教師數學教學知識意涵與相關研究

一、教師數學教學知識的意義

Shulman (1986)認為教師能將學科內容知識轉化為學科教學知識是很 重要的。因此，教師數學教學專業知識是教師將數學學科內容知識轉化為 學生可以理解的知識。而教師要擁有數學教學知識，代表他必須同時具備 數學學科內容與教學交織而成的相關知識，這包含了教師應該要知道學生 在各階段發展中所要學習的數學內容、該如何呈現以及如何達成概念性的 理解 (Loucks-Horsely, Hewson, Love & Stiles, 1998)。

由於過去少有研究數學補救教學專業知識，因此在本節中研究者是從 教師的數學教學專業知識來企圖了解教師在進行數學補救教學時可能存 在的現象。

二、教師數學教學知識的內涵與整合

（一）教師數學教學知識的內涵

要分析數學教學知識的內涵之前，可先藉由教師進行教學時的專業知 識分析。Shulman (1986) 提到，一位教師的教學專業知識基礎應該包括學 科知識 (subject matter knowledge)、學科教學知識 (pedagogical content knowledge) 及課程知識 (curriculum knowledge) 等三個類別的知識。後來，

Shulman (1987) 又提出教師應具備的教學專業知識基礎有七個知識類別，

包括：

1. 學科內容知識 (content knowledge) 指教師具備不同學科內容的基 礎知識，以數學教師為例，教師必須對數學知識內容詳加了解。

2. 一般教學知識 (general pedagogical knowledge) 指教師對教學技巧、

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教學策略、對學生學習的瞭解等有一定的了解程度。

3. 課程知識 (curriculum knowledge) 指教師對課程發展沿革的認識 及學校課程的理解程度。

4. 學科教學知識 (pedagogical content knowledge) 指教師以有效教學 方法呈現已具備的學科內容知識與一般教學知識，以促進學生的理 解。

5. 學習者知識 (knowledge of learners) 指教師具備教育心理學、學生 輔導的知識並了解學生的特性，包括學生的學習態度、學習動機、

先備知識、認知發展等。

6. 教育背景知識 (knowledge of educational contexts) 指教師能運用 學校的教學資源並將學校所處的社區文化融合在教學活動中。

7. 目的、價值、哲學和社會背景知識 (knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds) 指教師具備教育價值、教育哲學及教育社會學的知識。

上述是一般教師在進行任何學科時所應具備的專業知識，若要教師進 行數學補救教學，則其所需要的專業知識至少要包括對學生理解的知識：

掌握學生的迷思概念即知道如何表徵知識、知道如何設計合適的教材：能 選擇或設計適合進行數學補救教學的教材、選擇合適且有效的教學策略。

與 Shulman (1987) 所提之教師專業知識不謀而合，因此，研究者認為教師 是否具備數學補救教學知識亦可以 Shulman (1987) 的教師專業知識類別 做檢視。

Brown 與 Borko (1992) 認為專業知識是伴隨著數學教師教學概念發 展的主要成分之一。教學是一種複雜的認知活動，需要教師在教學前的細 心規劃、教學中的立即決策和教學後的反省思考，教學不是教師單純的將 知識複誦或演示給學生，而是以知識為基礎、有特定意圖的智力行動，且

必須以教師所要教授的單元、學習者、學習環境而調整的教學行動

（Learman, 1999; Ruthven, 1998）。教師的個人知識是影響教師教學行為 的主要因素之一（Koehler & Grouws, 1992）因此，要了解數學教師的專業 知識發展，可以從他們在教學中所呈現的知識內涵來分析。

NCTM於1991的《數學教學專業標準》中提到，教師在進行數學教學 時應該具備五種知識與能力：對教學材料與資源理解的知識、表達數學概 念和過程的知識、組織教學策略與課堂模式的知識、促進課堂互動與培養 數學集體意識途徑的知識、評定學生數學理解的知識。即可對應到

Shulman (1987) 提出的課程知識、學科教學知識與一般教學知識。

Fennema 與 Franke (1992) 分析數學教師的相關文獻，提出數學教師 的數學知識 (knowledge of mathematics teaching) 的研究模型，他們認為教 師在進行數學教學時必須具備的教學知識包括教師的數學知識(knowledge of mathematics)、教學法知識 (pedagogical knowledge)、學習者數學認知的 知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics)，這些知識會和教師 的信念在活動、文化、脈絡中交互作用，教師必須經過融會貫通後，將其 應用在不同的教學情境中。即可對應到Shulman (1987) 提出的學科內容知 識、學習者知識與一般教學知識。

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圖 2-2-1 Fennema 與 Franke (1992)在情境中發展的數學教學知識

Kothler 與 Grouws (1992) 也有類似的見解，他們認為在班級的互動 中教師的教學知識有三個類別，在知識的層面有學科內容知識、教學法知 識、學生學習的知識，在教師的層面有教師的態度及教師對教學和數學的 信念，在學生的層面是學生的特性，這些都會影響教師在進行數學教學時 的教學行為。

Cochran, DeRuiter 與 King (1993) 基於教學的動態性與連續性本質 針對Shulman所提出的學科教學知識（PCK）模式進行修改，即所謂的PCKg 模式─「g」強調的是「knowing」而不僅是「knowledge」，這反應的是教 學的動態性與連續性，他們認為教師的知識包括四個成分：學科知識、教 學知識、對學生的理解（如學生的學習能力、先備知識、學習態度、學習 動機、學習風格、認知發展等層次）之知識，以及對環境的認識（如社會、

政策、文化等層面）之知識（轉引自姚如芬，2011b）。即可對應到 Shulman(1987) 提出的學科教學知識、一般教學知識、學習者知識及教育 背景知識。

Ball 與 Rowan (2004) 是從數學教學實作的過程檢視教師在教學中所 需要的數學知識及教師如何使用這些數學知識，因此，提出了數學教學知 識 (Mathematical knowledge for teaching, MKT) 模型，他們認為教師在進 行數學教學時會使用的知識包括兩個類別：學科內容知識 (subject matter knowledge, SMK) 與學科教學知識 (pedagogical content knowledge, PCK)，

其中學科內容知識包含一般內容知識 (common content knowledge, CCK)、

數學水平知識 (horizon content knowledge, HCK)、特殊內容知識(specialized content knowledge, SCK)；而學科教學知識包含了內容與學生知識

(knowledge of content and students, KCS)、內容與教學知識 (knowledge of content and teaching, KCT)、內容與課程知識 (knowledge of content and curriculum, KCC)。即可對應到Shulman (1987) 提出的學科內容知識（對應 CCK, SCK, HCK）、學習者知識（對應KCT） 、學科教學知識（對應KCT）

及課程知識（對應HCK, KCC）。

圖 2-2-2 數學教學知識（資料來源：Hill, Ball, & Schilling, 2008. P.377）

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國內也有部分學者對數學教師專業知識內涵進行分析，黃幸美與周筱 亭（1997）認為數學教師應具備數學知識、數學教學知識、以及對學生數 學知識的認知。另外，林碧珍（2001）參考Shulman (1987) 所提的教師知 識架構，把學科均以「數學」取代，提出教師的數學專業知識至少可區分 為：數學知識、數學教學知識、學習者認知知識三個領域。

鍾靜（2012）彙整各學者（Fennema & Franke, 1992; Thompson, 1992;

Cochran, DeRuiter & King, 1993; Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; 林碧 珍，2000；吳明崇，2003；許德田與張英傑，2004；劉曼麗，2006）的論 述，發現教師的數學專業知識包含許多面向，大致上可以將數學教師的專 業知識類別分為數學內容知識、一般教學知識、數學教學知識、數學課程 知識、學習者數學認知知識、情境脈絡知識、教學評量知識、數學教師信 念。陳彥廷（2014）亦綜合各學者之觀點，將教師的數學教學知識內涵分 為五個面向，課程與目標知識、學科內容知識、教學策略知識、教學表徵 知識、學習成效評估知識。

以下研究者站在鍾靜（2012）之研究的立場上，再加上前面所論述的 各學者，進而彙整出表2-2-1。

表 2-2-1 不同學者之數學教師專業知能面向

Cochran, DeRuiter

與 King (1993)

   

Kilpatrick, Swafford

與 Findell (2001)

 

Ball & Rowan

(2004)

    

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教學行為中看到的，也不容易於短時間的教學中產生移轉。而情境脈絡知 識雖為部分學者所提出，但研究者主要聚焦在教師的教學行為中，所以數 學教師信念、數學課程知識及情境脈絡的知識在本研究中略而不談。因此，

本研究中二位不同背景國小教師之數學教學知識所觀察的面向為：學科內 容知識、教學策略知識、教學表徵知識、學習成效評估知識等四個面向。

（二）教師數學教學知識的互動與整合

過去，許多國內外學者研究教師數學知識（例如：李源順、林福來、

呂玉琴、陳美芳，2008；林碧珍、蔡文煥，2007；劉曼麗，2008；鍾靜、

張淑怡、陳幸玫、陸昱任、戴坤邦，2012；Fennema & Frank, 1992）時，

大多是建立相關的知識面向，或是建構相對應的指標，他們從靜態的觀點 來審視教師所具備的專業知識樣貌，以檢視教師所具備數學教學相關知識

（陳彥廷，2013）。然而，有些研究（林碧珍 2001；Berliner, 2001; Meijer, Verloop, & Beijaard, 1999）是以動態的觀點來審視教師的專業知識樣貌，

這些學者指出教師所具備的教學專業知識會隨著教學活動不斷的進行，而 將教學知識與其他知識互相連結與整合，例如：數學教學知識是教學知識 和數學知識的整合（林碧珍，2001）。在 Kunter, Baumert, Blum, Neubrand, 與 Jordan (2008) 的研究中，他們將數學教師的學科內容知識與學科教學知識 做比較，研究發現數學教師的數學專業程度是取決於教師個人所擁有的學 科內容知識與學科教學知識的連結程度。這樣的觀點說明了教師的學科教 學知識是隨著教學的進行而呈現出的動態整合，也就是說，要探究教師的 學科教學知識就無法脫離探究教師的學科內容知識（陳彥廷，2013）。

教師的學科教學知識在教學過程中呈現動態整合的觀點可以衍生為 兩種研究取向 (Park & Chen, 2012)，其中一種研究取向是在探究學科教學 知識內的其中一個知識面向是如何影響其他的知識面向 (Abell, 2008;

Cohen & Yarden, 2009)：Abell (2008) 探究教師對學生理解的知識是如何影

響教學策略知識；而 Cohen 與 Yarden (2009) 則探究教師的特定主題的課 程知識如何影響教學策略知識。另一種研究取向是在檢視學科教學知識內 的某個知識面向與整體學科教學知識之間的關聯 (Clermont, Krajcik &

Borko , 1993; Matese, 2005)：Clermont, Krajcik 與 Borko (1993) 的研究發 現，教師對學生在特殊主題中之先備知識、學習困難及推理類型的理解會 影響其在學科教學知識的發展；Matese (2005) 的研究則發現，教師的評量

Borko , 1993; Matese, 2005)：Clermont, Krajcik 與 Borko (1993) 的研究發 現，教師對學生在特殊主題中之先備知識、學習困難及推理類型的理解會 影響其在學科教學知識的發展；Matese (2005) 的研究則發現，教師的評量