第四章 研究結果與討論
第三節 二位教師在不同單元之數學教學知識整合
本研究為探究二位教師在進行數學補救教學時呈現的數學教學知識 樣貌，藉由課室觀察分析二位教師在「整數四則混合計算」、「周長與面 積」二個不同數學補救教學單元中所呈現的數學教學知識整合情形。以下，
將分別針對二位教師在不同數學補救教學單元的數學教學知識整合進行 分析說明：
一、小鈴教師在「整數四則混合計算」單元中所呈現的數學教學知識整合
「整數四則混合計算」單元屬於「數與量」、「代數」概念，涉及的 能力指標為「能做整數四則混合計算（兩步驟）」、「能在具體情境中，
理解乘法結合律」、「能在四則混合計算中，應用數的運算性質」。小鈴 教師在這一節課堂中的數學補救教學活動是在針對整數四則混合計算概 念不清楚的學生進行複習，教學內容是以三個題目進行解題活動，前兩個 題目是減乘、減除四則混合計算類型的問題，第三題是連除問題，小鈴教 師以前兩題問題澄清整數四則混合計算問題在看到括號時要先算，沒括號 時要先乘除後加減，以第三題澄清只有乘除的問題可直接由左向右計算，
且括號若在左邊可直接省略。每題又細分成小題引導學生逐步解題最後再 寫出一個整數四則混合計算的算式。簡單來說，小鈴教師的數學補救教學 課程內容為講解並釐清整數四則混合計算的概念，將整數四則混合計算的 性質重點整理。
研究者根據小鈴教師在一節課堂中的數學補救教學活動，透過教學事 件的行為將小鈴教師在各個數學教學知識面向整合情形逐一做成紀錄以 進行分析，再將統計結果繪製數學教學知識整合歷程圖。小鈴教師在「整 數四則混合計算」單元中的數學教學知識整合統計表如表4-3-1所示：
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次（約佔11.9%）。其中以「教學策略知識」面向知識出現為最多，以「學 E10,E11,E14,E16)
5
(E4,E5,E9, E12,E14,E15, E16,E17,E18)
3 (E4,E13,E16)
1 (E14)
3 (E3,E11,E16) 5
(E2,E3,E11, E13,E14)
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繁（次數皆為5次以上），此顯示出小鈴教師在這三個數學教學知識面向 的整合最流暢。而「學習成效評估知識」與「學科內容知識」、「教學表 徵知識」面向的整合次數最少（次數為3次或以下），此顯示出小鈴教師 在「學習成效評估知識」面向與其他數學教學知識面向的整合較不流暢。
綜合來說，小鈴教師在「整數四則混合計算」補救教學過程中，「學 科內容知識」、「教學表徵知識」、「教學策略知識」面向的整合是最頻 繁的，以下，研究者以事件4與事件16為例說明：
師：我們剛剛是把你的算式分開寫對不對，那今天我要你想辦法把它合併成一個整數的四 則運算的式子，請問怎麼寫呢？超級數學隊
生：220-40括號然後再乘6
師：220-40要括號，好你講到括號了，那你們怎麼知道這裡要括號？
生：因為沒有括號的話就變成40*6了 師：為什麼沒有括號會變成40*6？
生：因為先乘除後加減
師：好，問喔(220-40)×6、220-40×6這兩個答案算起來一樣嗎？
生：不會
師：為什麼不會一樣？你告訴我如果是上面這個式子哪裡要先算？
生：唉…沒有括號的吧
師：來讓你再想一次，如果是上面這個式子哪裡要先算？
生：括號裡面要先算，220-40
師：很好，可是那如果下面這個哪裡要先算？
生：唉…40*6 師：為什麼
生：因為沒括號的要先乘除在加減
師：很好，答對了，阿你也給他提示，同隊的對他幫助也很好啊。
（小鈴-E4）
師：請把剛剛這兩個算式合併成一個式子。
生：576除以12除以8等於48除以8等於6。 576÷12÷8=48÷8=6
師：很好。我給另外這一組一個機會，有另外一個寫法，他們沒有用括號，如果我要用括 號，括號要加在哪裡？
生：括號576除以12括號再除以8。(576÷12)÷8=6 師：小朋友這兩個算式寫起來有沒有一樣？
生：有
師：請問這時候括號拿掉可不可以？
生：可以
師：為什麼這一題的括號可以拿掉？
生：因為沒有加減乘除所以可以這樣算阿
師：所以沒有加減乘除的時候要從哪裡算到哪裡？
生：從最左邊開始算
師：從最左邊對不對，好答對了。再複習一次喔。為什麼這一題的括號可以拿掉呢？剛剛 的是不是都不行。
生：因為他可以由左而右算的
師：因為他裡面是不是都只有除法，只有乘除的時候，你就可以照順序從左邊算到右邊，
那因為這個括號原本就在左邊，左邊本來就要先算阿，所以算出來答案會不會一樣？
生：會
（小鈴-E16）
綜合上面事件4與事件16的對話過程可以發現，小鈴教師的教學策略 是使用對話方式進行教學，小鈴教師在教學時會一邊引導解題一邊將算式 的表徵方式寫於黑板上，讓學生分辨其中的差別，以釐清學生在進行整數 四則混合計算解題時的概念。由此可看出小鈴教師在教學時整合了「學科 內容知識」、「教學表徵知識」、「教學策略知識」三個面向的知識。
然而，小鈴教師在教學過程中最少使用的是「學習成效評估知識」，研 究者以事件3與事件11為例說明：
師在提問後下講台看各小組的討論情形，一邊巡視一邊給予指導。（小鈴-E3）
師在講台發現小組討論時有爭執的聲音，下講台巡視第二小組的爭執點，並給予提示。
（小鈴-E11）
從事件3與事件11可以發現，小鈴教師會進行課堂巡視分組的討論情 況，看學生的表現來進行個別指導，而課堂巡視分組討論情況時小鈴教師
運用到「學習成效評估知識」，會輔以些許其他數學教學知識，因此，「學
習成效評估知識」是小鈴教師使用最少的。
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二、阿榮教師在「周長與面積」單元中所呈現的數學教學知識整合
「周長與面積」單元屬於「數與量」、「幾何」概念，涉及的能力指 標為「能認識面積單位『平方公尺』，及『平方公分』、『平方公尺』間 的關係，並做相關計算；能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式」。
阿榮教師在這一節課堂中的數學補救教學活動是先複習上一堂課教過的 周長的意義，介紹每邊1公分的正方形稱之為1平方公分及正方形紙片的使 用方式，讓透過36個每邊1公分的正方形紙片排放出長方形與正方形，使 學生能清楚知道長方形與正方形面積的由來，藉由數格子的方式讓學生自 己推理衍生出長方形與正方形的面積公式，並讓學生從每個人所排出的長 方形與正方形中，了解長方形面積相同時周長不一定會相同，正方形的面 積相同時周長也會相同。簡單來說，阿榮教師的數學補救教學課程內容為 認識面積的意義，並利用小白（1平方公分的正方形紙片）的排放，了解 長方形與正方形的面積。
研究者根據阿榮教師在一節課堂中的數學補救教學活動，透過教學事 件的行為分析阿榮教師在各個數學教學知識面向的整合情形，並逐一做成 紀錄以進行分析，再將統計結果繪製數學教學知識整合歷程圖。阿榮教師 在「周長與面積」單元中的數學教學知識整合統計表如表4-3-2所示：
表 4-3-2 阿榮教師於「周長與面積」單元中的數學教學知識整合情形統計表
91 E13,E14,E16,E17)
6
5 (E5,E6,E11,E12,E17)
3 (E3,E7,E14) 3
(E4,E9,E10, E14,E15)
學表徵知識」與「教學策略知識」面向的整合次數最頻繁（次數皆為5次 以上），此顯示出阿榮教師在這三個數學教學知識面向的整合最流暢。「學 科內容知識」與「教學表徵知識」面向的整合次數也有達到5次，顯示出 其整合次數也算流暢。而「學習成效評估知識」面向與其他數學教學知識 面向的整合次數較少，此顯示出阿榮教師在此數學教學知識面向的整合較 不流暢。
綜合來說，阿榮教師在「周長與面積」補救教學過程中，「學科內容 知識」、「教學表徵知識」、「教學策略知識」面向的整合是最頻繁的，
以下，研究者以事件6與事件12為例說明：
師：剛剛出現了幾個問題。
師：有的人周長數40，有的人周長數30，有的人周長數26。那你們知不知道周長不一樣，
可是你們都排了幾個？
生：36個
師：為什麼會這樣呢？知不知道？
師：因為你的小白積木怎麼排真的會決定它的長短，我們前一節課上周長的時候有提醒過 你，請你自己去接，接出來的周長有沒有一樣？
生：沒有一樣
師：這個就是面積特別的地方。
（阿榮-E6）
師：為什麼排出來的正方形周長是一樣的，排長方形出來的周長是不一樣的，那差別在哪 裡？你能不能找到一個規則？
生：不行
師：我們四邊形有提過阿。
師：我幫你們做結論，長方形的條件是什麼？
生：兩雙對邊互相平行且相等 師：它有沒有講到長度？
生：沒有
師：這邊和這邊一樣對不對，那這兩個有沒有關係？
生：沒有
師：那再來看正方形，正方形有什麼條件？
生：每一條邊都要一樣長
93 師：所以這四條邊有沒有限制住？
生：有
師：所以這每一個邊都排幾個？
生：6個
師：有沒有人可以排出第二種數字來？
生：沒有
師：因此正方形的條件比較多，它的限制也比較多，所以排出來的周長當然就會相等，這 樣可以嗎？
生：可以
（阿榮-E12）
綜合上面事件6與事件12的對話過程可以發現，阿榮教師的教學策略 是使用對話方式進行教學，在澄清及歸納問題時，阿榮教師會在澄清及歸 納問題時，輔以畫圖表徵出所要傳達的訊息，引導學生思考，讓學生能夠 體會到周長與面積的關係。由此可看出阿榮教師在教學時整合了「學科內 容知識」、「教學表徵知識」、「教學策略知識」三個面向的知識。
然而，阿榮教師在教學過程中最少使用的是「學習成效評估知識」，研 究者以事件3為例說明：
師在學生自行操作時會下講台觀看學生的操作情形。（阿榮-E3）
從事件3可以發現，阿榮教師在學生自行操作時，會看學生的操作情
從事件3可以發現，阿榮教師在學生自行操作時，會看學生的操作情