多項式展開與因式分解的數學內涵

從各國關於初等代數的課程標準看來，便可發現：多項式展開與因式分 解蘊含了許多的數學概念在其中。NCTM 關於數學學習分為四個要項：（1）

了解樣式、關係及函數；（2）使用數學符號陳述用途及分析數學情境及結構；

（3）使用數學模式陳述及了解量化關係；（4）在多種情境脈絡下分析改變。

若分析 6-8 及 9-12 代數的課程目標，如表 2-2-1。對於多項式的學習目標是 了解其性質，因為多項式與因式分解是一個綜合性的概念，開始加入文字符 號的抽象運算規則，跳脫早期文字符號為一個未知數的概念，若多項式及因 式分解的概念不了解，會造成爾後代數學習的困難。

表 2-2-1 NCTM 6-12 年級代數課程標準

教學目標 6-12 年級學生代數能力指標

了解樣 式、關係 及函數

 以圖表、文字或是必要時以符號法則陳述、分析及歸納多 種樣式的規則。

 能關聯、比較不同形式的關係表徵。

 能從圖表、方程式的性質對照、辨認線性及非線性函數。

 利用明確、反覆定義的函數產生樣式。

 了解函數與關係，用不同的方式陳述並可彈性的轉換。

 藉由觀察變化程度、截距、原點、漸近線、局部或全體的 特性、分析一個變數的函數。

 理解並操作函數的算術合併、繪圖、逆推等轉換。並利用 技術以較複雜的代數表示。

 了解、比較使用函數如：指數、多項式、分數、對數和周 期性函數的性質。

 描述兩個變數的函數。

（接下頁）

表 2-2-1（續 1）

由數和文字符號x進行加法和乘法運算所構成的式子，稱為x的多項式。 者多易將早期算術運算的概念，帶入代數運算中（Van Amerom, 2003），常 只知道計算方法卻不知道理由，變成機械式而非理解式的學習（謝宜玲，

號消失為止。此外對於文字符號概念的發展，亦發現學生無法聯結代數表徵 及圖形表徵。表現在多項式展開與因式分解形成幾個錯誤：一、未知數 x 和 係數是分開的兩個數。二、同類項之錯誤，例：3x=3x、x2= 2x ，兩者是 否為同類項，是否合併？三、指數的形式困難，指數運算對於學習者亦是學 習上的困難，若學習者過度化簡指數運算的內涵，單代表 x 的次數，則易發 生 xy、yx 及x y² 、xy²是否等價的問題。四、運算過程的講述仍是程序性的 過程，等號仍代表操作，不代表關係。五、多項式展開本身屬於結構上的操 弄，本質為兩個等價式的替換，文字表示無法表現兩者等價之數學意涵。因 此，代數的學習困難常受限於早期經驗、文字符號的理解及規則的掌握，造 成無法了解數學意涵，流於零碎及缺乏意義的學習。

2.2.2 因式分解的數學內涵

歸納各版本數學教科書對因式分解的定義為：將一個 x 的二次式寫成兩 個一次式的乘積，叫作二次式的因式分解。故因式分解與乘積展開互成正 反。而解題方式可分為下列幾種：提出公因式、分組分解、利用乘法公式做 因式分解與利用十字交乘法做因式分解。

1. 提出公因式：

3ax² 6ax

其公因式為3ax提出後得到 3ax² 6ax3ax





2. 分組分解 x²3xbx3b

上式可以發現並沒有公因式可提取，故採用分組分解的方式其方式如 下：

(1) 將原式的項作適當分組。

(2) 分別提出每一組的公因式。

(3) 將經過處理後的每一組當作一項，再將各項提出公因式。



 

 

 

 





b bx x

x²3  3  ² 3  3  3  3  3 

3. 利用乘法公式

3625x² 6² 

  





便是利用平方差公式作為因式分解

4. 十字交乘法

此時考慮x²項及常數項的係數 2112137

²²¹





   

經嘗試可得21x² 31x22







在此可以發現，因式分解的動作，大量仰賴多項式展開的概念與了解。

運算過程是一個逆向的過程，故思維結構和多項式展開迥異。故在因式分解 方面的學習困難，常發生在：一、多項式乘法理解不足或有錯誤概念。二、

思維結構上的困難。表現在解題上，可以發現學習者無意義的作答或是空白。

綜合上述，多項式展開與因式分解依分類而言，都是屬於結構的探索與 操弄，其中牽扯的概念很多，有括號去留的問題、對同類項是否了解？運算 符號、等號的認知及分配律等代數規則的運用。這些概念都會造成學習上的 困難。其中因式分解在數學上是多項式展開的反向操作，在思維結構上更是 困難。