依起源分解初稿發展後續研究工具如下：
一、 活動學習單《見附錄 12》
筆者依 GD 設計活動學習單，並將活動編號匯整至雙向細目表《見附錄 15》。為增加學生探索臆測與主動建構概念的機會，活動單中每個子概念引入 時皆設計 GGB 活動，同時也動態呈現部分例子，以幫助學生抓取抽象概念或 動態過程；每個概念介紹後，都有第一階段，評量題目則是參考龍騰、翰林、
南一課本，以及歷屆學測試題設計。然而受限於時間，若學生出現困難，無法 重覆多次確認學生是否已習得相關概念，有時老師即使發現學生概念不清，仍 必需繼續進行下個活動，活動學習原則上即依此活動單流水號進行，內容不傾 向於鉅細靡遺的活動安排或示範，若學生有需要才會適時提供一步步的提示。
截取部分活動示例如下：圖 3-1 第 9 題是向量的坐標表示法的探索臆測活動，
第 10 題則是給學生以紙筆做練習。
圖 3- 2 活動學習單截取
每個活動背後都有一些設計想法，以圖中三題為例：第 9 題的 GGB 活動 中，給學生機會思考向量坐標表示法的訂定方式，讓學生在過程中積極觀察圖
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形，若學生能主動從幾何推出坐標表示法，即可幫助表徵連結、促進向量坐標 表徵內化，而無法自行訂定的學生，也藉此告訴他們訂定規則，第 10 題則是讓 學生實際操作向量坐標加法，由已知物件（點坐標）和前一題觀察出的規則求 算向量坐標，第 11 題則是測驗學生在沒有圖形的情況下，是否能求出坐標表示 法，並算出向量的長度。
二、 GGB 活動檔《見附錄 13》
本研究進行時會輔以 GGB 動態幾何軟體設計的活動，以幫助學習者操 弄、臆測、觀察、歸納、分析，活動後會有正式介紹定義或性質的內容，以幫 助學習者建立新的符號表徵、更精確的數學用語。活動進行前，只有接在勾選 框後的標題會出現，老師依活動學習單內容指示依序顯示陳述文字，譬如在學 生完成活動後，才一一點出說明，如此可避免畫面一次過多資訊造成學生外在 認知負荷，也確保在向學生在介紹定義或特定概念時順序、內容大同小異。以 下以 GGB1-1、GGB3-2 活動為範例：
圖 3- 3 GGB 活動檔範例一
GGB 1-1 活動一讓學生先專注在已有物件「線段」、有向線段的不同，再介紹有向線段的意 義，活動二則讓學生有機會實際「動手」平移向量，再介紹相等向量。
30 圖 3- 4 GGB 活動檔範例二
GGB 3-2 讓學生拉動向量，在拉動的過程去發現圖形中向量等之間不變的關係，例如𝑃𝐶𝑄𝑂必 為平行四邊形、𝑃必在𝑂𝐴⃡⃑⃑⃑⃑ 上、𝑄必在𝑂𝐵⃡⃑⃑⃑⃑ 上等。
三、 後測
後測分成兩部分，前面是向量基本運算測驗（簡稱基本題），後面是線性 組合相關測驗（簡稱進階題），主要來源是第一階段的題目再去改寫，挑選學 生可能比較典型常見或者會有困難的題目。基本題第 1 題測驗以開放性問題測 驗學生會主動憶取哪些向量概念；第 2 題為第一階段的#23（3）類題，可純以 坐標解題，但配上幾何更一目了然；第 3 題則是#21（1）類題，測驗平面向量 係數積幾何 Process，是下一題的基礎；第 4 題是#24 類題，測驗平面向量係數 積；第 5 題是兩不平行向量幾何加法、減法。進階題第 1 題為第一階段#50 類 題，要學生判斷一向量坐標是否能、以及如何拆解成指定向量的線性組合；第 2 題是#51 類題，以幾何呈現線性組合題目，前述兩題都可以利用不同表徵解 題。第 3 題是學生沒看過的題目，需從幾何圖形觀察關係並以向量代數表徵呈 現；第 4 題要學生推導出分點公式，學生在第一階段#54 已處理過特殊例；第 5 題是#48 類題，測驗學生在指定區間內，坐標與幾何表徵轉換的流暢度；第 6 題則以文字陳述，要求學生將點、向量轉化在直角坐標平面上；第 7 題則將兩 向量係數關係以方程式呈現，要求學生在限制下將代數表徵轉為圖形。大多題 目皆為第一階段類題，可藉此比對學生兩階段在類似題目的表現情形；另外僅 進階題的第 3 題為學測改寫題，第 6 題為學測題，第 7 題為南一課本裡的挑戰 題，可幫助筆者探究學生是否能將第一階段所學遷移到新情境。
31 表 3- 3 後測雙向細目表
主題 Action Process Object
向量基本意義 基 1 基 1 基 1
向量基本運算-係數積 基 2、基 3 基 2、基 3、基 4 基 2、基 4
向量基本運算-加減法 基 5 基 5
向量線性組合-合成 進 6 進 5、進 6 進 5
向量線性組合-拆解 進 1、進 2 進 1、進 2 進 3、進 4、進 7
圖 3- 5 後測題號與 GD 對應簡圖
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