第五章 結論與建議
附錄 2 個案學生 S2 的訪談內容摘錄
(一) 向量的基本意義
題號 逐字稿內容
09 S2：坐標表示法是，它的向量的坐標嗎？
師：對。如果你是數學家，你會怎麼規定？
S2：就是它的長度，再加上它的方向。
師：恩，那譬如這個你要怎麼寫？
S2：就是根號 5，是長度。方向就是…呃…畫一個右上箭頭 師：那它就變一個圖形了嘛，我要的是坐標。用比較數值的方式 S2：那用加號嗎？
師：什麼意思 S2：正根號 5 配上 (略)
S2：[學生想] 還是就是直接用它那個 橫的長 跟直的長。
師：譬如這個你要怎麼規定？
S2：恩…好像不行耶。[想了一下] 這樣，(1,2)，對啊，這樣 (略)
師：(1,2)跟(2,1)長得不一樣啊。…你是說算出來長度一樣？因為它長度本來就可以一樣 不是嗎？
S2：喔對 [靜]
師：如果這是(1,2)、(2,1)，這個你會說它是？
S2：(2, -1)嗎 [教師指(-2, -1)]
(略)
師：往下走要算-1，往上走要算 1？那為什麼有一個是 2，你那個(2,-1)的 2 哪來的？
S2：喔往左，應該是-2。
師：都可以，你要有一個脈絡。
S2：往右就是正吧，往左是負。往上是正，然後往下是 負，所以剛剛那個應該是(-2,-1)
(略) 13 (略)
139 S2：就是它們兩個向
量都是 5
師：向量都是 5？
S2：它們距離都是 5 師：那我把這個遮住 [把 = 5 = 遮住]，你 覺得對嗎？
S2：恩…好像不對
師：對啊，那怎麼會這樣，想一下？你為什麼會覺得不對了？
S2：因為它們兩個方向不一樣，所以，應該沒有相等 師：那你修正一下，那兩個是不同的向量
S2：所以這錯喔！？
(略)
18 師：你有辦法點出大概的位置嗎？大概的位置就好了 S2：這裡吧[學生區域判別正確]
(略)
師：[學生想] 你現在只有在想四邊長相等要怎麼找出它，還是在想別的？
S2：我在想要怎麼求這個坐標。就是這兩個一樣長。
師：你換個角度看它，給你一個提示 ：菱形它也是一種平行四邊形。[學生想] 咦你確 定我剛剛說菱形也是平行四邊形這句話是對的嗎？
S2：應該是對的吧。好像是。對 師：這件事情你之前知道嗎？
S2：知道，只是忘記了 師：忘記，但是你知 道嘛。Ok [學生寫]
好，你的(9,3)突然就 出現了，出了什麼事？
S2：恩，因為就是平行四邊形，所以這長度一樣[指對邊] ，就是看它的坐標，先看 x 坐標，-6 到 2 就是距離是 8，所以我就想說就是加 8，所以是 9，然後這裡-1 減-2 是 1 ，所以這邊是 3，就 2+1，3。
(二) 向量的基本運算
題號 逐字稿內容
140 21
(略)
22 師：那你有沒有辦法知道 u 的坐標表示法就求出 v 向量？
S2：恩就是…就是倍數的關係吧 (略)
S2：就是它的 x 分量跟 y 分量都會等比例的放大 師：為什麼？
S2：因為它們斜率都一樣。所以如果那個倍率放大，它也會等比例放大 (略)
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師：你可以把 a 向量相關的資訊都畫出來，除了長度 4 跟長度 3，還有什麼東西你可以 知道？
S2：[學生寫]
師：然後 b 向量的東西你好像只知道一部分，你知道的是長度 1 嘛對不對。你既然要 圖解，你就把那些資訊都畫在圖上
S2：[學生寫]
(略)
師：你現在前面都有結論了喔[指 21(2)]，a 向量跟 b 向量的長度關係你也知道了，所以 那個 t 你應該大概能抓。
S2：[學生寫]
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146 這，然後，那邊呢？我們怎麼決定？
S2：邊是兩個那個向量當兩邊。
師：恩那是我們想拆成線性組合的時候，我們才這樣做。
S2：可是這樣這樣是一個三角形
師：是啊 。你看一下我的平行四邊形，我也沒有剛好是 OB 呀 S2：喔對耶 對厚 [學生想& 寫]
師：可以呀，這有什麼幫助？你隨便看那個圖，OP 可以怎麼拆解？
S2：你說…和嗎？
師：對
S2：這個加這個嗎？[指 OQ、OR]
師：可以呀
S2：那有什麼用啊？
師：這個能不能寫成 OA 的係數積？
S2：這寫得出來是多少嗎？
師：你覺得寫得出來嗎？題目有東 西你沒用
S2：喔，恩，欸 [學生寫]
(略) 55 (第 2 小題)
S2：然後這個四分之三 OA 大概在這，然後三分之一 OB 在這，然後這邊畫一個，欸！
等一下，欸，好像會在陰影裡面。欸等一下。
(略)(第 3 小題)(略)
S2：那我可以用三角形法嗎？
師：對那你用三角形法，你是先走到這要停下來，你不會飛走 S2：喔對，所以
(略)
S2：然後這個四分之三 OA，五分之一 OB，這裡。
師：五分之一為什麼往左邊？[學生靜默] 正五分之一還負五分之一。
S2：喔對，這裡。所以這樣子，喔不對，這，平行四邊形，所以是這樣。
師：但是會落在哪？會在三角形內部還是會到陰影？
S2：三角形內部
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149 師：x=1/2，y=1/2.
150 S2：然後(5/2, 5/2)
師：那個式子有點妙，它是 x=1/2，不叫 1/2x。應該是 1/2 u 吧 S2：[頓]是喔？
師：是嗎？是 x=1/2 耶 S2：對厚，我都這樣寫。
(略)
S2：然後…這是 x= -2, y=1/2。
(略)
S2：然後這個的過程，不知道去哪了。就是就是 x= -2, y=1/2。
師： x= -2, y=1/2… 恩？ x= -2, y=？
S2：1 (略)
師：為什麼要圍出一個…所以是這四段，你說是這四段？
S2：就是這個圖形裡面都可以 (略)
S2：因為，就，就是就是這些都是最大或最小的時候，所以，一定不會超過這個範圍 (略)
S2：恩…因為因為這一點是，就是…什麼啊，(1/2, 1/2)的時候，然後這裡是 1/2 的時 候，所以所以就是這一段就是指 x 都等於 1/2，然後 y 從 1/2 到 1 的時候，所以，就 是。
(略)
S2：恩，就是 y 變動的值，就是會往上一點，所以就是會把它變這條線。
師：好，所以就這條。那為什麼就變整塊了？你這塊是 x=1/2，然後 y 是這個區間 S2：對，然後所以…若就是然後這一條是 x=這個，然後 y 在這個區間
師：恩，ok
S2：所以就是在這個區間，就是一直這個斜線這樣子，就是如果都是 x 值在這裡面，
然後都是 y 這個區間的話。
進 6 (略)
S2：然後…是三倍的，這樣子是 3 倍的 CQ 距離，所以 1 倍 CQ 距離是
師：它不只是有距離厚。因為它是向量嘛，告訴你的不只是有長度，所以 1 倍的 CQ 是什麼？你講完整。
S2：所以 1 倍的 CQ 就是…[學生想]
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152 師：x 為什麼不能是負的？
S2：[學生想一下]喔，對厚。
(略)
S2：對啊，就是這一條嘛，這 一條。
S2：因為因為 y 沒有限制的 S2：所以所以就是 x=1 師：沒錯就是這一條。所以不 是中間一小段而已啊，它是一 整個直線
#7
S2：[學生寫]
(略)
S2：斜線吧！斜直線。
(略)
師：[學生寫到 AP= (x+2y, x-y)]這很難讀，這你可能要再換一個方式，你現在用這種方 式寫的話，你可以令這邊等於 t，重新改寫，那後面就變什麼？
S2：[學生寫] t， t-3y (略)
師：[靜]不對啊，你為什麼還有它 [指 y] ，你題目還有東西還沒用，你這長得有點太醜 了。題目有哪個東西沒用到？
S2：這個嘛？ [指 2x+y=2]
師：你完全沒用到那句話耶~
S2：喔！對厚！
(略)
S2：這個是負 t…加 2。沒有變好讀啊
師：有沒有比較好讀？你可能跟它不熟，因為它是參數式。
(略)
師：P 點的坐標就是所有 y 等於[S2：-x+2] -x+2 的那些點 S2：喔，就是全部都可以
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