二元一次聯立方程式文字題列式常見之錯誤形式

(一 )學 生 看 題 目 時 ， 常 忽 略 題 目 中 關 於 「 時 間 」 的 描 述 (張 景 媛 , 199 4)。

例 如 本 研 究 之 學 習 成 就 測 驗 第 6 題 中 ，「 九 年 前， 父 親 的 年 齡 是 兒 子 的 5 倍 」， 學 生 列 式 時 常 常 忘 記 九 年 前 父 親 與 兒 子 的 年 齡 皆 需 「 -9」。

(二 )學 生 對 於 代 名 詞 的 用 法 不 清 楚 (張 景 媛 , 199 4)。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 9 題 ，「 師 父 對 徒 弟 說 ：『 我 在 你 這 個 年 齡 時 ， 你 只 有 13 歲 ， 等 你 到 我 這 個 年 齡 時 ， 我 已 經 91 歲 了 。 』」， 學 生 常 因 為 分 不 清 楚 題 目 中 的 「 你 」、「 我 」 指 的 是 誰 ， 而 無 法 列 出 正 確 式 子 。 (三 )國 中 學 生 在 解 文 字 題 時 ， 無 法 充 分 了 解 某 些 關 鍵 詞 的 意 義 ， 如 「 倍 增 」

(羅 榮 福 , 200 3)。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 2 題 中 ，「 小 哈 的 捐 款 比 美 美 的 三 倍 多 20 元 」，學 生 因 為 對 於 倍 增 的 概 念 不 清 楚，列 式 時 常 常 不 清 楚 究 竟 是 小 哈 的 捐 款 或 美 美 的 捐 款 該 「×3」； 又 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 7 題 中 ，「 把 個 位 數 字 與 十 位 數 字 對 調 後，所 得 的 新 數 比 原 數 的 2 倍 多 18」，學 生 常 因 為 無 法 理 解 「 把 個 位 數 字 與 十 位 數 字 對 調 」 之 意 義 ， 且 不 會 用 代 數 符 號 來 表 示 新 數 與 原 數 之 數 值 ， 當 然 也 就 無 法 列 出 正 確 的 關 係 式 ； 另 外 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 8 題 中，「 男 生 的 平 均 體 重 為 66 公 斤 」，學 生 對 於「 平 均 」 此 一 關 鍵 詞 觀 念 不 清 時 ， 便 無 法 正 確 列 出 關 係 式 。

(四 )有 些 學 生 對 某 些 關 鍵 詞 的 意 義 有 直 接 反 應 ， 例 如 「 每 人 分 1 0 個 ， 則 剩 下 6 個 」， 敘 述 中 有 「 分 」 這 個 字 就 以 為 要 使 用 除 法 (謝 和 秀 ,2000)。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 3 題 中 ，「 有 一 周 長 為 7 6 公 分 的 長 方 形 ， ……， 設 長 為 x 公 分 ， 寬 為 y 公 分 ， …」， 學 生 在 列 式 時 常 會 直 接 反 應 為 「 x+y=76」 而 忽 略 了 周 長 之 意 義 應 為 長 與 寬 之 和 的 兩 倍 ， 即

「 2(x+ y)=76」。

(五 )學 生 認 為 題 目 中 有 數 字 的 句 子 才 是 要 運 算 的，沒 有 數 字 的 句 子 就 是 無 用 的 句 子 (張 景 媛 , 1994)。

(六 )學 生 以 為 題 目 中 所 有 的 已 知 條 件 都 會 用 到，因 此 想 盡 辦 法 要 將 所 有 的 已 知 條 件 都 列 入 式 子 中 (林 清 山 , 1990; 張 景 媛 , 1994)。

(七 )學 生 對 於 「 關 係 句 」 的 轉 譯 很 困 難 (林 清 山 , 1 990; 張 景 媛 , 199 4)。

如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 9 題 中 ，「 師 父 對 徒 弟 說 ：『 我 在 你 這 個 年 齡 時，你 只 有 13 歲，等 你 到 我 這 個 年 齡 時，我 已 經 91 歲 了 』」，學 生 對 於 敘 述 句 中 的 師 徒 關 係 轉 譯 有 困 難，也 就 是 無 法 正 確 理 解 題 意，因 此 無 法 正 確 列 出 關 係 式 。

(八 )學 生 面 對 較 長 的 數 學 文 字 題 時 ， 常 不 知 重 點 所 在 ， 不 知 從 何 處 著 手 ， 所 以 會 立 即 放 棄 思 考 問 題 (戴 文 賓 , 1998)。

如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 5 題 中 ，「 姊 姊 與 妹 妹 各 有 數 顆 金 莎 巧 克 力 ， 已 知 妹 妹 給 姊 姊 8 顆 後 ， 姊 姊 的 顆 數 是 妹 妹 的 2 倍 ， 若 姊 姊 給 妹 妹 8 顆後 ， 兩 人 的 顆 數 就 一 樣 多 ， 設 姊 姊 原 有 x 顆，妹 妹 原 有 y 顆，請 依 題 意 列 出 x 和 y 的 關 係 式 」， 學 生 因 為 看 到 題 目 中 之 關 係 句 十 分 冗 長 ， 不 知 道 該 從 何 處 著 手 ， 便 認 定 此 題 困 難 而 放 棄 思 考 。

(九 )學 生 在 看 題 意 時，看 了 後 一 句 就 已 忘 了 前 一 句，他 們 無 法 同 時 記 住 許 多

條件 ， 以 致 無 餘 力 思 考 彼 此 間 的 關 係 (張 景 媛 , 1994)， 這 也 是 本 研 究 極 力 希 望 藉 由 教 材 之 改 良 以 解 決 之 問 題 。

2.1.3 二 元 一 次 方 程 式 二 元 一 次 方 程 式 二 元 一 次 方 程 式 二 元 一 次 方 程 式 解 題 歷 程 解 題 歷 程 解 題 歷 程 解 題 歷 程

P ol ya(195 7)在 「 怎 樣 解 題 」 (How to Solve It )一 書 中 ， 將 解 題 歷 程 分 為 四 個 階 段 ：

(一 )了 解 問 題 ： 找 出 未 知 數 、 已 知 數 及 已 知 條 件 。 (二 )擬 定 計 畫 ： 找 出 已 知 數 和 未 知 數 之 間 的 關 係 。

(三 )執 行 計 畫 ： 檢 查 每 一 個 步 驟 ， 把 解 題 計 畫 付 諸 實 現 。 (四 )回 顧 解 答 ： 檢 查 所 得 的 答 案 。

本 研 究 僅 討 論 「 列 式 」 之 部 份 ， 故 以 下 僅 對 Pol ya(1 95 7)在 「 怎 樣 解 題 」 (H ow to S olv e It)前 兩 項 教 學 策 略 進 行 研 究 ：

1. 了 解 問 題 ： 教 師 教 學 時 ， 可 以 透 過 以 下 幾 種 方 式 引 導 學 生 了 解 問 題 。 (1 ) 請學 生 將 問 題 重 述 一 次 ， 透 過 請 學 生 將 題 意 重 述 一 次 ， 可 協 助 確 保 學

生 已 從 文 字 敘 述 中 初 步 了 解 題 意 。

(2 ) 請學 生 找 出 問 題 中 的 未 知 數 、 已 知 數 及 已 知 的 條 件 ， 以 確 定 學 生 能 分 析 題 意 。

(3 ) 若 是 遇 到 需 要 圖 形 輔 助 的 題 目 ， 請 學 生 畫 圖 並 在 圖 形 上 標 示 出 未 知 數 與 已 知 數 ， 以 幫 助 學 生 將 冗 長 的 文 字 敘 述 融 合 於 圖 像 中 ， 解 題 時 學 生 便 不 需 一 直 回 顧 原 始 的 文 字 題 。

2. 擬 定 計 畫 ： 教 師 教 學 時 可 以 就 下 列 方 式 引 導 學 生 擬 定 解 題 策 略 。 (1 ) 請學 生 把 問 題 當 中 的 主 要 關 聯 部 份 找 出 來 ， 逐 一 地 考 慮 這 些 部 分 。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 10 題 中，「 哥 哥 原 來 月 薪 為 a 元，弟 弟 原 來 月 薪 為 b 元，……，哥 哥 加 薪 3%，姊 姊 加 薪 7%，兩 人 共 加 薪 5895 元 」， 教 師 可 以 引 導 學 生 找 出 關 聯 部 分 「 兩 人 共 加 薪 5895 元 」， 再 引 導 學 生 說 出 哥 哥 增 加 的 薪 水 為「 0.03a」元 、 姊 姊 增 加 的 薪 水 為「 0.07b」，

最 後 將 兩 者 合 併 列 出 關 係 式 。

(2 ) 有 時 文 字 敘 述 中 的 慣 用 語 或 專 有 名 稱 無 法 從 字 面 上 的 意 義 去 了 解 ， 此 時 便 需 重 組 一 下 條 件 的 順 序 ， 並 且 運 用 不 同 的 組 合 方 式 來 考 慮 它 們 。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 8 題 中 ，「 男 生 有 a 人 、 女 生 有 b 人 ， 已 知 男 生 比 女 生 多 3 人 ， 男 生 的 平 均 體 重 為 66 公 斤 、 女 生 的 平 均 體 重

為 55 公 斤 ， 若 全 班 的 平 均 體 重 為 61 公 斤 ， ……」， 學 生 常 常 無 法 從 字 面 上 理 解「 平 均 」之 意 涵 ， 而 出 現 「 6 6+5 5=61 」這 種 離 譜 的 錯 誤 列 式 ， 因 此 教 師 應 該 導 引 學 生 了 解「 平 均 」 與「 整 體 」之 關 係 ， 進 而 使 學 生 正 確 列 出 「66a+55b=61(a+b)」。

(3 ) 因 為 題 目 冗 長 會 造 成 學 生 看 了 一 句 就 忘 了 前 一 句 之 情 形 ， 因 此 教 師 可 以 引 導 學 生 將 各 個 部 分 拆 開 ， 寫 出 相 對 應 的 數 學 符 號 ， 進 而 列 出 相 對 應 的 代 數 式 。

例 如 本 研 究 學 習 成 就 測 驗 第 5 題 中 ，「 妹 妹 給 姊 姊 8 顆 後 ， 姊 姊 的 顆數 是 妹 妹 的 2 倍 ， ……」， 此 時 可 逐 步 引 導 學 生 「 姊 姊 原 有 x 顆 、 妹 妹原 有 y 顆 ， 妹 妹 給 姊 姊 8 顆 後 ， 姊 姊 與 妹 妹 分 別 有 幾 顆 ？ 」， 並 請 學 生 寫 下 來 。

2.2 多 媒 體 學 習 理 論 多 媒 體 學 習 理 論 多 媒 體 學 習 理 論 多 媒 體 學 習 理 論

多 媒 體 工 具 的 進 展 隨 著 科 技 的 發 展 不 斷 創 新 ， 而 真 正 影 響 學 習 成 效 的 因 素 除 了 在 於 這 些 媒 體 所 顯 示 的 內 容 外 ， 也 包 括 了 呈 現 內 容 之 方 式 。 創 作 多 媒 體 學 習 內 容 時 ， 創 作 者 需 要 從 使 用 者 的 角 度 考 慮 所 呈 現 的 訊 息 其 適 當 性 ， 亦 即 考 量 「 人 機 介 面 」 的 設 計 ， 創 作 者 必 須 考 量 人 類 的 感 官 對 於 處 理 訊 息 的 限 制 來 設 計 數 位 教 材 呈 現 方 式 ， 因 此 本 節 將 針 對 多 媒 體 學 習 理 論 及 教 學 設 計 原 則 進 行 介 紹 。

2.2.1 多 多 多 多 媒 體 學 習 的 定 義 媒 體 學 習 的 定 義 媒 體 學 習 的 定 義 媒 體 學 習 的 定 義

多 媒 體 學 習 (Multi medi a Learni n g)指 的 是 利 用 「 文 字 (Word )」 與 「 圖 像 (Pictu re)」 來 呈 現 教 材 內 容 的 方 式 進 行 學 習 (M a yer, 200 1)。 其 中 「 文 字 」 包 括印 刷 文 字 與 口 述 文 字 ， 不 論 是 印 刷 在 紙 張 上 或 是 呈 現 在 螢 幕 上 的 字 幕 皆 可 歸 類 為 印 刷 文 字 ， 而 旁 白 、 演 講 者 說 出 來 的 話 等 則 為 口 述 文 字 。 「 圖 像 」 則 包 括 靜 態 的 與 動 態 的 ， 靜 態 的 例 如 ： 圖 畫 、 照 片 、 地 圖 、 圖 表 等 ， 而 動 態 的 例 如 ： 動 畫 或 影 片 等 。

2.2.2 訊 息 處 理 的 過 程 訊 息 處 理 的 過 程 訊 息 處 理 的 過 程 訊 息 處 理 的 過 程

Ma yer(20 09 )認 為 當 人 類 接 收 到 多 媒 體 訊 息 時 ， 會 進 行 以 下 三 種 認 知 處 理

過 程 ， 如 圖 1：

類 視 覺 及 聽 覺 訊 息 的 兩 個 通 道 是 獨 立 分 開 的 ， 當 視 覺 訊 息 被 呈 現 到 眼 睛 時 ， 該 訊 息 會 由 視 覺 通 道 進 入 工 作 記 憶 區 ， 如 圖 表 、 字 幕 等 ， 當 聽 覺 訊 息 被 呈 現 到 耳 朵 時，則 會 由 聽 覺 通 道 進 入 工 作 記 憶 區，如 演 講、旁 白 等 (Mayer, 2001 )， 相 關 資 料 如 上 圖 1 。

(二 )有 限 容 量 假 設 （ Lim ited -capacit y A ssu m ption ）

有 限 容 量 假 設 指 的 是 人 類 的 視 覺 通 道 與 聽 覺 通 道 一 次 所 能 處 理 的 訊 息 量 是 有 限 的。所 以 當 大 量 的 訊 息 湧 入 時，我 們 無 法 完 全 接 收 訊 息，僅 能 將 少部 分 的 訊 息 保 留 於 工 作 記 憶 中 ， 這 些 訊 息 很 可 能 是 片 段 的 。

(三 )主 動 處 理 假 設 （ A cti ve-p ro cessin g Assu m ption ）

主 動 處 理 假 設 認 為 當 訊 息 出 現 時，學 習 者 會 主 動 進 行 認 知 處 理，並 將 所 接 收 到 的 訊 息 與 既 有 經 驗 、 知 識 和 基 模 一 併 整 合 。

創造 一 個 具 有 「 最 少 化 無 關 訊 息 」、「 使 用 核 心 且 必 要 訊 息 」 及 「 培 養 學 習 者 主 動 學 習 」 的 學 習 環 境 是 對 一 個 教 學 設 計 者 的 挑 戰 (Clark & Mayer, 2008 )。 因 此 教 學 者 應 該 考 量 如 何 適 當 的 切 割 訊 息 、 呈 現 訊 息 ， 使 學 習 者 能 夠 將 注 意 力 投 注 在 重 要 訊 息 上 以 進 行 有 意 義 的 學 習 。

2.2.4 多 媒 體 學 習 理 論 教 學 設 計 原 則 多 媒 體 學 習 理 論 教 學 設 計 原 則 多 媒 體 學 習 理 論 教 學 設 計 原 則 多 媒 體 學 習 理 論 教 學 設 計 原 則

(一 )多 媒 體 原 則 (M ultim edi a P rin cip le)

教 材 設 計 採 用 文 字 與 圖 像 並 用 的 學 習 效 果 會 比 僅 用 文 字 呈 現 好，也 就 是 當 學 習 者 進 行 學 習 時，以 多 媒 體 組 合 的 形 式 呈 現 教 材 會 優 於 以 單 一 媒 體 的 形 式 呈 現 之 教 材。因 為 當 文 字 及 圖 片 一 起 呈 現 時，能 幫 助 學 習 者 建 構 語 文 及 圖 像 模 型 之 間 的 關 連，文 字 的 接 收 是 線 性 的，也 就 是 學 習 者 在 接 收 文 字 訊 息 時 必 須 是 依 序 的、逐 一 的，而 圖 像 的 訊 息 則 可 以 是 整 體 的、非 線 性 的 接 收，也 就 是 學 習 者 可 以 同 時 接 收 較 大 量 的 完 整 訊 息。根 據 多 媒 體 學 習 的 認 知 理 論，文 字 與 圖 像 分 別 在 兩 個 不 同 的 知 識 表 徵 管 道，因 此 圖 像 及 文 字 一 同 出 現 時 並 不 會 造 成 通 道 壅 塞 。

本 研 究 之 實 驗 組 1 及 實 驗 組 3 皆 運 用 多 媒 體 原 則 來 設 計 教 材，呈 現 資 料 如 圖 2。

圖 2 實 驗 組 3 教 材 ， 符 合 多 媒 體 原 則

(二 )空 間 接 近 原 則 (Sp ati al C onti guit y Pri ncip le)：

當 學 習 者 利 用 電 腦 螢 幕 或 紙 本 學 習 時，若 相 關 文 字 與 圖 像 在 畫 面 中 的 相 對 位 置 較 近，學 生 的 學 習 成 效 會 比 相 對 位 置 較 遠 時 還 好。因 為 文 字 與 圖 像 的 相 對 位 置 接 近 時，學 習 者 不 須 把 認 知 資 源 耗 費 在 資 料 的 搜 尋 上，此 時 學 習 者 可 將 多 餘 的 認 知 資 源 投 注 於 其 他 訊 息 的 獲 取 上，進 而 提 升 教 學 成 效 。

本 研 究 之 教 材 皆 秉 持 空 間 接 近 原 則 設 計 ， 如 圖 3。

圖 3 實 驗 組 3 教 材 ， 符 合 空 間 接 近 原 則

(三 )時 間 接 近 原 則 (T emp oral C onti guit y Pri nciple)：

當 學 習 者 利 用 電 腦 螢 幕 或 紙 本 學 習 時，相 關 的 文 字 與 圖 像 同 時 呈 現 比 接 續 呈 現 的 效 果 好。因 為 人 類 的 短 期 記 憶 容 量 有 限，若 學 習 者 在 聽 完 一 段 話 後 才 開 始 播 放 相 對 應 的 動 畫，此 時 學 習 者 較 無 法 在 工 作 記 憶 區 內 同 時 留 住 文 字 與 圖 像 表 徵，也 就 較 難 以 建 立 兩 者 之 關 聯，學 習 成 效 因 此 而 降 低。本 研 究 之 教 材 設 計 亦 符 合 時 間 接 近 原 則 。

(四 )形 式 原 則 (Mod alit y Prin cipl e)：

學 習 者 用「 動 畫 ＋ 旁 白 」的 學 習 成 效 會 優 於「 動 畫 ＋ 字 幕 」。 因 為 若 是 使 用 「 動 畫 +字 幕 」 時 ， 因 為 動 畫 與 字 幕 皆 是 利 用 視 覺 管 道 ， 所 以 會 造 成 此 管 道 認 知 負 荷 超 載，而 且 此 時 聽 覺 管 道 未 被 使 用，學 習 者 無 法 同 時 整 合 視覺 與 聽 覺 表 徵 。 反 之 ， 若 是 使 用 「 動 畫 +旁 白 」 時 ， 動 畫 是 利 用 視 覺 管 道 ， 而 旁 白 則 是 用 到 聽 覺 管 道 ， 兩 個 管 道 同 時 使 用 時 效 果 較 好 。

本 研 究 在 進 行 實 驗 教 學 時，教 學 者 在 投 影 片 上 呈 現 圖 文，並 同 時 輔 以 口 頭 講 解 而 非 將 解 說 內 容 以 文 字 呈 現 在 投 影 片 上 ， 符 合 形 式 原 則 。

(五 )重 複 原 則 (R ed und an c y P rin ci ple)

Ma yer(200 1)指 出 學 習 者 用「 動 畫 +旁 白 」的 教 材 比 用「 動 畫 +旁 白 +字 幕 」

Ma yer(200 1)指 出 學 習 者 用「 動 畫 +旁 白 」的 教 材 比 用「 動 畫 +旁 白 +字 幕 」