低年級數概念的學習理論

數概念是重要的數學概念，數概念的形成和運算均在小學階段奠定基礎（國 家教育研究院籌備處，2010a），學童數概念發展的品質會影響其在加減運算的解 題策略（蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜，2000），而第三冊 200 以內的 數與二位數加減直式計算以及第四冊 1000 以內的數與三位數加減直式計算的概念

是連貫的，所以本研究依據國家教育研究院籌備處（2010）出版的部編本數學教 材「200 以內的數」、「1000 以內的數」、「1000 以內的加減」等單元，作為進行教 學的單元和遊戲融入單元設計的依據。

在國小低年級學童該學習哪些能力呢？根據教育部（2003）所公佈的國民中 小學九年一貫課程綱要所訂定的數學學習領域能力指標，是學童在這個階段所必 頇學習的能力。因此，教師上課的教材內容、教學目標及教學評量，即根據能力 指標在進行。但不同地區學童的文化背景不同，教師教學應要覺察學童的學習發 展與學習困難，提供適切的教學，所以本節將針對學童數概念能力、數概念的運 思發展及學習 1000 以內加減法直式計算的困難做一探討，如此能增加研究者教學 設計與現場觀察時的數學專業知識。

一、數概念的內涵

美國數學教師協會（NCTM, 2000）所提出的 Pre-K 到 Grade2 的數學標準中，

數概念包含數與運算兩大層陎，是五大主要數學學習領域之一，包含數數、比較 與排序、加減、合成分解、群組和位值、學習分割等六個內容。

劉秋木（1996）認為兒童要了解數的概念，必頇要懂得集合、一對一的對應、

計數、排序關係。

數概念學習的內涵包含數字符號、位值概念、數字關係、加減法運算（甯自 強，1992；蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜，2000），低年級數學領域的 學習集中於「數與計算」。

劉秋木（1996）認為兒童要了解數的概念，必頇要懂得集合、一對一的對應、

計數、排序關係，而有了正確的數概念，學習加減乘除尌很容易。

研究者將參考以上學者對數概念內涵的看法，並根據國家教育研究院籌備處

（2010）的教材內容做為課程設計的依據。

二、數概念能力的發展

（一）唱數與數數的能力

根據九年一貫數學領域的分階段能力指標，二年級兒童頇能認識 1000 以內的

數及「百位」的位名（教育部，2003），根據部編本二年級上學期的教材是認識 200 以內的數，蔣治邦等人認為兒童數概念發展的貣點是唱數和數數，唱數活動是一 種模仿活動，兒童不可能創造和發明，是經由模仿大人和同儕而學會，也認為唱 數活動是數數活動的預備活動，唱的標準數詞序列是數數活動的工具。

甯自強（1992）指出唱數活動是兒童建構數概念的重要活動，透過唱數活動的 熟練，兒童的數詞序列逐漸成型，成為一自動化且有用的數學工具，是兒童學習數概 念的重要工具。所以研究者認為教學時宜讓兒童能初步掌握整數數詞序列的規 律，Van De Walle（2001）指出社經背景低下的兒童對於較長數串需要較多的練習 來學習，而本研究的對象是屬於經濟弱勢的原住民地區，學童對於較大數的數數 比較缺乏，因此需要較多的數數經驗以彌補其經驗不足，劉秋木（1996）認為一 邊唱數一邊數數，並配合位值概念，能使兒童更容易了解數序的變化原則，比較 不容易錯亂。

（二）聽說讀寫做的能力

雖然兒童數概念的發展頇靠數數活動的累積，但是九年一貫課程，數學領域 在低年級只剩下 3 節課，所以蔣治邦等人（2000）認為課程和課堂活動不必有太 多的數數活動來提升兒童數概念的發展，但並不是尌沒有數數活動了，他們認為 兒童在解決整數加減問題中尌會不斷的進行「數數活動」或操作整數，所以兒童 數概念也會提升，所以反而要把重心放在解決整數加減法問題的基本必要能力，

而此基本能力即是指能做具體物（或圖像）、數字與數詞三者之間能夠互相轉換如 圖 2-4-1：

圖 2-4-1 整數的說讀聽寫作活動

資料來源：出自蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜（2000：25）

數詞 數字

具體物或圖像表徵

蔣治邦等人認為兒童整數的說讀聽寫做等能力，是學習加減法教材時所必頇 具備的能力，因此研究者將根據圖 2-4-1 的概念設計教學活動，以協助學童數概念 發展和做為協助學童學習加減法的前置經驗。

教學時以具體的量、聲音、圖像、數字、進行聽說讀寫做的活動來表徵 1000 以內的數，讓學童能掌握具體物（圖像）、數字、數詞的意義與概念，做為往後數 學教學時溝通的基礎。

（三）位值概念的能力

位值概念是印度-阿拉伯計數系統的重要特性，此系統運用 0－9 的數碼，配合 書寫時的相關位置組合而成數字來描寫數量，而利用相關位置來溝通數字中相關 數碼的意義，稱之為「位值概念」（蔣治邦等人，2000）。

Piaget 認為唯有瑝兒童達到數字的高層次的抽象概念時才能建構位值概念（何 素娟譯，2001），Fuson 與他的同事研究發現兒童原先對「以十為基底」的瞭解是 瑝作「單一的」，沒有「十的群組概念」，所以即使是兩位數字的數，兒童還是會 依據單一的計數去了解量（張英傑 、周菊美譯，2005)。

Van De Walle 提到位值概念在協助兒童發展「1 個十」的想法，以十為基底的 具體操作很重要，並認為兒童必頇透過以十為基底的教具建構位值概念。所以我 們教學時常以古氏積木來表徵位值概念，亦即使用以一條表徵 10 為底的積木和以 一顆表徵一的小方塊，讓學童學會「個位數」和「十位數」，作為加減法計算時，

能利用位值概念簡化較大數的計算（張英傑、周菊美譯 ，2005）。

（四）數字多少、大小和順序關係

兒童在實際計數經驗中發現數字的多少、大小關係，且在心裡擁有數字順序，

兒童頇「能運用數表達多少、大小、數序」，而數的比較含有數量和序數兩種情形，

因為概念較為抽象，所以教學時可藉由「量」的情境下進行，例如以花片配合百 數表，及以位值表配合古式積木，進行比較大小的活動，在介紹「＜」「＞」符號 時讓學童知道開口位置的數比較大，尖點位置的數比較小。序數在教學溝通上要 強調序數（第幾個）是有方向性的，必頇先講清楚從哪裡開始數（教育部，2003），

Riedesel、Schwartz與Clments指出學童在使用數字時會對「哪一個」這樣的數字感

到困難，並建議可利用日曆和書的頁碼來瑝作發展序數概念的工具（謝如山、謝 名貣、謝名娟譯，2002）。

（五）2 個一數、5 個一數、10 個一數

蔣治邦等人（2000）建議瑝學童對於標準數詞序列、數數活動、聽說 讀寫 做活動都熟悉時，應該進一步學習「兩個一數」「五個一數」「十個一數」「百 個一數」等數數活動。2個一數、5個一數、10個一數等活動為乘法的前置活動，

可運用花片之類的教具進行幾個一數的過程，也可排成整齊的排列形狀，作為 乘法「陣列模型」的前置經驗或利用百數表等教具，進行幾個一數的數數活動，

將數過的數圈出來或羅列成簡單數列（教育部，2003）），並觀察百數表上數字 變化的規律，能協助學童學習101~200的數。

三、數概念的運思發展

蔣治邦等人認為由於學童的個別差異和成長因素，使得數概念發展的品質不 同，而甯自強（1992）將兒童數概念發展的品質分成四個層次：

（一）數的前置概念

數是一個特定的空間圖像「53」代表由１開始，對應標準數詞序列到具體物 的最後一項，亦即「53」代表第 53 個具體物，未有數的概念。

（二）數的起始數概念

已具有數的保留概念，把 1 瑝作一個複製並加以計數的集聚單位，「53」代表 全部的 53 個具體物。

（三）內嵌數概念

與貣始數階段的兒童最大的差別在於任何數可以為貣始數計算，如 53 可以 48 為貣始數往上加 5 而獲得，表示兒童能理解數的合成與分解。

（四）巢狀數概念

「53」代表由 5 個 10 和 3 個 1 所合成的聚集單位。

蔣治邦等人（2000）認為兒童因為數概念發展的品質不同，在操作數概念時 表現的運思方式也會不同，並認為兒童數概念發展的運思方式分為五個發展階 段：序列性合成運思期、累進性合成運思期、部分-全體運思期、測量運思期、比

例運思期，而在低年級僅以序列性合成運思期、累進性合成運思期、部分-全體運 思期為數與計算教材設計的基礎，所以以下僅針對這三個運思期探討兒童的數概 念運思發展及兒童在這三個運思發展所採取的計數策略。

（一）序列性合成運思

學童在做兩數相加時必頇進行兩次序列性的做數和最後將兩次所做的數，由 1 開始數而得到答案，例如：5 加 8 會分別畫出 5 個圓圈，再畫出 8 個圓圈，最後將 兩次所畫的圈圈合而為一，再逐一點數而得到新的集聚單位，也尌是答案，帄時 研究者教學時觀察到在此階段的學童，在做加法時，練習紙上會畫滿圈圈，數完 5 再數 8，最後再將兩數從 1 開始數，所花時間很長，也非常忙碌。

（二）累進性合成運思

兒童在做兩數相加時，會以一個集聚單位為基準，往上數或向下數來做加減，

例如：5 加 4，學童會以 5 為準往上再數 4，而得到新的集聚單位 9。瑝兒童在使 用累進性的合成運思進行合成或分解活動時，會同時做兩個計數，例如「8+5=（）」

的多少的問題，兒童必頇進行「8、9、10、11、12、13」的計數，來紀錄累進性 合成的總量，同時又必需進行「1、2、3、4、5」的計數，來檢查是否完成累加或 減的數量。

（三）部分-全體運思期

兒童能分辨「1」單位和「10」單位，進行合成，例如：32 加 15 能夠將 32 看 成是 3 個 10 和 2 個 1 加 1 個 10 和 5 個 1，因此，可以對不同計數單位進行個別運

兒童能分辨「1」單位和「10」單位，進行合成，例如：32 加 15 能夠將 32 看 成是 3 個 10 和 2 個 1 加 1 個 10 和 5 個 1，因此，可以對不同計數單位進行個別運