四、 研究結果與討論
4.2 實驗組與控制組學生學習歷程分析
研究者透過教學過程的觀察及分析，並根據學生的學習單與心得及感想 問卷，來探討學生在不同教學環境對相同的學習課程所產生的影響，以下內 容分別針對矩形面積（多項式展開）與拼圖大賽（因式分解）兩個主題，描 述控制組與實驗組中教學者和學習者的行為，最後並針對兩個主題做綜合分 析。
4.2.1 主題一：矩形面積（多項式展開）
1. 控制組的學習歷程描述 （1） 教學者行為
在課程開始之前，教師先在黑板上用藍色的粉筆畫上兩組大型的基準線 如圖 4-2-1，以利教師在講解過程中明確表示矩形的面積以及矩形邊長的位 置。在這堂課的一開始，教師引導學生複習矩形面積的求法、指數律以及以 符號代表數字的單元，因此先問學生矩形面積該如何求出？先從邊長為實際 數字開始，進而將數字轉變為文字符號，所舉的例子分別有：35、44、 11、xx、yy、1x、1y以及xy共八種。當學生都了解之後，接著 引導學生認識多項式，同樣以矩形面積來舉例，教師在黑板上畫上多個不同 的矩形，請問學生這些矩形的面積總和為多少？由於這些矩形的邊長皆由文 字符號來代表，因此將各矩形面積相加之後即會形成多項式，並講解同類項 合併的概念，如圖 4-2-2。
圖 4-2-1 教師在黑板上畫兩組藍色 基準線
圖 4-2-2 教師複習矩形面積及介紹 多項式
接著教師請學生將桌面收拾乾淨以減少學生操作教具的困難，之後教師 將具體教具發給學生，並請學生檢查教具袋內教具的數量是否有少，教具袋 內有六種不同顏色及小的矩形，分別為：xx、1x、yy、1y、xy以 及11，且解釋每種矩形的邊長及面積為何，如圖 4-2-3。學生確認無誤之後，
教師開始講解矩形面積此單元的範例。教師總共示範三題，題型分別為：xx
（單項式單項式）、x x
1
（單項式多項式）、
y1
y2
（多項式多 項式），教師除了講解多項式展開的方法之外，也解說算式的寫法，如圖 4-2-4。範例說明完之後，就請學生依照學習單上的題目來練習，當大部分的 學生都完成四題練習題時，教師請四位學生上來展示他們所拼出的圖形，如 圖 4-2-5。學生展示完之後，教師講解問題探索的部分，針對這個主題做個 小結，如圖 4-2-6。圖 4-2-3 教師介紹具體教具的種類 圖 4-2-4 教師講解多項式展開範例
圖 4-2-5 學生上台展示 圖 4-2-6 教師講解問題探索
（2） 學習者行為
當教師詢問矩形面積如何求時，無論矩形的邊長是實際數字或是以文字
符號來代表，學生都能回答得出來，並且都能專心看老師在台上講解。例如：
教師問：「一個矩形的邊長分別為 x 與 y 時，請問此矩形的面積為何？」，學 生回答：「x 乘 y」。教師進而繼續問說：「中間的乘號可以用什麼代替？」，
學生回答：「一點」，甚至有些學生直接說：「可以不寫」。對於教師所問的問 題，學生大多都可以順利的回答。
前面引導的部分結束後，學生拿到教具後很興奮，因此老師要不斷提醒 學生將教具先放下，請先看學習單的說明及範例。學生剛開始操作教具時會 有點不習慣，而顯得手忙腳亂的，但是很快就能上手了。學生在練習的時候 很少與旁邊同學討論，幾乎都是自己獨自操作，有問題時會舉手問教師。
2. 實驗組的學習歷程描述
（1） 教學者行為
由於學生第一次到電腦教室上數學課，因此教師在課程開始之前先將學 生的電腦開機並且將螢幕調整到虛擬教具操作的畫面，當學生一進教室時，
要求學生先按照座位表就坐並且先不要動電腦。接著教師請學生先看黑板，
開始列舉數個矩形，並詢問矩形面積如何計算，矩形的邊長由實際數字進而 引導用文字符號來表示，所舉的例子分別有：35、44、11、xx、yy、
x
1 、1y以及xy共八種，如圖 4-2-7。複習完之後，接著引導學生認識多 項式，如圖 4-2-8，同樣是以矩形面積來舉例，教師在黑板上畫上多個不同 的矩形，請問學生這些矩形的面積總和為多少，由於這些矩形的邊長皆由文 字符號來代表，因此將各矩形面積相加之後即會形成多項式，並講解同類項 合併的概念。
圖 4-2-7 教師複習矩形面積 圖 4-2-8 教師引導學生認識多項式
以上的複習及引導結束之後，請學生將注意力轉到電腦的螢幕，教師介 紹虛擬教具所提供的小矩形，分別為：xx、1x、yy、1y、xy以及 11，且解釋每種矩形的邊長及面積為何，並且讓學生瞭解矩形旋轉的功能 以及如何將矩形刪除，如圖 4-2-9。介紹完之後，教師開始講解學習單上的 範例共三題，題型分別為：xx（單項式單項式）、x x
1
（單項式多 項式）、
y1
y2
（多項式多項式），在講解圖形拼法的時候，教師請 學生注意到，x、y 是可以調整大小的，如果答案正確，拼完後去調整大小是 不會影響答案，但是如果學生是用拼湊的方式找出矩形面積，拼完之後去調整 x、y 的大小，原本的完成圖就會出現空隙。教師除了講解多項式展開的
方法之外，也解說算式的寫法，如圖 4-2-10、圖 4-2-11。此外，教師亦講解 錯誤的拼法，如圖 4-2-12，此種拼法是用拼湊的方式找出矩形面積，拼完之 後去調整 x、y 的大小，原本的完成圖就會出現空隙。講解完之後，就請學 生依照學習單上的練習題，實際使用電腦來操作練習，當大部分的學生都完 成四題練習題時，教師請四位學生直接在電腦上展示他們所拼出的圖形，教 師則以廣播系統讓全班同學可以看到，如圖 4-2-13、圖 4-2-14。學生展示完 之後，教師講解問題探索的部分，針對這個主題做個小結，如圖 4-2-15。
圖 4-2-9 教師介紹虛擬教具畫面 圖 4-2-10 教師講解多項式展開範 例
圖 4-2-11 教師講解多項式展開算式 寫法
圖 4-2-12 教師講解錯誤拼法
圖 4-2-13 學生示範畫面 圖 4-2-14 學生示範畫面
圖 4-2-15 教師講解問題探索
（2） 學習者行為
學生第一次在電腦教室上電腦課，因此他們在電腦教室外面排隊時就顯 得很興奮，很好奇究竟會是怎樣的一堂數學課。學生進到教室後，由於電腦 的畫面已經被老師鎖定因此無法先自由操作，不過學生也很安靜的坐在座位
上等候老師開始上課。接著教師在複習矩形面積時，將邊長設定為文字符號 的例子，如教師問：「當有個正方形的邊長為 x 時，請問此正方形的面積應 該如何表示？」，一部分的學生回答：「x 的平方（即x2）」，也有許多學生直 接回答：「x2」，教師就以同樣的問題再問一次，學生也發現錯誤的地方，而 幾乎所有的學生都能回答：「x 的平方（即x2）」。
教師講解完之後，學生就可開始練習，在練習的過程中，很快的就習慣 虛擬教具的操作方式，除了有時圖形設定得太大時，會不小心被垃圾桶吃 掉，經過老師提醒之後，就很少有這樣的問題出現。另外，學生是透過滑鼠 來操作教具，所有的畫面都呈現在電腦螢幕上，因此學生在練習的過程中不 會出現桌面大小不夠的情形。另外，由於學生可以去調整 x 與 y 的大小，因 此當學生將兩個的大小不小心調整成有比例關係時，就會出現如圖 4-2-16 與圖 4-2-17 的錯誤，經過教師的提醒之後，這樣的錯誤有減少許多。
圖 4-2-16 x 與 y 大小關係成比例時 的錯誤
圖 4-2-17 x 與 y 大小關係成比例時 的錯誤
4.2.2 主題二：拼圖大賽（因式分解）
1. 控制組的學習歷程描述 （1） 教學者行為
教師在這個主題當中，向學生講解學習單上的說明，要求學生必須將題 目所給定的數個小矩形，拼出一個完整的大矩形。教師在這個單元提供一個 範例：2x2x。經由範例的講解，讓學生瞭解一個完整的大矩形應該是如何，
當拼出完整的矩形之後，引導學生經由拼完的圖形來分解出此大矩形的長及 寬並說明算式的寫法，如圖 4-2-18、圖 4-2-19。教師講解完之後，請學生使 用教具依照學習單上的題目來練習，並且再次提醒學生，桌面只留下要用的
文具就好，以免桌面不夠使用。
圖 4-2-18 教師講解因式分解範例 圖 4-2-19 教師講解因式分解算式 的寫法
學生練習完之後，教師請四位同學上台示範，使用教師版的教具將自己 的答案展示給全班同學看如圖 4-2-20、圖 4-2-21。學生展示完了之後，教師 進行最後的問題探索，為這個主題做個小結。
圖 4-2-20 學生上台示範 圖 4-2-21 學生上台示範
（2） 學習者行為
休息時間一結束，學生很快地回到座位上準備進行第二個主題，教師在 講解主題二的範例時，由於學生的教具也在手邊，因此有部分的學生是邊聽 教師講解而邊操作。當教師講解完，學生立刻著手練習，這個部分會讓學生 花比較多的時間在思考上，因為學生為了要拼成完整的大矩形，可能會用試 試看的方式來拼，因此，在觀察學生的操作過程中，發現了一個學生常犯的 錯誤，如圖 4-2-22，學生的確是拼出一個完整的矩形，但是完成圖當中會有
幾個小矩形的位置是錯誤的，如圖中(1)的 2 個面積為 y 的矩形與面積為 1 的矩形位置左右交換；及(2)的面積為 y 的矩形與面積為 1 的矩形位置上下交 換，不過，經過教師的提醒，學生多半能避免相同的錯誤，但還是有少數學 生會再犯。
圖 4-2-22 學生拼法錯誤
2. 實驗組的學習歷程描述
（1） 教學者行為
在這個主題當中，教師向學生講解學習單上的說明，提醒學生必須將題 目所給定的數個小矩形，拼出一個完整的大矩形，教師在這個單元提供一個 範例：2x2x。經由範例的講解，讓學生瞭解一個完整的大矩形應該是如何，
當拼出完整的矩形之後，引導學生經由拼完的圖形來分解出此大矩形的長及 寬並說明算式的寫法，如圖 4-2-23，並示範錯誤的拼法，如圖 4-2-24，說明
當拼出完整的矩形之後，引導學生經由拼完的圖形來分解出此大矩形的長及 寬並說明算式的寫法，如圖 4-2-23，並示範錯誤的拼法，如圖 4-2-24，說明