研究結論

本篇論文提出了兩個研究問題，首先是探究高中生在學習平面向量線性組 合時呈現什麼樣的認知特徵與學習困難？其次高中生在平面向量線性組合時的 認知結構為何？針對第一個問題，筆者會做出關於質性與一些量化的描述，第 二個問題則依後測表現摘要說明，並提出建議。

一、高中生在發展平面向量線性組合的過程中所呈現的認知特徵與學 習困難

見圖 5-1 與圖 5-2，第一階段的全部題目採計共 52 題，每位學生的平均學 習時間為 4 小時 43 分鐘，自主學習完成率是 77%。其中，「向量的基本意義」

共有十七題，每位學生的平均學習時間為 1 小時，自主學習完成率是 82%。再 來，「向量的基本運算」共有二十二題，每位學生的平均學習時間為 2 小 13 分 鐘，自主學習完成率是 75%。最後，「向量的線性組合」共有十三題，每位學生 的平均學習時間為 1 小時 30 分鐘，自主學習完成率是 74%。另外，各組在學習 時間的差異不明顯。

若比較三組狀況，各組在第一階段的平均學習時間為：頂標組 4 小時 14 分 鐘 <精熟組 4 小時 48 分鐘） <基礎組 5 小時 6 分鐘。其中，頂標組 S1 學習時 間不到 3 小時，明顯比其他人快很多; S2、S4、S5 的學習時間都超過 5 小時，

他們恰好拉長各組的時間。因此從組間差異程度來看，最後各組的時間差異並 不明顯。另外，各組的自主學習完成率分別為：頂標組 87% >精熟組 82%>基礎 組 63%。其中，精熟組 S3 的 90%勝過頂標組 S2 的 82%，他提高了所在組別的 完成率; 而基礎組 S5 的 55%大輸頂標組 S1 的 91%，他降低了所在組別的完成 率。因此從組間差異程度來看，基礎組的程度反應與其它兩組比起來明顯較 弱。

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4070 3745 4275 4060

3140 4910

9770

6385

9000 9930

8005

3230

6270 5500 5740 6855

4820

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118 加法中，一開始半數學生就以合力或位移的角度來思考（S1、S2、S3），S5 則 是只關注長度，有點不相信𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ 。半數學生（S2、S4、S5）剛開始會 S1、S2、S3 需要介入。最後在比較向量關係與長度關係的題目中，四位學生認 為 3|𝑎 + 𝑏⃑ | = 3|𝑎 | + 3|𝑏⃑ |這樣的式子是合理的，他們可能對於向量加減法物件

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有些錯誤概念，或者無法自行去膠囊化以比較差異。此外，學生最後在學習向 量合成時，有半數學生需由老師再次提醒才回想起兩種向量幾何加法細節

（S2、S4、S5）。

（三）「向量的線性組合」的學習時間中等且自主學習完成率較低：

「合成」的學習時間為 44 分鐘，自主學習完成率是 73%。「拆解」的學習 時間為 45 分鐘，自主學習完成率是 75%。兩者的學習時間和自主學習效果幾乎 沒什麼差別，所花費的時間在坐標與幾何角度來看也沒有明顯差異。若比較三 組的特別狀況，在「向量的線性組合」裡的自主學習效果更動為：頂標組 86%

>精熟組 82% >基礎組 53%。筆者發現程度較差的學生在這個項目的自主學習效 果非常不良，而且他們與前兩組學生的差異是明顯的。

1.「合成」的學習時間中等且自主學習完成率普通：整體而言，學生線性組合 合成過程還算順暢；學生皆需介入才能膠囊化線性組合合成物件。

學生大多能合成向量坐標加減法和係數積的運算，但 S6 可能因四則運算不 熟練而導致錯誤。頂標組和精熟組能將線性組合後的向量視為靜態物件，當給 定兩向量係數區間時，大多學生在引導下能畫出線性組合終點形成之圖形，但 由於背後隱含實數區間與向量終點圖形的對應關係，理解且記憶、保留解題過 程所需概念並不容易，學生在後測時，多記得答案為平行四邊形，包含頂標組 僅半數學生能夠以平移或掃過的區域解釋。

2.「拆解」的學習時間中等且自主學習完成率普通：向量拆解成線性組合的學 習過程中，多數學生需介入；幾何表示的主要困難在於無法由「對角線和兩鄰 邊的一部分」還原平行四邊形；坐標表示困難主要來自二元一次方程式，尤其 是錯誤詮釋解的意義；給定任意幾何圖形，學生很難將圖中一向量去膠囊化，

改寫成其它兩不平行向量的線性組合。

六位學生都具備平行線截等比例線段的先備知識，學生在判斷一向量能否 拆成另外兩個向量之線性組合時，半數（S1、S2、S3）在坐標形式下能假設方 程式並順利寫出向量之線性組合，另外半數學生（S4、S5、S6）對於解的情形 記憶錯誤或不會假設方程式，無法順利拆成線性組合；在幾何形式下，僅 S1、

S3 能立即判別，其他學生在 GGB 圖形提示下能說明向量間之關係，總結性測 驗顯示頂標組會先考慮較快速的幾何表徵再考慮坐標表徵，基礎組則較善於操 作坐標表徵。最後，在幾何圖形中將一向量拆解成其它向量的線性組合時，僅 S1 能自行拆解，其他學生即使能以加減法或係數積改寫向量，大多時候也無法 自行分析圖形間各向量之關係，顯示要建立學生向量基本運算基模間的連結需 要更多的介入與幫助。

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二、高中生在平面向量線性組合的認知結構

S1 整體認知結構緊密且完整， S2 在前測坐標拆解需介入，後測時他可獨立完 成，並顯示其具備坐標過程，S3 對於線性組合的代數拆解較需介入，S4 則具備 線性組合合成物件，但幾何過程仍未建立穩健，S5 具備零碎之線性組合過程與 物件，尤其是幾何表徵仍在動作與過程間往返，S6 的物件相較於過程較不穩 健。總結六位個案學生後測情形可發現：

1. 學生在係數積表徵轉換較不熟悉：S2、S4、S5 將代數與坐標表徵轉為幾何 時思考不完備，S6 則是無法自行處理。

2. 部分學生尚未內化穩固的加法幾何過程：S2、S5 在解題過程中有時會錯誤 操作向量幾何加法。

3. 學生在向量幾何減法傾向以合成「加法」和「反向量」來處理：幾乎所有學 生都將減法改成「加上反向量」來處理。

4. 形成線性組合物件較為困難：除了 S1，其它學生或多或少不穩健，筆者猜 測學生可能未能連結基本運算基模，導致以線性組合拆改向量出現困難。