國
立
交
通
大
學
理學院科技與數位學習學程
碩
士
論
文
虛擬教具應用於國中學生學習多項式展開與因式
分解之影響
A Study of the Effect of Applying Virtual Manipulatives on Junior
High School Students’ Learning of Expanding Polynomials and
Factorization
研 究 生：楊惠雯
指導教授：袁 媛 教授
陳明璋 教授
虛擬教具應用於國中學生學習多項式展開與因式分解之影響 A Study of the Effect of Applying Virtual Manipulatives on Junior High
School Students’ Learning of Expanding Polynomials and Factorization
研 究 生：楊惠雯 Student：Hui-Wen Yang 指導教授：袁 媛 Advisor：Yuan Yuan 陳明璋 Ming-Jang Chen 國 立 交 通 大 學 理學院科技與數位學習學程 碩 士 論 文 A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Degree Program of E-Learning July 2010
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
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虛擬教具應用於國中學生學習多項式展開與因式分解之影響
學生：楊惠雯 指導教授：袁 媛 教授 陳明璋 教授 國立交通大學理學院科技與數位學習學程碩士班 摘 要 本研究以 NLVM 的 Algebra Tiles 為教學輔具，設計國中一年級多項式 展開與因式分解活動，並進一步探討將此教學輔具應用於教學的成效。 本研究採不等組前後測準實驗研究設計，以桃園縣一所國中的兩個班級 學生為研究樣本，隨機抽取一班為實驗組，一班為控制組。實驗組學生接受 以 NLVM 的 Algebra Tiles 作為教學輔具的教學，而控制組的學生接受以具 體教具作為輔具的教學，並以研究者自編的多項式展開與因式分解測驗、學 習單、心得及感想問卷、教學過程中的觀察記錄與影片為工具，進行學習成 效資料之收集。實驗研究主要發現如下： 一、 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念有顯著 的交互作用： 1. 就教學輔具的使用而言，使用具體教具的女生在多項式展開測驗的 成績顯著優於男生。 2. 就性別而言，使用虛擬教具組的男生在多項式展開測驗的成績顯著 優於使用具體教具的男生。 二、 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念沒有顯 著的交互作用： 1. 高分組、中分組與低分組的學生，在多項式展開測驗的成績並無顯 著差異。 2. 使用虛擬教具的實驗組學生與使用具體教具的控制組學生，在多項 式展開測驗的成績並無顯著差異。 三、 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習因式分解概念沒有顯著 的交互作用： 1. 不管使用虛擬教具或具體教具於因式分解概念的教學，女生在因式分解測驗的成績顯著優於男生。 2. 使用虛擬教具的實驗組學生與使用具體教具的控制組學生，在因式 分解的測驗成績並無顯著差異。 四、 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習因式分解概念沒有顯著 的交互作用： 1. 高分組、中分組與低分組的學生，在因式分解測驗的成績有顯著差 異。 2. 使用虛擬教具的實驗組學生與使用具體教具的控制組學生，在因式 分解的測驗成績並無顯著差異。 五、 使用虛擬教具與具體教具於數學的教學，對學生學習數學動機的提升 並沒有顯著的差異。 關鍵字：代數磚、虛擬教具、多項式展開、因式分解
iii
A Study of the Effect of Applying Virtual Manipulatives on Junior High School Students’ Learning of Expanding Polynomials and Factorization
Student：Hui-Wen Yang Advisor：Dr. Yuan Yuan Dr. Ming-Jang Chen
Degree Program of E-Learning College of Science
National Chiao Tung University
Abstract
This study used Web-based virtual manipulatives, Algebra Tiles, as aids to design instructional materials for the use of teaching junior high school students expanding polynomials and factorization. The effect of applying the instructional materials on students’ learning was also explored in this study.
A pretest-posttest quasi-experimental design was used. The study involved 56 students in two different classes of a junior high school in Taoyuan county of Taiwan. The classes were randomly assigned to two methods of instruction; a virtual manipulative group and a physical manipulative group. The posttest developed by the researcher was conducted to measure effect. For an in-depth comparison between the two groups, the classroom climate and interactions among students and teachers were also investigated. Research results were as following:
1. Gender and the use of different manipulatives for students to learn the concept of expanding polynomials have significant interaction:
(1) For the use of manipulatives, the expanding polynomials test results of the girls using physical manipulatives are significantly better than boys.
(2) For gender, the expanding polynomials test results of the boys using virtual manipulatives are significantly better than boys using physical manipulatives.
2. Different ability levels and different manipulatives for students to learn the concept of expanding polynomials have no significant interaction:
(1) For high level group, middle level group and low level group of students, there was no significant difference in the test scores of expanding polynomials.
(2) For virtual manipulatives in the experimental group and the use of physical manipulatives in the control group, there was no significant difference in the test scores of expanding polynomials.
3. Gender and the use of different manipulatives for students to learn the concept of factorization have no significant interaction:
(1) Whether to use virtual manipulatives or physical manipulatives in the factorization concept, girls in the test results are significantly better than boys.
(2) For virtual manipulatives in the experimental group and the use of physical manipulatives in the control group, there was no significant difference in the test scores of the factorization.
4. Different ability levels and different manipulatives for students to learn the concept of factorization have no significant interaction:
(1) For high level group, middle level group and low level group of students, the scores of the factorization are significant different.
(2) For virtual manipulatives in the experimental group students and the use of physical manipulatives in the control group, the scores in the factorization test are not significant different.
5. Using virtual manipulatives and physical manipulatives in mathematics teaching, there is no significant difference in enhancing students’ motivation to learn mathematics.
Keywords: algebra tiles, virtual manipulatives, expanding polynomials, factorization
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誌 謝
兩年前，挺著肚子在狹窄的位子裡參加入學考試，抱著期待的心 情等待放榜及老大明軒的誕生。兩年後，再度挺著肚子期待畢業典禮 及老二明碩的降臨。 在這兩年的學習過程中，人生發生了很大的轉變。學到很多以往 不曾接觸、不曾思考的事物，讓自己耳目一新、視野大開，當然也遇 到了很多的困難。工作、家庭、學業上的兼顧，我相信每位同學都能 體會。每當一邊趕著整理資料、孩子一邊不停的呼喚媽咪~~媽咪，那 種煩躁和不忍，馬上讓人陷入高度的緊張和壓力之中。 幸運的是，在這兩年中，袁媛老師及陳明璋老師細心、包容的指 導，雖說有時也會進度落後，但仍讓我一步步的進入狀況、往目標前 進，省卻了盲目摸索的慌亂與無助。也感謝公公、婆婆，在這幾年無 私的付出和培養，讓我在忙碌之餘，明軒仍可日益茁壯。最後，感謝 先生在背後無怨尤的付出及每位家人的相互支援、扶持都是我最大的 助力。目 錄
中文摘要 ... i 英文摘要 ... iii 誌謝 ... v 目錄 …………..………...………. vi 表目錄 ……….………. vii 圖目錄 ……….………. viii 一、 緒論………. 1 1.1 研究動機………. 1 1.2 研究目的………. 3 1.3 研究問題………. 3 1.4 名詞釋義………. 4 1.5 研究限制………. 5 二、 文獻探討……… 6 2.1 代數思維的發展與教學設計……… 6 2.2 多項式展開與因式分解的數學內涵……… 16 2.3 數學學習成就的性別差異……… 21 2.4 具體教具與虛擬教具的探討……… 24 三、 研究設計與方法……… 30 3.1 研究設計與架構……… 30 3.2 研究對象……… 36 3.3 研究工具……… 37 3.4 資料分析……… 47 四、 研究結果與討論……… 49 4.1 使用虛擬教具與具體教具於多項式展開與因式分解教 學後對學生學習的影響……… 49 4.2 實驗組與控制組學生學習歷程分析……… 59 4.3 學生在學習單與心得及感想問卷的質化分析………… 71 五、 結論與建議……… 81 5.1 結論……… 81 5.2 建議………. 83 參考文獻 ………... 85 附錄 ……….……. 91vii
表 目 錄
表 2-1-1 文字符號意義分類表... 8 表 2-1-2 代數的概念與所使用的變數... 9 表 2-1-3 算術思維與代數思維之差異... 12 表 2-1-4 代數活動的分類... 14 表 2-2-1 NCTM 6-12 年級代數課程標準... 16 表 2-3-1 國中學生之代數及數與量學習成就測驗之相關研究... 21 表 2-4-1 使用虛擬教具部分研究結果... 27 表 3-1-1 不等組前後測準實驗設計... 30 表 3-1-2 實驗組與控制組教學環境比較表... 32 表 3-1-3 虛擬教具與具體教具之異同... 33 表 3-2-1 研究樣本人數統計表... 36 表 3-3-1 數學動機量表考慮主成分分析之結果... 38 表 3-3-2 給分標準示例... 40 表 3-4-1 實驗研究假設的統計方法... 47 表 4-1-1 兩組學生依性別在多項式展開的後測成績... 50 表 4-1-2 不同性別與不同教學輔具在多項式展開成績之二因子共 變數分析摘要表... 50 表 4-1-3 不同性別與不同教學輔具單純主要效果考驗分析摘要表.. 51 表 4-1-4 兩組學生依能力組別在多項式展開的後測成績... 52 表 4-1-5 不同能力與不同教學輔具在多項式展開成績之二因子共 變數分析摘要表... 53 表 4-1-6 兩組學生依性別在因式分解的後測成績... 54 表 4-1-7 不同性別與不同教學輔具在因式分解成績之二因子共變 數分析摘要表... 54 表 4-1-8 兩組學生依能力組別在因式分解的後測成績... 56 表 4-1-9 不同能力與不同教學輔具在因式分解成績之二因子共變 數分析摘要表... 56 表 4-1-10 實驗組與控制組教學實驗前後的數學動機量表成績平均 數... 57 表 4-1-11 實驗組與控制組在數學動機的 t 考驗摘要表... 57 表 4-3-1 學生於矩形面積學習單的作答情形... 72 表 4-3-2 學生於拼圖大賽學習單的作答情形... 74圖 目 錄
圖 3-1-1 研究流程... 31 圖 3-1-2 研究架構... 32 圖 3-1-3 Algebra Tiles 介面... 34 圖 3-1-4 Algebra Tiles 功能介紹... 34 圖 3-1-5 學生版具體教具... 35 圖 3-1-6 教師版具體教具... 35 圖 3-3-1 圖形拼法算式正確... 39 圖 3-3-2 圖形拼法正確但算式錯誤... 40 圖 4-2-1 教師在黑板上畫兩組藍色基準線... 59 圖 4-2-2 教師複習矩形面積及介紹多項式... 59 圖 4-2-3 教師介紹具體教具的種類... 60 圖 4-2-4 教師講解多項式展開範例... 60 圖 4-2-5 學生上台展示... 60 圖 4-2-6 教師講解問題探索... 60 圖 4-2-7 教師複習矩形面積... 61 圖 4-2-8 教師引導學生認識多項式... 61 圖 4-2-9 教師介紹虛擬教具畫面... 62 圖 4-2-10 教師講解多項式展開範例... 62 圖 4-2-11 教師講解多項式展開算式寫法... 63 圖 4-2-12 教師講解錯誤拼法... 63 圖 4-2-13 學生示範畫面... 63 圖 4-2-14 學生示範畫面... 63 圖 4-2-15 教師講解問題探索... 63 圖 4-2-16 x 與 y 大小關係成比例時的錯誤... 64 圖 4-2-17 x 與 y 大小關係成比例時的錯誤... 64 圖 4-2-18 教師講解因式分解範例... 65 圖 4-2-19 教師講解因式分解算式的寫法... 65 圖 4-2-20 學生上台示範... 65 圖 4-2-21 學生上台示範... 65 圖 4-2-22 學生拼法錯誤... 66 圖 4-2-23 教師講解範例... 67 圖 4-2-24 教師講解錯誤拼法... 67 圖 4-2-25 教師講解問題探索... 67 圖 4-2-26 學生錯誤拼法... 68 圖 4-2-27 學生錯誤拼法... 68 圖 4-2-28 學生拼出與課程無關的圖形... 68ix 圖 4-2-29 學生自創的圖形... 68 圖 4-2-30 控制組的桌面... 69 圖 4-2-31 實驗組的桌面... 69 圖 4-3-1 矩形面積單元圖形及算式皆正確... 71 圖 4-3-2 矩形面積單元圖形正確但算式錯誤... 72 圖 4-3-3 矩形面積單元圖形及算式皆錯誤... 72 圖 4-3-4 拼圖大賽單元圖形及算式皆正確... 73 圖 4-3-5 拼圖大賽單元圖形正確但算式錯誤... 74 圖 4-3-6 拼圖大賽單元圖形及算式皆錯誤... 74
一、 緒論
1.1 研究動機 70 年代至 80 年代初期，美國面臨國際上日漸嚴峻的競爭與挑戰，社會 大眾認為相較於國際上其他國家，美國無法提供國民優質的教育，造成國民 素質的落後，是競爭力消退的關鍵原因，並以此展開了一連串的教育改革。 在一份名為《危機中的國家》的文件中（1983），明確的揭櫫國民應具有基 本的數學能力並指出，一個完成中學教育的國民應具有幾個能力：（1）了解 幾何和代數概念；（2）了解基礎的機率與統計；（3）將數學應用於日常生活 中；（4）估計、近似、測量、檢驗計算的正確性。我國教育部在「九年一貫 數學領域課程綱要」中提到，數學是人類最重要的資產之一，且數學能力是 國民素質的一個重要指標，在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中， 數學知識及數學能力，已經逐漸成為日常生活中及職場裡應具備的基本能力 （教育部，2008）。美國全國數學教師會（The National Council of Teachers of Mathematics， 簡稱 NCTM）因此建議所有的學生都要學習代數，且數學的教學應該建立在 學生非正式以及先備的知識基礎上。數學家 Cajorih（1895-1930）曾經說過： 「要探索算術最好的方法就是研究代數」。除此之外，我國教育部於民國八 十九年在《九年一貫課程暫行綱要草案》中也提到，將代數的主題向下延伸 到小學階段，這與 Kaput 於 1999 年的主張相同，他主張代數的教與學應該 注意以下五點：（一）從早期就可以開始，並且有部分可從學生的非正式知 識中建構出來；（二）藉由數學知識的擴展與應用，可以將代數的學習與其 他學科的學習加以統整；（三）經由數學知識的應用，融於不同形式的代數 思考；（四）以學生固有的語言及認知能力為基礎建構知識，鼓勵學生在學 習過程中進行省思及說明學習歷程；（五）鼓勵積極地學習，並將價值放在 意義與理解上。依照皮亞傑的認知發展論，我國的小學數學以具體操作的算 術為主，而進入國中之後，數學課程則是以形式運思期的抽象思考與邏輯推 理為主，學生由原本的算術轉換到不同的思考方式，代數扮演了重要的角 色。在現行的數學課程中代數扮演了重要的角色，學生從學習代數開始而進 入更高層的數學知識，進而可以增加未來在教育及經濟上的發展機會。
以教育機會來看，代數可以視為進入大學教育或技職教育的重要路徑， 美國教育部研究指出：修習並通過代數 2 的學生，獲得大學學歷的比例為其 他高中畢業生之 4.15 倍（Adelman, 1998），所有的學生都需要在中學階段就 學習並了解代數的概念，以便獲得其他領域更完整、更有意義的數學能力。 然而對許多學生言，從算術轉換到代數的過程中，學習變數的概念及變數間 的運算是有困難的。其中多項式展開及因式分解為中學代數學習之起點，亦 為算術思維轉換為代數思維的過渡。 國外有許多研究結果顯示，在數學課堂中使用教具來輔助教學可以提升
學生對數學的理解（Raphael & Wahlstrom, 1989；Sowell, 1989）。因此，藉由
教具的使用可以改善學生在數學領域上的學習困難。例如：Algebra Tiles 可 以表現出二項式的乘法，學生可以將矩形面積等於長乘以寬的形式連結到二 項式的乘法上（Goins, 2001）。像這樣以簡單的幾何圖形來表現抽象的數學 概念，可以有助學生了解並學習數學。 美國全國數學教師會（NCTM）於
2000 年出版的《學校數學的原則與標準》（Principles and Standards for School
Mathematics）中有提到，科技已成為學校數學教育六大主要原則之一，而且 強調科技在數學的教與學當中是必要的，它影響學生所學以及可提升學生學 習。隨著科技的日新月異，美國全國數學教師會（NCTM）以及美國國家科 學基金會（National Science Foundation，簡稱 NSF）開發了許多虛擬教具 （Virtual Manipulatives）。這類型的教具是利用電腦模擬具體教具的樣子， 讓老師以及學生可以透過滑鼠及鍵盤等電腦周邊設備來進行操作（王智弘， 2006）。 雖然學生都了解數學的重要性，但有不少的學生對於數學這門科目總是 抱持著畏懼的心態，尤其是進入到國中階段之後，這種情況更是嚴重。在國 內已經有許多的教師運用電腦來實施教學活動，不再只是單純的以黑板或是 利用現有的具體教具來教學。故如何利用虛擬教具，提升學習者學習代數之 成效是本研究想要了解的。針對不同能力的學生使用虛擬教具與具體教具於 數學課堂中的影響，有研究顯示虛擬教具對高分組效果較好（張玉琪， 2009）；而亦有研究呈現使用虛擬教具的學生，低分組的學生比高分組的學 生產生較大的進步空間（王智弘，2006）。因此，本研究亦針對數學能力高、 中、低三組的學生，在不同的教學環境中學習多項式展開與因式分解單元是 否有所差異。除此之外，男女生數學成就的差異也有許多人做過相關的研究 （黃幸美，1996；黃國清，2008），其結論都不盡相同，針對目前國中一年
級的學生來說，學習多項式展開與因式分解是否會存在著性別的差異亦是本 研究想要了解的目的之一。
1.2 研究目的
本研究的主要目的是利用國家虛擬教具圖書館（National Library of
Virtual Manipulatives，簡稱 NLVM）的 Algebra Tiles 教具做為教學輔具，設 計多項式展開與因式分解教學活動，並比較操作虛擬教具與操作具體教具對 學生學習多項式展開概念與因式分解概念之成效。綜合上述，茲將本研究目 的分為下列三點： 1. 探討使用虛擬教具與具體教具的教學環境，對於學生學習多項式展 開概念之影響。 2. 探討使用虛擬教具與具體教具的教學環境，對於學生學習因式分解 概念之影響。 3. 比較使用虛擬教具與具體教具為教學輔具，對於學生學習數學動機 之影響。 1.3 研究問題 根據上述的研究目的，提出下列五個研究問題。 1. 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念是否 有顯著的交互作用？ 2. 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習多項式展開概念是否 有顯著的交互作用？ 3. 不同性別與使用不同的教學輔具，對學生學習數學因式分解概念是 否有顯著的交互作用？ 4. 不同能力程度與不同的教學輔具，對學生學習數學因式分解概念是 否有顯著的交互作用？ 5. 使用虛擬教具與具體教具為教學輔具，對學生學習數學動機的提升 是否有顯著的差異？
1.4 名詞釋義 1.4.1 具體教具（Physical Manipulatives） 具體教具是實際的物件，使用者可以實際看得到也摸得到，學生可以藉 由操作具體教具來幫助抽象概念的建立。例如：七巧板。 1.4.2 虛擬教具（Virtual Manipulatives） 在電腦上模擬出具體教具的形體，並進而透過滑鼠來操作與互動，稱之 為虛擬教具。經由這樣的技術所產生的數位化影像，能幫助學生對於數學抽 象概念的理解。許多具體教具需要較大的空間來讓學生實際操作，虛擬教具 模擬了具體教具的形狀，讓學生透過電腦的模擬來操作物件，甚至可提供即 時性的回饋。例如：萬用揭示板。 1.4.3 數學動機 本研究所指的數學動機是指學習數學的信心以及數學探究的動機兩個 主題合併成。在學習數學的信心部分是指受試者對於自己數學表現與學習數 學的信心程度。如：我認為我可以處理更難的數學。在數學探究的動機部分 是指受試者對數學的探索與尋求挑戰的行為。如：當我遇到不能立即解答的 數學題目時，在課後我會繼續想它。而本研究將使用包含以上兩個主題的數 學動機量表來檢測學生的數學動機，分數愈高代表對數學的動機愈佳，反之 則愈差。 1.4.4 能力程度 本研究所定義的能力程度是指依研究對象 56 位學生，依照前一學期三 次數學定期平均來分為高分組、中分組及低分組，每組的人數大約占三分之 一的研究對象人數。高分組的成績為平均 65 分以上的學生；中分組的成績 為平均 40 分以上而未滿 65 分的學生；低分組為平均未滿 40 分的學生。 1.4.5 代數磚（Algebra Tiles） 代數磚是一種數學教具，此種教具多由不同顏色的卡片製作而成，不同 顏色代表不同的面積，這類型的教具是藉由幾何圖形的表現來幫助學生了解 代數的思維及代數的概念。例如：多項式的運算、因式分解。在本研究中的
實驗組所使用的是 NLVM 虛擬教具的代數磚，而控制組所使用的是研究者 自行製作之具體教具的代數磚。 1.5 研究限制 本研究之研究對象為研究者任教學校的國一學生，且研究者教學實驗的 時間為寒假輔導課的時間，且學生於後測時，實驗組有以虛擬教具為輔助作 答，而控制組則是以具體教具為輔助作答。故研究結果只能推論至相當程度 的學生及情境，不宜過度推論研究結果。
二、 文獻探討
本章分為四節探討本研究的相關文獻，做為研究的理論基礎，並藉以建 立本研究的架構。第一節是代數思維的發展與教學設計，第二節是多項式展 開與因式分解的數學內涵，第三節是數學學習成就的性別差異；第四節是具 體教具（physical manipulatives）與虛擬教具（virtual manipulateves）的探討。
2.1 代數思維的發展與教學設計 在學習過程中，如何提升學習者的代數學習成效，一直是個令人注目的 問題，其受到注目的原因有二：一是代數的重要性；另一則是代數學習的困 難。經過長期的研究，關於代數概念的學習，也由傳統的如何操弄文字符號、 掌握等號結構，擴展到如何形成一種結構性、抽象性的思維方式，並以此解 決問題，即代數思維的形成。而代數學習的方式亦從單一的文字符號表徵， 擴展至多重表徵的學習方式（Kieran, 1996）。而具體教具及虛擬教具便扮演 提供多重表徵重要的角色，利用不同的表徵方式，讓學習者在學習的過程 中，獲得意義上的連結，達到有意義的學習。 2.1.1 代數思維的演進 早期研究認為，數學的學習和學習者的認知發展有關。依照皮亞傑的認 知發展論，我國的小學數學以具體操作的算術為主，而進入國中之後，數學 課程則是以形式運思期的抽象思考與邏輯推理為主，學生由原本的算術轉換 到不同的思考方式，代數扮演了重要的角色。Kuchemann（1978）在 CSMS 計畫中，對 13-15 歲學生施測，將學生對於文字符號的解釋方式，分成四個 層次如下： 層次一：此層次的學生能處理純數值的問題，也可處理能藉由將文字符 號當作物件、文字符號的求值、忽略文字符號等方法可求得答 案的簡單結構之問題。 層次二：此層次的學生雖然仍在將有文字符號的求值、將文字符號當作 物件的階段，但所能處理之問題的複雜度高於層次一，在某些
部分也能正確使用代數結構的句法。 層次三：此層次的學生在結構簡單的問題中，能將文字符號視為特定的 未知數、一般數、變數。 層次四：此層次的學生能在結構較為複雜的問題中，將文字符號視為特 定的未知數、一般數、變數。 而其研究結果顯示，15 歲學生中能達到層次三的僅有 40%，能達到層 次四的更僅有 9%。國內林光賢、林福來和郭汾派（1989）之研究，其參考 Kuchemann 之測驗，將國中生對於文字符號的理解分成四個層次，也得到和 Kuchemann 類似之研究結果，有 43%的國三學生達到層次三，僅 12%的學 生達到層次四。這種由低至高的認知層次概念，和皮亞傑的認知層次，恰是 互相對應的，這代表：代數的學習是一個認知發展的問題（袁媛，1993）， 應以認知發展的方式解決，另一則點出代數學習的困難，僅有少部分人達到 了較高的理解層次。 數學是一個藉由抽象化的文字符號描述、簡化現象的過程。而代數的學 習，則視為一種語言的學習。學習者對於文字符號應有特定的解釋和分類， Philipp（1992）將英文字母在數學上分成標記、常數、未知數、一般數、變 量、參數、抽象符號七種不同的用法，而 Kuchenmann（1978）在 CSMS 計 畫中，對 13-15 歲學生施測，將學生關於文字符號的解釋分為六類，如表 2-1-1。文字符號的意義對於達到較高層次的學習者而言，依照不同的情境， 可以有不同的解釋，例如：將文字視為一般化的數字或是將文字當作變數。 而較低層次的學習者，而多半局限在文字為可算出的值或文字符號可忽略不 用的二種解釋。這也代表學習者不同的思維模式，會影響學習者代數學習的 表現。
表 2-1-1 文字符號意義分類表 文字符號的分類 意義 例子 文字符號為可算出的值 文 字 符 號 是 一 個 被 設 定 的數，藉由嘗試錯誤或是 具體運算的方式，可以直 接 求 出 文 字 符 號 所 代 表 的數值。 n +5=8 中的 n 文字符號可忽略而不用 文 字 符 號 出 現 在 題 目 中，但在解題的過程中可 以放在一旁不用考慮。 若 x+y=23 求 x+y+5=? 文字符號當作物件 將 文 字 符 號 當 作 是 一 個 物件，用來代表某一物的 名稱或是縮寫。 以 a 表示某一個多邊 形的一邊 文字符號當作特定的未 知數 不 需 要 求 出 文 字 符 號 的 值，可以直接加以運算。 一多邊形有 n 個邊， 每邊邊長是 2，周長是 多少？ 文字符號當作一般化的 數字 文 字 符 號 可 代 表 超 過 一 個以上的數值，而非單一 數值。 a+b=10，且 a>b，a 是 代表大於 5 的數 文字符號當作變數 當 文 字 符 號 的 數 值 有 規 律的改變時，能瞭解它們 之間存在的關係。 設 a= b+3，當 b 增加 2 時，a 會增加或是減少 多少？ 文字符號在代數運算中，常因不同情境代表許多不同的意義。學生初接 觸代數，對代數中的文字符號與英文字母、合成運算、運算符號及運算規則 常無感覺（戴文賓、邱守榕，2000），無法正確描述文字符號的意義，便會 造成代數學習的困難。綜合此階段的研究，除了了解代數學習和認知發展的 關係外，亦可以發現這些研究皆以”數學是一種語言”、 “代數為文字符號的 理解和操弄”的觀點出發。 隨著時代的發展，我們發現對於文字符號的了解，仍無法解決學習代數
所遇到的困難，對學習者而言，傳統的代數學習仍僅是一連串符號操作的記 憶過程，解特定且和生活無關的問題，充滿了挫折和排斥（Kaput, 1999）。 而 Kieran（1996）認為分析數量之間的關係，注意結構、學習的變化、概括、 解決問題、建模、辯解、證明和預測。不使用任何文字表徵的代數活動，亦 可促進代數的學習。對於代數的關注亦由文字符號，逐漸轉換至算術與代數 思維。 Kieran（1996）曾表示，代數與算術具有思維結構上的差異，而由算術 思維過渡至代數思維，必需經過思維結構的轉化。單以練習或經驗的累積固 然可以使算術思維結構獲得加強，卻不代表可以轉化為代數思維。在算術與 代數的教學中，應有不同的教學內容及策略，才能有效提升代數學習的成 效。目前雖然許多研究都認同代數思維的概念，但對於代數思維的內涵卻是 具有許多差異。 Usiskin（1988）認為代數思維牽涉四個概念：算術的一般化、解特定問 題的過程、數量關係的探索和結構的探索，而不同的代數概念中，變數的運 用、角色亦有所不同，如表 2-1-2。 表 2-1-2 代數的概念與所使用的變數 代數的概念 變數的運用 算術的一般化 樣式的歸納者 解決特定問題的過程 未知數、條件限制 數量關係的探索 辯證、參數 結構的探索 文章的任意標記 1. 算術的一般化乃利用文字符號，描述計算過程中一般化的規則，而 此類符號，稱之一般數，此處將符號視為描述規則的一種數學語言， 例如：3+5.7=5.7+3 左右兩式相等的性質，是屬於交換律的規則，則 可用 a+b=b+a 描述。 2. 解特定問題的過程，則將符號視同未知數，應用於等價式的替換， 當作簡化或解題的過程，此時的文字符號，仍是數字意義的延伸， 未知數代表著一個尚不知道的確定數，經過運算後，可以得知確定 的數值。例如：方程式求解，即是解特定問題的過程。 3. 數量關係的探索，為探討數與數之間的關係。例：x 漸大時，1/x 會
有什麼變化，此時的文字符號無法以運算解出一個特定解，相較於 算術思維，思維重心已不是單純的答案，而是數與數之間的關係。 4. 結構的探索，則是更進一步的抽象化，文字符號在此以一個未知的 數代表並不適切，若以物件的概念描述，可將結構的探索視為物件 與物件間的結構操弄與變化，以多項式展開或因式分解為例，展開 的學習或分解的過程，思維的重心為因式與倍式不同結構間的轉換。 在算術思維中，文字符號大多代表可算出的值或可忽略不同的文字符 號，而算術思維及代數思維的區別，除了在變數的意義有所不同外，在思維 結構或解題歷程亦有所差異。算術思維在解題過程中，運算本身為一個程序 性的過程，亦是一個連續、線性的思考歷程，而代數運算則是著重於操弄物 件，是一個結構化的過程，具有正規的解法和作法，思考脫離了問題本身的 情境。算術思維及代數思維的具體比較，可由下列例題表示： 例題：小明有 24 元，買了 5 枝相同的鉛筆後，還剩 4 元。問每枝鉛筆多少 錢？ 24-4=20 ………(1) (還剩 4 元，表示花掉了 24-4 元，也就是 5 枝筆 的價格為 20 元) 20/5=4 ………(2) (5 枝筆的價格為 20 元，因此每枝筆為 20 除以 5， 也就是 4 元) 其中式子(2)學生也可能採用這樣的方式： 20=5*4 或 5*4=20 ………(3) (5 枝筆的價格為 20 元，又因為 5*4 為 20， 所以每枝筆是 4 元) (1)(2)(3)式可視為運用算術思維，其中(1)(2)是逆向思考，(3)是數的合成分 解 設每枝鉛筆的價格為 x 元： 24-5x=4 ………(4) 再利用等量公理或移項法則求 x 值 (4)式則可視為利用代數思維。
從上述示例說明可以發現，算術思維表現在運算中。運算本身就是含有 情境的思考過程紀錄。不同的運算方式，代表著不同的思考方式。運算式的 先後則代表推演的程序，運算過程常具有特殊性，即解法常因情境而無固定 的形式。而代數思維在解題過程中，分成轉譯問題、形式運算，即列式及求 解兩部分。轉譯問題著重的是問題中的數量關係，形式運算則是一個去情 境、抽象化且不針對原問題的運算過程。代數解法藉由：引入未知數符號， 以代數方程式表示，利用符號運算求得具普遍性的解（謝佳叡，2004）。 以概念發展的角度來看代數思維的建立需要經過三個階段，內化、壓 縮、物化，內化是指藉由過程的熟悉得到新概念；壓縮是指認知上一長串的 壓縮成一個較易處理的單元，類似認知過程的自動化；而物化則是指概念已 被視為一個整體或物件，為結構的一部分，可以通盤考量及操作，為另一個 概念內化過程的開端，而概念的形成就如此螺旋循環而上（Sfard, 1991）。故 代數思維亦是結構、程序的性質兼具。 算術思維與代數思維可由數種見解綜合成下表 2-1-3（劉家樟，2005）：
表 2-1-3 算術思維與代數思維之差異 算術思維 代數思維 思維重心 算術思維著重於利用數量的 計算求出答案的過程，這過 程是程序性的、含情境的、 具有特殊性的、計算性的。 代 數 思 維 倚 重 的 是 關 係 的符號化及其運算，這個 運算是結構性的、去情境 的、具有一般性的、形式 化的。 數量關係 探討常數之間的關係。 探討變數之間的關係。 運算的重點 算術活動的重點在找出一個 特 定 的 數 字 代 表 最 後 的 答 案；即答案是一個數字。 代 數 活 動 的 重 點 在 了 解 運 算 步 驟 的 理 由 及 關 係；答案是以包含文字符 號 及 數 字 簡 化 之 後 的 形 式來表示。 運算式的功用 運算式的功用是一種思考的 紀錄，是直接聯接題目與答 案的橋樑。 運算式的功用，不再直接 聯 結 問 題 與 答 案 之 間 的 過程紀錄，也充當一個問 題轉譯的角色。 解題思維與歷程 算術思維的解題是結構性的 思考型態，運算過程是程序 性的。 代 數 思 維 的 解 題 是 程 序 性的思考型態，運算過程 是結構性的。 解題策略 1、 通常先計算出答案，再 描述 2、 直接由已知數算出未知 數。 1、 先描述再計算。 2、 間接由未知數出發， 經由已知數、方程式 來解出答案。 解題特性 算 術 的 解 法 常 無 固 定 的 形 式。 代 數 的 解 法 則 強 調 正 規 的形式。 資料來源：小六學生解題表現與國小教師對學生解文字題信念之差異（頁 27），劉家樟，民 94，中原大學教育研究所碩士論文，中壢市。
當思維方式由算術思維轉變至代數思維，代表：一、改變解題思維的動 向；二、讓解法跳脫題目所給的情境與數字，而聚焦一般性的解題方法；三、 能保留對運算的程序或結構；四、擴展了運算的客體範疇（謝佳叡，2004）。 故代數的學習可以大大的增強學生的解題技能，代數的學習在數學領域中是 非常豐富的，然而代數和算術階段的學習卻具有相當大的差異。算術階段只 學習數字，而學習代數除了具有新符號的運算，還有方程式、公式、函數、 參數等新概念，要學生學會分辨、理解、應用這些新的數學物件是比較困難 的。但學校經常在學生還沒掌握到符號的意義時，便進行抽象符號的操弄， 由於缺少具體情境的連結，因此造成學生無法有效地由算術轉型到代數思維 （李美蓮、劉祥通，2003）。 Kieran（1989, 1992）認為學生代數學習的困難，主要可分為三個部分(1) 文字符號的意義；(2)由算術結構到代數結構的轉移；(3)結構的辨識和使用。 文字符號的理解和代數學習成就有關，在初學代數時，對於代數符號直觀的 假定、將日常生活或其他課程所學到的文字符號代入、新課程學習過程的干 擾、不當的教學引導，都會造成文字符號學習上的困難（MacGregor, 1997）， 文字符號的理解雖無法立即改善代數學習的成就表現，不了解符號意義卻會 導致更多的學習障礙（楊中宜，2006）。而許多學生無法正確的分辨、理解 不同文字符號的角色（Phillip, 1992）。 結構轉移造成的問題則是源自於算術與代數思維及解題歷程上的差 異，算術運算的重點在於解出一個數字作為答案，而代數運算則在於了解運 算間的關係。故等號在算術中代表的是結果，而代數卻是代表等價的關係。 代數的初學者常將其在算術上的運算法則及概念延續至代數的學習。造成等 號錯誤，或過度化簡直至出現特定數字的問題。而解題的過程，算術是一個 線性、連貫的過程，但並沒有固定、正式的解法。而代數卻強調先描述問題， 找出數與數彼此的關係。再以正式的解法操作、求解。故學生在學習算術時 的舊經驗是影響代數學習的重要因素。 此外代數運算中，充滿了大量結構性且複雜的文字符號及規則，例：交 換律、分配律、未知數乘法、代數式的化簡、未知數合併運算，何時選擇正 確的運算規則，亦會影響代數運算的結果，結構的辨識與使用也是造成學習 代數困難的因素。為減少初學代數者的學習困難、增加學習成效，以多重表 徵的方式提供代數教學一個新的方式（Kieran & Yerushalmy, 2004），許多的 研究亦支持教具有建立數學理解的效果，而教材以多重表徵方式呈現時，學
習者更容易理解（Picciotto, 1993）。 在教學內容上，應該一、專注於關係，而不僅僅於計算數值上的答案； 二、專注於操作、反向操作及其相關的概念，例如：執行與復原；三、專注 於問題的描述和解決，而不僅僅解題；四、同時專注數字與文字符號，而非 單獨於數字。這包括了：使用可能作為未知數、變數、參數的文字符號；允 許學生非封閉、非正規的表達回應；比較性質上的等價；五、重覆注意等號 的意義（Kieran, 2004）。 並以提出代數活動的概念作為學習代數的方式，並替學校教學中眾多的 代數活動提供了一個框架和模式。代數活動在此分為三類（Kieran, 1996, 2004），如表 2-1-4： 表 2-1-4 代數活動的分類 一般化活動 Generational activity 包含了建立代數的表示和方程式的活動。在此專 注於情境、性質、模式、關係的表徵和解釋。很 多有意義的代數學習都發生在這個階段。 遷移活動 Transformational activity 這包括了＂以規則為基礎＂的代數活動，例如： 化簡、展開、相加、相減、多項式表示、解方程 式、等價式的替換等。關鍵則在於讓代數的表示 和一般化的活動相連結。 世界/元活動 Global/meta-level activity 在這種活動中，代數被作為一種工具、但卻不純 粹為代數活動，包含問題解決、建模、注意結構、 研究變化、一般化、分析關係、修正、証明、預 測等。這也是代數學習最重要的目的。 此種分類的特色在於跳脫早期階層式的分類，擴大了代數學習的範圍也 兼顧了初級代數學習和高級代數學習不同的學習目標。在一般化的活動中， 重點在於思維的建立，及賦予學習意義，大部分的代數活動，尤其是初級代 數的活動都屬於此類，而多樣的教材、教具亦多應用於此。而高級代數的學 習多將代數視為解決問題的工具。這個模型隱含的基本假定為：推理的思考 透過圖像、表格與符號等多重表徵，有助於代數思維的形成（陳嘉皇，2007）， 我們亦可反推假定多重表徵的教具對於已具有代數思維，而著重於複雜文字 操弄的代數學習，成效較不顯著。簡而言之，多重表徵之代數學習對於初學
者或低學習成效影響較大，對於高級代數的學習成效影響較小。 以解題歷程來看，如何轉譯問題，並尋找一般化的規則，亦是代數思維 和算術思維的重要差異，文字表徵的了解、練習與經驗的累積，是無法造成 思維結構上的改變。一些益智類的學習活動，例如：魔方陣則被認有助於初 期代數思維的培養（Gardiner, 2003）。魔方陣本身是一個方形的矩陣，而每 行、每列及對角線總合必需為定值。在解題的過程中，學習者可以使用試誤 法作為解題的技巧，而試誤法為一種結構性的思考型態，屬於算術思維。但 在反覆的操作、累積而後觀察，讓學習者發現隱含於魔方陣中的等差數列。 其中觀察、尋求規則的過程，即是代數思維的轉譯問題，而利用文字符號描 述等差數列，則是一般化的概念。在這個活動中學習者可以發現，算術思維 在面對魔方陣等學習活動時，無法順利解題，而代數思維的解題過程，則可 大幅的簡化問題，並形成一般化的解答廣泛推廣至不同的情境，亦可提高學 習者學習代數的動機。由以上可知，代數思維的建立可以不依賴文字表徵的 描述，且減少學習者因文字符號的困難，造成代數學習的困境。
2.2 多項式展開與因式分解的數學內涵 從各國關於初等代數的課程標準看來，便可發現：多項式展開與因式分 解蘊含了許多的數學概念在其中。NCTM 關於數學學習分為四個要項：（1） 了解樣式、關係及函數；（2）使用數學符號陳述用途及分析數學情境及結構； （3）使用數學模式陳述及了解量化關係；（4）在多種情境脈絡下分析改變。 若分析 6-8 及 9-12 代數的課程目標，如表 2-2-1。對於多項式的學習目標是 了解其性質，因為多項式與因式分解是一個綜合性的概念，開始加入文字符 號的抽象運算規則，跳脫早期文字符號為一個未知數的概念，若多項式及因 式分解的概念不了解，會造成爾後代數學習的困難。 表 2-2-1 NCTM 6-12 年級代數課程標準 教學目標 6-12 年級學生代數能力指標 了解樣 式、關係 及函數 以圖表、文字或是必要時以符號法則陳述、分析及歸納多 種樣式的規則。 能關聯、比較不同形式的關係表徵。 能從圖表、方程式的性質對照、辨認線性及非線性函數。 利用明確、反覆定義的函數產生樣式。 了解函數與關係，用不同的方式陳述並可彈性的轉換。 藉由觀察變化程度、截距、原點、漸近線、局部或全體的 特性、分析一個變數的函數。 理解並操作函數的算術合併、繪圖、逆推等轉換。並利用 技術以較複雜的代數表示。 了解、比較使用函數如：指數、多項式、分數、對數和周 期性函數的性質。 描述兩個變數的函數。 （接下頁）
表 2-2-1（續 1） 使用數學 符號陳述 及分析數 學情境及 結構 發展對於變項不同用途的初始概念理解。 推展符號表徵及圖形線段間的關係，尤其是截距和斜率。 使用代數表示情境及解題，尤其是包含線性關係的問題。 辦認、一般化簡單代數表示的等價形式，並解線型方程式。 理解代數式、方程式、不等式和關係式…等，等價形式之 意義。 寫下等式、不等式、聯立方程式的等價式，並流利的解出(以 心算、紙筆運算解簡單問題，運用科技解大部分問題)。 利用代數符號描述、解釋數學關係。 利用包括遞迴式、參數式等多種代數表徵、表示函數及關 係。 判斷代數操作結果(含利用科技獲得的結果)的意義、實用 性及合理性。 使用數學 模式陳述 及了解量 化關係 使用圖表、方程式等不同表徵，歸納與解決情境問題。 辨別情境中必要的量化關系，決定可模組化關係的函數類 別。 利用符號表示(包括反覆及遞迴的形式)，表示多變脈絡中 的關係。 從模組化的情境中獲得合理的結論。 在多種情 境脈絡下 分析改變 利用圖形分析自然中線型關係的變化。 從圖形或數據中估計並描述變化程度。 2.2.1 多項式展開的數學內涵 代數經由長時間的發展，產生了許多領域，經由文字符號的表現，讓加、 減、乘、除等運算規則，擴展到符號的範圍。一般而言，多項式可以下列形 式表示： n nx a x a a0 1 ... ，然 x 在代數運算中可以視為函數關係，亦可視為 未知數，具有多重的意涵，故須對多項式先做完整的定義與了解。 國立編譯館九十年八月再版二刷，國中數學教科書第三冊及康軒九十七 年九月第三版國中數學教科書第三冊對多項式的定義為：
由數和文字符號x進行加法和乘法運算所構成的式子，稱為x的多項式。 參考康軒數學教學手冊，關於乘法公式、多項式的教學目標，乃透過面 積的具體表徵，以文字符號表示正方形與長方形面積。在多項式乘法中，康 軒版教科書是以單項式乘法出發，其單項式運算是這樣敘述的：單項式連乘 的時侯，是將係數與文字分開相乘，然後把係數乘積寫在文字符號前面。而 多項式運算則可分直式運算、分離係數法及橫式運算，直式運算的模式較類 似國小算術乘法的過程如下： 其中不同冪次的項式可對應至算術中不同位數的概念，而 x 相乘則表示 成指數的形態，而橫式運算則以分配律作為運算規則。
x2
x3
x2 3x2x6 x2 5x6 在此可以發現，在敘述過程中，多項式運算規則的描述，少有意義的描 述，亦少有代數與早期算術運算的連結，卻多援用算術運算的方法，故學習 者多易將早期算術運算的概念，帶入代數運算中（Van Amerom, 2003），常 只知道計算方法卻不知道理由，變成機械式而非理解式的學習（謝宜玲， 2002）。常見的文字符號的錯誤類型有：（1）代數符號具有序列性，例 a、b、 c，a 是排在 b、c 之前的數；（2）代數符號代表特定數；（3）代數符號與過 去相似錯誤的連結；（4）賦予代數符號特定數值（楊中宜，2006），而戴文 賓、邱守榕（2000）亦歸納學習代數常見的錯誤有：（1）缺乏對代數式簡記 的 認 識 ， 例 如 ：3x 3x ；（ 2 ） 缺 乏 對 「 同 類 項 」 的 瞭 解 ， 例 如 ： 3 4 8 3 5 4 3x x x ；（3）括號的去留問題；（4）運算符號、性質符號與 等號，例如：不允許運算結果還有運算符號的存在，故會繼續化簡至運算符 2 2 2 ) 3 3 6 2 5 6 x x x x x x x (1)3 2=6 (2)3x=3x (3)x2=2x (4) 2 = x x x (4) (3) (2) (1) (2) (1) (2) (3) (4) (1) (3) (4)號消失為止。此外對於文字符號概念的發展，亦發現學生無法聯結代數表徵 及圖形表徵。表現在多項式展開與因式分解形成幾個錯誤：一、未知數 x 和 係數是分開的兩個數。二、同類項之錯誤，例：3x=3x、x2= 2x ，兩者是 否為同類項，是否合併？三、指數的形式困難，指數運算對於學習者亦是學 習上的困難，若學習者過度化簡指數運算的內涵，單代表 x 的次數，則易發 生 xy、yx 及 2 x y、 2 xy 是否等價的問題。四、運算過程的講述仍是程序性的 過程，等號仍代表操作，不代表關係。五、多項式展開本身屬於結構上的操 弄，本質為兩個等價式的替換，文字表示無法表現兩者等價之數學意涵。因 此，代數的學習困難常受限於早期經驗、文字符號的理解及規則的掌握，造 成無法了解數學意涵，流於零碎及缺乏意義的學習。 2.2.2 因式分解的數學內涵 歸納各版本數學教科書對因式分解的定義為：將一個 x 的二次式寫成兩 個一次式的乘積，叫作二次式的因式分解。故因式分解與乘積展開互成正 反。而解題方式可分為下列幾種：提出公因式、分組分解、利用乘法公式做 因式分解與利用十字交乘法做因式分解。 1. 提出公因式： 3ax2 6ax 其公因式為3ax提出後得到 3ax2 6ax3ax
x2
2. 分組分解 x23xbx3b 上式可以發現並沒有公因式可提取，故採用分組分解的方式其方式如 下： (1) 將原式的項作適當分組。 (2) 分別提出每一組的公因式。 (3) 將經過處理後的每一組當作一項，再將各項提出公因式。
x x
bx b
x x
b x
x
x b
b bx x x23 3 2 3 3 3 3 3 3. 利用乘法公式 3625x2 62
5x 2 65x
65x
便是利用平方差公式作為因式分解 4. 十字交乘法 此時考慮 2 x 項及常數項的係數 2112137 221
22
2
11 2 11 經嘗試可得21x2 31x22
x2
21x11
（薛圳宏，2002） 在此可以發現，因式分解的動作，大量仰賴多項式展開的概念與了解。 運算過程是一個逆向的過程，故思維結構和多項式展開迥異。故在因式分解 方面的學習困難，常發生在：一、多項式乘法理解不足或有錯誤概念。二、 思維結構上的困難。表現在解題上，可以發現學習者無意義的作答或是空白。 綜合上述，多項式展開與因式分解依分類而言，都是屬於結構的探索與 操弄，其中牽扯的概念很多，有括號去留的問題、對同類項是否了解？運算 符號、等號的認知及分配律等代數規則的運用。這些概念都會造成學習上的 困難。其中因式分解在數學上是多項式展開的反向操作，在思維結構上更是 困難。2.3 數學學習成就的性別差異 在數學學習中，不同性別是否造成學習上的差異？一直是個令人注目的 問題，但兩者的關連還受許多其他因素的影響。在文獻中可以發現，常因施 測時空的不同，造成結果的差異，部分相關研究整理如表 2-3-1。 表 2-3-1 國中學生之代數及數與量學習成就測驗之相關研究 研究者 年份 研究對象 研究結果 Man,Wang & Magone 1977 七年級 比率題對男生較有利 Fennenma &Sherman 1978 中學時期 1、 女生在計算方面比男生有較高之成功 率。 2、 男生在解決情境敘述之文字題的成功 率則高於女生。 Linn & Hyde 1989 七年級 女生在數學成就上優於男生 Becker 1990 七到九年 級 男生在代數是上表現較佳，算術題的表現 並無差異。 Forst, Hyde & Fennema 1994 中學時期 1、 數學整體表現及在計算能力上女生稍 優於男生。 2、 在問題解決上女生稍佔優勢。 黃財尉、 李信宏 1999 七年級 1、 分數運算對女生較有利，整數加減對男 生較有利。 2、 計算題及應用題並未產生顯著的性別 DIF 結果。 陳慧珍 2000 七年級 1、 在傳統式代數文字題的解題能力沒有 顯著差異。 2、 有在引導式代數文字題的解題能力，男 優於發。 林詠娟 2003 七年級 在分數診斷測驗的表現上沒有顯著差異。 （接下頁）
表 2-3-1（續 1） 黃有義 2004 八年級 不同性別的學生在代數越級學習成就上並 無顯著差異 張靖宜 2005 八年級 在以代數、比例與計算為內容之測驗，性 別無顯著差異。 陳亮君 2005 七年級 在以 pattern(數與量之連結)為內容之測 驗，性別無顯著差異。 蔡逸勝 2006 七年級 在以數型與規律(數與量之連結)為內容之 測驗，實驗前之測驗結果，性別無顯著差 異。 曾建銘 2006 七年級 男生與女生在成就測驗上的表現有顯著差 異，達.01 顯著水準，研究顯示女生之表現 優於男生。 資料來源：“數學學習成就之性別差異研究─以九年一貫課程七年級數學綱 要為例＂，黃國清，民 97，中等教育，59（4），46。 綜合研究發現，在數學學業表現上，高中階段前的性別差異不大，甚至 在某些領域女生的表現較優（簡茂發，1994；吳明隆，1999）。例如：女生 在算術、初級代數較男生稍有優勢，而男生在具有情境、引導內容的解題有 較好的表現。 一般來說，有幾個因素會造成性別表現上的差異：一、生物因素：包括 智力分布不同、認知風格不同、性格差異。二、社會因素：自我期許、刻板 印象威脅、社會期望差異。男女智力在整體上並無明顯差異，但在特定幾個 分項可以發現男女的智力表現是不同的，多數的女生在語文測驗上表現稍 佳，而在數學和空間視覺方面則為男生表現較佳，智力商數上沒有明顯差 異，兩性間在智力上縱有差異存在，也只是質的問題，而非量的問題（張春 興，1994），數學方面，女生則在數字計算技能、分數演算、符號關係的分 析及新觀念的衍生較佔優勢，男生則在數學推理與空間視覺問題解決（黃幸 美，1995），男女的認知風格亦有所不同：一、男生傾向從內容中獲得資訊 而女生著重於內容、情境本身。二、道德推理或其他問題解決時，男生傾向 在規則的基礎上作分析，而女生則傾向整體式的方式並重視同理。三、男生 傾向於急躁且願意冒險，而女生傾向小心、細膩。四、男生常將成功歸功於
己、失敗歸究於人，而女生則相反，且失敗的歸因常影響後續的表現。五、 男生的互動包含對話充滿競爭，而女生傾向於合作的方式，對話則常因參照
不同的發言人而決定（Murphy & Gipps, 1996）。而刻板印象威脅是性別差異
的社會化原因，刻板印象指對團體成員典型特性所抱持的信念，在性別上就 是男女有別的知覺。刻板印象不一定完全正確，卻常普遍存在於團體中（陳 皎眉、孫旻暐，2006），其具有五個特性：一、刻板印象威脅不僅限於心理 學中被岐視的團體而是普遍性的威脅。二、刻板印象威脅的發生機制在於與 刻板印象有關的情境。三、刻板印象威脅的類型及強度依不同情境而改變。 四、個體不需認同、擔憂刻板印象，仍受促發的刻板印象威脅影響。五、即 便個體努力克服，仍受刻板印象威脅影響（Steele, 1997）。依趨勢來說，性 別差異和學習成就在某些部分是有關連的：一、隨時代演進男性數學成就優 勢漸弱女性數學成就優勢漸增。二、年級增長，女生數學優勢漸減而男生漸 增。三、國二女生在初級代數的表現較男性稍佳。四、性別差異在高學習成 就的現象，較低學習成就明顯。五、男性在數學成就的分佈較為兩極化（盧 雪梅、毛國楠，2008）。 而許多研究亦顯示女生對於非標準化測驗之數學成績較男生高，但在標 準化測驗中男性表現則較好。而可能的原因有：一、男生數學或科學活動有 較多經驗。二、女生在類似作業表現較好，而男生在新奇工作中表現較佳。 三、男生和女生的學習風格不同，男生偏向獨立完成，女生偏重背誦（Kimball, 1989）。 以基測作樣本，可以發現在國文、英文題目中，「字形、字音、字義」 的表現女生較優，而「工具、國學和文化知識」的差異最小，而數學測驗中 題幹文字敘述轉成未知數列式對女生比較有利，而幾何和問題解決的問題較 有利於男生（盧雪梅，2007）。由 Maccoby 和 Jacklin（1974）指出女性在語 言能力是高於男性，若文字敘述轉成未知數題目或初級代數的學習表現優於 男性，可能源自於代數具有語言性質的因素，而引入多重表徵可能有助於克 服男生在初等代數表現較差的學習現象。
2.4 具體教具與虛擬教具的探討 本節分別就具體教具（physical manipulatives）與虛擬教具（virtual manipulatives）兩個部份來探討。 2.4.1 具體教具（physical manipulatives） 具體教具是能讓使用者拿起、旋轉或重新排列的真實物體，並藉以了解 數學的抽象概念，例如：七巧板、幾何版、十格版……等（Suh, 2005）。在 目前的教學現場中，具體教具的取得很方便，學生所使用的教科書出版商會 於開學初提供教師當學期可使用的教具，教師亦可自行設計、製作並於課堂 上使用來輔助教學活動。 根據瑞士籍的兒童心理學家皮亞傑（Jean Piaget, 1896~1980）的認知發 展論（congnitive-developmental theory），兒童的思考模式不同於大人，必須 經過不同的階段才接近成人的想法（張春興，1994）。 1. 感覺動作期（出生至兩歲） 靠感覺獲取經驗。感覺動作期的末期發展出物體恆存的概念，逐漸 從純反射性行為進步到有目的的行為。 2. 前運思期（二歲至七歲） 有使用符號來代表事物的能力，思考仍然是自我中心而且只注意到 事物的某一面，無法同時考慮多個向度。 3. 具體運思期（七歲至十一歲） 具備邏輯推理能力，能根據具體經驗的思維來解決問題；具有可逆 性及新的思考運作能力；思考不再限於單一向度，解決問題較少受 到自我中心的限制；但還無法抽象思考。 4. 形式運思期（十一歲以上） 能夠做抽象和純符號思考；能使用有系統的實驗來解決問題。
認知是一個複雜的歷程，而符合認知的學習才能獲得成效。在此我們可 以發現，不同的發展階段是需要不同的的教學方法，而具體操作與多重表徵 是有助於學習者的類化與統整。以折紙來說明正方形與畢氏定理、用圖形說 明分配律展開
2 2 2 2ab b a b a ，這些具體操作的方式不但簡單還可了解 幾何與代數間的關連（楊淑芬，1992） 以等號為例，在許多關於代數文字表徵的文獻中都表現，在算術思維及 代數思維中等號代表的意義不同，在算術思維中，等號代表的是一種操作、 一個運算的結果，而在代數思維中等號則代表關係上的等價。在算術思維過 渡至代數思維時，學習者常受早期認知的影響，若一味的使用傳統的文字表 徵教學，會發現代數學習困難重重。而使用多重表徵的一般化代數活動，可 以處理文字表徵在等號學習造成的困難。Hands-On Equations 是一個代數學 習上著名的教具，常用在學習初級代數（Borenson, 1997），近來亦應用於中 學代數的學習，以天平兩端的不同物件代表已知數及未知數，以平衡的關係 表示等號。若對應 Kuchemann 關於文字符號的分類，可以發現物件的概念 是較高層次的認知解釋。具體操作的動作表徵及視覺表徵，也讓學習者在學 習的過程中更容易注意到彼此的的結構與關係，跳脫等號就是運算結果的先 備經驗（Suh & Moyer, 2007）。然而國中階段的學生正處於具體運思期與形式運思期當中，皮亞傑也提 到這四個階段會因為不同的個體而有很大的個別差異，有人發展得快，也有 人發展得慢，但各階段的前後順序是不變的。而具體教具能幫助學生建立、 增強與連接不同的數學表徵。學生透過實際動手操作實體物件，可以更強化 學生的理解。另外，在數學課中有使用教具來輔助學生學習比未使用的學生
表現好（Raphael & Wahlstorm, 1989；Sowell, 1989）。因此，使用教具是可以
促進數學抽象概念的理解（Terry, 1995）。Suydam 與 Higgins 也於 1977 年發
表他們針對幼稚園至八年級的學生使用具體教具的研究結果，他們發現有使 用教具的學生有較好的學習成就，且他們也發現要使具體教具產生正面的結 果關鍵在於教具是否有好好的運用。根據以往的研究結果顯示，教師使用教 具的經驗會影響學生的學習成就（Raphael & Wahlstrom, 1989；Sowell,
1989）。
教具的效用也會受到教師使用教具的目的及方式而有所影響。曾經有研 究者針對十位中學教師使用教具來教授數學概念長達一年的研究，發現教師 在課堂當中使用教具並非總是了解使用教具的目的，以及他們所選擇的教具
並不能充分表達教師所要傳達的數學概念，而沒有使教具發揮應有的效用 （Moyer, 2001）。因此，教師對教具的了解以及使用方法，也是會影響教學 的效果。 2.4.2 虛擬教具（virtual manipulatives） 隨著科技的進步，教具的形式也有了改變，在電腦上模擬出具體教具的 形體，並進而透過滑鼠來操作與互動，稱之為虛擬教具。經由這樣的技術所 產生的數位化影像，能幫助學生對於數學抽象概念的理解。許多具體教具需 要較大的空間來讓學生實際操作，虛擬教具模擬了具體教具的形狀，讓學生 透過電腦的模擬來操作物件，甚至可提供即時性的回饋。Moyer, Bolyard 與 Spikell（2002）認為虛擬教具是具有互動性的，且以網路為基礎並可建構數 學知識的動態物件。虛擬教具能夠達到具體教具所要表現的概念，且能夠補 足具體教具無法呈現的概念（王智弘，2006）。 相關研究發現虛擬教具優於具體教具有以下五點（Char, 1991）： 1. 可降低教室管理的困難度。 2. 由於教學系統可以提供指引、回饋以及提示，因此可以減少對學生 作業的組織、監控及批改的困難。 3. 幫助學生在數學的概念表徵中建立概念上的連結。 4. 透過視覺科技來提供更清楚的數學概念模型，例如：動態模擬。 5. 鼓勵學生之間的合作以及使學生的作業可以快速的再次展現及查 看。 在教學過程中具體教具的價錢以及管理限制了學生使用的機會。然而， 虛擬教具的發展提供給所有的學生使用卻沒有額外的花費。而且虛擬教具的 設計通常是以現今數學課程中已包含的具體教具為模型，利用虛擬教具促進 學生理解代數中以具體教具呈現的相同概念。此外，學生的注意力會集中在 螢幕以及新穎的課程當中，而專注於手邊的作業。虛擬教具的指引、回饋及 提示可以提供學生一個問題解決的環境去發展數學的概念理解。換句話說虛 擬教具可以是一個充滿簡單、方便，甚至立體教具的虛擬環境。除此之外， 虛擬教具除了以上所提到優於具體教具的論點，Izydorczak（2003）也曾經 整理出虛擬教具的八大優點如下： 1. 虛擬教具可以監控學生學習活動。
2. 虛擬教具比具體教具更具有擴張性。 3. 虛擬教具能夠呈現出更細微的概念。 4. 虛擬教具比具體教具更容易操作。 5. 虛擬教具適合大團體的教學。 6. 透過輔助說明的連結，虛擬教具可以清楚的表徵數學符號和程序。 7. 虛擬教具所需的經費比具體教具來的少。 8. 相較於具體教具，虛擬教具所產生較少的班級管理問題。 國內外有許多學者正積極致力於虛擬教具的開發及執行實證研究，也得 到了許多研究結果，整理部分研究結果如表 2-4-1： 表 2-4-1 使用虛擬教具部分研究結果 研究者 研究主題 研究對象 研究結果 Goins （2001） 多項式乘 法 修 習 代 數 一的 32 個 班 在技巧與理解部分有使用教具的比未使 用教具的效果來得好。 Reimer & Moyer （2005） 分數概念 三年級 19 位學生 學生的概念知識有顯著的提高，且虛擬 教具提供立即性的回饋有助於學生學習 更多的分數概念，且比傳統的紙筆快， 讓學生更喜歡學習數學。 Suh （2005） 分數加法 及等號 三 年 級 2 個班 虛擬教具組表現比具體教具組好，且能 幫助學生更清楚分數的運算過程。 Smith （2006） 代數概念 的理解 五年級 39 位學生 後測成績虛擬教具組與具體教具組沒有 顯著的差異，但是學生較喜歡使用虛擬 教具來學習代數概念。 Steen, Brooks & Lyon （2006） 幾 何 教 學、學習 態度、互 動 一年級 31 位學生 在前測成績虛擬教具組低於控制組，但 在後測試題上卻超越了控制組，有顯著 的進步。 （接下頁）
表 2-4-1（續 1） 王 智 弘 （2006） 探討多方 塊 七年級 60 位學生 虛擬教具組與具體教具組沒有顯著差 異，但使用虛擬教具的學生較專心、想 法比較多元、方塊重複的數目也較少。 另外在虛擬教具的環境下，低分組比高 分組有較大的進步空間，另外，在虛擬 教具組中，男生的表現比女生好。 劉 賢 建 （2006） 數字樣式 一般化 七 年 級 2 個班 虛擬計算機的教學與傳統教學的效果相 同，但是虛擬計算機能增加延宕效果， 且能提升學生的數學學習態度，以及有 助於學生澄清錯誤觀念。 Verharen （2007） 前代數及 幾何 七年級 34 位學生 虛擬教具組優於傳統教學且有顯著的差 異，另有 70%的學生認為線上的虛擬教 具是有用的學習活動。 林 瑞 蘭 （2008） 周長與面 積 三 年 級 2 個班 使用萬用揭示板比傳統教具更具有立即 性與保留性的學習成效，以及學生可澄 清迷思概念且能增進學生學習數學的正 向態度。 彭 健 彰 （2008） 重量概念 四 年 級 2 個班 虛擬教具組優於具體教具組且達顯著差 異，而延後測的部分虛擬教具組優於具 體教具組但未達顯著差異。 張 玉 琪 （2009） 鑲嵌圖形 八 年 級 2 個班 使用虛擬教具與具體教具的效果相同， 但是虛擬教具教學對於高分組學生學習 比具體教具好，以及使用虛擬教具對不 同性別的學生在後測成績上沒有顯著的 差異。 因為虛擬教具與具體教具本質上的雷同，可以發現研究結果依研究設 計、課程設計、教學者的經驗以及使用的虛擬教具而有所差異，但隨著科技 的進步，虛擬教具可具有更多具體教具不具有種類和性質。Smith（2006） 以39位5年級的學生為對象，比較學生在多項式展開的學習過程中，使用具 體教具或虛擬教具所造成的影響，雖然實驗結果並未獲得顯著差異，但可以 發現學生是偏好使用虛擬教具作為操作的工具，這即代表虛擬教具相較於具
體教具是有一些優點存在，而能否取代傳統的具體教具是需要更多的研究來 檢核及修改，因此這是值得去探究的領域。 代數磚(Algebra Tile)是一種利用幾何圖形幫助學生了解代數思維及代數 概念的數學教具，由多種卡片製作而成，而不同色塊的卡片代表不同的面 積，用於教學上，它可以非常巧妙的處理代數學習上的困難（Picciotto, 1993）。若分析該教具在多項式展開與因式分解教學中，所代表的數學意涵 可得： 1. 代數的相乘可視為兩個代數項的二項式展開：二項式為矩形的長與 寬，矩形面積則形成二項式展開的乘積。 2. 其中長、寬未知數與已知數的混同，即代表代數的加法。 3. 而全長本身為未知數與已知數的集合，即代表括號：括號分處矩形 的長、寬，可由空間上判別括號的異同。 4. 同類項可以邊長和矩形形狀的圖形分類表示。 5. 分配律以分割出的小矩形代表：矩形的總面積與分開各個小矩形求 得的面積總合，在幾何意義上相等。 6. 代數表徵與圖形表徵相連結：許多初學代數者在算術思維可以解決 問題的情境下認為代數的學習是不必要的(Ainley, 2005)，而代數表 徵對初學者亦是無意義的符號，然幾何表徵對學習者而言，是熟悉 且有意義的，連結代數表徵與圖形表徵，可讓學習者賦予代數學習 上的意義。 這種代數與基礎幾何的連結，以具體可操作的教具代替講述，可促進學 習成就的進步，Goins（2001）以 32 個班為對象利用 Algebra Tile 作為教材， 比較一般、視覺化呈現及教具操作三種不同的教學方式在多項式乘法單元 中，學生學習成就的表現，發現教具對於學生學習有正面的影響，尤其是技 巧和理解的部分，學習者更能掌握、解釋運算過程的意涵。而 Sharp（1995） 以 5 個班級為對象，比較使用 Algebra Tile 為教具與未使用教具在代數學習 成就上的差異，亦得到透過教具操作的學生，更能增進代數中概念的了解， 雖在一般的紙筆測驗中，可能無法在短期間展現效果，卻可以引發多項式展 開和其他概念的連結，尤其是低學習成就者。讓學生擺脫單純記憶，體會面 積與分配律的關連性（方鳳娟，2002）。因為低學習成就者可能代表原有的 表徵方式無法促進學習，而需要不同的表徵促進學習。這代表學習者可比單 純的練習、運算獲得更深入的理解（江佳蕙，2001；Picciotto, 1993）。
