本小節說明六位個案學生在後測中的表現，筆者先依個案學生各自的狀況 做質性描述，接著依個案學生在各題的表現給予評分，附上「學習表現示意 圖」，該圖將學生的表現經評分後分成 5 等，呈現在起源分解簡圖中；最後再跨 個案統整說明，並提出研究中發現的教學議題討論。
一、 S1 後測之表現
見附錄 8 的評分表，後測原本共有十五題，因為類題 3 題併入對應題號一 起處理，只剩下基礎 5 題和進階 7 題共十二題。若以滿分 24 分來看，S1 拿到 23 分，答題成功率至少為 95%。見附錄 1，本研究主要在探討「向量的線性組 合」，因此只會針對進階題的答題狀況來討論。見進階第 1 題，他能以坐標表示 法清楚辨別OP⃑⃑⃑⃑⃑ 是否能夠以及如何寫成OA⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合。見進階第 2 題，第
（1）小題裡他從圖形判別AP⃑⃑⃑⃑⃑ 是否能寫成AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合並估算係數; 第
（2）小題除了以圖形判別AP⃑⃑⃑⃑⃑ 是否能寫成AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合，必要時他能轉換 表徵並且輔以坐標表示法求解。見進階第 3 題，他能分析幾何圖形，將一向量 PQ⃑⃑⃑⃑⃑ 拆解成AP⃑⃑⃑⃑⃑ 、AQ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示，再改寫成AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的係數積。見進階第 4 題，他利用平 行線截等比例線段做出三角形，並寫出比例，推導出分點公式; 他利用圖解的 方式，相當簡潔清楚。見進階第 5 題，他將題目範圍內的圖形有系統的畫出，
利用平移掃過所求圖形。筆者認為他應已具備線性組合 Object 概念，才能一次 處理兩個變數組成的向量。見進階第 6 題，他按照題目敘述，依序找出 P、Q、
C 點坐標。見進階第 7 題，他原本畫出一平行四邊形，欲向他人說明時即發現 自己圖形有誤，代入特定數點，即確認圖形為通過 B 點、斜率為-1 的直線，他 很確定答案是正確的，但無法說明。此外，他會代入特定點，確認圖形有一定 趨勢，依固定比例變化; 但教師問學生BP⃑⃑⃑⃑⃑ 向量時，他立刻發現BP⃑⃑⃑⃑⃑ 會在線上並且 平行於同一方向（向量）; 他嘗試以不同的方式說明，但無法釐清想法。最 後，教師讓學生寫類題第 7 題，他找出 x+2y=1 時AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC⃑⃑⃑⃑⃑ 的 P 點圖形是一 直線; 他除了代特定點，也利用 BP 向量確認圖形確實沿一直線前進，而教師也 進一步分享斜角坐標的想法。
102 圖 4- 38 S1 後測表現示意圖
二、 S2 後測之表現
見附錄 8 的評分表，後測原本共有十五題，因為類題 3 題併入對應題號一 起處理，只剩下基礎 5 題和進階 7 題共十二題。若以滿分 24 分來看，S2 拿到 17 分，答題成功率至少為 70%。見附錄 2，本研究主要在探討「向量的線性組 合」，因此只會針對進階題的答題狀況來討論。見進階第 1 題，他以向量平行與 否來判別OP⃑⃑⃑⃑⃑ 是否能寫成OA⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合。見進階第 2 題，他在第（1）小題 裡線性組合的式子是正確的，但在向教師解釋時發現自己的圖形畫錯，這可能 是因為他只記得要圍出平行四邊形，卻一時忽略AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向。他在第（2）小題 裡則是圍出平行四邊形後再估計AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的係數，教師提示說可以藉由坐標化求 出更精確的值，學生只在圖形裡標上點坐標後就停筆，完全忘記前一題才利用 坐標解過題目。筆者認為他在解題時得到的經驗似乎是獨立的，沒有主動從向 量幾何連結到向量坐標。見進階第 3 題，他先嘗試了一會兒即將向量做拆解，
事後表示在改寫成係數積時，雖然書寫著式子的左邊，卻同時去想式子的右邊;
筆者認為這樣的錯誤，可能是因為不專心而將𝐴𝐵̅̅̅̅的1
4看成3
4。見進階第 4 題，他 以 OP 為對角線做出一平行四邊形，再利用平行線截等比例線段得出分點公 式，最後在這一題順利將OP⃑⃑⃑⃑⃑ 向量拆成其它向量的加法、係數積。見進階第 5 題，他算出 x,y 為極值時的向量終點坐標，可惜最後的計算是錯誤的。此外，
算式中誤將𝑢⃑ 、𝑣 寫成𝑥, 𝑦，筆者發現他習慣使用心算，相對地也容易因此粗 心。見進階第 6 題，他依題目敘述將文字符號表徵轉為圖形，在最後一句將文 字表徵轉為圖形時出錯。他在說明時先文字敘述轉為圖形，找出距離𝐶、𝑂距離 後再考慮方向，最後就寫出正確坐標。見進階第 7 題，他先點出數個點並且猜 測出圖形是一直線，但是無法說明理由。之後教師給予一題「圖為鉛直線」的
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類題，他從向量坐標觀察出圖形確實為一直線。再回到本題時教師要求從兩分 量的關係觀察圖形，但因為是學生尚未學過的參數形式，所以最後在將代數表 徵轉為圖形時還是由教師直接講述說明。
圖 4- 39 S2 後測表現示意圖
三、 S3 後測之表現
見附錄 8 的評分表，後測原本共有十五題，因為類題 3 題併入對應題號一 起處理，只剩下基礎 5 題和進階 7 題共十二題。若以滿分 24 分來看，S3 拿到 18 分，答題成功率至少為 75%。見附錄 3，本研究主要在探討「向量的線性組 合」，因此只會針對進階題的答題狀況來討論。見進階第 1 題，他將題目的向量 坐標以幾何形式討論，從向量坐標是否成比例來判斷是否平行，並且使用施力 方向來說明OA⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的合力可沒有可能是OP⃑⃑⃑⃑⃑ ，他在說明時表示理論上應該用二 元一次方程式來解題。在第（2）小題裡三向量平行時，他能一一從OA⃑⃑⃑⃑⃑ 的係數 去找出所對應的OB⃑⃑⃑⃑⃑ 係數，但學生似乎想找出更一般的表達，教師也許可提供參 數的形式來說明。另外，他考慮了坐標、幾何、物理實例，他的說明豐富且表 徵連結轉換頗為流暢; 他能用幾何直觀與二元一次方程式來解答本題，選擇出 最快速簡潔的方式來第理。見進階第 2 題，他在第（1）題裡利用圖解，並且從 P 點回推得到AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的係數；在第（2）題裡他原本也想用圖解，卻發現係數 不易判斷出確切的值，接著改以向量坐標化、二元一次方程式求解，但在解方 程式時漏看一個負號而算錯。本題他也是選擇了最簡潔有效的方式，若無法解 答則會適時調整策略。見進階第 3 題，由於題目中有格子，他利用坐標化解出 此題。教師要求試著不看格子去解題並給予類題 4，他將向量拆解成其它向量 相加減就卡題了; 教師提醒使用係數積來改寫，學生隨即成功答題，並將第 4 題再以拆解的方式改寫一次，接著才完成本題。他在第一階段中曾自行想出係
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數積的拆解方法，但當時沒想到以向量加法拆解; 在總結性評裡則恰恰相反，
他雖然具備這些概念，但在需要時未必能夠靈活使用。見進階第 4 題，他利用 平行線截等比例線段來圖解完成本題。見進階第 5 題，他先從極限值開始畫出 點，但把係數皆為正、皆為負兩種情況各自框起來。教師要求先固定𝑥的值再畫 出1
2≤ 𝑦 ≤ 1的圖，他將𝑥為定值的線段往±𝑢⃑ 平移來畫出所求區域。接著，教師 給予只有一個變數𝑦時的類題，他先是畫出一個平行四邊形，在向教師解釋時就 發現自己的錯誤，自行修正依題目範圍朝±𝑣 方向畫出線段即完成圖形，並且想 出兩個變數時的處理方式，他利用平移的方式掃出題目所求之平行四邊形。見 進階第 6 題，他認為本題利用國中學過的東西就可以解題，筆者認為學生有後 設認知的想法。他在最後曾誤以為3𝐶𝑄⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐶𝑂⃑⃑⃑⃑⃑ ，但在解釋時就發現自己的錯誤，
因此又花時間重新解讀最後一句話，才求出正確的點坐標。見進階第 7 題，處 理2𝑥 + 𝑦 = 2時，他最初只想到正數並且認為0 ≤ 𝑥 ≤ 1、0 ≤ 𝑦 ≤ 2; 筆者認為 從代數表徵轉到口語文字，再轉為代數的過程時曲解了原意。教師給他一題類 似題，他找出特殊點後，教師提示坐標化並將向量坐標代入式子裡; 最後他得 到𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑ = （1, 1 − 4𝑦），觀察後確認圖形為一直線。
圖 4- 40 S3 後測表現示意圖
四、 S4 後測之表現
見附錄 8 的評分表，後測原本共有十五題，因為類題 3 題主要用以輔助線 性組合部分題目故不予採計，只剩下基礎 5 題和進階 7 題共十二題。若以滿分 24 分來看，S4 拿到 17 分，答題成功率至少為 70%。見附錄 4，本研究主要在 探討「向量的線性組合」，因此只會針對進階題的答題狀況來討論。見進階第 1 題，他欲從平行來判斷OP⃑⃑⃑⃑⃑ 能否寫成OA⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合。他記得OA⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB⃑⃑⃑⃑⃑ 平行，
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但OP⃑⃑⃑⃑⃑ 不平行它們的話就無法寫成其線性組合。但是他在判斷平行時有錯誤的比 較方式，似乎只記得可比較兩向量 x 分量與 y 分量之間的關係。教師提醒平行 可從係數積下手，學生說出「OB⃑⃑⃑⃑⃑ 會等於-3/2OA⃑⃑⃑⃑⃑ ，但OP⃑⃑⃑⃑⃑ 沒有等於-3/2OA⃑⃑⃑⃑⃑ 」錯誤的 比較方式。之後，他由第（1）小題訂正的經驗，發現第（2）小題寫錯，並訂 正。見進階第 2 題，本題為幾何呈現向量AP⃑⃑⃑⃑⃑ 是否能拆成AB⃑⃑⃑⃑⃑ 、AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的線性組合，他 先坐標化後求出係數，再從圖形檢驗答案是否正確; 他能以兩不同兩個表徵切 入，但解題關鍵卻以坐標表徵為主。見進階第 3 題，他將向量拆解成加法與係 數積，並且改寫成題目要求的形式。筆者認為他需要不同向量之間元素關係的 理解，能以整體看待找出關係，亦即基模的連結較強。見進階第 4 題，他最初 無法從幾何圖形推出分點公式，藉由類題第 4 題的練習，在給出確切比例時，
學生就可以處理將「內分點向量」拆成兩向量的線性組合; 筆者認為此處顯示 S4 由 A→P。回到此題時，因為前面確切數值解題經驗，學生可以自行推導出 內分點公式。筆者認為這兩題顯示了學生從 Action 到 Process 不是立即的過 程，我們無法從學生能做特定的操弄即斷言他具有某概念的 Process；另一方 面，也有可能是符號的抽象程度太高，以致學生無法思考題目為何。見進階第 5 題，他“記得”圖形是平行四邊形，但答案錯誤。在此題裡，當
學生就可以處理將「內分點向量」拆成兩向量的線性組合; 筆者認為此處顯示 S4 由 A→P。回到此題時，因為前面確切數值解題經驗，學生可以自行推導出 內分點公式。筆者認為這兩題顯示了學生從 Action 到 Process 不是立即的過 程，我們無法從學生能做特定的操弄即斷言他具有某概念的 Process；另一方 面，也有可能是符號的抽象程度太高，以致學生無法思考題目為何。見進階第 5 題，他“記得”圖形是平行四邊形，但答案錯誤。在此題裡，當