具體教具與虛擬教具的探討

本節分別就具體教具（physical manipulatives）與虛擬教具（virtual manipulatives）兩個部份來探討。

2.4.1 具體教具（physical manipulatives）

具體教具是能讓使用者拿起、旋轉或重新排列的真實物體，並藉以了解 數學的抽象概念，例如：七巧板、幾何版、十格版……等（Suh, 2005）。在 目前的教學現場中，具體教具的取得很方便，學生所使用的教科書出版商會 於開學初提供教師當學期可使用的教具，教師亦可自行設計、製作並於課堂 上使用來輔助教學活動。

根據瑞士籍的兒童心理學家皮亞傑（Jean Piaget, 1896~1980）的認知發 展論（congnitive-developmental theory），兒童的思考模式不同於大人，必須 經過不同的階段才接近成人的想法（張春興，1994）。

1. 感覺動作期（出生至兩歲）

靠感覺獲取經驗。感覺動作期的末期發展出物體恆存的概念，逐漸 從純反射性行為進步到有目的的行為。

2. 前運思期（二歲至七歲）

有使用符號來代表事物的能力，思考仍然是自我中心而且只注意到 事物的某一面，無法同時考慮多個向度。

3. 具體運思期（七歲至十一歲）

具備邏輯推理能力，能根據具體經驗的思維來解決問題；具有可逆 性及新的思考運作能力；思考不再限於單一向度，解決問題較少受 到自我中心的限制；但還無法抽象思考。

4. 形式運思期（十一歲以上）

能夠做抽象和純符號思考；能使用有系統的實驗來解決問題。

認知是一個複雜的歷程，而符合認知的學習才能獲得成效。在此我們可 以發現，不同的發展階段是需要不同的的教學方法，而具體操作與多重表徵 是有助於學習者的類化與統整。以折紙來說明正方形與畢氏定理、用圖形說 明分配律展開





以等號為例，在許多關於代數文字表徵的文獻中都表現，在算術思維及 代數思維中等號代表的意義不同，在算術思維中，等號代表的是一種操作、

一個運算的結果，而在代數思維中等號則代表關係上的等價。在算術思維過 渡至代數思維時，學習者常受早期認知的影響，若一味的使用傳統的文字表 徵教學，會發現代數學習困難重重。而使用多重表徵的一般化代數活動，可 以處理文字表徵在等號學習造成的困難。Hands-On Equations 是一個代數學 習上著名的教具，常用在學習初級代數（Borenson, 1997），近來亦應用於中 學代數的學習，以天平兩端的不同物件代表已知數及未知數，以平衡的關係 表示等號。若對應 Kuchemann 關於文字符號的分類，可以發現物件的概念 是較高層次的認知解釋。具體操作的動作表徵及視覺表徵，也讓學習者在學 習的過程中更容易注意到彼此的的結構與關係，跳脫等號就是運算結果的先 備經驗（Suh & Moyer, 2007）。

然而國中階段的學生正處於具體運思期與形式運思期當中，皮亞傑也提 到這四個階段會因為不同的個體而有很大的個別差異，有人發展得快，也有 人發展得慢，但各階段的前後順序是不變的。而具體教具能幫助學生建立、

增強與連接不同的數學表徵。學生透過實際動手操作實體物件，可以更強化 學生的理解。另外，在數學課中有使用教具來輔助學生學習比未使用的學生 表現好（Raphael & Wahlstorm, 1989；Sowell, 1989）。因此，使用教具是可以 促進數學抽象概念的理解（Terry, 1995）。Suydam 與 Higgins 也於 1977 年發 表他們針對幼稚園至八年級的學生使用具體教具的研究結果，他們發現有使 用教具的學生有較好的學習成就，且他們也發現要使具體教具產生正面的結 果關鍵在於教具是否有好好的運用。根據以往的研究結果顯示，教師使用教 具的經驗會影響學生的學習成就（Raphael & Wahlstrom, 1989；Sowell, 1989）。

教具的效用也會受到教師使用教具的目的及方式而有所影響。曾經有研 究者針對十位中學教師使用教具來教授數學概念長達一年的研究，發現教師 在課堂當中使用教具並非總是了解使用教具的目的，以及他們所選擇的教具

並不能充分表達教師所要傳達的數學概念，而沒有使教具發揮應有的效用

（Moyer, 2001）。因此，教師對教具的了解以及使用方法，也是會影響教學 的效果。

2.4.2 虛擬教具（virtual manipulatives）

隨著科技的進步，教具的形式也有了改變，在電腦上模擬出具體教具的 形體，並進而透過滑鼠來操作與互動，稱之為虛擬教具。經由這樣的技術所 產生的數位化影像，能幫助學生對於數學抽象概念的理解。許多具體教具需 要較大的空間來讓學生實際操作，虛擬教具模擬了具體教具的形狀，讓學生 透過電腦的模擬來操作物件，甚至可提供即時性的回饋。Moyer, Bolyard 與 Spikell（2002）認為虛擬教具是具有互動性的，且以網路為基礎並可建構數 學知識的動態物件。虛擬教具能夠達到具體教具所要表現的概念，且能夠補 足具體教具無法呈現的概念（王智弘，2006）。

相關研究發現虛擬教具優於具體教具有以下五點（Char, 1991）： 1. 可降低教室管理的困難度。

2. 由於教學系統可以提供指引、回饋以及提示，因此可以減少對學生 作業的組織、監控及批改的困難。

3. 幫助學生在數學的概念表徵中建立概念上的連結。

4. 透過視覺科技來提供更清楚的數學概念模型，例如：動態模擬。

5. 鼓勵學生之間的合作以及使學生的作業可以快速的再次展現及查 看。

在教學過程中具體教具的價錢以及管理限制了學生使用的機會。然而，

虛擬教具的發展提供給所有的學生使用卻沒有額外的花費。而且虛擬教具的 設計通常是以現今數學課程中已包含的具體教具為模型，利用虛擬教具促進 學生理解代數中以具體教具呈現的相同概念。此外，學生的注意力會集中在 螢幕以及新穎的課程當中，而專注於手邊的作業。虛擬教具的指引、回饋及 提示可以提供學生一個問題解決的環境去發展數學的概念理解。換句話說虛 擬教具可以是一個充滿簡單、方便，甚至立體教具的虛擬環境。除此之外，

虛擬教具除了以上所提到優於具體教具的論點，Izydorczak（2003）也曾經 整理出虛擬教具的八大優點如下：

1. 虛擬教具可以監控學生學習活動。

2. 虛擬教具比具體教具更具有擴張性。

Reimer

& Moyer

（2005） Brooks &

Lyon

表 2-4-1（續 1）

體教具是有一些優點存在，而能否取代傳統的具體教具是需要更多的研究來 檢核及修改，因此這是值得去探究的領域。

代數磚(Algebra Tile)是一種利用幾何圖形幫助學生了解代數思維及代數 概念的數學教具，由多種卡片製作而成，而不同色塊的卡片代表不同的面 積，用於教學上，它可以非常巧妙的處理代數學習上的困難（Picciotto, 1993）。若分析該教具在多項式展開與因式分解教學中，所代表的數學意涵 可得：

1. 代數的相乘可視為兩個代數項的二項式展開：二項式為矩形的長與 寬，矩形面積則形成二項式展開的乘積。

2. 其中長、寬未知數與已知數的混同，即代表代數的加法。

3. 而全長本身為未知數與已知數的集合，即代表括號：括號分處矩形 的長、寬，可由空間上判別括號的異同。

4. 同類項可以邊長和矩形形狀的圖形分類表示。

5. 分配律以分割出的小矩形代表：矩形的總面積與分開各個小矩形求 得的面積總合，在幾何意義上相等。

6. 代數表徵與圖形表徵相連結：許多初學代數者在算術思維可以解決 問題的情境下認為代數的學習是不必要的(Ainley, 2005)，而代數表 徵對初學者亦是無意義的符號，然幾何表徵對學習者而言，是熟悉 且有意義的，連結代數表徵與圖形表徵，可讓學習者賦予代數學習 上的意義。

這種代數與基礎幾何的連結，以具體可操作的教具代替講述，可促進學 習成就的進步，Goins（2001）以 32 個班為對象利用 Algebra Tile 作為教材，

比較一般、視覺化呈現及教具操作三種不同的教學方式在多項式乘法單元 中，學生學習成就的表現，發現教具對於學生學習有正面的影響，尤其是技 巧和理解的部分，學習者更能掌握、解釋運算過程的意涵。而 Sharp（1995）

以 5 個班級為對象，比較使用 Algebra Tile 為教具與未使用教具在代數學習 成就上的差異，亦得到透過教具操作的學生，更能增進代數中概念的了解，

雖在一般的紙筆測驗中，可能無法在短期間展現效果，卻可以引發多項式展 開和其他概念的連結，尤其是低學習成就者。讓學生擺脫單純記憶，體會面 積與分配律的關連性（方鳳娟，2002）。因為低學習成就者可能代表原有的 表徵方式無法促進學習，而需要不同的表徵促進學習。這代表學習者可比單 純的練習、運算獲得更深入的理解（江佳蕙，2001；Picciotto, 1993）。