本研究之解題，是指學生根據研究者所提供的分數除法文字題，獨立運用所學的數學知識和解題策略，成功解決數學問題的活動歷程。. 第四節. 研究範圍與限制. 本研究將從各種角度來探討國小六年級學生「分數除法算式」之擬題能力及「分數除法文字題」的解題能力，希望研究結果可以提供數學教育者與課程設計者在分數課程上的參考，進而協助學生分數除法的學習。本研究採用量的研究並輔以質的分析，是為了瞭解學生群體的表現及學生個. 3.

(13) 別表現的深層意義，提供研究者對於整體趨勢的掌握；而擬題錯誤類型的分析是為發現學生在擬題過程中分數除法概念的迷思。但由於受限於研究者本身的能力與物力，本研究在推論對象、研究工具、研究變項與研究方法上有若干的限制，若要將本研究的結果推論到研究範圍以外的材料與情境時必須謹慎。茲說明如下：一、研究對象之限制本研究之樣本來自於臺中市某一所國民小學六年級學生，共八個班級，在取樣上因僅來自於臺中市，且並未考慮到人文及地形因素，所以研究結果未必能代表所有國小六年級學生的擬題及解題能力。因此，所得的結果僅供類似地區的學校參考。二、研究工具之限制本研究所用之分數除法擬題僅限一個步驟的，不包含較複雜的多步驟問題與乘除法混合問題。因此，在解釋非本研究所指錯誤類型時必須加以保留。再者，研究者所採用的擬題概念僅限於將分數之「算式表徵」轉換為「文字表徵」，對於其它表徵間轉換的擬題並未做深入探討。因此，在研究結果的推論上，應採較為謹慎與保留的態度為宜，不能過度引申，但可提供作為相似研究情境下的參考。. 三、研究方法之限制本研究在質的研究方面採用「半結構性晤談」，研究國小六年級學生在經由數學擬題測驗後所產生之錯誤類型。但是學生在擬題的歷程中所發生的思考是很複雜的。因此，如何能更清楚的瞭解學生内心的概念，將有待更多的研究來努力與克服。. 4.

(14) 第二章第一節. 文獻探討. 分數的意義與相關研究. 一、分數的起源與中國歷史淵源 “分數”一詞來自於拉丁文「frangere」，它的意思為打破、分開。「frangere」一字，通常是用來描述一個被分開的全體之各部分 (羅鴻翔譯，1980)。分數一詞最早見於埃及的《阿默斯紙草卷》。這一部紙草卷是世界上最古老的數學書，目前珍藏於倫敦大英博物館內。在《阿默斯紙草卷》中，可以看見四千年以前分數的記法和運算法。也發現到，埃及人把單分數看作是 1 n. 整數的倒數。所以，只要存在整數 n，就存在單分數。但是，當時埃及人並沒有認識到分數可以看成兩整數相除的商，也沒有發展出分數一般的表示 (袁小明，2000 )。公元前五世紀左右，中國開始出現把兩個整數相除的商看作分數的表示，這種概念的表示是現在分數概念的前身。如 7÷3，中國古代表示為圖 2 2-1-1。 7 是假分數，化為帶分數便是 1 。這種表現方式兼具除式與 3 3 分數的表示 (袁小明，2000 )。商(整數部分) 7. 被除數(分子). 3. 除數(分母). 2-1-1 中國古代分數的表示圖 2-1-1 圖中國古代分數的表示. 二、分數的意義 Freudenthal (1983 ) 認為分數的起源是分割一物件的活動紀錄與結果，它可以表現真實現象的分割情況。Hunting (1986)也認為分數的最初概念是一個物品連續細分的結果 (如：蘋果、蛋糕、派)。可見，分數的概念起源於「分」，用來解決不滿一個單位量的數值問題 (周筱亭、黃敏晃，2001)。. 5.

(15) 教育部九年一貫課程綱要 (教育部，2003，2008) 中指出分數是指能化為. q p. 型態，且 p、q 皆為整數者，其中 p≠0 (教育部，2008) 。由上述可知：分數的等價集 (等值分數) 是有理數。而且，九年一貫課程綱要中指出小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結有理數的四種意涵：(a)平分的意涵； (b)測量的意涵；(c)比例的意涵；(d)部分/全體的意涵。並在數學學習中歸結成有理數最核心的意涵─「除的意涵」(教育部，2008)。除此之外，國內外學者認為分數具有多重的意義： (一) Behr, Lesh, Post & Silver (1983) 認為分數的意義有： 1.分數測量 (fraction measure) 2.比 (ratio) 3.平均 (含速度、密度) 4.商 (quotient) 5.線性座標 (linear coordinate) 6.小數 (decimals) 7.運算元 (opwrator) (二) Dickson, Brown & Gibson (1984) 對分數提出的解釋是： 1.整個區域的子區域 2.子集合和全體集合的比較 3.數線上兩整數間的一點 4.除法運算的結果 5.兩個集合或兩個測量物大小的比較 (三) Kieren (1988) 提出的分數概念，包含五種子建構： 1.部分-整體 (part-whole) 2.測量 (measure) 3.商 (quotient) 4.比值 (ratio) 5.運算元 (operator). 6.

(16) (四)楊壬孝 (1988) 認為分數有四種意義： 1.一個全體的相等部分 2.一個集合等分後的幾組 3.數線上的一個數值 4.兩數相除的結果 (五)林碧珍 (1990) 對於分數的定義，包含下列五種情形： 1.部分-整體模式：全部區域的部分區域，以連續量 (長度、面積、容積) 為主。 2.子集合-集合模式：集合中的部分集合。 3.數線模式-數線上上的一個數值。 4.商模式-兩個整數相除的結果。 5.比值模式-二個集合或兩個度量相除的結果。 (六)楊瑞智 (2000），認為分數概念具有以下十種意義： 1.部分/全部 (連續量) 2.子集合/集合 (離散量) 3.乘法運算元 4.等值分數 5.整數除法的結果 6.分數是一個數/數線上的一個點 7.平均 (含速率、密度） 8.當量 9.比例中的比和比值 10.機率綜合上述國內外學者的觀點，分數有多重的意義，可以描述部分-全體的關係、有測量的意涵、涉及到兩個量的比較 (比和比值的意義)、整數除法的結果 (商模式)、平分的意涵、數線上的一個數值及運算元等。由此可知，隨著使用情境不同，分數呈現出不同的意義。. 7.

(17) 三、分數於數學課程中的編排 (一)九年一貫 (92 課綱) 關於分數的能力指標 (教育部，2003) 第一階段 (一至三年級 ) N-1-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. 第二階段 (四至五年級) N-2-06. 能理解分數之「整數相除」意涵。. N-2-07. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數。的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. N-2-08. 能理解等值分數、約分、擴分的意義。. N-2-09. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. N-2-11. 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-2-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. N-2-14. 能理解比率及其在生活上的應用。. 第三階段六至七年級 N-3-02. 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。. N-3-03. 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-05. 能理解比、比例、比值與正反比的意義，並解決生活中的問題。. N-3-07. 能熟練比例式的基本運算。. (二)九年一貫 (97 課綱) 關於分數的能力指標 (教育部，2008) 第二階段 (三四年級) N-2-09. 能在具體情境中，初步認識分數。. N-2-10. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. N-2-11. 能理解分數之「整數相除」的意涵。 8.

(18) N-2-12. 能認識等值分數，並做簡單的應用。. N-2-16. 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。. 第二階段 (五、六年級) N-3-05. 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。. N-3-06. 能理解等值分數、約分、擴分的意義。. N-3-07. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. N-3-09. 能理解分數 (含小數) 乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-10. 能理解分數 (含小數) 除法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. N-3-14. 能認識比率及其在生活中的應用。(同 92 課綱 N-2-14). N-3-15. 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。(修 N-3-05). N-4-03. 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。(修 92 課綱 N-3-05). N-4-04. 能熟練比例式的基本運算。(同 N-3-07). 以上得知，九年一貫 (92 課綱) 課程數學學習領域綱要分段能力指標中，「數與量」四個階段的能力指標共有 58 個，其中 N-1-09、N-2-06、 N-2-07、 N-2-08、 N-2-09、N-2-11、 N-2-13、 N-2-14、N-3-02、 N-3-03、N-3-05、 N-3-07 是關於「分數概念」的能力指標，共 12 個，占「數與量」主題能力指標的 20.7%。同樣的，在九年一貫 (97 課綱) 課程數學學習領域綱要分段能力指標中，「數與量」四個階段的能力指標共有 76 個，其中 N-2-09、 N-2-10、 N-2-11、 N-2-12、 N-2-16、 N-3-05、 N-3-06、N-3-07、 N-3-09、 N-3-10、N-3-13、 N-3-14、N-3-15、N-4-03、N-4-04 是關於「分數概念」. 9.

(19) 的能力指標，共 15 個，占「數與量」主題能力指標的 19.7 %。由此可知，「分數」在國小數學課程上有相當的重要性。四、分數的相關研究「分數」在國小數學課程上是相當的重要的一個主題，但是對中、高年級學生而言，是較為複雜難懂的概念 (林碧珍，1990)，且學生在解題時，經常逃避使用分數 (呂玉琴，1991)。楊瑞智 (2000) 針對 57 位非數理系的師院生做研究，發現多數的師院生對分數概念了解，相當的侷促與不足， 1 1 且 20 位 (約 ) 說明假分數的意義有困難，27 位 (約 ) 在合理解釋分數 3 2 乘法的意義上有困難(只能賦予程序系的解釋，缺乏關係性的說明)。由上述可知，分數單元不論年齡，皆有不同程度的困難存在。因此，增進學生分數相關課程的了解將是教師及研究者努力的目標。 Piaget, Inhelder & Szeminska ( 1960) 認為兒童要能理解分數的意義，必須具有七個子概念： (一) 能將整體分割：必須有一個可除盡的全體。 (二) 能決定部份量：一個分數包括各部份的限定數(determinant)，分配東西時，各部份須與接受者相對應。 (三) 分割必須窮盡：子分割活動中，全體須被耗盡且沒有餘數。 (四) 能理解分割數和全體之間，有一種固定的關係。 (五) 分割後的每一部分皆相等。 (六) 了解部份來自於全體，而且部份也是一個可再細分的全體。 (七) 了解部份從全體而來，部份的總和等於全體，且全體是不會改變的。綜合上述，Piaget et al. ( 1960 ) 的七個分數子概念具備之後，學生分數的概念就能更清楚。關於分數概念，中外研究文獻相當的多，許多有關於學童分數概念理解的研究，大都以 Piaget et al. ( 1960 ) 對分數理解的子概念為基礎來進行。由此可見，如何促進學生對於分數概念的理解與應用，應是分數教學上必須努力的方向。但是因研究目的與研究設計之差異，可能採取不同的研究方法，以下依研究方法摘要部分文獻，分類如表 2-1-1 。. 10.

(20) 表 2-1-1 國內外分數研究文獻一覽表研究方法. 研究者. 研究對象. 紙筆測驗. 湯錦雲 (2002). 國小五年級學童. 個別晤談. 李端明 (1997). 紙筆測驗和個別晤談. 許璋銜 (2009). 紙筆測驗和個別晤談. 呂玉琴 (1994). 實驗研究. 黃麗寶 (2010). 研究主題探討國小五年級學童在分數概念與運算發生錯誤的原因。. 以根本建構與基模論為理論基礎，以教學晤談法進行資料蒐集，根據國小四年級訪談的影帶轉譯和編輯學童成訪談原案，再依據訪談原案分析國小四年級學生緯緯對於分數詞的解題活動類型。藉由圖形表徵，蒐集及分析學生如何解決分數除法答題的想法。訪談將紙筆測驗的學生分六年級 54 位高、中、低成就三組，學生每組各取出 2 位學生進行半結構性訪談，以深入了解學生解決分數除法問題的想法。以國小數學新課程的數學觀，數學學習的了解國小教師暑層次理論，及診斷教學期學士班二理論為內涵，發展研究年級 136 位工具。探討國小教師對教師分數知識、學生分數認知的知識及分數教學知識的了解。利用數線、圓形圖、線六年級二個段圖等半具體的圖形表班級(一為實徵方式，進行有別於傳驗組、一為對統方法之教學，來幫助照組) 學童們加強分數除法之學習。（續下頁）. 11.

(21) 訪談、紙筆測 Ding (2007) 驗及教學觀察. 電腦輔助教學賴麗桂 (2007) 之動態評量. 國小教師. 國小三年級學童. 個案研究. 顏宗彬 (2006). 六年級學生 2位. 行動研究. 鄭夙珍 (2007). 六年級一個班級. 問卷調查法. 詹婉華 (2003). 國小五六年級學生. 12. 透過訪談、紙筆測驗及觀察教師課堂上等值分數教學，和對於學生的錯誤和學習困難時的回應，來作為教學效能的評定。發現：教師教學時要緊密的結合數學知識，才能在課程中有效地傳達數學概念。探討「IEMDT」教學策略（Integrated EduClick ＆ MathPS Diagnostic Teaching Strategy）對國小三年級學童進行分數教學的成效及對學生學習態度的影響。探討國小六年級學童在分數基準化問題的解題活動類型與理解層次。採用以工作單為基礎的訪談技巧蒐集資料，並依據學生在 8 題工作單問題的解題表現進行訪談。探討暫行綱要和正式綱要的數學領域銜接，進而探究九十五學年度小學六年級連續使用康軒版教材的學生，所面臨之分數課程銜接問題及分數除法教學過程中所遭遇的困境解決方法。發展具良好信度、效度之「國小高年級學童分數概念量表」，並探究國小高年級學童的分數概念。.

(22) 第二節. 乘除法類型與相關的研究. 一、乘除法類型乘除法則可能涉及二維或三維的度量空間，比一維度空間的加減法問題複雜許多。關於「乘除法類型」分類的方式很多，本研究採取語意結構的觀點分析，分成下列五種模式加以說明 (林碧珍，1991) ： (一) Vergnaud (1988) : 從向量空間和向度 (dimension) 的觀點對乘除法問題進行分析。 (二) Schwartz (1988) : 從問題中内涵量（intensive measures) 和 (extensive measures) 的觀點對乘除法問題進行分析。 (三) Greer (1987) : 以符號 STS，SSS，SRS 乘的結構將乘除法問題分類。 (四) Nesher (1988)：將乘法問題分類為三種。 (五) Usiskin & Bell (1983) : 乘法應用的觀點對乘除法問題進行分類。以下針對此五種模式加以說明： (一) Vergnaud 模式 Vergnaud (1988) 提出有關概念發展的研究，他認為單一概念不能只用單一種情境來說明，而且單一情境也無法僅以一種概念加以分析。對於學生數學概念的研究，他採用概念域（conceptual fields) 的觀點來探討。所謂的概念域，就是分析某一概念所需要的一組情境。例如：分析「簡單比例」與「多重比例」的問題情境時，需要用到乘除結構的概念域。所以， Vergnaud 模式是從度量空間和向度的觀點，將乘法的結構分為量數同構型 (isomorphisms of measures)、叉積型（product of measures)和多重比例型 (multiple proportion)三種： 1.量數同構型涉及二個度量空間 M1 與 M2 的直接比例關係。其中同一度量空間内包含兩個相異的數，x1 和 x2 屬於 M1，f(x1)和 f(x2)屬於 M2；x1 和 x2、f(x1)和 f(x2)存在放大常數倍或縮小的關係，或在不同的兩個度量空間 M1 與 M2 之間，存在有一值為常數的函數關係，其關係如表 2-2-1：. 13.

(23) 表 2-2-1 Vergnaud 量數同構型 M1. M2. x1. f(x1). x2. f(x2). 此結構若 x1=1，探討三個值的關係，依未知數所在的位置不同，可分為乘法問題、等分除問題、包含除問題；若 x1 ≠ 1，探討三個值的關係，則將這類問題稱為「3 的規則」，其關係如表 2-2-2：表 2-2-2 Vergnaud 量數同構型問題題型類型. x1. x2. f(x1). f(x2). 乘法問題. 1. 6. 5. 未知. 等分除問題. 1. 4. 未知. 28. 包含除問題. 1. 未知. 4. 28. 3 的規則. 7. 3. 70. 未知. 範例一袋橘子有 5 顆，6 袋橘子共有幾顆？ M1=(袋)；M2=(顆) 將 28 顆橘子，平分成 4 袋，每袋有幾顆？ M1=(袋)；M2=(顆) 將 28 顆橘子，每 4 顆裝成一袋，可裝成幾袋？ M1=(袋)；M2=(顆) 7 支筆賣 70 元，同樣的筆 3 支賣多少元？ M1=(支)；M2=(元). Vergnaud (1988)研究發現，以上四種問題的學習層次，以「3 的規則」最難，乘法問題最簡單。 2.叉積型二個度量空間 M1 與 M2 的叉積合成，而產生第三個度量空間 M3。因此，這類的問題涉及到三個度量空間。叉積 (cross products) 是兩集合的積集合，是由有序對 (order pair) 所構成的集合，其關係如表 2-2-3： 14.

(24) 表 2-2-3 Vergnaud 叉積型關係 (M2) x2 (M1). x1. f(x1,x2). (M3). 依未知數所在位置的不同，又分為乘法問題與除法問題，如表 2-2-4：表 2-2-4 Vergnaud 叉積型問題類型類型 x1 x2 乘法問題. 除法問題. 範例. f(x1 , x2). 6. 7. 未知. 未知. 8. 72. 9. 未知. 72. 長方形的長 6 公分、寬 7 公分，則長方型的面積為多少平方公分？長方形面積 72 平方公分，寬為 8 公分，則長為多少公分？長方形面積 72 平方公分，長為 9 公分，則寬為多少公分？. 3. 多重比例型涉及到三個度量空間 M1、M2 和 M3，其中 M3 度量空間與另外兩個獨立的度量空間 M1、M2 成比例，是探討四個值的關係，如表 2-2-5：表 2-2-5 多重比例關係 (M2) x2’. x2 x1. f(x1 , x2). (M1) x1’. f(x1’ , x2’) (M3). 15.

(25) 依其未知數位置的不同，可分為乘法問題等分除包含除和 5 的規則等類型。如表 2-2-6：表 2-2-6 Vergnaud 多重比例型問題類型 x1 x2 x1’ x2’ f(x1,x2) f(x1’ ,x2’) 類型乘法問題. 1. 1. 6. 7. 20. 未知. 等分除問題. 1. 1. 6. 7. 未知. 840. 包含除問題. 1. 1. 6. 未知. 20. 480. 5 的規則問題. 1. 7. 6. 28. 140. 未知. 範例小莉家有 6 人，每人每天吃掉 20 公克的米，小莉家 7 天一共吃掉少公克的米？小莉家有 6 人，7 天一共吃掉 840 公克的米，那麼每人每天吃掉多少公克的米？小莉家有 6 人，每人每天吃掉 20 公克的米，480 公克的米一共可以吃幾天？小莉家有 6 人，每人 7 天吃掉 140 公克的米，小莉家 28 天一共吃掉多少公克的米？. (二) Schwartz 模式 Schwartz (1988)的乘法結構是從問題中的內涵量（intensive measures) 和外延量 (extensive measures) 考慮。Schwartz (1988) 將乘法以語意關係的三元組分為 ( I , E , E’)、( E , E’, E’’)、( I , I’, I” )及 (S, E, E’)的結構。其中 E 代表外延量，只包含一個向度，用以計算、測量數值，如：5 本書、7 排、10 平方公尺、……(體積、面積、長度……)，可以直接相加且是整體測量的。外延量又區分為：(1)離散量(以 D 表示)，有自然單位，呈離散的狀態，如：人、輛；(2)連續量(以 C 表示)，沒有自然單位，須使用約定的測量工具才能描述，如：公里、公升。其中 I 代表内涵量，内涵量源於外延量，是由二個外延量組成的，所以包含二個向度。内涵量彼此間不可以直接相加，而且是局部可測量的。. 16.

(26) 依外延量的組合情形，内涵量分為四種：(1) D/D ,如：人/隊；(2) C/D，如：公升/瓶；(3) D/C，如：輛 /小時；(4) C/C，如：公里/時。 Schwartz (1988)將乘除問題分類如下： 1. ( I, E, E’ )結構依三個量是已知或未知的關係，分為 I × E = E’ 、E’/ E = I、E’/ I= E 三種類型 (表 2-2-7 )。表 2-2-7 Schwartz (I，E，E')問題類型類型關係乘法問題. I × E = E’. 等分除問題. E’/E = I. 包含除問題. E’/I = E. 範例每人有 5 顆果，3 人共有幾顆糖果？有 15 顆糖果分給 3 個人，每人可得到幾顆糖果？有 15 顆糖果，每人 5 顆，可以分給幾個人？. 說明 I = 5 顆/人 E= 3 人求：E’ = (顆) E’ =15 顆 E =3 人求：I=？(顆/人) E’ =15 顆 I=5 顆/人求：E =？(人). 由上表可發現，此種分法相當於 Vergnaud (1988) 量數同構型中的乘法、等分除、包含除問題，此處内涵量相當於 Vergnaud (1988) 多重比例型問題類型中的函數關係。 2. ( E, E’, E”）結構 E × E’ = E”，是由一個外延量 ( E )和另一個外延量(E’ )相乘而產生第三個外延量 (E”)，相當於 Vergnaud (1988)的叉積型。例如：長方形花圃長 6 公尺( E )，寬 8 公尺( E’ )，請問：面積是多少平方公尺( E” )？ 3. ( I, I’, I” )結構 I × I’’ = I” 是一個内涵量( I )乘上另一個内涵量( I’’)而產生第三個内涵量( I” )，例如：姊姊騎腳踏車每小時的速度是 20 公里，他每天騎 2 小時，一天下來總共騎了多少公里？I=20 公里/時，I’ = 2 時/天，I”=40 公里/天。 4. (S, E, E’)結構 S 為一常量 (scalar)，是沒有向度的量，S 值通常是倍數、折扣、加成. 17.

(27) 等。例：小美有彈珠 10 顆，小亮的彈珠是小美的 5 倍，則小亮有多少顆彈珠？ S=5、E=10 顆、E’為未知數。 (三) Nesher (1987) 模式 Nesher (1988) 認為學生對於文字題的解題困境在於無法將自然語言所表徵的情境轉化為數學語言表徵，所以他對乘除文字題的研究著重在問題中所涉及的「内文」如何轉化成為「數學語言」之探討。他參考 Vergnaud 和 Schwartz 乘法結構模式，將乘法問題分類為三種，每一種命題結構包含三部分： 1. 函數規則的乘法問題例如：小華有口香糖 5 條，每條口香糖有 7 片，小華共有幾片口香糖？第一部份：說明一般的術語，有 n1 個 x ,每一個 x 有 y，即存在有一個敘述是描述兩個值 p(x , y)。（每條口香糖有 7 片）第二部份：呈現一個映射規則個 x 對應到 y 的關係，是每一說明 p(x , y)中 x 與 y 的關係。(小華有 5 條口香糖）第三部分：求答，共有多少個 y？ (小華共有幾片口香糖） 2. 比較型問題例如：妹妹有 100 元，姊姊的錢是妹妹的 7 倍，則姊姊有多少元？第一部份：有一參考集合 y 有 n1 個元素 (妹妹有 100 元)。第二部份：有一特殊的函數關係，將每一個參考集合 y 中的元素對應到比較集合 x 的關係(姊姊的錢是妹妹的 7 倍)。第三部分：求答，求出比較集合的元素個數 (姊姊有多少元？)。 3. 乘法叉積問題例如：教室桌椅正好排成 6 行 5 列，問教室内共有幾張桌子？第一部份和第二部份是描述兩個獨立的集合 (6 行桌子和 5 列桌子)。第三部份：求答，有多少 z，z 是一個 x 與一個 y 的交乘積 (共有幾張桌子？)。 (四) Greer 模式 Greer (1987) 是以符號 STS、SSS、SRS 乘法結構將乘除法問題分類。 18.

(28) 1. STS : 最初量(S)受到一種變換(transfornation)( T)造成另一個量(s)。而依未知數所在的位置不同，又可以分為乘法問題(ST|S|)、等分除 (|S|TS)、包含除(S|T|S)三種類型，此種結構相當於 Vergnaud 的度量同構和 Schwartz 的( I，E，E’ )三元組。 2. SSS : 由二個量結合而成為第三個量，相當於 Vergnaud (1988)的叉積型與 Schwartz (1988)的 ( E，E'，E” ) 三元組，常應用在長方形的陣列、組合、面積等問題。 3. SRS：有一種關係(relation)R，存在於二個量中，相當於 Schartz (1981) 的( S, E, E'）乘法類型，此結構未歸在 Vergnaud (1988)的模式中。 (五) Usiskin & Bell (1983)的觀點 Usiskin & Bell (1983)以乘法應用的觀點，將乘法意義分為： 1. 比例因子類或相同等集合問題此類型與連加法關係密切，基本算式為：比例因子×數量=另一個量，這類問題相當於 Schwartz 模式的(I, E, E’）和 Greer (1987)的 STS，以及 Nesher (1988)的函數規則問題。 1. 交叉運作或叉積兩量交互運作之後，會得到一個具有複合單位的量，這種問題相當於 Schwartz 模式的( E, E’, E” )。 2. 大小改變類或常量問題原始量×改變大小的比率=改變後的量，其中改變大小的比率是一個數值，沒有單位，如：倍數、利率、折扣……等，都可作為「改變大小的比率」的因子，此種運算因子可以有二個或二個以上，相當於 Schwartz 模式的 (S, E, E’)和 Greer 的 SRS 以及 Nesher 的比較型問題。以上各種乘除法模式的意義雖是相同的，但其所分類的觀點卻有所不同。將其分析比較如表 2-2-8，其中同一欄的模式，意義是相同的:. 19.

(29) 表 2-2-8 乘除法類型之比較模式. 乘除類型. Vergnaud. 叉積型. 量數同構型. 多重比例型. Schwartz. (E,E’’,E’’). (I,E,E’). (S,E,E’). Nesher. 叉積型. 函數規則. 比較型. Greer. SSS. STS. SRS. Usiskin & Bell. 交叉運作. 比例因子類. 大小改變型. 型二、乘除法相關的研究王秋芳 ( 2012 ) 以三年級數學科乘法和除法文字題為研究教材，透過乘除互逆的概念，進行策略性探討，研究學生透過實際教學活動後，對於乘除問題的解題能力是否可以提升。研究結果發現：(1)以乘法策略處理乘除問題的教學策略可提升三年級學童的解題能力並具有良好的保留效果； (2)乘除問題同時學習，對於乘除概念的連結有幫助，可以達到乘除互逆概念的完整性；(3)實施「以乘法策略處理乘除問題」的教學策略，學生的解題能力可以延伸至五年級「怎樣列式」單元。馬秀蘭 ( 2007 ) 探討學童對乘除法算式發展問題歷程中涉及的知識，文中指出學生若要成功發展問題必須具有策略性 (檢視列式)、基模(情境、結構類型)、語意 (事物表示) 和語文 (正確中文表之 )四種知識。結果發現：在發展問題時，學生之認知結構可透露出此四種知識，且學童涉及的知識及內涵會受算式數字型式(如乘數是小數，非整數之被除數大於或小於除數)影響。. 20. (I,I’,I’’).

(30) 第三節. 擬題意義與相關研究. 一、擬題的意義擬題的教學活動與研究，近幾年來逐漸受到重視，國內外有許多專家學者、數學教育工作者將「擬題」視為重要的數學教育方法（Moses, Bjork, & Goldenberg, 1993; NCTM, 1989, 1991, 2000）。廣義來說，problem posing 是指所有的出題行為 (陶惠昭，1997)。梁淑坤 (1994）認為擬題是依自己的想法擬出一個數學題目來。楊惠如 (2000) 認為擬題是學習者根據所學的數學經驗，創造一個個人化的數學題目。Silver(1994) 指出擬題包含產生新的問題和探究給定的問題情境，在解題的過程中同時形成一個新的問題。王素幸 (2010) 認為無論是小組或個人活動，學生擬題活動是一種以學生為主、教師從旁輔助的學習策略，也是一種學習者主動的學習過程綜合上述研究者對擬題的看法：所謂的擬題，就是學生根據個人的生活經驗和數學知識，在擬題的過程中，以「數學的觀點」出發，透過個人化的思考過程來創造數學題目。二、擬題的類型擬題是一種表徵的轉換，依據擬題的素材 (圖片、文字、實物)、研究方式與結果，而有不同的分類： (一) Tsubota 以解題後擬題為主，也就是「從問題中出問題」，Tsubota 說明出問題方法共有七個。（引自梁淑坤，1994） 1.模仿法或類題法：學習某個問題後，做出和此同樣的題目。 2.算式法：提出一個公式，再做出適用此公式的問題。 3.原理法：給與四則演算法和通分等原理，做出和此相對的題目。 4.訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或做出矛盾而需訂正的方法。 5.實驗法：實驗或以具體東西的操作，再以此事項為根基做出問題。 6.自由法：以自由的題材，做成自由型式的問題。 7.題材法：給定題材來做問題。. 21.

(31) (二) Silver & Cai (1996) 認為擬題可以分成兩種方式： 1.由給定的題目中，再產生新的題目。 2.由情境或經驗中創造一個新的數學題目。 (三)梁淑坤的擬題類型 1.梁淑坤 (1994) 以寫故事題 (story problem) 的觀點，將擬題活動分為： (1)已有數學部份而欠故事内容此類問題是透過表徵轉換活動，將數字轉為故事題。日本學者古藤伶 (1986) 及英國學者 Greer (1991)都曾研究小朋友怎樣去寫出 5+3=8 的故事題。研究發現：小朋友在表徵轉換活動中，可以想出「改變」型和「併加」型、「排先後」與「加法反運算」的問題等四類不同的故事來。從這些擬題中可以覺察學生的日常生活經驗，也可以知道他們是否將生活與數學相結合。此外，學生在擬故事時，有時會注意數學而忘記考慮真實生活情境，結果擬出不符合真實生活情境，但計算上沒有問題，而且故事題內容也是配合算式的。 (2)已有情境安排 (文句或圖片）而欠缺數學部份這一類型的擬題活動，是讓擬題者在己知的情境安排下，寫出數學文字題來。情境安排可以是用文字描述或是用圖畫表示。擬題者要用自己已理解的知識去閱讀圖片、文句，再擬出題目來，也就是擬題者用個人的體驗把情境「數學化」。 2.梁淑坤 (1997)編製了一套擬題的評量工具，在其擬題的教材中，將擬題類型分為三大類： (1)文字類：呈現一段文字的敘述，讓學生依據文字敘述中所給的條件，擬出一道題目。 (2)圖片、圖表類：給一張圖片或一個圖表，讓學生依據圖片或圖表擬出一個内容相關的題目。 (3)答案類：給予一個或一組答案，要求學生擬出符合規定的題目。. 22.

(32) 綜合上述，可以發現：一般的數學題型相較，擬題的類型更顯得多樣貌。因為擬題的出題方式彈性較大，學生發揮的空間較多，因此所擬的題目也比較多樣化。三、擬題的特徵擬題是結合了個人的認知基模，轉換後擬出一個新的數學題目，因此擬題行為應具有下列特徵 (梁淑坤，1994): (一) 組織的方法是屬於個人的 (idiosyncratic): 擬題是依據自己的數學知識和生活經驗，創造出一個新的數學題目。 (二) 過程中包括猜想及可信推理 (plausible reasoning): 擬題是在模擬的過程中想出一個題目來，擬題者在擬一個新題目時，會反問自己一連串問題像「假如是…？」 (What if…？)、「假如不是…？」 (What if not…? )。 (三) 可以發生在解題前、解題中以及解題後( before, during, andafter problem solving)：例如，我們給予學生一組「2、3、5」的質數，要求其擬出一新的題目，擬題者可能擬出將三個質數相加是不是一個質數？解題後發現不是，又想如果全部相乘呢？解題中又想，若把數字換掉，結果會不會一樣？所以，在解題過程的任何階段我們都可以擬題。 (四)擬題者把想出的題目和課本的題目相比，是較「粗糙的」 (primitive)。而且，這些題目可能是不完整的（incomplete)或非可行的(implausible) 或欠缺足夠解題資料的 (insufficient)。綜合上述，學生的擬題内容大致來自本身的生活經驗，雖然題目較為粗糙，但是擬題過程中，學生經由思考和推理，進而增進了學習。四、擬題的相關研究 Silver & Cai (1996) 以 509 名七年級之中等學校的學生為研究對象，提供學生一段故事題（story-problem) 敘述，讓學生參考其擬題内容，之後再進行研究分析。此研究的目的，是想要發展和運用一套分析方法，來測驗中等學校學生的擬題能力，以探討解題能力不同的學生之擬題能力的差異。結果發現：解題能力高分組的學生擬出的題目數量和擬出多步驟題 23.

(33) 的表現皆優於低分組。因此得知：學生的解題能力與擬題能裡有高度相關。 English (1998 ) 研究澳大利亞 54 位國小三年級學童在「教科書内的問題」和「提供圖片或一段文字敘述的問題」之擬題能力。結果發現：(1) 擬題能力較強的學生，其題目的結構和運算也較為複雜。(2)學生在「提供圖片或一段文字敘述的問題」比「教科書内的問題」擬出較多題型的題目，此現象可能受教材內題目的影響，思考模式容易被固定了。 Lin (2004）的研究中邀請七位班級的老師共同參與設計擬題作業，來評量學生的學習。這七位老師須擔任四種任務：(1)算式類擬題設計(2)圖畫類擬題設計(3)文字類擬題設計(4)蒐集學生的擬題答案。研究結果發現，擬題不但可以用來評量學生對數學的理解，還可以提供教師做教學決定時更進一步的參考。楊惠如 (2000) 採行動研究的方式，在研究者所任教的國小三年級數學教室中，實施為期一學期的研究教學。在研究期間，研究者透過錄影、訪談、省思札記、隨堂記錄以及學生活動記錄等多樣的方式來蒐集資料。研究結果發現：教學者在擬題教學中，一共扮演了教學設計者、佈題者、引導者時間掌控者以及成效評估者等五種角色，而這些角色，也顯示了教師在擬題教學中的重要性。研究者在研究中展現了教師的專業與成長，並且在研究的歷程中，找到自信。陳薇雅 (2010) 以國小五年級為研究對象，透過實務的行動，瞭解擬題活動在國小五年級實際教室的教學情階段況。擬題教學流程依序為「共同擬題」、「合作擬題」和「個人擬題」三個，擬題教學的方式是以「擬題活動」、「討論辯證」、「活動」交錯循環進行。擬題類型是採取梁淑坤教授所編製的擬題教材中，將擬題類型分為六大類，研究者採用「題目類」、「算式類」、「圖表類」這三種類型。在研究期間，研究者透過觀察、訪談、文件收集、教師省思、學生的數學日記和最後調查學生在擬題活動課程方面的接受度所施測的問卷等研究資料。研究結果發現透過合作擬題，可以提供討論的機會促進彼此的學習，而個別擬題的優點則是能激發學童的創意。. 24.

(34) 學生可藉由共同評鑑與討論的時機，發現自己的迷思概念，進行修正，同時也在擬題活動教學中增加了學習數學的興趣和動機。林群雄 (2004) 國小三年級為研究對象，透擬題活動融入數學課堂來探討國小三年級學童數學能力成長的過程，並透過行動研究的方式，探討研究過程中的教師專業成長，並瞭解擬題活動教學在實際執行上的困難與解決方法研究結果。發現，教師不僅在教材內容要點的掌握，教學流程的鋪陳，重點提問的介入時機，引導討論的氣氛和走向的能力獲致成長，最重要的是教師本位的心態轉為學生本位的考量。而學童上數學課時，擬題內容從不知所云到多元創意；解題從模仿到自我的見解，顯示出學童在數學擬題活動教學中提升了學習興趣、動機和自信。 Xia, L ü and Wang (2008) 以創造和擬題為基準的課程 (Situated Creation and Problem-Based Instruction) 做了一個實驗性研究，目的是改變學生普遍缺乏擬題基礎的學習經驗和對問題的認識。研究結果發現：這種以創造和擬題為基準的擬題的教學模式激勵了學生的學習興趣，也提升了學生的擬題和數學學習能力。 Yuan (2009) 探討中國 2 組高中學生 (上海、膠州) 與美國 1 組高中學生的創造力、擬題能力及創造力、擬題能力和這兩種文化的關係。研究結果發現：(1)膠州 ( Jiaozhou ) 高中組在擬題方面優於其它兩組；(2)三組在圖片的思考創造力的表現相似；(3)美國高中組在文字(words)的思考創造力優於其它兩組；(4)擬題和創造力之間關係複雜，會隨著不同組別發生變化。綜合上述，擬題可以評量學生對數學的理解，並讓學生在學習中增加樂趣，而且老師可透過擬題了解學生學習的迷思。因此，研究者將透過『擬題』來了解學生分數的概念，進而作為教學補救或日後分數教學教材補充的參考。. 25.

(35) 第四節. 數學解題與相關研究. 一、解題的意義和重要性解題是數學教學的基本目標，也是相當重要的數學基本技巧。張春興 (1993) 認為解題是在問題的情境下，經由思考和推理而達到目標的心理歷程。陳啟明 (2000) 認為解題是個體在遭遇到陌生的問題或情境時，運用已有的知識、經驗或技巧，配合演繹、推理與歸納等思考方式，以求順利達成目標的歷程。美國數學教師協會 (NCTM) 在 1980 年時指出「解題 ( problem solving ) 必須是學校數學教育的重心」。此外，NCTM 更進一步於 2000 年公佈的「數學教育原則與標準」（Principles and Standard for School Mathematics) 中提出「數學解題是數學學習的核心能力之一」。而我國現行九年一貫的數學課程綱要 (教育部，2003，2008) 中更將「獨立思考與解決問題」列為十大基本能力之一。綜合上述，我們知道解題是在了解問題後，解題者運用舊有的知識、經驗或技巧，配合演繹、推理與歸納等思考方式，達到目標的一種歷程。二、解題歷程解題是一個相當複雜的心理歷程，國內外學者有不同的見解，以下為各研究者提出的「數學解題歷程」： (一) Dowey 的六個解題階段： Dowey(1933)在「How We Think」(賈馥茗，1992)這本書中提出了六個解題階段，分別是：1.確認問題的情境；2.定義問題；3.擬訂計畫；4. 執行計畫；5.體驗解題解果；6.評鑑。 (二) Polya 的數學解題歷程模式：波蘭數學家 Polya (1945)是最早提出數學解題歷程模式的學者，他在「怎樣解題」 (How to Solve It)一書中，將數學解題歷程分為四個階段（蔡坤憲譯，2006)： 1.了解問題：了解問題的敘述，清楚的掌握題目要我們做什麼。(認識問題，進一步了解問題。) 哪些是未知數？哪些是已知數？有哪些已知條件？從不同的角度，小心且反覆的考慮問題的主要部分。需要時，畫圖 26.

(36) 標示已知數和未知數或適時引入適當的符號。這個答案能否滿足所給的條件? 2.擬定計畫：找出已知數和未知數之間的聯繫，根據條件擬定出解決問題的計畫。如果找不出直接的聯繫，則考慮輔助問題，以得出求解的計畫。你知道有什麼相關的問題嗎？有什麼類似題，帶有相同或相似的未知數？聯想到以前做過和目前相關的問題時，你可以怎麼利用它？無法解決眼前的問題，先試著解相關的問題。你是否使用了所有的已知數？你是否使用了全部的條件？ 3.執行計畫：根據所擬定的計畫來進行解題(實現解題計畫)，逐步檢查解題步驟，確定每一步驟的正確性。你能清楚的看出來這個步驟的正確性嗎？你能證明出這個步驟是正確的嗎？ 4.驗算與回顧：重新檢驗個人的解題執行歷程(驗算答案和結果)，考量是否能用別的方法推導出相同結果？能夠在其他問題，應用此結果或方法上述每個步驟都有一連串的問題或提示，來協助解題歷程的進行。而且數學家 Polya 提出的數學解題歷程，在後來成為許多研究數學解題的重要的參考基礎。 (三) Lester 的數學解題歷程模式 Lester (1980)數學解題分為六個階段： 1.問題的覺知 (problem awareness)：解題者知覺到問題的存在。 2.問題的理解 (problem comprehension)：解題者將問題轉釋及内化。 3.目標分析 (goal. analysis)：解題者將問題變形後分析其結構，找找看. 是否有子目標可協助達成解題目標。 4.計畫的發展 (plandevelopmant)：解題者擬訂出解題計畫，包含解題策略、程序及方法。 5.計畫的執行 (planimplementation)：解題者按照擬定的計畫執行，並注意使用的解題策略及步驟的正確性。 6.程序和解答評估 (procedures. and solution evaluation)：評估整個解題過. 程，並檢核答案的正確性及合理性。. 27.

(37) (四) Schoenfeld 的數學解題歷程模式 Schoenfeld(1985)年在其所這的「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中，提出數學的解題成功與否受四項因素的影響： 1.資源 (resoures):解題者擁有與解題相關的數學知識，進行解題時，必須將與目前解題相關的數學知識從記憶中提取出來，才能使解題活動持續進行。因此，擁有越多數學資源的解題者，越有機會獲得正確的解答。 2.捷思（heuristics)：即解題技能與策，它通常來自於解題者在解題過程中，累積一些解題經驗後，遇到某一類型的問題，知道以某種策略解決，如此便形成解題者個人的解題策略。 3.控制（control)：指解題者在解題時，如何決定計畫、選擇目標、採用策略、監控與評估解題結果。控制常居於解題歷程的主導地位，它的主要任務即是規劃、監控與調整整個解題歷程的活動，以使解題活動獲得最後正確的解答。 4.信念（beliefsysytem)：指解題者的數學觀，此數學觀對其解題行為有深遠的影響。以上四個變項彼此重疊交錯且互相作用。而且在 Schoenfeld (1985) 的研究中，也發現：在資源、捷思、控制及信念四個變項中，「控制」變項對解題的影響最大。因此，在解題歷程中，以「控制」變項的觀點，來分析解題行為，將解題歷程區分為五個階段： 1.讀題 (reading)： (1)注意到問題所有條件，條件是明顯或模糊的？ (2)正確了解目標狀態，目標狀態是明顯或模糊的? (3)評估解題者現有知識與問題的關係? 2.分析（analysis): (1)選擇什麼觀點?選擇的觀點明不明確？ (2)根據問題條件採取行動嗎？ (3)根據問題目標採取行動嗎？ (4)是否考慮條件與目標的關聯？ 28.

(38) (5)解題者的行動合理嗎? 3.探索 (1)本階段的問題是條件導向或目標導向？ (2)所採取行動有方向或重點嗎？是否有其目的性？ (3)對解題過程有否加以檢視？檢視行為對解題的結果有何影響？ (4)解題者上述的行為是否合理？ 4.計畫執行 (1)是否有明確的計畫？與問題的目標有關嗎？ (2)計畫和解題有關係嗎？是否適當？是否有良好之架構？ (3)解題者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？ (4)執行是否依計畫有系統的進行？ (5)是否在局部或整體層次評估執行？ (6)評估之有無對解題結果有何影響？ 5.驗證 (1)是否重新檢查解題？ (2)有無考驗解題？如果有，如何考驗？ (3)有無歷程及結果的評估？對結果的信心如何？ 6.轉移 (1)對解題當前狀態有無評估過？若放棄一種解題的途徑，是否利用其中某一的部分？ (2)有無評估先前放棄的解題途徑，對解題產生的局部和整體影響如何？所採取的行動是否適當而必要？ (3)是否評估採取新途徑的短程或長程的影響？或直接轉換新的方法？ (4)採取新途徑後有無評估其對短程或長程的影響？行動是否適當而必要？. 29.

(39) (五) Krulik 和 Rudnick 的數學解題歷程模式 Krulik 和 Rudnick(1989)發展出一套階層式數學解題歷程模式，共有五個步驟，每個步驟涵蓋一些子技巧或策略，其步驟為：1.閱讀問題；2.探究問題；3.選擇策略；4.解決問題；5.驗算(吳德邦、吳順治，1989）。如圖 2-4-1：閱讀問題. 子技巧： 1.辨別事實真象 2.辨別數目種類 3.了解字彙生字 4.想像. 探究問題. 子技巧： 1.資料之合理性 a.掉了什麼 b.多餘的是什麼 2.組織和展現資料 a.地圖 b.表格 c.曲線圖 d.圖表 e.代數的敘述 3.運算的概念 4.概算. 選擇策略. 解決問題. 驗算. 策略： 1.算式的理解 2.回顧舊經驗 3.猜測和嘗試 4.模擬或試驗 5.變形 6.組織列式 7.邏輯演練. 子技巧：子技巧： 1.各種換算 1.概算技巧 2.答案合理 2.代數技巧嗎 3.幾何技巧. 圖 2-4-1 Krulik 和 Rudnick 的階層式數學解題歷程流程圖資料來源：吳德邦、吳順治（1989）。解題導向的數學教學策略。臺北市：五南。. (六) Mayer 的數學解題歷程模式 Mayer(1992)結合認知心理學及訊息處理觀點，將數學解題歷程做了結構性的分析，共分為兩階段、四個步驟，茲分述如下 (洪碧霞、黃瑞煥、陳宛玫，民 73)： 1.問題表徵（problem representation):指解題者將問題的陳述(文字或圖案) 轉換成心理表徵，它包含兩個步驟：. 30.

(40) (1)問題轉譯（problem translation):解題者了解問題的意義及解題目標後，將問題從外在的「文字表徵」轉譯為内在的「心理表徵」。 (2)問題整合（problem integration):解題者運用「基模知識」辨認解題時需要或不需要的資料，並統整題目中各條件的關聯。 2.問題解決（problemsolving)：將問題的陳述從轉譯成心理表徵進行到答案呈現的過程，其包含兩個步驟： (1)解題計畫及監控（solution planning and monitoring):解題者理解問題後，將問題分解成較小的次目標，之後提出解題計畫，並隨時監控自己的解題過程。 (2)執行解題（solution execution) ：指解題者以程序性知識進行解題。 (七) 胡炳生的數學解題思考胡炳生（1997）認為解題的過程中，包括了大腦内部的思維活動過程、外部書寫或口頭解答的過程。人在解題時，其大腦的思維活動，大致按「觀察-聯想-轉化」的步驟進行。問題則是激發思維活動的動力，沒有問題就沒有積極的思維活動，而且解題思維活動中，總使不斷設問、不斷回答、和持續解決問題。胡炳生根據 G.Polya 的探索法，列出數學解題思考步驟和程序表 2-4-1：表 2-4-1 胡炳生的數學解題思考步驟及程序表步驟. 思考程序. 1. 1.要求解(證)的問題是什麼？它是哪種類型的問題？. 2.已知條件(已知數據、圖形、事項、及其與結論部分的聯繫方式) 是什麼？要求的結論（未知事項）是什麼？觀察 3.所給的圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形（幾何的、函數的或示意的）或數學式子(對文字題)將問題表示出來？能否在圖上加上適當的符號？ 2. 4.有什麼隱含的條件？. 續下頁. 31.

(41) 1. 1.這個題目以前做過嗎？ 2. 2.這個題目以前在哪裡見過嗎? 3. 3.以前做過或見過類似的問題嗎？當時是怎樣想的？. 4.題目中的一部分(條件、或結論、或式子、或圖形)以前見過嗎? 在什麼問題中見過的? 聯想 5.題中所給的式子、圖形、與記憶中的式子、圖形相像嗎？它們之間可能有什麼聯繫？ 6.解這類問題通常有哪種方法？哪種方法較方便？試一試如何？ 7.由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，需要知道哪些條件？ 8.與這個問題有關的知識(基本概念、定理、公式等)有哪些？ 1.能否將題目中複雜的式子簡化？ 2.能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？ 3.能否將問題規劃為基本問題？ 4.能否進行變量替換、恆等變換或幾何變換、將問題的形式變得較明顯一些？轉化 5.能否形-數互化？利用幾何方法來解代數問題？利用代數法(解析)來解幾何問題？ 5. 6.利用等價命題律(逆否命題律、同一法則、分斷式命題）或其他方法，可否將問題轉化為一個較為熟悉的等價問題？ 6. 7.最終目的：將未知轉化為已知。 1. 2. 3. 4.. 綜合上述各研究者的數學解題歷程，與 Polya 所提出的數學解題歷程四步驟相對照，可以歸納如表 2-4-2：表 2-4-2 解題歷程理論分析表提出者. 階段. Polya Dewey. 1.確認問題的情境 2.定義問題 3.擬定計晝 4.執行計畫 5.體驗解題結果 6.評鑑. Polya 的四階段解題歷程了解題意擬訂計畫執行計畫檢視回顧 √ √ √ √ √ √ 續下頁. 32.

(42) Lester. Schoenfeld. Krulik 和 Rudnick. Mayer. 胡炳生. 1.問題的知覺 2.問題理解 3.目標分析 4.計晝的發展 5.計晝的執行 6. 程序和解答的評估 1.讀題 2.分析 3.探索 4.計畫—執行 5.驗證 6.轉移. √ √. 1.閱讀問題 2.探究問題 3.選擇策略. √. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √. 4.解決問題 5.驗算 1.問題轉譯 2.問題整合. √ √ √ √. 3.解題計晝及監控 4. 執行解題 1.觀察 2.聯想 3.轉化. √ √ √ √. √. 由表 2-4-2 可發現：各學者所提之解題歷程及觀點有些許不同，各階段的劃分也有所差異，但解題的第一步驟皆為「理解題意」。此外，數學教育研究報告中也提到：許多學生在數學解題上的困難，都是源自於對問題的不了解 (黃敏晃，1985)。由此可見，「理解題意」在解題過程中為關鍵要素。. 33.

(43) 三、解題的相關研究張雅惟 (2006)以提升國小學童數學科問題解決能力的「交互式同儕教學」學習活動設計 (簡稱為 RPT-MPS )，以電腦系統支援，目的是希望從教導同儕的過程中，學習並強化自身的數學解題策略。活動中學生們分別輪流扮演「指導者」與「學習者」兩種角色，而且為了要教別人而努力學習，是種教學相長 ( learning by tutoring ) 的合作學習。研究發現：(1)數學解題策略引導學生進行思考，學生也在學習表現和後設認知上的能力有所提升。郭佩儀 (2007) 從「比例問題」的表面結構和深層結構探究國一學生的解題表現及解題策略情形，並瞭解表面結構解題和深層結構解題的關聯性，研究採取量化與質性取向的調查研究方法，包含紙筆測驗及個別訪談兩個部分。資料收集的對象為彰化縣某縣立國民中學 460 名國一學生；訪談對象依照高、中、低數學學業成就，各選取 8 名學生共計 24 名。研究的結果顯示：(一)不同數學學業成就學生在不同數字型式、不同語意類型、不同量的性質的解題表現及解題策略有差異； (二)因題目結構的不同而出現不同的解題策略，高數學學業成就學生傾向使用「公式法」，低數學學業成就學生傾向使用「單價法」；(三)成功解比例問題不代表瞭解比例的深層結構概念，但瞭解比例深層結構概念的學生卻一定能成功解比例問題。黃俊瑋 (2007)以台灣地區各縣市 396 個八年級學生作為研究樣本，提出「中學生數學知識、數學情意、解題策略與解題表現統合模式」，並自編「數學解題問卷」、「數學知識問卷」、「數學解題策略量表」、「數學解題情意量表」及進行觀察資料之搜集工作。結果發現：學生的數學知識、數學解題表現、解題情意和解題策略間相互影響。 Deslauriers (2008) 以二十四位九年級學生為研究對象，以隨機方式分成二組，一組是以概念為焦點的教學 (conceptually-focused instruction)，另一組是以過程為焦點的教學 procedurally-focused instruction)，來探討不同的教學方式，對學生在數學上的解題與學習效果。結果發現：兩種方式均有益於學生，但是教學之後，在數學知識的表達與解題能力方面，「以概. 34.

國小學生分數除法之解題與擬題 表現及類型探討

國小學生分數除法之解題與擬題表現及類型探討