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國小教師參與數學補救教學培育課程數學教學知識發展之個案研究

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授: 陳彥廷 教授

陳中川 教授

國小教師參與數學補救教學培育課程

數學教學知識發展之個案研究

研究生:蕭芷芸 撰

中華民國一○四年 七月

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謝 誌

終於,順利完成了這篇論文,寫論文的過程中一直期盼著完成論文的 這一天到來,在這一年裡受到很多的幫助。首先,我要感謝兩位指導教授, 彥廷老師以及中川老師,一直以來耐心的指導我寫論文的技巧,提醒我寫 論文時該注意的地方,時常給我正面的鼓勵、關心我的論文進度,在我寫 論文遇到瓶頸時給我重要的提點,使這篇論文能順利地完成。 感謝口試委員柳賢老師、李韶瀛老師、張其棟老師,遠從高雄、台東 等地前來擔任我的口試委員,在口試時給我許多的指導與精闢的建議,這 些寶貴的建議使我受益良多,並讓我的論文能更趨完美。 感謝研究所的同學,子婕、超群時常督促、關心我的論文進度,和我 一起討論論文,給我鼓勵,幫我解開寫作時的疑惑;家毅、超群、雅雯、 益誠在我口試的時候,幫我處理許多事前準備工作及事後整理工作,幫我 省去很多零碎的時間,讓我能專心地準備口試內容;學長姐及學弟妹們的 加油鼓勵,讓我有更多的信心完成論文與口試。 最後,感謝一直以來支持我的家人,在我寫論文感到低落時給予我安 慰,在我遇到困難時給予我鼓勵、包容著我,從不給我壓力,讓我能認真 地寫論文、順利地完成碩士學業。 由衷感謝所有在我的碩士生涯中幫助過我、給予我鼓勵的人,有你們 的幫助,我才能如期完成碩士學業,真心感謝所有人!

(3)

I

國小教師參與數學補救教學培育課程

數學教學知識發展之個案研究

摘要

本研究旨在探究二位國小教師在進行數學補救教學培育課程前、中、 後之數學教學知識發展及其在實踐數學補救教學時,所呈現的數學教學知 識樣貌。首先,研究者提供「國小教師數學教學知識知覺量表」與問卷給 予二位教師評估自身之數學教學知識現況;其次,藉由二位教師在數學補 救教學培育課程中的反思回饋,分析其在數學補救教學培育課程中數學教 學知識之成長;接續,再以他們進行「整數四則混合計算」與「周長與面 積」等二個單元之數學補救教學錄影資料,彙整分析並統計其數學教學知 識的整合情形;最後,根據二位教師在數學補救教學培育課程前、後所填 寫之量表與問卷比較分析其數學教學知識之發展。研究結果顯示:1.二位 教師在培育課程前對自身數學教學知識之知覺存在差異;2.二位教師經過 數學補救教學培育課程後,其數學教學知識各面向皆有成長;3.二位教師 在實踐數學補救教學中,其展現的數學教學知識整合具有一致性;4. 二位 教師經過數學補救教學培育課程後,更加保守地評估自己的數學補救教學 知識,其對於數學教學知識的自覺呈現一致性。 關鍵詞:周長與面積、補救教學、數學教學知識、整數四則混合計算

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Development of Elementary School Teachers in Mathematics

Remedial Instruction Courses on Mathematics Pedagogical

Content Knowledge

Abstract

The study tends to investigate two teachers’ developments of mathematical pedagogical content knowledge while attending mathematics remedial instruction courses, and the appearances of mathematical pedagogical content knowledge between two teachers doing practicing mathematics remedial instruction. At first, provide the “perception instrument of mathematics pedagogical content knowledge for elementary school teachers” and questionnaire to two teachers for evaluating their current situations of mathematical pedagogical content knowledge. Secondly, analyze two teachers’ development of mathematical pedagogical content knowledge by their introspection during attending mathematics remedial instruction courses. And two teachers’ “the four fundamental operations of integer” and “perimeter and area” videos of practicing mathematics remedial instruction were adopted to analyze their integral expression of mathematical pedagogical content knowledge. Finally, two teachers’ developments of mathematical pedagogical content knowledge were analyzed by their perception from instruments and questionnaires before and after attending mathematics remedial instruction courses. The results indicate that there was a difference existed between two teachers about their senses of mathematical pedagogical content knowledge before attending mathematics remedial instruction courses. In addition, after attending mathematics remedial instruction courses, two teachers have improved in their mathematical pedagogical content knowledge. Moreover, two teachers express consistency of their integral expression of mathematical pedagogical content knowledge between practicing mathematics remedial instruction. After practicing mathematics remedial instruction, two teachers get start to evaluate their current situations of mathematical pedagogical content knowledge more cautiously, and express consistency of their senses of mathematical pedagogical content knowledge.

Keywords: perimeter and area, remedial instruction, mathematics pedagogical content knowledge, the four fundamental operations of integer

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III

目錄

第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 4 第三節 名詞解釋... 5 第四節 研究範圍與限制... 8 第二章 文獻探討 ... 9 第一節 數學補救教學的意涵與相關研究... 9 第二節 教師數學教學知識意涵與相關研究... 18 第三節 整數四則混合計算及周長面積課程地位分析... 32 第三章 研究設計 ... 41 第一節 研究方法... 41 第二節 研究架構... 43 第三節 研究對象... 44 第四節 研究工具... 46 第五節 資料蒐集與分析... 53 第六節 研究信效度... 56 第七節 研究流程... 58 第四章 研究結果與討論 ... 61 第一節 二位教師自覺的數學教學知識自覺概況... 61 第二節 數學補救教學培育課程中二位教師的成長與反思... 70 第三節 二位教師在不同單元之數學教學知識整合... 84 第四節 二位教師自覺數學教學知識之改變... 95 第五章 結論與建議 ... 105 第一節 結論與討論... 105 第二節 建議... 107 參考文獻 ... 109 附錄 ... 116 附錄一 國小教師數學教學知識知覺量表... 116 附錄二 前測問卷... 117 附錄三 後測問卷... 118 附錄四 數學補救教學培育課程反思單... 119

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表目錄

表 2-1-1 數學補救教學的相關研究 ... 14 表 2-2-1 不同學者之數學教師專業知能面向 ... 24 表 2-2-2 教師數學教學專業知識的相關研究 ... 29 表 2-3-1 「整數四則混合計算」單元在數學領域 92 課綱與 97 課綱之分年細目 修正對照表 ... 33 表 2-3-2 數學領域國小四年級「整數四則混合計算」之分年細目對照能力指標 表 ... 33 表 2-3-3 四年級下學期「整數四則混合計算」教學活動名稱、教學目標與分年 細目 ... 34 表 2-3-4 「周長與面積」單元在數學領域 92 課綱與 97 課綱之分年細目修正對 照表 ... 36 表 2-3-5 數學領域國小四年級「周長與面積」之分年細目對照能力指標表 .... 37 表 2-3-6 四年級下學期「周長與面積」教學活動名稱、教學目標與分年細目 38 表 3-1-1 研究目的及方法製表 ... 42 表 3-3-1 二位教師背景分析 ... 45 表 3-4-1 國小教師數學教學知識知覺量表與本研究觀察面向之對應表 ... 47 表 3-4-2 前、後測問卷內容 ... 49 表 3-4-3 數學補救教學培育課程之教材內容概要表 ... 50 表 3-4-4 數學補救教學培育課程反思單內容 ... 51 表 3-4-5 二位教師數學補救教學單元之分年細目分析表 ... 52 表 3-4-6 二位教師數學補救教學單元之教學策略分析表 ... 53 表 4-1-1 二位教師對自身數學教學知識的自覺表現 ... 62 表 4-1-2 二位教師對自身在「學科內容知識」面向的自覺表現 ... 63

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V 表 4-1-3 二位教師對自身在「教學策略知識」面向的自覺表現 ... 64 表 4-1-4 二位教師對自身在「教學表徵知識」面向的自覺表現 ... 66 表 4-1-5 二位教師對自身在「學習成效評估知識」面向的自覺表現 ... 67 表 4-1-6 二位教師對自身數學教學知識的自覺概況 ... 68 表 4-1-7 二位教師之前測問卷填寫內容 ... 69 表 4-2-1 數學補救教學培育課程與數學教學知識對照表 ... 80 表 4-2-2 二位教師數學補救教學培育課程之反思回饋表 ... 81 表 4-2-3 二位教師於數學補救教學培育課程之數學補救教學知識成長對照表 83 表 4-3-1 小鈴教師於「整數四則混合計算」單元中的數學教學知識整合情形統 計表 ... 85 表 4-3-2 阿榮教師於「周長與面積」單元中的數學教學知識整合情形統計表 90 表 4-4-1 二位教師在數學補救教學培育課程前、後對自身數學教學知識的自覺 表現 ... 96 表 4-4-2 小鈴教師數學教學知識發展 ... 98 表 4-4-3 阿榮教師數學教學知識發展 ... 100 表 4-4-4 二位教師數學教學知識發展對照表 ... 101 表 4-4-5 二位教師後測問卷填寫內容 ... 103

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圖目錄

圖 2-2-1 Fennema 與 Franke (1992)在情境中發展的數學教學知識 ... 21 圖 2-2-2 數學教學知識(資料來源:Hill, Ball, & Schilling, 2008. P.377) ... 22 圖 2-2-3 個案教師的學科教學知識成分整合 (資料來源:Park & Chen, 2012) 28 圖 2-3-1 「整數四則混合計算」課程地位分析圖(虛線表示為四年級下學期整 數四則混合計算單元內容) ... 35 圖 2-3-2 「周長與面積」課程地位分析圖(虛線表示為四年級下學期周長與面 積單元內容) ... 39 圖 3-2-1 本研究之架構圖 ... 43 圖 3-7-1 本研究之流程圖 ... 59 圖 4-3-1 小鈴教師於數學補救教學單元「整數四則混合計算」的數學教學知識 整合圖 ... 86 圖 4-3-2 阿榮教師於數學補救教學單元「周長與面積」的數學教學知識整合圖 ... 91

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第一章 緒論

本章緒論分為四節:第一節研究動機說明當前數學補救教學的現況及 教師在數學補救教學上的知識程度,進而透過相關文獻與教師實務經驗以 了解教師的數學補救教學知識發展。第二節研究目的說明本研究將探究二 位國小教師在接受數學補救教學培育課程前、中、後其數學教學知識的發 展,以及他們在進行數學補救教學過程中所呈現的數學教學知識之樣貌。 第三節名詞解釋針對數學補救教學、數學補救教學培育課程、數學教學知 識、整數四則混合計算、周長與面積等專有名詞闡釋。第四節研究範圍與 限制針對教學單元、研究樣本、研究時程的限制加以說明。

第一節 研究動機

教育部(2012)在其出版的《師資培育白皮書》中指出:近幾年,許 多國家都積極的推動師資改革,培育優秀的師資,以期望能提升教育品質 與國家的競爭力。例如:英國教育部 (Department for Education, DfE) 於 2010 年所發表《教學的重要性:2010 學校白皮書》 (The Importance of Teaching: The Schools White Paper2010) 中強調,學校體系效能最重要的決 定因素是教師素質。因此,該機構強調,若要將教育水準提升,應將教師 素質與師資培育視為未來革新的重點政策。此外,美國聯邦教育部 (U.S. Department of Education) 與 經 濟 合 作 暨 開 發 組 織 (Organization of Economic Cooperation and Development, OECD) 於 2011 年聯合召開「國際 教學專業高峰會議」 (The International Summit on the Teaching Profession) 。 該次會議以「建構高素質的教學專業」 (Building a High-Quality Teaching

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Profession) 為研討主題。由此可知,許多國家都一致地認為師資培育是很 重要的教育工程,更是教育品質發展的重要核心。 103 年為十二年國民教育正式推動的第一年,其三大願景就是希望能 提升中小學教育品質來成就每一個孩子以厚植國家競爭力(教育部,2011a), 其中「成就每一個孩子」無非就是九年一貫課程綱要所強調的「帶好每一 位學生」。身為一位教師,應該建立一貫而完整的補救教學系統,因材施 教讓學生得以適性揚才,使每一位學生的資賦都能獲得充分的實現與發展, 以實踐「帶好每一位學生」的教育理念(黃志賢,2003)。然而,在一個 常態編班的班級內,學生的程度是參差不齊的,如何在國民教育中讓學生 具有基本能力,把每個孩子帶起來,成為教育工作者必須謹慎思考的問題 (林佳秀、張自立、辛懷梓,2013)。因為學生的程度參差不一,教師更 應該針對低成就學生的個別差異進行適性的補救教學,以達到有教無類、 因材施教的精神,期望能做到成就每一個孩子的目標。 近年來,台灣為了因應多元價值的社會變遷,教育部於民國 83 年將 「師範教育法」修正為「師資培育法」,師資培育制度從此開放,由一元 化、計畫性、分發的制度走向多元化、儲備性、甄選制的方向。這樣的改 變,使得各大專校院都可以申請設立教育學程培育師資,擴展了師資培育 機構的多元面貌。在此政策下,只要有意願想擔任教師者,都有機會修習 教育學程,增加了各級教師的來源。然而,在師資培育管道多元化的當下, 教師在培育過程中,究竟接受多少專業知能的培養?我們無法確切掌控。 他們是否具備補救教學的專業知能以因應當前十二年國教所強調的「補救 教學」政策?似乎有待我們進一步釐清。 補救教學是一種「評量—教學—再評量」的循環學習歷程(張新仁, 2001),它具有事後幫助的功能,多用在未達成教學目標者或學習有困難

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3 者,希望藉此方式再次給予他們學習的機會(黃志賢,2003)。要進行補 救教學時,教師必須依據學生學習的診斷結果分析出他們在學習上產生困 難的原因,再針對不同的原因提供有效的教學策略,以幫助學生克服學習 障礙、增加學習成就感以及繼續學習的信心,並激發學生的學習興趣與動 機(蔡佩珈,2008)。然而,要達成有效的補救教學,教師扮演了很重要 的角色,教師必須了解學生的迷思概念,針對迷思概念設計合適的教材與 選擇適當的教學策略,思考如何促進學生的閱讀能力與解題能力發展(梁 淑坤,2012)。此外,研究者認為,補救教學的專業知能,似乎不等同於 一般教學的專業知能,因此,培育國小教師具備數學補救教學的專業知能, 使其能對需要被補救教學的學生進行合適的補救教學措施,是一件必要且 重要的工作。 那麼,國小教師要實施數學補救教學,應該具備哪些專業知能呢? Shulman (1986,1987) 指出,教師要進行數學教學時,須具備學科內容知識 (content knowledge, CK)、一般教學知識 (general pedagogical knowledge, PK)、課程知識 (curriculum knowledge)、學科教學知識 (pedagogical content knowledge, PCK)、學習者知識 (knowledge of learners)、教育背景知識 (knowledge of educational contexts) 等知識類別。近年來,國內外已有許多 學者針對教師的數學教學專業知能內涵進行探究(例如:Ball, Thames & Phelps, 2008; Borok, Eisengart, Brown, Underhill, Jones & Agard, 1992; Femema & Franke, 1992; 李 源 順、邱 春 根,2007;李 源 順 、 林 福 來、呂 玉 琴、陳 美 芳,2008;黃 雅 靖、李 源 順,2009;鍾 靜 、 張 淑 怡 、 陳 幸 玫 、 陸 昱 任 、 戴 坤 邦 , 2012; 謝 豐 瑞 , 2012) 。 這 些 學 者 都 提 到,教 師 需 要 具 備 的 數 學 教 學 專 業 知 能 包 括 數 學 知 識 、 學 生 認 知 、 教 學 方 法 、 教 學 實 務 、 教 學 評 量 以 及 專 業 責 任 等 六 個 面 向 。 陳 彥 廷 ( 2014) 已 針 對 過 去 相 關 文 獻 綜 合 彙 整 出 教 師 的 數

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學 教 學 知 識 (Mathematics Pedagogical Content Knowledge, MPCK) 界定 為「課程與目標知識」、「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學 表徵知識」、「學習成效評估知識」等 5 個面向,並設計出「國小教師數 學教學知識(MPCK)知覺量表」,提供國小教師自我檢視數學教學知識。 但 是,目 前 並 沒 有 學 者 針 對 教 師 進 行 數 學 補 救 教 學 時 所 需 的 專 業 知 識 進 行 研 究 。 因此,本研究希望從陳彥廷( 2014) MPCK 的理論基 礎,透過相關文獻以及實務教師的經驗,分析二位不同背景的教師進行數 學補救教學時所呈現的數學教學知識整合情形。

第二節 研究目的

本研究嘗試植基於陳彥廷(2014)所提國小教師數學教學知識架構, 首先檢視二位不同背景國小教師在進行數學補救教學培育課程前的數學 教學知識自覺概況;接續,分析二位教師在接受數學補救教學培育課程中 數學教學知識的發展;接著,再探究二位教師在進行「整數四則混合計算」、 「周長與面積」二個單元補救教學時所呈現的數學教學知識樣貌;最後, 則分析二位教師對自身數學教學知識自覺的改變。據此,茲羅列本研究之 目的如下: 一、探究二位國小教師對自身數學教學知識的自覺概況。 二、探究二位教師接受數學補救教學培育課程的數學教學知識發展。 三、探究二位教師在進行數學補救教學時呈現的數學教學知識樣貌。 四、探究二位教師對自身數學教學知識自覺概況的改變。

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第三節 名詞解釋

鑒於本研究之研究目的,本研究涉及的專有名詞包括數學補救教學、 數學補救教學培育課程、數學教學知識、整數四則混合計算、周長與面積, 茲分述如下: 一、數學補救教學 補救教學的對象為「低成就學生」(under-achivers),早期的諸位學者 對於低成就學生的界定是:學生的智力正常,但其實際的學業表現明顯低 於其能力水準者(張新仁,2001)。張新仁整理出近期對補救教學學生的 界定,分為三類:第一類為早期學者稱之的低成就學生, 學生的實際學 業表現明顯低於其能力水準。第二類為學生的實際學業表現明顯低於其班 級平均水準,亦成為低成就學生。最後一類為學生學科成績不及格,且其 學業表現明顯低於其他學生許多者,稱之為成績低落者(low achievers)。 本研究所界定需進行數學補救教學之學生為:學習落後於班級百分之二十 五的學生,且經導師推薦適合,或是認為需要做進行數學後續補強的學 童。 二、數學補救教學培育課程 本研究所提之數學補救教學培育課程為某大學承接科技部與教育部 補助之「科學教育培龍計畫」所辦理之在職教師專業成長活動,是為培育 數學補救教學專業的教師,充實教師運用補救教學策略於課室中的數學教 學能力,有利於國小教師數學補救教學的培育課程,該課程的實施為時三 天,涵蓋三個主要內涵:1.生活取向之補救教學教材。2.數學題意理解之 鷹架策略。3.基模導向(SBI) 教學策略應用。

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三、數學教學知識

Shulman (1986) 提出,教師在進行教學時須應該具備「學科教學法知 識」(pedagogical content knowledge, PCK)。因為,教師可藉由了解學生的 能力及有效的教學法,並運用自己對教材知識的組織及理解能力,成功地 將概念內容以清楚易懂的方式傳遞給學生(孫敏芝,2006)。Shulman (1987) 指出學科教學知識是教師將其擁有的專業知識融會貫通。這是一種轉化的 過程,教師將學科的內容知識加以理解消化後,以有效的方式詮釋概念內 容,並採用多種方法將教材呈現在學生面前,讓學生能掌握學科的內容知 識。若將學科教學知識套用在數學領域中,即為數學教學知識,但是,這 樣的定義不能完整地呈現教師的數學教學知識所需具備的能力。因此,本 研究將沿用陳彥廷(2014)設計的「國小教師數學教學知識(MPCK)知 覺量表」的架構,將教師的數學教學知識界定為「學科內容知識」、「教 學策略知識」、「教學表徵知識」、「學習成效評估知識」等 4 個面向, 以作為本研究探究個案教師數學教學知識的架構。 四、整數四則混合計算 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中(教育部,2008)指出, 正整數、0 和負整數合稱為整數。整數四則混合計算在數學領域的主題概 念為數與量與代數,其對應的能力指標內涵為「能做整數四則混合計算(兩 步驟);能在具體情境中,理解乘法結合律;能在四則混合計算中,應用 數的運算性質」。「整數四則混合計算」在一般課室中的教學內容為:1. 能解決生活情境中,兩步驟的整數四則混合計算問題。2.能理解整數四則 混合計算的約定。3.能理解乘法結合律。4.能在數的計算中,活用運算的 性質(加法交換律、結合律,乘法交換律、結合律等)。而本研究所指的 「整數四則混合計算」單元的數學補救教學內容為:1.講解並釐清整數四

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7 則混合計算的概念。2.將整數四則混合計算的性質重點整理。 五、周長與面積 依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(教育部,2008)所 指,周長為一圖形周界之長度,長度與面積皆是量與實測課程中的幾何量 之一,可以用視覺來做比較。周長與面積在數學領域的主題概念為數與量 與幾何,其對應的能力指標內涵為「能認識面積單位『平方公尺』,及『平 方公分』、『平方公尺』間的關係,並做相關計算;能理解長方形和正方 形的面積公式與周長公式」。「周長與面積」在一般課室中的教學內容為: 1.能理解長方形和正方形的周長公式。2.能理解長方形和正方形的面積公 式。3.能認識 1 平方公尺,並以平方公尺為單位進行實測與估測及培養量 感。4.能知道平方公分與平方公尺關係並作相關的計算。5.能計算簡單複 合圖形的面積。而本研究所指的「周長與面積」單元的數學補救教學內容 為:1.認識面積的意義。2.利用小白(1 平方公分的正方形紙片)的排放, 了解長方形與正方形的面積。

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第四節 研究範圍與限制

一、教學單元的限制 由於研究期程的限制,本研究僅分析二位國小教師在進行「整數四則 混合計算」與「周長與面積」二個不同單元之數學補救教學時,所呈現的 數學教學知識樣貌,因此無法推論至其他單元。而二位教師所屬不同的學 校,其教學的單元是教師配合學校的課程安排而決定,因此無法兼顧單元 的一致性。 二、研究樣本的限制 由於本研究需要進入教學現場實地進行錄影觀察,但因為研究人力、 時間等條件限制,僅以二位國小數學教師為研究對象,觀察二位教師各自 進行一個單元一堂課的教學。以探究在二位教師在進行數學補救教學過程 中,其呈現的數學教學知識樣貌與改變,因此,本研究的結果不適合推論 至其他地區、其他班級,或其他領域之教師。 三、研究時程的限制 由於本研究之個案教師所參與之數學補救教學培育課程為第一次辦 理,且為辦理之第一年,為配合數學補救教學培育課程計畫之實施,每位 參與計畫之教師僅協助拍攝數學補救教學影片一堂課,因此,本研究在蒐 集資料上礙於計畫執行的原因,僅蒐集到教師數學補救教學影片的一堂課, 並沒有蒐集到整個單元的數學補救教學影片資料。

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第二章 文獻探討

本研究之目的為探究二位國小教師在接受數學補救教學培育課程前、 中、後其數學教學知識的發展,以及他們在進行數學補救教學過程中所呈 現的數學教學知識之樣貌。以下,第一節將探討數學補救教學的意涵與相 關研究。第二節將探討教師數學補救教學專業知識意涵與相關研究。第三 節針對二位教師所進行之數學補救教學單元作課程地位分析。

第一節 數學補救教學的意涵與相關研究

一、數學補救教學的意涵 近年來,許多國家教育發展的重要目標著重在提升學生的能力,例如: 在 2001 年 George W. Bush 總統公布的「不讓任何一個孩子落後 (No Child Left Behind Act )」的法案,為訴求國民基本教育品質提升的實際行動;在 1967 的英國提出「普勞頓報告書 (Plowden Report)」強調積極性的差別待 遇,為協助弱勢學生在學習上的適應與學習成效。在我國的教育改革中, 「因材施教」是一直被重視的理念,這呼應了教育部於 2013 年提出的「成 就每一個孩子」這個重要的主張。而隨著這個主張因運而生的,便是「補 救教學」的策略。 關於補救教學,行政院教育改革審議委員會(1996)指出,政府辦理 國民教育時應該堅持其普遍性與公平性特質,當學生走進學校,劃入班級 時,就應該注意無論是以何種編班方式,都有其功效上的侷限。因此,在 設計上應盡力使每個學生都能得到最好的照顧。廣義而言,補救教學是學

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習輔導的一個循環,是學生在發生學習困難時,應該獲得的一種診斷式教 學(教育部,2011b)。Brown 與 Burton (1978)發現,學生在解答數學問 題時可能出現多種不同的迷思概念 (Misconception),這些迷思概念即是造 成學生學習困擾的障礙。如果,教學策略能夠針對數、理方面因為迷思概 念所產生的一些錯誤,而建立一個適性化的數學補救教學系統,則個人的 學習障礙將可以獲得自我的矯正,以免影響未來相關數學概念的學習。(李 青春、胡學誠,2009)。 研究者認為數學補救教學是針對數學程度落後或數學學習低成就的 學生實施個別教學或適性化教學,配合有效的教學策略協助學生克服數學 學習的障礙,來提升學生學習數學的成就感及擁有繼續學習數學的信心, 達到教育的普遍性以確保每個學生都具備基本的數學能力。 二、數學補救教學實施策略與原則 數學是一門結構性很強的學科,必須有一定的教學與學習順序才能建 立起知識,若是未能完成前面所學的概念與技能,則後面新學的概念或進 度將會受到影響,導致學生之間的差異日益增加,而需要進行數學補救教 學(梁淑坤,2012)。對於不同學生的數學補救教學應提出不同的教學策 略,根據學生的程度選擇合適的教材,以作為有效的數學補救教學。 張新仁(2001)針對補救教學設計的原則提出明確而完整的做法,茲 分述如下: (一)教學策略宜重視個別差異的需求 需要接受補救教學的學生,彼此之間也存在著個別差異,如果 在每次的補救教學課程中學生人數太多,則擔任教學的教師較不容 易掌握到學生的個別需要,讓補救教學的效果無法發揮至極致。因 此,在進行補救教學時,學生人數不宜太多,宜採取個別教導或合

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11 作學習的方式來教學以增進學習成效。 (二)教學策略宜擷取直導教學策略的精華並輔以教學多媒體 直導教學法強調學習環境的高度結構化,包括:教材內容高度 結構化,是按照由易而難、由簡而繁的原則安排。在教學流程設計 上強調:複習以往學過的學習內容、組織教材、示範與模仿、小步 驟教學、提供多樣化練習、立即檢查學生是否學會、給予增強與回 饋、建立成功的經驗等。另外,教師所提供的教學多媒體,可以增 加學習活動的變化和趣味性。 (三)提供多元而適配的課程類型組合 以數學科為例,可針對學生之間的個別差異,設計出全面性額 外加強的補充式課程或強調不同教法的補償式課程。另外,對於不 適合現行數學科教材者,則可以改編教材或另行編製適用的教材來 實施適性課程。 (四)補救教學評量方式宜適配 多採用「課程本位評量」方式,用以了解學生是否真正學會 補救教學的內容,並以此作為下一次補救教學的依據。另外,動 態評量方式結合了教學設計在內,可以視為「套裝學習材料型 態」。 (五)鼓勵編制補救教學適用的教材 目前普通班教師的授課時數多,較無力另外編制或改編適用 的補救教學教材。建議教育當局建立制度,鼓勵有補救教學經驗 的教師編製教材教具或電腦輔助教學軟體,以解決推廣補救教學 時的主要困擾。

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此外,王麗卿(2002)亦提出一套實施補救教學的策略與原則,茲分 述如下: (一)列出學生目前程度上之優缺點,以對症下藥 教師在教學的過程中,應設計適合學生的課程內容,並運用各 種策略幫助學生學習課程內容。 (二)課程的設計加入多元智慧 教師在規劃課程內容與實際教學時,應以提升學生的整體能力 為重點,針對學生各種不同優勢配合適合其學習的方式,讓學生在 屬於其較優勢的領域中發揮學習的功能。 (三)以全語文增進學生的語文能力 許多概念的學習都必須透過文字符號,目前在學校的學習最需 要的基本能力就是文字符號的理解能力。而有許多數學學習困難的 學生是因為無法理解應用問題中的文字敘述所傳遞的訊息。 (四)善用精熟學習的策略 精熟學習的目的是為了幫助在儲存訊息或運用訊息有困難的 學生在學習一項新的知識時,能夠將訊息儲存並順利提取出來,而 達成自動化反應的程度。但若是同一項活動反覆進行太久,會讓學 生失去學習的興趣及耐性,因此,學習的內容必須量少而多元化。 由以上兩位學者的論述可知,兩位學者在補救教學的實施策略與原則 上都提出了教學策略須重視學生的個別差異需求,並運用多元的教學策略 以設計出適合學生的課程內容。不同的是,張新仁(2001)另有提出要如 何評量學生補救教學的成果及鼓勵教師自行編製補救教學的教材;而王麗 卿(2002)另外提出了須以全語文增進學生的語文能力,讓學生不會因閱 讀理解有困難而影響學科知識的學習。綜合學者們的論述,研究者認為數 學補救教學的可行策略整理如下:

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13 (一)教學策略宜重視個別差異的需求,列出學生目前程度上之優缺 點,以對症下藥。 (二)教學策略宜擷取直導教學策略的精華並輔以教學多媒體且善用 精熟學習的策略。 (三)課程的設計提供多元而適配的課程類型組合。 (四)以全語文增進學生的語文能力,理解學生是否有閱讀理解的困 難,導致無法運用數學符號。 (五)數學補救教學評量方式宜適配,正確的診斷學習問題以發展適 合的輔導方法。 (六)鼓勵有經驗的教師編制數學補救教學適用的教材。 三、數學補救教學的相關研究 方建良(2003)指出,在各個學習科目中,數學是一門較有系統的學 科,教材的內容要有一定的順序鋪陳、良好的結構性,因此,如果學生的 數學先備知識不夠完整將會影響往後的學習過程,然而,當學生應該達到 某一學習目標卻未到達時,就會有數學補救教學實施的必要性。 研究者蒐集相關研究,彙整各學者針對數學領域之補救教學的研究, 繪製成表 2-1-1 以做比較:

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表 2-1-1 數學補救教學的相關研究 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 邱上真、 詹士宜、 王惠川、 吳建志 (1995) 解題歷程導 向教學對國 小四年級數 學科低成就 學生解題表 現之成效研 究 四年級 8 人 檢驗「解題歷程導 向教學對於國小四年 級數學科低成就學生 解題表現的成效。棌單 一受試多重基線研究 法,其中 5 位受試者接 受小組教學,另 3 位受 試者接受個別教學。 結果顯示解題歷程導向 教學對國小四年級數學科低 成就學生之解題表現有正面 效果,但教學分組型態則無 明顯差異。 黃靖淑、 黃珊紋、 洪碧霞 (2000) 強化數學素 養的補救教 學設計 四年級 數學成就 表現未達 水準一 文中數學補救教 學的目的在提高學生 數學學習的積極情意 和解題思考效能。進行 方式是以動態評量的 取向編擬系列加減法 應用問題學習單。 以學生在系列動態評量 學習單上所呈現的個別差異 和積極改變的證據,實徵檢 視認知導向動態評量學習單 在數學補救教學應用的可能 效益。 洪素敏、 楊德清 (2002) 創意教學--分數的補救 教學 四年級 針對國小四年級 學生在課室中解分數 的相關問題時,往往會 忽略單位量的重要 性,以及將分數詞 a b 的分子 a 和分母 b 當成無關的兩個整數 之迷思概念做補救教 學的活動。 經過補救教學活動以及 教師巧妙地運用特殊技巧以 引導兒童學習,學生在處理 離散量分數概念之問題時, 已知道必須考慮單位量,並 對整體做分割,因此能求出 該分數所代表的量,進而比 較分數的大小。 許家驊、 邱上真、 張新仁 (2003) 多階段動態 評量對國小 學生數學學 習促進與補 救效益之分 析研究 三年級 41 人 結合數學「二步驟 四則問題」單元教學的 進行,將評量的流程分 為輸入(工具設計及蒐 集先備能力)、處理(進 行各項動態評量程 序)、輸出(作整體及 個別化分析)三個階段 來實施。 研究結果顯示除了所提 供的中介協助能夠明顯有效 地提昇個體在各項作業上的 表現狀況之外,也發現透過 多階段動態評量程序的連續 使用,具有消弭個體數學學 習問題的功能。

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15 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 許家驊 (2004) 多階段動態 評量在現行 國小課程數 學文字題單 元教學中之 應用效益探 析 一年級 24 人 以許家驊發展之 多階段動態評量模式 為基礎,結合國小一年 級單步驟加減法數學 文字題單元教學的實 施來進行教學評量,藉 以瞭解個體的學習轉 變,並說明該模式之教 學應用效益。 結果發現處理組的解題 獲益及遷移表現顯著優於參 照組,且效果值與關聯強度 達大幅度水準,其中遷移表 現組間變異約有 9%來自於 後測影響。 許家驊 (2006) 應用多階段 動態評量發 展國小數學 文字題解題 補救教學模 式之效益分 析研究 二年級 以多階段動態評 量為基礎結合教學流 程來發展國小二年級 步驟解題補救教學模 式,並探討其教學現場 運作效益。 藉由中介階段解題表現 區分及組型分析,動態評量 能支援補救教學所需之試探 篩選、診斷處方功能,且可 針對個體學習弱處進行後續 補救教學中介。去除前測影 響後,除兩個處理組之補救 教學促進效益均明顯優於參 照組外;動態評量組亦顯著 優於直接教學組,效果值與 關聯強度均達大幅水準,且 具 13%連續中介效益之累積 加成解釋變異,顯示多階段 動態評量更能發揮補救效 益。 洪素敏、 楊德清、 蔡鳳秋 (2007) 等值分數補 救教學之研 究 五年級 12 人 為透過訪談的方 式從彰化縣某小學五 年級的學生中篩選出 缺乏等值分數概念之 學生 12 位參與本研 究。研究者依據相關之 迷思概念,發展等值分 數教學活動以進行補 救教學,進而探討學生 在補救教學活動後之 等值分數概念的改變 情形與進一步分析補 救教學的實踐歷程。 研究結果顯示,在補救 教學後之訪談結果顯示學生 不但在分數之基本意義與單 位量概念有大幅度之改進, 同時在解等值分數之問題 時,亦能迎刃而解。同時在 補救教學中,教學者不但能 夠建立學生對數學的信心, 而且巧妙運用具體、半具體 到抽象符號表徵的教學過 程,不僅幫助學生建立了等 值分數的意義,更讓學生了 解等值分數有意義的求法。

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研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 黃怡琄、 劉曼麗 (2007) 國小六年級 分數數線補 救教學之研 究--以三名 個案為例 六年級 3 人 旨在對分數數線 有錯誤想法的國小六 年級學童,設計分數數 線補救教學活動,並探 討實施活動之成效。 原有的錯誤想法皆有明 顯地轉變。三位研究對象在 前測的平均答對率不到五 成,而後測的答對率在九成 以上,顯示本補救教學活動 有明顯之成效。 姚如芬 (2011a) 低年級學童 對於「加法 交換律」與 「等號」的 認識 低年級 17 人 探討 17 位國小低 年級學童對「加法交換 律」的認識、並討論這 群個案學童對於「等 號」的相關想法。 研究發現:經由補救教 學引導,學童關於「加法交 換律」的認識可以逐步進 階,依序為計算階段、認知 階段、等式表徵前階段、等 式表徵階段,而這些不同的 認識階段與這群學童對「等 號」的認識息息相關。 劉家巖 (2013) 相遇、攜手 與扶助一以 大美國小四 甲學生同儕 協助數學補 救教學為例 四年級 16 人 本研究採用同儕 教導的方式進行數學 補救教學,其中 8 位學 生為實驗組進行為期 四個月的同儕協助補 救教學,將所得資料以 無母數統計之曼-惠特 尼 U 考驗進行資料 分析,並藉由觀察紀 錄、教師隨堂札記、數 學自信心量表及數學 評量分數等方法,來瞭 解學生對補救教學實 施的感受與成效。 研究結果發現同儕協助 補救教學能提升學生的學習 興趣、數學自信心以及數學 評量成績。 Olkun, S., Altun, A., & Smith, G. (2005) Computers and 2D geometric learning of Turkish fourth and fifth graders 四、五年級 這項研究調查了 電腦對土耳其小學四 年級學生的幾何成績 和在五年級時的幾何 學習可能的影響,採用 前測—干預—後測的 實驗設計。 結果發現家裡沒有電腦 的學生最初的幾何分數較 低。然而要使這樣的差異最 小化須包含以電腦為基礎的 七巧板拼圖作為適當的干 預。

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17 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 Lin, C. Y. (2008) Beliefs about using technology in the mathematics classroom; Interviews with pre-service elementary teachers 國小教師 這項研究探討了 在小學數學題目基於 網絡的工作坊功效在 促進教師的信心和能 力使用教學技術,從而 促進對使用的數學課 堂電腦和互聯網資源 更積極的態度。 訪談結果表明,大多數 學生在實驗組感到舒適使用 網絡資源教學國小數學。所 有學生一致認為,工作坊幫 助他們變得更有信心使用電 腦教數學。 從表 2-1-1 之各學者論述發現,在數學補救教學的研究中有些是透過 資訊科技進行數學補救教學(例如:Lin, 2008; Olkun, Altun, & Smith, 2005); 有些採運用解題歷程導向教學(例如:邱上真、詹士宜、王惠川、吳建志, 1995);有些採用動態評量的方式進行(例如:許家驊、邱上真、張新仁, 2003;許家驊,2004;許家驊,2006;黃靖淑、黃珊紋、洪碧霞,2000); 有些運用創意教學法(例如:洪素敏、楊德清,2002);有些利用故事性 課程進行(例如:姚如芬,2011a);有些運用同儕教導的方式進行(例如: 劉家巖,2013)。 這些研究都發現,運用不同的教學方式進行數學補救 教學有正面的效果,可提升學生的學習興趣、數學自信心以及數學評量成 績,具有消弭個體數學學習問題的功能。 另外,由表 2-1-1 可以發現較多學者的數學補救教學研究著重在研究 國小中年級學生(例如:邱上真、詹士宜、王惠川、吳建志,1995;洪素 敏、楊德清,2002;許家驊、邱上真、張新仁,2003;黃靖淑、黃珊紋、 洪碧霞,2000;劉家巖,2013;Olkun, Altun, & Smith, 2005),可能的原 因為學生由低年級進入中年級後數學教材的內容較深入,學生無法快速適 應較難的教材內容。

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第二節 教師數學教學知識意涵與相關研究

一、教師數學教學知識的意義 Shulman (1986)認為教師能將學科內容知識轉化為學科教學知識是很 重要的。因此,教師數學教學專業知識是教師將數學學科內容知識轉化為 學生可以理解的知識。而教師要擁有數學教學知識,代表他必須同時具備 數學學科內容與教學交織而成的相關知識,這包含了教師應該要知道學生 在各階段發展中所要學習的數學內容、該如何呈現以及如何達成概念性的 理解 (Loucks-Horsely, Hewson, Love & Stiles, 1998)。

由於過去少有研究數學補救教學專業知識,因此在本節中研究者是從 教師的數學教學專業知識來企圖了解教師在進行數學補救教學時可能存 在的現象。 二、教師數學教學知識的內涵與整合 (一)教師數學教學知識的內涵 要分析數學教學知識的內涵之前,可先藉由教師進行教學時的專業知 識分析。Shulman (1986) 提到,一位教師的教學專業知識基礎應該包括學 科知識 (subject matter knowledge)、學科教學知識 (pedagogical content knowledge) 及課程知識 (curriculum knowledge) 等三個類別的知識。後來, Shulman (1987) 又提出教師應具備的教學專業知識基礎有七個知識類別, 包括:

1. 學科內容知識 (content knowledge) 指教師具備不同學科內容的基 礎知識,以數學教師為例,教師必須對數學知識內容詳加了解。 2. 一般教學知識 (general pedagogical knowledge) 指教師對教學技巧、

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19

教學策略、對學生學習的瞭解等有一定的了解程度。

3. 課程知識 (curriculum knowledge) 指教師對課程發展沿革的認識 及學校課程的理解程度。

4. 學科教學知識 (pedagogical content knowledge) 指教師以有效教學 方法呈現已具備的學科內容知識與一般教學知識,以促進學生的理 解。

5. 學習者知識 (knowledge of learners) 指教師具備教育心理學、學生 輔導的知識並了解學生的特性,包括學生的學習態度、學習動機、 先備知識、認知發展等。

6. 教育背景知識 (knowledge of educational contexts) 指教師能運用 學校的教學資源並將學校所處的社區文化融合在教學活動中。 7. 目的、價值、哲學和社會背景知識 (knowledge of educational ends,

purposes, and values, and their philosophical and historical grounds) 指教師具備教育價值、教育哲學及教育社會學的知識。 上述是一般教師在進行任何學科時所應具備的專業知識,若要教師進 行數學補救教學,則其所需要的專業知識至少要包括對學生理解的知識: 掌握學生的迷思概念即知道如何表徵知識、知道如何設計合適的教材:能 選擇或設計適合進行數學補救教學的教材、選擇合適且有效的教學策略。 與 Shulman (1987) 所提之教師專業知識不謀而合,因此,研究者認為教師 是否具備數學補救教學知識亦可以 Shulman (1987) 的教師專業知識類別 做檢視。 Brown 與 Borko (1992) 認為專業知識是伴隨著數學教師教學概念發 展的主要成分之一。教學是一種複雜的認知活動,需要教師在教學前的細 心規劃、教學中的立即決策和教學後的反省思考,教學不是教師單純的將 知識複誦或演示給學生,而是以知識為基礎、有特定意圖的智力行動,且

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必須以教師所要教授的單元、學習者、學習環境而調整的教學行動 (Learman, 1999; Ruthven, 1998)。教師的個人知識是影響教師教學行為 的主要因素之一(Koehler & Grouws, 1992)因此,要了解數學教師的專業 知識發展,可以從他們在教學中所呈現的知識內涵來分析。 NCTM於1991的《數學教學專業標準》中提到,教師在進行數學教學 時應該具備五種知識與能力:對教學材料與資源理解的知識、表達數學概 念和過程的知識、組織教學策略與課堂模式的知識、促進課堂互動與培養 數學集體意識途徑的知識、評定學生數學理解的知識。即可對應到 Shulman (1987) 提出的課程知識、學科教學知識與一般教學知識。 Fennema 與 Franke (1992) 分析數學教師的相關文獻,提出數學教師 的數學知識 (knowledge of mathematics teaching) 的研究模型,他們認為教 師在進行數學教學時必須具備的教學知識包括教師的數學知識(knowledge of mathematics)、教學法知識 (pedagogical knowledge)、學習者數學認知的 知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics),這些知識會和教師 的信念在活動、文化、脈絡中交互作用,教師必須經過融會貫通後,將其 應用在不同的教學情境中。即可對應到Shulman (1987) 提出的學科內容知 識、學習者知識與一般教學知識。

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21 圖 2-2-1 Fennema 與 Franke (1992)在情境中發展的數學教學知識 Kothler 與 Grouws (1992) 也有類似的見解,他們認為在班級的互動 中教師的教學知識有三個類別,在知識的層面有學科內容知識、教學法知 識、學生學習的知識,在教師的層面有教師的態度及教師對教學和數學的 信念,在學生的層面是學生的特性,這些都會影響教師在進行數學教學時 的教學行為。

Cochran, DeRuiter 與 King (1993) 基於教學的動態性與連續性本質 針對Shulman所提出的學科教學知識(PCK)模式進行修改,即所謂的PCKg 模式─「g」強調的是「knowing」而不僅是「knowledge」,這反應的是教 學的動態性與連續性,他們認為教師的知識包括四個成分:學科知識、教 學知識、對學生的理解(如學生的學習能力、先備知識、學習態度、學習 動機、學習風格、認知發展等層次)之知識,以及對環境的認識(如社會、 政策、文化等層面)之知識(轉引自姚如芬,2011b)。即可對應到 Shulman(1987) 提出的學科教學知識、一般教學知識、學習者知識及教育 背景知識。

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Ball 與 Rowan (2004) 是從數學教學實作的過程檢視教師在教學中所 需要的數學知識及教師如何使用這些數學知識,因此,提出了數學教學知 識 (Mathematical knowledge for teaching, MKT) 模型,他們認為教師在進 行數學教學時會使用的知識包括兩個類別:學科內容知識 (subject matter knowledge, SMK) 與學科教學知識 (pedagogical content knowledge, PCK), 其中學科內容知識包含一般內容知識 (common content knowledge, CCK)、 數學水平知識 (horizon content knowledge, HCK)、特殊內容知識(specialized content knowledge, SCK);而學科教學知識包含了內容與學生知識

(knowledge of content and students, KCS)、內容與教學知識 (knowledge of content and teaching, KCT)、內容與課程知識 (knowledge of content and curriculum, KCC)。即可對應到Shulman (1987) 提出的學科內容知識(對應 CCK, SCK, HCK)、學習者知識(對應KCT) 、學科教學知識(對應KCT) 及課程知識(對應HCK, KCC)。

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23 國內也有部分學者對數學教師專業知識內涵進行分析,黃幸美與周筱 亭(1997)認為數學教師應具備數學知識、數學教學知識、以及對學生數 學知識的認知。另外,林碧珍(2001)參考Shulman (1987) 所提的教師知 識架構,把學科均以「數學」取代,提出教師的數學專業知識至少可區分 為:數學知識、數學教學知識、學習者認知知識三個領域。

鍾靜(2012)彙整各學者(Fennema & Franke, 1992; Thompson, 1992; Cochran, DeRuiter & King, 1993; Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; 林碧 珍,2000;吳明崇,2003;許德田與張英傑,2004;劉曼麗,2006)的論 述,發現教師的數學專業知識包含許多面向,大致上可以將數學教師的專 業知識類別分為數學內容知識、一般教學知識、數學教學知識、數學課程 知識、學習者數學認知知識、情境脈絡知識、教學評量知識、數學教師信 念。陳彥廷(2014)亦綜合各學者之觀點,將教師的數學教學知識內涵分 為五個面向,課程與目標知識、學科內容知識、教學策略知識、教學表徵 知識、學習成效評估知識。 以下研究者站在鍾靜(2012)之研究的立場上,再加上前面所論述的 各學者,進而彙整出表2-2-1。

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表 2-2-1 不同學者之數學教師專業知能面向 數學內 容知識 一般教 學知識 數學教 學知識 數學課 程知識 學習者 數學認 知知識 情境脈 絡知識 教學評 量知識 數學教 師信念 Fennema 與 Franke(1992)

Kothler 與 Grouws (1992)

Thompson (1992)

Cochran, DeRuiter 與 King (1993)

Kilpatrick, Swafford 與 Findell (2001)

Ball & Rowan

(2004)

黃幸美與周筱亭 (1997)

林碧珍(2000)

吳明崇(2003)

許德田與張英傑 (2004)

劉曼麗(2006)

陳彥廷(2014) 學科內 容知識 教學策略知識 課程目 標知識 教學表 徵知識 學習成 效評估 知識 綜合表2-2-1觀察發現,各家學者所提出的數學教師教學觀察面向大同 小異,而本研究的觀察主軸是建立在個案教師進行數學補救教學時的知識 整合情形,故本研究將以陳彥廷(2014)所提出之教師數學教學知識面向 作為觀察教師數學補救教學的依據,因為,一般教學知識與數學教學知識 同屬於教學策略知識。然而,研究者認為數學課程知識是指教師對數學課 程發展沿革的了解程度,在教師的教學中是不易觀察出教師是否擁有這樣 的知識。另外,研究者亦認為數學教師的教學信念是比較不容易從教師的

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25 教學行為中看到的,也不容易於短時間的教學中產生移轉。而情境脈絡知 識雖為部分學者所提出,但研究者主要聚焦在教師的教學行為中,所以數 學教師信念、數學課程知識及情境脈絡的知識在本研究中略而不談。因此, 本研究中二位不同背景國小教師之數學教學知識所觀察的面向為:學科內 容知識、教學策略知識、教學表徵知識、學習成效評估知識等四個面向。 (二)教師數學教學知識的互動與整合 過去,許多國內外學者研究教師數學知識(例如:李源順、林福來、 呂玉琴、陳美芳,2008;林碧珍、蔡文煥,2007;劉曼麗,2008;鍾靜、 張淑怡、陳幸玫、陸昱任、戴坤邦,2012;Fennema & Frank, 1992)時, 大多是建立相關的知識面向,或是建構相對應的指標,他們從靜態的觀點 來審視教師所具備的專業知識樣貌,以檢視教師所具備數學教學相關知識 (陳彥廷,2013)。然而,有些研究(林碧珍 2001;Berliner, 2001; Meijer, Verloop, & Beijaard, 1999)是以動態的觀點來審視教師的專業知識樣貌, 這些學者指出教師所具備的教學專業知識會隨著教學活動不斷的進行,而 將教學知識與其他知識互相連結與整合,例如:數學教學知識是教學知識 和數學知識的整合(林碧珍,2001)。在 Kunter, Baumert, Blum, Neubrand, 與 Jordan (2008) 的研究中,他們將數學教師的學科內容知識與學科教學知識 做比較,研究發現數學教師的數學專業程度是取決於教師個人所擁有的學 科內容知識與學科教學知識的連結程度。這樣的觀點說明了教師的學科教 學知識是隨著教學的進行而呈現出的動態整合,也就是說,要探究教師的 學科教學知識就無法脫離探究教師的學科內容知識(陳彥廷,2013)。 教師的學科教學知識在教學過程中呈現動態整合的觀點可以衍生為 兩種研究取向 (Park & Chen, 2012),其中一種研究取向是在探究學科教學 知識內的其中一個知識面向是如何影響其他的知識面向 (Abell, 2008; Cohen & Yarden, 2009):Abell (2008) 探究教師對學生理解的知識是如何影

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響教學策略知識;而 Cohen 與 Yarden (2009) 則探究教師的特定主題的課 程知識如何影響教學策略知識。另一種研究取向是在檢視學科教學知識內 的某個知識面向與整體學科教學知識之間的關聯 (Clermont, Krajcik & Borko , 1993; Matese, 2005):Clermont, Krajcik 與 Borko (1993) 的研究發 現,教師對學生在特殊主題中之先備知識、學習困難及推理類型的理解會 影響其在學科教學知識的發展;Matese (2005) 的研究則發現,教師的評量 知識會影響其教學知識與實務。 然而,Hashweh (2005) 認為,在研究教師學科教學知識時應該更深入 的探究學科教學知識中的所有知識面向彼此之間的互動狀態,以及在這之 中的互動狀態是如何影響教師的教學實踐。Park 與 Chen (2012) 依據這個 觀點,進一步提出「學科教學知識成分整合歷程圖」(Integration of the Components of Pedagogical Content Knowledge),藉以分析教師在特定主題 的教學過程中,其所呈現的學科教學知識在各面向之間的整合情形。而學 科教學知識成分整合歷程圖的分析分為三個步驟,首先依據該研究團隊所 發展的學科教學知識面向,接著以個案教師進行教學過程中的學科教學知 識事件為單位,將個案教師在教學中呈現的每個學科教學知識事件所涉及 的學科教學知識面向知識進行分析,最後將所分析的內容分類繪製成教師 在特定主題教學中的學科教學知識成分整合歷程圖。以下將詳細說明分析 步驟: 1. 切割教學過程中的學科教學知識事件 先從個案教師的教學影片中切割教師在教學時的事件片段,而 教學事件的切割判斷準則為: (1) 教師學科教學知識的展現是其在教學過程中所呈現的二個或多 個知識面向整合而成的歷程。 (2) 一個學科教學知識事件是指一個教學片段會顯示出同時涉及二

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27 個或多個學科教學知識面向。 (3) 學科教學知識事件是可以從教師與學生互動的行為中觀察出, 並能顯示學科教學知識的面向在學科教學知識事件中的互動與 整合。 2. 確認每個學科教學事件中的學科教學知識面向的出現次數與整合 學科教學知識面向整合過程的描述是從觀察教師課室中得到 相關資料並與教學者確認後形成結論。當研究者確認學科教學知識 面向在一個學科教學事件中被整合時,就會計算出學科教學知識中 各面向出現的次數,並關注學科教學知識事件中還會有哪些學科教 學知識面向出現。 3. 繪製教師教學過程中的學科教學知識成分整合歷程圖 在每一個學科教學知識事件中的各項學科教學知識面向分析 完成後,Park 與 Chen (2012) 會在所建構出的學科教學知識面向 架構中,將同一個學科教學知識事件所涉及的學科教學知識面向畫 上連結線,如圖 2-2-3,此圖為 Park 與 Chen (2012) 研究某一位個 案教師在一堂課室教學中所呈現的學科教學知識面向整合情形,而 圖中各面向旁的數字代表所計算出該面向在教學過程中出現的次 數,在連結線上出現的數字代表教學過程中產生連結出現的次數, 當面向與面向間之間的連結次數愈多,連結線就會愈粗。最後,即 會形成教師在該課堂教學的學科教學知識成分整合歷程圖。

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圖 2-2-3 個案教師的學科教學知識成分整合 (資料來源:Park & Chen, 2012) 本研究將以 Park 與 Chen (2012) 分析教師進行教學所呈現的學科教 學知識成分整合歷程圖為依據,輔以陳彥廷(2014)所提出之教師數學教 學知識面向中的學科內容知識、教學策略知識、教學表徵知識、學習成效 評估知識等四個面向,探究二位國小教師在進行數學補救教學時呈現的數 學教學知識整合情形。 三、教師數學教學專業知識的相關研究 擁有數學教學能力是教師的責任,精進數學教學能力更是教師的重要 課題(黃靖雅、李源順,2009),因此,如何檢視教師是否具備數學教學 的知識是很重要的,研究者蒐集相關研究,彙整各學者針對教師數學教學 專業知識的研究,繪製成表 2-2-2 以做比較:

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29 表 2-2-2 教師數學教學專業知識的相關研究 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 李源順、 林福來 (1998) 校內數學教 師專業發展 的互動模式 大學數學 教師 3 人 採人種誌研 究法,由三位數 學教師組成一個 討論小組,探討 小組的互動方式 為何能促進教師 的專業發展。 研究發現,同事互動與師生互 動像是引動教師內在專業發展的 一個外部循環系統,引動了教師本 身對教學問題的反覆察覺、解決與 反思所組成的內在循環,外循環與 內循環之間又相互連動,形成了教 師專業發展的互動模式。 姚如芬 (2006) 成長團體之 「成長」- 小學教師數 學教學專業 之探究 國小教師 透過「數學 教學成長團體」 探究小學教師數 學教學專業的成 長。 研究發現數學教學設計的實 作歷程與「數學教學成長團體」的 討論情境有助於增進成員的數學 知識之縱深與廣度、且幫助其數學 課程知識由點狀的理解進展為線 狀的連結,進而使其課程知識的結 構較為全面性、亦使成員對於學生 學習數學的理解產生質變與量 變、並有助於成員發現與累積更多 豐富可用的教學資源。 陳彥廷、 康木村、 柳賢 (2008) 同儕對話促 進兩位國中 數學教師教 學反思與專 業成長 國中數學 教師 2 人 旨在評估二 位國中數學教師 在同儕對話中, 對話內涵、反思 層次與教學的發 展。 研究結果發現:同儕對話能促 進反思與數學教學知識發展;且幫 助教師理解教學中的學習、教學行 動與數學知識等問題;反思過程中 引入教學能力評鑑工具,能引導教 師反思方向,但也局限了討論範 圍;而二位教師的反思層次亦隨課 程進行而提升。 黃雅靖、 李源順 (2009) 三階段轉導 模式下之國 小資深優良 實習輔導教 師數學教學 能力成長之 個案研究 國小實習 輔導教師 教師 採個案研究 法,旨在探究一 位資深優良教師 採用三階段輔導 模式輔導實習教 師時本身數學教 學能力的成長。 研究發現資深優良教師在師 徒模式下,會產生一些數學教學能 力的成長,在能力模式,資深優良 教師產生更深度的數學教學能力 成長,但尚無達到反思模式。

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研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 康木村、 柳賢 (2010) 教學相長: 融入協作教 學之實習輔 導模式研究 國中數學 實習教師 和實習輔 導教師 8 人 採詮釋性研 究法與個案研究 法,探討融入協 作教學之實習輔 導模式對促進數 學實習教師與實 習輔導教師教學 能力成長影響。 研究結果發現在參與協作教 學實習輔導模式後,實習教師和實 習輔導教師的提問技巧與採用教 學策略的多元性都獲得提升 陳品婷、 李源順 (2011) 三階段轉導 模式下之國 小實習輔導 教師的數學 教學成長研 究 國小實習 輔導教師 2 人 採用個案研 究法,探究實習 輔導教師在輔導 實習教師過程中 的成長及成長原 因為何。 結果顯示兩位實習輔導教 師,在數學知識、學生認知、教學 方法、教學評量等方面都有所成 長,他們能成長的原因來自在三階 段輔導過程中能進行社會性反思 及自我性反思。 姚如芬 (2011b) 緣「案例研 討」之路徑 學習教數學 -以職前教 師為例 職前教師 6 人 探究小學職 前教師數學教學 專業發展。以「案 例觀察與紀錄」 以及「案例分享 與討論」作為案 例研討路徑, 研究發現:職前教師在案例研 討路徑上的數學教學專業發展依 序可歸納為焦點模糊、聚焦提問、 與嘗試求解三個階段;且其在「關 於數學教學的想法與做法」以及 「對學習者的理解」兩方面有較為 明顯的轉變,至於「數學知識」與 「數學課程知識」的進展則較為有 限。 沈羿成、 劉佩雲 (2013) 教學案例討 論提升教師 學科教學知 識之研究— 以數學科為 例 國小教師 旨在組成國 小教師社群,應 用個案研究,透 過教師社群的教 學案例討論,以 提升參與教師的 數學學科教學知 識。 研究結果發現,教學案例討論 透過認知衝突,能觸發參與教師主 動思考與解決問題動機,積極建構 具統整性的學科內容知識,討論與 反思促進參與教師更清楚掌握學 生思維與學習脈絡,有效提升參與 教師的數學學科教學知識。 Manouche hri (2002) Developing teaching knowledge through peer discourse. 職前中學 數學教師 評估同儕互 動對職前中學數 學教師的專業知 識發展是有幫助 的。 同儕的合作與協同反思有助 於促進教師專業發展。同儕之間會 互相幫對方評估學習問題、教學行 為、數學知識。

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31 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 Jansen & Spitzer (2009) Prospective middle school mathematics teachers’ reflective thinking skills: Descriptions of their students’ thinking and interpretatio ns of their teaching. 職前中學 數學教師 33 人 以開放式問 卷及訪談的方式 研究未來的中學 數學教師反思技 能,了解他們如 何從自己的教學 實踐中的經驗學 習修改課程。 結果顯示:透過同儕對話、反 思,能促發教師對教學進行討論而 發展專業知識。 由表 2-2-2 之各學者論述發現,從研究的方式來看,在教師數學教學 專業知識的相關研究中,國內外都有學者的研究是透過教師同儕對話與互 動來進行(李源順、林福來,1998;姚如芬,2006;陳彥廷、康木村、柳 賢,2008;康木村、柳賢,2010; Jansen & Spitzer, 2009; Manouchehri , 2002); 有些學者的研究是透過教學案例研討來進行(沈羿成、劉佩雲,2013;姚 如芬,2011b);有些學者的研究是透過專家教師輔導模式來進行(陳品婷、 李源順,2011;黃雅靖、李源順,2009)。這些研究結果發現,參與的教 師都在培育的過程中促進數學教學專業成長,透過教師同儕互動討論可以 促進教師反思與數學教學知識的發展,而透過資深優良教師輔導模式下可 以促進數學教學能力的成長,卻無法完全達到反思模式。 從研究對象來看,包括職前教師(姚如芬,2011b;康木村、柳賢, 2010; Jansen & Spitzer, 2009; Manouchehri, 2002)、實習輔導教師(康木 村、柳賢,2010;陳品婷、李源順,2011;黃雅靖、李源順,2009)、小

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學教師(姚如芬,2006;沈羿成、劉佩雲,2013;陳品婷、李源順,2011; 黃雅靖、李源順,2009)、中學教師(康木村、柳賢,2010;陳彥廷、康 木村、柳賢,2008;Jansen & Spitzer, 2009; Manouchehri, 2002)、大學教師 (李源順、林福來,1998)。這樣的結果顯示,不論是處於哪個階段的教 師都需要提升教師的數學教學專業知識之成長。教師在數學教學知識、學 生認知、教學方法與策略、教學評量等方面均有所成長,其中,教師對數 學教學的想法與方法及教師對學習者的理解上有較明顯的轉變。

第三節 整數四則混合計算及周長面積課程地位分析

本研究目的為探究二位教師在「整數四則混合計算」、「周長與面積」 二個不同數學補救教學單元教學時的教師數學教學知識,以下研究者將分 別針對「整數四則混合計算」、「周長與面積」二個不同數學補救教學單 元進行課程地位分析。 一、整數四則混合計算課程地位分析 由於本研究之個案教師 A 所進行的數學補救教學單元為國小四年級 之「整數四則混合計算」單元,因此,本段將針對「整數四則混合計算」 單元所涉及的概念內涵進行探討。茲將內容整理如下表 2-3-1:

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33 表 2-3-1 「整數四則混合計算」單元在數學領域 92 課綱與 97 課綱之分年細目修正對照表 92 課綱 97 課綱 分年細目 內涵 分年細目 內涵 4-n-04 能作整數四則混合計算(兩步 驟)。 4-n-05 能做整數四則混合計算(兩步 驟)。 4-a-01 能在具體情境中,理解乘法結合 律、先乘再除與先除再乘的結果 相同,也理解連除兩數相當於除 以此兩數之積。 4-a-01 能在具體情境中,理解乘法結 合律。 4-a-02 能在四則混合計算中,運用數 的運算性質。 由上表 2-3-1 可知,在 97 課綱的分年細目 4-n-05 是沿用自 92 課綱的 分年細目 4-n-04;97 課綱的分年細目 4-a-01 是修改自 92 課綱的分年細目 4-a-01,將「先乘再除與先除再乘的結果相同,也理解連除兩數相當於除 以此兩數之積」內容刪除;而 97 課綱的分年細目 4-a-02 是新增加的一條 分年細目。 接續,研究者再將四年級階段與「整數四則混合計算」概念有關的分 年細目對照能力指標彙整,如下表 2-3-2 所示: 表 2-3-2 數學領域國小四年級「整數四則混合計算」之分年細目對照能力指標表 分年細目 內涵 能力指標 4-n-05 能做整數四則混合計算(兩步驟)。 N-2-07 A-2-03 4-a-01 能在具體情境中,理解乘法結合律。 A-2-02 4-a-02 能在四則混合計算中,運用數的運算性質。 N-2-07 A-2-01

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由上表 2-3-2 中可知,四年級所教授的「整數四則混合計算」相關概 念可分為「理解乘法結合律」的概念性知識及「進行兩步驟四則混合計算」、 「在四則混合計算中運用數的運算性質」等程序性知識。 然而,本研究之個案教師所進行之數學補救教學的時間是在四年級下 學期,因此,研究者將四年級下學期教科書中所涉及關於「整數四則混合 計算」概念的活動、該活動中的教學目標及活動關連之分年細目彙整,如 下表 2-3-3 所示: 表 2-3-3 四年級下學期「整數四則混合計算」教學活動名稱、教學目標與分年細目 活動名稱 教學目標 分年細目 一 加減與乘的混合計算 能解決生活情境中,兩步驟的加乘、減乘混合計算 問題,並能知道整數四則混合計算的約定。 4-n-05 4-a-02 二 加減與除的混合計算 能解決生活情境中,兩步驟的加除、減除混合計算 問題,並能知道整數四則混合計算的約定。 4-n-05 4-a-02 三 乘除的混合計算 能理解乘法結合律,並解決生活情境中兩步驟的連 除問題及乘除混合計算問題。 4-n-05 4-a-01 四 四則運算 能理解整數四則混合計算的約定,並活用運算的性 質(加法交換律、結合律,乘法交換律、結合律等)。 4-a-02 由上表 2-3-3 中可知,在「整數四則混合計算」的單元中,第一個教 學活動是先做兩步驟的加法與乘法混合計算及兩步驟的減法與乘法混合 計算,第二個教學活動是做兩步驟的加法與除法混合計算、兩步驟的減法 與除法混合計算,接著,第三個教學活動是做兩步驟的連除問題及乘法與 除法的混合計算,最後,第四個教學活動是進行加減乘除四則運算並活用 運算的性質。 研究者針對四年級「整數四則混合計算」的單元,將過去與未來相關 概念的單元繪製教材地位圖,如下圖 2-3-1:

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35 圖 2-3-1 「整數四則混合計算」課程地位分析圖(虛線表示為四年級下學期整數四則混合計算單元內容) 從圖 2-3-1 可以得知,在學習四年級下學期「整數四則混合計算」單 元之前,已經學過且須熟練加法、減法、乘法、除法等四種計算方法,還 要學會加、減與乘法及加、減與除法等不併式的兩步驟問題,加乘與減乘、 加除與減除、乘與除等併式的兩步驟問題。而在四年級下學期「整數四則

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混合計算」單元中,所學的相關概念包括:兩步驟的加減與乘混合計算、 兩步驟的加減與除混合計算、兩步驟的連除問題及乘除混合計算、活用四 則混合計算的運算規則。這些概念將銜接五、六年級的三步驟四則計算問 題、加法和乘法的交換律、結合律及分配律等運算性質、分數與小數的四 則計算。 而本研究個案教師所進行之數學補救教學「整數四則混合計算」單元 的內容為講解並釐清整數四則計算的概念性質,透過綜合題型,讓學生熟 知四則計算的性質,將整數四則計算的性質重點整理,使學生擁有完整的 四則計算概念知識。 二、周長與面積課程地位分析 由於本研究之個案教師 B 所進行的數學補救教學單元為國小四年級之 「周長與面積」單元,因此,本段將針對「周長與面積」單元所涉及的概 念內涵進行探討。茲將內容整理如下表 2-3-4: 表 2-3-4 「周長與面積」單元在數學領域 92 課綱與 97 課綱之分年細目修正對照表 92 課綱 97 課綱 分年細目 內涵 分年細目 內涵 4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」, 及「平方公分」、「平方公尺」間 的關係,並作相關計算。 4-n-17 能認識面積單位「平方公尺」, 及「平方公分」、「平方公尺」 間的關係,並做相關計算。 4-n-16 能理解長方形和正方形的面積 公式與周長公式。 4-n-18 能理解長方形和正方形的面積 公式與周長公式。(同 4-s-09) 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積 公式與周長公式。 4-s-09 能理解長方形和正方形的面積 公式與周長公式。(同 4-n-18)

數據

圖 2-2-1  Fennema 與  Franke (1992)在情境中發展的數學教學知識 .................. 21 圖 2-2-2  數學教學知識(資料來源:Hill, Ball, & Schilling, 2008
表 2-1-1  數學補救教學的相關研究  研究者  研究題目  研究對象  研究內容  研究結果  邱上真、 詹士宜、 王惠川、 吳建志 (1995)  解題歷程導向教學對國小四年級數學科低成就學生解題表 現之成效研 究  四年級 8 人  檢驗「解題歷程導向教學對於國小四年級數學科低成就學生解題表現的成效。棌單一受試多重基線研究法,其中 5 位受試者接受小組教學,另 3 位受 試者接受個別教學。  結果顯示解題歷程導向教學對國小四年級數學科低成就學生之解題表現有正面效果,但教學分組型態則無明顯差異。
圖 2-2-2    數學教學知識(資料來源:Hill, Ball, & Schilling, 2008. P.377)
表 2-2-1    不同學者之數學教師專業知能面向  數學內 容知識  一般教 學知識  數學教 學知識  數學課 程知識  學習者數學認 知知識  情境脈 絡知識  教學評 量知識  數學教 師信念  Fennema  與  Franke(1992)            Kothler  與  Grouws  (1992)          Thompson (1992)    Cochran, DeRuiter  與  King (1993)          Kilpa
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參考文獻

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