1.1 研究動機
70 年代至 80 年代初期，美國面臨國際上日漸嚴峻的競爭與挑戰，社會 大眾認為相較於國際上其他國家，美國無法提供國民優質的教育，造成國民 素質的落後，是競爭力消退的關鍵原因，並以此展開了一連串的教育改革。
在一份名為《危機中的國家》的文件中（1983），明確的揭櫫國民應具有基 本的數學能力並指出，一個完成中學教育的國民應具有幾個能力：（1）了解 幾何和代數概念；（2）了解基礎的機率與統計；（3）將數學應用於日常生活 中；（4）估計、近似、測量、檢驗計算的正確性。我國教育部在「九年一貫 數學領域課程綱要」中提到，數學是人類最重要的資產之一，且數學能力是 國民素質的一個重要指標，在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，
數學知識及數學能力，已經逐漸成為日常生活中及職場裡應具備的基本能力
（教育部，2008）。
美國全國數學教師會（The National Council of Teachers of Mathematics，
簡稱 NCTM）因此建議所有的學生都要學習代數，且數學的教學應該建立在 學生非正式以及先備的知識基礎上。數學家 Cajorih（1895-1930）曾經說過：
「要探索算術最好的方法就是研究代數」。除此之外，我國教育部於民國八 十九年在《九年一貫課程暫行綱要草案》中也提到，將代數的主題向下延伸 到小學階段，這與 Kaput 於 1999 年的主張相同，他主張代數的教與學應該 注意以下五點：（一）從早期就可以開始，並且有部分可從學生的非正式知 識中建構出來；（二）藉由數學知識的擴展與應用，可以將代數的學習與其 他學科的學習加以統整；（三）經由數學知識的應用，融於不同形式的代數 思考；（四）以學生固有的語言及認知能力為基礎建構知識，鼓勵學生在學 習過程中進行省思及說明學習歷程；（五）鼓勵積極地學習，並將價值放在 意義與理解上。依照皮亞傑的認知發展論，我國的小學數學以具體操作的算 術為主，而進入國中之後，數學課程則是以形式運思期的抽象思考與邏輯推 理為主，學生由原本的算術轉換到不同的思考方式，代數扮演了重要的角 色。在現行的數學課程中代數扮演了重要的角色，學生從學習代數開始而進 入更高層的數學知識，進而可以增加未來在教育及經濟上的發展機會。
以教育機會來看，代數可以視為進入大學教育或技職教育的重要路徑，
美國教育部研究指出：修習並通過代數 2 的學生，獲得大學學歷的比例為其 他高中畢業生之 4.15 倍（Adelman, 1998），所有的學生都需要在中學階段就 學習並了解代數的概念，以便獲得其他領域更完整、更有意義的數學能力。
然而對許多學生言，從算術轉換到代數的過程中，學習變數的概念及變數間 的運算是有困難的。其中多項式展開及因式分解為中學代數學習之起點，亦 為算術思維轉換為代數思維的過渡。
國外有許多研究結果顯示，在數學課堂中使用教具來輔助教學可以提升 學生對數學的理解（Raphael & Wahlstrom, 1989；Sowell, 1989）。因此，藉由 教具的使用可以改善學生在數學領域上的學習困難。例如：Algebra Tiles 可 以表現出二項式的乘法，學生可以將矩形面積等於長乘以寬的形式連結到二 項式的乘法上（Goins, 2001）。像這樣以簡單的幾何圖形來表現抽象的數學 概念，可以有助學生了解並學習數學。 美國全國數學教師會（NCTM）於 2000 年出版的《學校數學的原則與標準》（Principles and Standards for School Mathematics）中有提到，科技已成為學校數學教育六大主要原則之一，而且 強調科技在數學的教與學當中是必要的，它影響學生所學以及可提升學生學 習。隨著科技的日新月異，美國全國數學教師會（NCTM）以及美國國家科 學基金會（National Science Foundation，簡稱 NSF）開發了許多虛擬教具
（Virtual Manipulatives）。這類型的教具是利用電腦模擬具體教具的樣子，
讓老師以及學生可以透過滑鼠及鍵盤等電腦周邊設備來進行操作（王智弘，
2006）。
雖然學生都了解數學的重要性，但有不少的學生對於數學這門科目總是 抱持著畏懼的心態，尤其是進入到國中階段之後，這種情況更是嚴重。在國 內已經有許多的教師運用電腦來實施教學活動，不再只是單純的以黑板或是 利用現有的具體教具來教學。故如何利用虛擬教具，提升學習者學習代數之 成效是本研究想要了解的。針對不同能力的學生使用虛擬教具與具體教具於 數學課堂中的影響，有研究顯示虛擬教具對高分組效果較好（張玉琪，
2009）；而亦有研究呈現使用虛擬教具的學生，低分組的學生比高分組的學 生產生較大的進步空間（王智弘，2006）。因此，本研究亦針對數學能力高、
中、低三組的學生，在不同的教學環境中學習多項式展開與因式分解單元是 否有所差異。除此之外，男女生數學成就的差異也有許多人做過相關的研究
（黃幸美，1996；黃國清，2008），其結論都不盡相同，針對目前國中一年
級的學生來說，學習多項式展開與因式分解是否會存在著性別的差異亦是本 研究想要了解的目的之一。
1.2 研究目的
本研究的主要目的是利用國家虛擬教具圖書館（National Library of Virtual Manipulatives，簡稱 NLVM）的 Algebra Tiles 教具做為教學輔具，設 計多項式展開與因式分解教學活動，並比較操作虛擬教具與操作具體教具對 學生學習多項式展開概念與因式分解概念之成效。綜合上述，茲將本研究目 的分為下列三點：
1. 探討使用虛擬教具與具體教具的教學環境，對於學生學習多項式展 開概念之影響。
2. 探討使用虛擬教具與具體教具的教學環境，對於學生學習因式分解 概念之影響。
3. 比較使用虛擬教具與具體教具為教學輔具，對於學生學習數學動機 之影響。
1.3 研究問題
根據上述的研究目的，提出下列五個研究問題。
1. 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念是否 有顯著的交互作用？
2. 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念是否 有顯著的交互作用？
3. 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習數學因式分解概念是 否有顯著的交互作用？
4. 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習數學因式分解概念是 否有顯著的交互作用？
5. 使用虛擬教具與具體教具為教學輔具，對學生學習數學動機的提升 是否有顯著的差異？
1.4 名詞釋義
1.4.1 具體教具（Physical Manipulatives）
具體教具是實際的物件，使用者可以實際看得到也摸得到，學生可以藉 由操作具體教具來幫助抽象概念的建立。例如：七巧板。
1.4.2 虛擬教具（Virtual Manipulatives）
在電腦上模擬出具體教具的形體，並進而透過滑鼠來操作與互動，稱之 為虛擬教具。經由這樣的技術所產生的數位化影像，能幫助學生對於數學抽 象概念的理解。許多具體教具需要較大的空間來讓學生實際操作，虛擬教具 模擬了具體教具的形狀，讓學生透過電腦的模擬來操作物件，甚至可提供即 時性的回饋。例如：萬用揭示板。
1.4.3 數學動機
本研究所指的數學動機是指學習數學的信心以及數學探究的動機兩個 主題合併成。在學習數學的信心部分是指受試者對於自己數學表現與學習數 學的信心程度。如：我認為我可以處理更難的數學。在數學探究的動機部分 是指受試者對數學的探索與尋求挑戰的行為。如：當我遇到不能立即解答的 數學題目時，在課後我會繼續想它。而本研究將使用包含以上兩個主題的數 學動機量表來檢測學生的數學動機，分數愈高代表對數學的動機愈佳，反之 則愈差。
1.4.4 能力程度
本研究所定義的能力程度是指依研究對象 56 位學生，依照前一學期三 次數學定期平均來分為高分組、中分組及低分組，每組的人數大約占三分之 一的研究對象人數。高分組的成績為平均 65 分以上的學生；中分組的成績 為平均 40 分以上而未滿 65 分的學生；低分組為平均未滿 40 分的學生。
1.4.5 代數磚（Algebra Tiles）
代數磚是一種數學教具，此種教具多由不同顏色的卡片製作而成，不同 顏色代表不同的面積，這類型的教具是藉由幾何圖形的表現來幫助學生了解 代數的思維及代數的概念。例如：多項式的運算、因式分解。在本研究中的
實驗組所使用的是 NLVM 虛擬教具的代數磚，而控制組所使用的是研究者 自行製作之具體教具的代數磚。
1.5 研究限制
本研究之研究對象為研究者任教學校的國一學生，且研究者教學實驗的 時間為寒假輔導課的時間，且學生於後測時，實驗組有以虛擬教具為輔助作 答，而控制組則是以具體教具為輔助作答。故研究結果只能推論至相當程度 的學生及情境，不宜過度推論研究結果。