第二章 文獻探討
第四節 數學解題與相關研究
一、解題的意義和重要性
解題是數學教學的基本目標，也是相當重要的數學基本技巧。張春興 (1993) 認為解題是在問題的情境下，經由思考和推理而達到目標的心理歷 程。陳啟明 (2000) 認為解題是個體在遭遇到陌生的問題或情境時，運用 已有的知識、經驗或技巧，配合演繹、推理與歸納等思考方式，以求順利 達成目標的歷程。
美國數學教師協會 (NCTM) 在 1980 年時指出「解題 ( problem solving ) 必須是學校數學教育的重心」。此外，NCTM 更進一步於 2000 年公佈的「數 學教育原則與標準」（Principles and Standard for School Mathematics) 中提出「數 學解題是數學學習的核心能力之一」。而我國現行九年一貫的數學課程綱 要 (教育部，2003，2008) 中更將「獨立思考與解決問題」列為十大基本能 力之一。
綜合上述，我們知道解題是在了解問題後，解題者運用舊有的知識、
經驗或技巧，配合演繹、推理與歸納等思考方式，達到目標的一種歷程。
二、解題歷程
解題是一個相當複雜的心理歷程，國內外學者有不同的見解，以下為 各研究者提出的「數學解題歷程」：
(一) Dowey 的六個解題階段：
Dowey(1933)在「How We Think」(賈馥茗，1992)這本書中提出了六 個解題階段，分別是：1.確認問題的情境；2.定義問題；3.擬訂計畫；4.
執行計畫；5.體驗解題解果；6.評鑑。
(二) Polya 的數學解題歷程模式：
波蘭數學家 Polya (1945)是最早提出數學解題歷程模式的學者，他在
「怎樣解題」 (How to Solve It)一書中，將數學解題歷程分為四個階段（蔡 坤憲譯，2006)：
1.了解問題：了解問題的敘述，清楚的掌握題目要我們做什麼。(認識問 題，進一步了解問題。) 哪些是未知數？哪些是已知數？有哪些已知條 件？從不同的角度，小心且反覆的考慮問題的主要部分。需要時，畫圖
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標示已知數和未知數或適時引入適當的符號。這個答案能否滿足所給的 條件?
2.擬定計畫：找出已知數和未知數之間的聯繫，根據條件擬定出解決問題 的計畫。如果找不出直接的聯繫，則考慮輔助問題，以得出求解的計畫。
你知道有什麼相關的問題嗎？有什麼類似題，帶有相同或相似的未知數？
聯想到以前做過和目前相關的問題時，你可以怎麼利用它？無法解決眼 前的問題，先試著解相關的問題。你是否使用了所有的已知數？你是否 使用了全部的條件？
3.執行計畫：根據所擬定的計畫來進行解題(實現解題計畫)，逐步檢查解 題步驟，確定每一步驟的正確性。你能清楚的看出來這個步驟的正確性 嗎？你能證明出這個步驟是正確的嗎？
4.驗算與回顧：重新檢驗個人的解題執行歷程(驗算答案和結果)，考量是 否能用別的方法推導出相同結果？能夠在其他問題，應用此結果或方法 上述每個步驟都有一連串的問題或提示，來協助解題歷程的進行。而 且數學家 Polya 提出的數學解題歷程，在後來成為許多研究數學解題的重 要的參考基礎。
(三) Lester 的數學解題歷程模式
Lester (1980)數學解題分為六個階段：
1.問題的覺知 (problem awareness)：解題者知覺到問題的存在。
2.問題的理解 (problem comprehension)：解題者將問題轉釋及内化。
3.目標分析 (goal analysis)：解題者將問題變形後分析其結構，找找看 是否有子目標可協助達成解題目標。
4.計畫的發展 (plandevelopmant)：解題者擬訂出解題計畫，包含解題策略、
程序及方法。
5.計畫的執行 (planimplementation)：解題者按照擬定的計畫執行，並注意 使用的解題策略及步驟的正確性。
6.程序和解答評估 (procedures and solution evaluation)：評估整個解題過 程，並檢核答案的正確性及合理性。
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(四) Schoenfeld 的數學解題歷程模式
Schoenfeld(1985)年在其所這的「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中，提出數學的解題成功與否受四項因素的影響：
1.資源 (resoures):解題者擁有與解題相關的數學知識，進行解題時，必 須將與目前解題相關的數學知識從記憶中提取出來，才能使解題活動 持續進行。因此，擁有越多數學資源的解題者，越有機會獲得正確的 解答。
2.捷思（heuristics)：即解題技能與策，它通常來自於解題者在解題過程 中，累積一些解題經驗後，遇到某一類型的問題，知道以某種策略解 決，如此便形成解題者個人的解題策略。
3.控制（control)：指解題者在解題時，如何決定計畫、選擇目標、採用 策略、監控與評估解題結果。控制常居於解題歷程的主導地位，它的 主 要任務即是規劃、監控與調整整個解題歷程的活動，以使解題活動獲 得最後正確的解答。
4.信念（beliefsysytem)：指解題者的數學觀，此數學觀對其解題行為有 深遠的影響。
以上四個變項彼此重疊交錯且互相作用。而且在 Schoenfeld (1985) 的研究中，也發現：在資源、捷思、控制及信念四個變項中，「控制」
變項對解題的影響最大。因此，在解題歷程中，以「控制」變項的觀點，
來分析解題行為，將解題歷程區分為五個階段：
1.讀題 (reading)：
(1)注意到問題所有條件，條件是明顯或模糊的？
(2)正確了解目標狀態，目標狀態是明顯或模糊的?
(3)評估解題者現有知識與問題的關係?
2.分析（analysis):
(1)選擇什麼觀點?選擇的觀點明不明確？
(2)根據問題條件採取行動嗎？
(3)根據問題目標採取行動嗎？
(4)是否考慮條件與目標的關聯？
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(5)解題者的行動合理嗎?
3.探索
(1)本階段的問題是條件導向或目標導向？
(2)所採取行動有方向或重點嗎？是否有其目的性？
(3)對解題過程有否加以檢視？檢視行為對解題的結果有何影響？
(4)解題者上述的行為是否合理？
4.計畫執行
(1)是否有明確的計畫？與問題的目標有關嗎？
(2)計畫和解題有關係嗎？是否適當？是否有良好之架構？
(3)解題者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？
(4)執行是否依計畫有系統的進行？
(5)是否在局部或整體層次評估執行？
(6)評估之有無對解題結果有何影響？
5.驗證
(1)是否重新檢查解題？
(2)有無考驗解題？如果有，如何考驗？
(3)有無歷程及結果的評估？對結果的信心如何？
6.轉移
(1)對解題當前狀態有無評估過？若放棄一種解題的途徑，是否利用其 中某一的部分？
(2)有無評估先前放棄的解題途徑，對解題產生的局部和整體影響如何？
所採取的行動是否適當而必要？
(3)是否評估採取新途徑的短程或長程的影響？或直接轉換新的方 法？
(4)採取新途徑後有無評估其對短程或長程的影響？行動是否適當而必 要？
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1.問題表徵（problem representation):指解題者將問題的陳述(文字或圖案) 轉換成心理表徵，它包含兩個步驟：
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(1)問題轉譯（problem translation):解題者了解問題的意義及解題目標後，
將問題從外在的「文字表徵」轉譯為内在的「心理表徵」。
(2)問題整合（problem integration):解題者運用「基模知識」辨認解題時 需要或不需要的資料，並統整題目中各條件的關聯。
2.問題解決（problemsolving)：將問題的陳述從轉譯成心理表徵進行到答案 呈現的過程，其包含兩個步驟：
(1)解題計畫及監控（solution planning and monitoring):解題者理解問題後，
將問題分解成較小的次目標，之後提出解題計畫，並隨時監控自己的 解題過程。
(2)執行解題（solution execution) ：指解題者以程序性知識進行解題。
(七) 胡炳生的數學解題思考
胡炳生（1997）認為解題的過程中，包括了大腦内部的思維活動過程、
外部書寫或口頭解答的過程。人在解題時，其大腦的思維活動，大致按「觀 察-聯想-轉化」的步驟進行。問題則是激發思維活動的動力，沒有問題就 沒有積極的思維活動，而且解題思維活動中，總使不斷設問、不斷回答、
和持續解決問題。胡炳生根據 G.
Polya
的探索法，列出數學解題思考步驟 和程序表 2-4-1：表 2-4-1
胡炳生的數學解題思考步驟及程序表
步 驟 思 考 程 序
觀 察
1. 1.要求解(證)的問題是什麼？它是哪種類型的問題？
2.已知條件(已知數據、圖形、事項、及其與結論部分的聯繫方式) 是什麼？要求的結論（未知事項）是什麼？
3.所給的圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形（幾何的、函 數的或示意的）或數學式子(對文字題)將問題表示出來？能否 在圖上加上適當的符號？
2. 4.有什麼隱含的條件？
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Lester
1.問題的知覺 √
2.問題理解 √
3.目標分析 √
4.計晝的發展 √
5.計晝的執行 √
6. 程 序 和 解 答 的 評
估 √
Schoenfeld 1.讀題 √
2.分析 √
3.探索 √
4.計畫—執行 √
5.驗證 √
6.轉移 √
Krulik 和 Rudnick
1.閱讀問題 √
2.探究問題 √
3.選擇策略 √
4.解決問題 √
5.驗算 √
Mayer 1.問題轉譯 √
2.問題整合 √
3.解題計晝及監控 √
4. 執行解題 √
胡炳生 1.觀察 √
2.聯想 √
3.轉化 √ √
由
表 2-4-2可發現：各學者所提之解題歷程及觀點有些許不同，
各階段的劃分也有所差異，但解題的第一步驟皆為「理解題意」。此 外，數學教育研究報告中也提到：許多學生在數學解題上的困難，都 是源自於對問題的不了解 (黃敏晃，1985)。由此可見，「理解題意」
在解題過程中為關鍵要素。
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三、
解題的相關研究張雅惟 (2006)以提升國小學童數學科問題解決能力的「交互式同儕教
學」學習活動設計 (簡稱為 RPT-MPS )，以電腦系統支援，目的是希望從 教導同儕的過程中，學習並強化自身的數學解題策略。活動中學生們分別 輪流扮演「指導者」與「學習者」兩種角色，而且為了要教別人而努力學 習，是種教學相長 ( learning by tutoring ) 的合作學習。研究發現：(1)數學 解題策略引導學生進行思考，學生也在學習表現和後設認知上的能力有所 提升。
郭佩儀 (2007) 從「比例問題」的表面結構和深層結構探究國一學生
的解題表現及解題策略情形，並瞭解表面結構解題和深層結構解題的關聯 性，研究採取量化與質性取向的調查研究方法，包含紙筆測驗及個別訪談 兩個部分。資料收集的對象為彰化縣某縣立國民中學 460 名國一學生；訪 談對象依照高、中、低數學學業成就，各選取 8 名學生共計 24 名。研究 的結果顯示：(一)不同數學學業成就學生在不同數字型式、不同語意類型、
不同量的性質的解題表現及解題策略有差異； (二)因題目結構的不同而出 現不同的解題策略，高數學學業成就學生傾向使用「公式法」，低數學學 業成就學生傾向使用「單價法」；(三)成功解比例問題不代表瞭解比例的深 層結構概念，但瞭解比例深層結構概念的學生卻一定能成功解比例問題。
黃俊瑋 (2007)以台灣地區各縣市 396 個八年級學生作為研究樣本，提
出「中學生數學知識、數學情意、解題策略與解題表現統合模式」，並自 編「數學解題問卷」、「數學知識問卷」、「數學解題策略量表」、「數學解題
出「中學生數學知識、數學情意、解題策略與解題表現統合模式」，並自 編「數學解題問卷」、「數學知識問卷」、「數學解題策略量表」、「數學解題