代數思維的發展與教學設計

在學習過程中，如何提升學習者的代數學習成效，一直是個令人注目的 問題，其受到注目的原因有二：一是代數的重要性；另一則是代數學習的困 難。經過長期的研究，關於代數概念的學習，也由傳統的如何操弄文字符號、

掌握等號結構，擴展到如何形成一種結構性、抽象性的思維方式，並以此解 決問題，即代數思維的形成。而代數學習的方式亦從單一的文字符號表徵，

擴展至多重表徵的學習方式（Kieran, 1996）。而具體教具及虛擬教具便扮演 提供多重表徵重要的角色，利用不同的表徵方式，讓學習者在學習的過程 中，獲得意義上的連結，達到有意義的學習。

2.1.1 代數思維的演進

早期研究認為，數學的學習和學習者的認知發展有關。依照皮亞傑的認 知發展論，我國的小學數學以具體操作的算術為主，而進入國中之後，數學 課程則是以形式運思期的抽象思考與邏輯推理為主，學生由原本的算術轉換 到不同的思考方式，代數扮演了重要的角色。Kuchemann（1978）在 CSMS 計畫中，對 13-15 歲學生施測，將學生對於文字符號的解釋方式，分成四個 層次如下：

層次一：此層次的學生能處理純數值的問題，也可處理能藉由將文字符 號當作物件、文字符號的求值、忽略文字符號等方法可求得答 案的簡單結構之問題。

層次二：此層次的學生雖然仍在將有文字符號的求值、將文字符號當作 物件的階段，但所能處理之問題的複雜度高於層次一，在某些

部分也能正確使用代數結構的句法。

層次三：此層次的學生在結構簡單的問題中，能將文字符號視為特定的 未知數、一般數、變數。

層次四：此層次的學生能在結構較為複雜的問題中，將文字符號視為特 定的未知數、一般數、變數。

而其研究結果顯示，15 歲學生中能達到層次三的僅有 40%，能達到層 次四的更僅有 9%。國內林光賢、林福來和郭汾派（1989）之研究，其參考 Kuchemann 之測驗，將國中生對於文字符號的理解分成四個層次，也得到和 Kuchemann 類似之研究結果，有 43%的國三學生達到層次三，僅 12%的學 生達到層次四。這種由低至高的認知層次概念，和皮亞傑的認知層次，恰是 互相對應的，這代表：代數的學習是一個認知發展的問題（袁媛，1993），

應以認知發展的方式解決，另一則點出代數學習的困難，僅有少部分人達到 了較高的理解層次。

數學是一個藉由抽象化的文字符號描述、簡化現象的過程。而代數的學 習，則視為一種語言的學習。學習者對於文字符號應有特定的解釋和分類，

Philipp（1992）將英文字母在數學上分成標記、常數、未知數、一般數、變 量、參數、抽象符號七種不同的用法，而 Kuchenmann（1978）在 CSMS 計 畫中，對 13-15 歲學生施測，將學生關於文字符號的解釋分為六類，如表 2-1-1。文字符號的意義對於達到較高層次的學習者而言，依照不同的情境，

可以有不同的解釋，例如：將文字視為一般化的數字或是將文字當作變數。

而較低層次的學習者，而多半局限在文字為可算出的值或文字符號可忽略不 用的二種解釋。這也代表學習者不同的思維模式，會影響學習者代數學習的 表現。

表 2-1-1 文字符號意義分類表

a+b=10，且 a>b，a 是 代表大於 5 的數

所遇到的困難，對學習者而言，傳統的代數學習仍僅是一連串符號操作的記 憶過程，解特定且和生活無關的問題，充滿了挫折和排斥（Kaput, 1999）。

而 Kieran（1996）認為分析數量之間的關係，注意結構、學習的變化、概括、

解決問題、建模、辯解、證明和預測。不使用任何文字表徵的代數活動，亦 可促進代數的學習。對於代數的關注亦由文字符號，逐漸轉換至算術與代數 思維。

Kieran（1996）曾表示，代數與算術具有思維結構上的差異，而由算術 思維過渡至代數思維，必需經過思維結構的轉化。單以練習或經驗的累積固 然可以使算術思維結構獲得加強，卻不代表可以轉化為代數思維。在算術與 代數的教學中，應有不同的教學內容及策略，才能有效提升代數學習的成 效。目前雖然許多研究都認同代數思維的概念，但對於代數思維的內涵卻是 具有許多差異。

Usiskin（1988）認為代數思維牽涉四個概念：算術的一般化、解特定問 題的過程、數量關係的探索和結構的探索，而不同的代數概念中，變數的運 用、角色亦有所不同，如表 2-1-2。

表 2-1-2 代數的概念與所使用的變數

代數的概念 變數的運用

算術的一般化 樣式的歸納者

解決特定問題的過程 未知數、條件限制

數量關係的探索 辯證、參數

結構的探索 文章的任意標記

1. 算術的一般化乃利用文字符號，描述計算過程中一般化的規則，而 此類符號，稱之一般數，此處將符號視為描述規則的一種數學語言，

例如：3+5.7=5.7+3 左右兩式相等的性質，是屬於交換律的規則，則 可用 a+b=b+a 描述。

2. 解特定問題的過程，則將符號視同未知數，應用於等價式的替換，

當作簡化或解題的過程，此時的文字符號，仍是數字意義的延伸，

未知數代表著一個尚不知道的確定數，經過運算後，可以得知確定 的數值。例如：方程式求解，即是解特定問題的過程。

3. 數量關係的探索，為探討數與數之間的關係。例：x 漸大時，1/x 會

有什麼變化，此時的文字符號無法以運算解出一個特定解，相較於 算術思維，思維重心已不是單純的答案，而是數與數之間的關係。

4. 結構的探索，則是更進一步的抽象化，文字符號在此以一個未知的 數代表並不適切，若以物件的概念描述，可將結構的探索視為物件 與物件間的結構操弄與變化，以多項式展開或因式分解為例，展開 的學習或分解的過程，思維的重心為因式與倍式不同結構間的轉換。

在算術思維中，文字符號大多代表可算出的值或可忽略不同的文字符 號，而算術思維及代數思維的區別，除了在變數的意義有所不同外，在思維 結構或解題歷程亦有所差異。算術思維在解題過程中，運算本身為一個程序 性的過程，亦是一個連續、線性的思考歷程，而代數運算則是著重於操弄物 件，是一個結構化的過程，具有正規的解法和作法，思考脫離了問題本身的 情境。算術思維及代數思維的具體比較，可由下列例題表示：

例題：小明有 24 元，買了 5 枝相同的鉛筆後，還剩 4 元。問每枝鉛筆多少 錢？

24-4=20 ………(1) (還剩 4 元，表示花掉了 24-4 元，也就是 5 枝筆 的價格為 20 元)

20/5=4 ………(2)

(5 枝筆的價格為 20 元，因此每枝筆為 20 除以 5，

也就是 4 元)

其中式子(2)學生也可能採用這樣的方式：

20=5*4 或

5*4=20

………(3) (5 枝筆的價格為 20 元，又因為 5*4 為 20，

所以每枝筆是 4 元)

(1)(2)(3)式可視為運用算術思維，其中(1)(2)是逆向思考，(3)是數的合成分 解

設每枝鉛筆的價格為 x 元：

24-5x=4 ………(4) 再利用等量公理或移項法則求 x 值

(4)式則可視為利用代數思維。

從上述示例說明可以發現，算術思維表現在運算中。運算本身就是含有 情境的思考過程紀錄。不同的運算方式，代表著不同的思考方式。運算式的 先後則代表推演的程序，運算過程常具有特殊性，即解法常因情境而無固定 的形式。而代數思維在解題過程中，分成轉譯問題、形式運算，即列式及求 解兩部分。轉譯問題著重的是問題中的數量關係，形式運算則是一個去情 境、抽象化且不針對原問題的運算過程。代數解法藉由：引入未知數符號，

以代數方程式表示，利用符號運算求得具普遍性的解（謝佳叡，2004）。

以概念發展的角度來看代數思維的建立需要經過三個階段，內化、壓 縮、物化，內化是指藉由過程的熟悉得到新概念；壓縮是指認知上一長串的 壓縮成一個較易處理的單元，類似認知過程的自動化；而物化則是指概念已 被視為一個整體或物件，為結構的一部分，可以通盤考量及操作，為另一個 概念內化過程的開端，而概念的形成就如此螺旋循環而上（Sfard, 1991）。故 代數思維亦是結構、程序的性質兼具。

算術思維與代數思維可由數種見解綜合成下表 2-1-3（劉家樟，2005）：

表 2-1-3 算術思維與代數思維之差異

當思維方式由算術思維轉變至代數思維，代表：一、改變解題思維的動 向；二、讓解法跳脫題目所給的情境與數字，而聚焦一般性的解題方法；三、

能保留對運算的程序或結構；四、擴展了運算的客體範疇（謝佳叡，2004）。

故代數的學習可以大大的增強學生的解題技能，代數的學習在數學領域中是 非常豐富的，然而代數和算術階段的學習卻具有相當大的差異。算術階段只 學習數字，而學習代數除了具有新符號的運算，還有方程式、公式、函數、

參數等新概念，要學生學會分辨、理解、應用這些新的數學物件是比較困難 的。但學校經常在學生還沒掌握到符號的意義時，便進行抽象符號的操弄，

由於缺少具體情境的連結，因此造成學生無法有效地由算術轉型到代數思維

（李美蓮、劉祥通，2003）。

Kieran（1989, 1992）認為學生代數學習的困難，主要可分為三個部分(1) 文字符號的意義；(2)由算術結構到代數結構的轉移；(3)結構的辨識和使用。

文字符號的理解和代數學習成就有關，在初學代數時，對於代數符號直觀的 假定、將日常生活或其他課程所學到的文字符號代入、新課程學習過程的干 擾、不當的教學引導，都會造成文字符號學習上的困難（MacGregor, 1997），

文字符號的理解雖無法立即改善代數學習的成就表現，不了解符號意義卻會 導致更多的學習障礙（楊中宜，2006）。而許多學生無法正確的分辨、理解 不同文字符號的角色（Phillip, 1992）。

文字符號的理解雖無法立即改善代數學習的成就表現，不了解符號意義卻會 導致更多的學習障礙（楊中宜，2006）。而許多學生無法正確的分辨、理解 不同文字符號的角色（Phillip, 1992）。