第二章 文獻探討
第五節 表徵的理論與相關研究
一、表徵的意義
表徵（representation)是人類學習的重要媒介之一，藉由「表徵」作用，
個人得以理解外在世界、簡化思考過程、進行運思，並與他人溝通（游自 達，1995)。「表徵」也是認知心理學中核心概念之一，在認知心理學中，
「表徵」是指將不同的事物以不同種類的符號來代表的歷程。以認知心理 學的訊息處理角度來看，「表徵」是指訊息處理的過程中，將訊息編碼轉 譯成另一種形式，以便儲存或表達的歷程（張春興，1989）。Rumelhart &
Norman(1983)認為表徵是一種「替代事務的模式」，也就是「用某種事物來 取代另一種事物的效應」。美國數學教師協會（NCTM，2000) 也主張數學 表徵是一種數學概念的呈現方式，代表人們對於數學概念的理解與運用。
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所以，表徵是用某一種型式，將事物或心中想法重新表現出來，以達到溝 通的目的（蔣治邦，1994）。
當「表徵」所表現的意義能切實掌握後，便可進一步地成為運思的材 料，藉以簡化所有解題過程（蔣治邦，1994）。由此可知，表徵（representation）
在學習活動中具備兩種功能（蔣治邦，1994；游自達，1995）：溝通工具 及運思活動的材料。當表徵作為「溝通工具」時，除了與外人溝通外，它 也可以是自己與自己或前步驟與後步驟溝通的工具或記錄自己數學活動 經驗的工具；當它作為「運思的材料」時，它是用來代表內蘊化的活動歷 程或物化的數學概念，而學習者藉著表徵所代表的意義，來進行各種學習 活動。
二、表徵的重要性
相同的數學概念或知識，可以使用不同的形式來表徵，而且，原來的 數學概念不會隨著外在的表徵形式的變化而有差異 (蔣治邦，1994；Kaput, 1987a, 1987b)。因此，數學教育的目的之一在於引導學生建構或內化社會 共通的「數學符號系統」，以便進行數學思考與數學溝通 (游自達，1995）。
由此可知，「表徵」在數學教育上占有重要的地位。
因為表徵具有系統性、多義性及多樣性 (蔣治邦，1997)，所以同一個 數學概念有不同形式的外在表徵，數學概念的存在不會受到外在符號表徵 地影響 (游自達，1995)。因此，要 了 解 一 個 概 念 ， 必 須 具 備 下 列 條 件 (Lesh et al., 1987)：
(一) 學習者必須能將此概念放入各種不同的表徵系統之中。
(二) 在給定的表徵系統内，學習者必須能有彈性的處理 這個概念。
(三) 他必須能夠精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系 統。
由 上 可 知，表徵轉換能力是一個影響數學學習與解題表現的重要因 子( Lesh et al., 1987 )。如 果 學 生 能 夠 使 用 多 種 不 同 的 表 徵 來 表 達 同 一 個 數 學 概 念 在 不 同 型 式 的 表 徵 之 間 做 自 由 的 轉 換，就 表 示 學 生
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已 能 完 全 理 解 此 一 數 學 概 念 了。所以，教學過程中若能強化或矯正「表 徵能力」將有助於數學的學習。
Mayer (1987) 的研究發現：兒童解題的困難，大部分發生於問題表徵 階段，而非問題解決階段。然而，影響學生能否正確表徵問題因素有二 : 一 是對問題語意的掌握程度;二是對數學符號意義的理解程度。前者的關鍵在 於學生是否了解題意；而後者則影響著題意與對應的數學關係能否正確的 建立。
Greeno 和 Hall (1997)的研究也指出，表徵在數學上的重要性有以下幾 點:1.表徵是思考的重要工具，使數學概念更能具體表達；2.表徵能幫助學 生了解不同情境中共同的數學要素；3.當學生能使用不同的表徵表現出相 同概念的理解時，代表學生在理解、概念和解題步驟上皆有進步；4.表徵 提供學習者一種建立理解、溝通訊息、證明推理的有用工具。
Cobb,Yackel 和 Wood (1992) 的研究發現：具體操作物表徵能
提供學生做為解題時思考的依據，而且學生也能夠透過具體操作物表徵呈現 出數學概念。此研究剛好印證了 Mayer (1987) ,Greeno 和 Hall (1997) 的看 法。
綜合上述研究者看法，可以了解在表徵在數學教育上的重要性。此外，
數學教學若能靈活且適當的運用多樣化的表徵及注重不同表徵系統間的 連結，可以幫助學生理解和釐清抽象的數學概念，協助學生提高學習動機 和學習成就感。
三、表徵的分類
因 表 徵 之 多義性及多樣性，研究者在分類上各自持有不同的觀點，
以下針對三種較常為表徵研究者所採用的分類觀點做敘述說明：
(一) 從「運思」的觀點
Bruner ( 1966) 由運思方式的觀點，區分三種被運思的材料：
1.動作表徵（enactive representation ) 運思：指接受到刺激後，所引發的 外在行動反應，即個人需透過具體物的操弄來達成運思，是種「由做中 學」的經驗。例如：利用花片 (實物) 或積木 (具體物教具) 的操弄 (點 數)，來了解「數字」的概念。
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2.圖像表徵（iconic representation) 運思：指用「心像」(mental image)來 掌握概念，心像是外在實物的影像，即使具體實物消失，在學習者腦中 仍留有「心像」。所以，此類運思活動是以心像為材料，進行内在的活 動，是種「由觀察中學」的經驗。例如：利用劃圈圈來代替花片的點數，
進行數字概念的學習。
3.符號表徵 （symbolic representation) 運思：指用符號語言文字來掌握概 念，對符號進行運思，是種「由思考中學」的經驗。符號與心像不同，
它是一個任意選擇的記號，與實物外形無相似之處。例如：√6、
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3 或5x2。 由此可知，在兒童的學習是從操作「具體實物」的動作表徵運思，逐 漸形成「心像」。 待心像表徵運思成熟後，才能逐漸轉為符號表徵運思來 認知的外在世界，並開始運用語言、邏輯及數學，而不再侷限於知覺心像。
當學童能以符號來代表知識和經驗，顯示學童的認知能力已發展到最高層 次。
(二) 從「溝通」的觀點
Lesh et al. (1987)以溝通的觀點，將數學解題表徵系統分為五個類別。
其對概念意義的掌握。他將表徵分為下列五類：
1.真實的腳本（real scripts)：利用真實生活情境或知識等，來表示問題中 的情境與内容或長方體。
2.操作的模型（manipulative models)：透過具體物的操作，學習或探討數 學概念。例如：三角板、正方體或長方體模型、圓形分數板、花片等等。
3.靜態的圖表(static picture)：利用靜態的圖表模式，例如：
折線圖、長條圖、統計圖、數線圖……等。
4.語言 (spoken language)：利用日常生活的口語陳述，表達概念或解題過 程，如：一個多邊形有四個邊且四個角都是直角，就是正方形
5.書寫符號(written symbols)：常用的數學符號或算式，如：2x+3=7。
Lesh et al. (1987)認為表徵分類所強調的不是表徵系統的區別，而是表 徵系統間的轉譯(translation)，其彼此間的互動關係如圖 2-5-1：
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圖 2-5-1
表徵系統交互作用模式
資料來源：representation and translations among representation in
mathematics learning and problem solving of problems of representation in the teaching and learning of mathematics(pp.33-40), by
Lesh,R. .,Post,T.,
&Behr,M.,1987,
Hillsdale,NJ : Erlbaum(三) 從「認知歷程」的觀點
Kaput(1987a,1987b)從認知歷程的觀點及數學學習的關係，將表徵系統 分為四種：
1.認知與知覺的表徵 (cognitive and perceptual representation)：個體內在 對於知識與訊息的表徵，亦即訊息在個體腦中儲存與轉換的形式。
2.解釋性表徵（explanatory representation)：連結自然語言或心像與其他 數學符號間關係的系統，用以描述心理結構的模式及說明個體的内在 表徵。
3.數學内的表徵（representation within mathematics )：不同數學结構之間 的關聯，也就是以某一種數學結構來呈現另一種結構特性的系統。
4.外在符號表徵（external symbolic representation)：用外在的符號來表徵 數學概念的系統，是用來表示抽象的物質概念的物質型式。即個體為
靜態的圖表
操作的模型
書寫符號
真實的腳本 語言
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了進行數學思考與溝通數學概念，以外在表徵來傳達內在的知識表 徵。
Kaput(1987a,1987b)的表徵分類中，前三種屬於心智活動的產物，為
「内在表徵」，第四類是「外在表徵」。内在表徵是指訊息或知識透過不 同的編碼存在個人心中或腦海中的心智運作；而外在表徵則是將内在表 徵外在化，亦即將心智活動的產物，用不同的型式表現出來。内在表徵 的知識或訊息，可透過外在表徵反映出來；相對的，個體的內在表徵也 受到外在表徵的影響。所以，外在表徵與内在表徵的關係有如一體二面，
關係密切又互有影響。換句話說，個體利用外在符號表徵來反映出其知 識之内在表徵，透過外在符號表徵個人得以進行數學思考，並與他人溝 通數學觀念。
綜合上述研究者的看法，可發現其彼此分類觀點雖然不同，但是學習
者皆可在不同的表徵中學習到相關的數學概念。此外，學習者若能在相同 的數學概念上做不同表徵間的自由轉譯，才算是理解該數學觀念(Lesh et al.,1987)
四、表徵的相關研究
陳啟明 (2000) 探討不同題目表徵型式（文字題、短語題、圖畫題）
及相關因素（運算步驟、題目訊息和認知風格）對國小五年級學生數學應 用問題解題表現之影響。一、學生在不同題目表徵型式之應用問題的解題 表現上，彼此間都存在著顯著的差異。其中，學生在「圖畫題」上的解題 表現顯著優於「短語題」和「文字題」；而學生在「短語題」上的解題表 現也顯著優於「文字題」。
周進洋與韓承靜 (1999) 探求個體解題的心智表徵與創造思考能力間 的關係。研究中設計了一個「如何測量螞蟻爬行速率？」的問題與五個遊 戲，來引發四位個案的創造思考。研究結果發現：個案能夠以新的角度或 觀點檢視及處理螞蟻的問題，其主要關鍵在於個案將問題重新定義產生另 一種心像。這些心像呈現不同層次或不同方向的心智表徵，豐富了個案解 答問題的多樣性，四位個案經由遊戲而促進其創造思考能力。
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林香 (2003) 探討國小數學資優生解題運用圖畫表徵策略之情形與原 因，研究對象是參加 2003 年亞太區小學數學奧林匹亞競賽台灣區初賽錄 取培訓的 120 位學生。進行紙筆測驗後，選取其中 6 名學生進行半結構性 晤談。發現如下：(1)大部分的數學資優生解題會用到圖畫表徵策略；(2) 學生選擇解題策略的考量因素為個人習慣與偏愛、問題性質與學習經驗。
(3)運用圖畫表徵策略的學生，若能配合問題類型畫出正確且恰當的圖畫並
(3)運用圖畫表徵策略的學生，若能配合問題類型畫出正確且恰當的圖畫並