由數學教科書脈絡、概念先前的研究、概念的歷史發展等，研究者可以寫 出起源分解初稿（preliminary genetic decomposition），用以引導教學方案的發 展，在實行教學方案後，提供研究者收集資料的機會，並藉由書面工具
（written instrument）或深度訪談來收集資料。在分析資料時，研究者要探討兩 個問題：（1）學生是否建立「起源分解」裡提到的心智建構？（2）學生數學內 容學的有多好？這兩種問題都可能讓起源分解或教學方案有所更動，待經過實 證後（verified empirically），起源分解可做為有用的認知模型、做為「描述學生 概念」與「有效教學設計」的有效工具。
認識論是描述性的理論，而教學或教學的理論則是實踐的理論（Kerr 1981）。本研究理想上想研究學生的心智結構與機制，APOS 理論提出一個關 於心智建構的架構，起源分解提供個體一特定概念的建構時的確切內容，但實 際研究時，學生不會無中生有主動想去建構平面向量的概念，筆者必須提供資 料或藉由互動等方式，逐步引導研究對象建構相關概念，再藉由設計好的研究 工具，由學生外顯的行為與回答等，分析不同學生的建構過程與結果，也因此 免不了需要尋找適當的教學方法介入。由於 APOS 理論傾向於概念是個體所建 構的想法，筆者研究不同的教學理論與主張後，選取以學生為中心的教學理論 為參考，設計研究相關活動並以此為教學指引。
25
Dubinsky 等人採用 APOS 理論、ACE 教學循環設計教學活動時，藉由適當 的活動（activities）和練習（exercise）來幫助學生建構 Action，並幫助它們內 化成 Process、再膠囊化成 Objects，並整合兩個以上的 Processes 來建構新的 Process。本研究的教學活動設計亦包含數學臆測活動，藉以幫助學生主動探索 建構數學概念，筆者在學習訪談時，也會嘗試了解學生臆測結果和探索活動背 後的思維或知識，以及如何作檢驗以支持或反駁原先的猜想，待學生有基本的 概念意象後，才介紹概念的正式定義與性質。教學活動設計提供學生嘗試與操 弄的媒介，著重在幫助學生應用各種心理機制建立概念的各種心理結構，輔以 開放性的問題讓學生說明「所嘗試之事」與「所得結果」之關聯；而在臆測活 動時，則讓學生說明「所嘗試之事」與「猜測所得結論」之間的邏輯關聯。
本研究的主題是關於平面向量的基本概念，學生在平面向量單元時，第一 次正式接觸向量的代數符號與幾何、坐標表示法，隨即就進入平面向量的加、
減、係數積等向量的基本運算。根據 APOS 理論，一方面，學生必需將形如 𝑎 、𝑏⃑ 等單一向量視為物件，才能操弄該物件，像是求出𝑎 + 𝑏⃑ 、𝑟𝑎 等向量；另 一方面，𝑎 + 𝑏⃑ 、𝑟𝑎 等向量不僅隱含一些運算過程，它們本身也能單獨表示一個 向量，因此也是一個向量物件。學習者對於向量這一物件的概念隨著解題與操 弄的經驗增加其豐富性。就如同「5」這個物件，我們可以說正常小學中年級的 學生知道「5」這個物件是什麼，但在國中學生的認知裡，「5」不僅可以計數，
它還是個質數，而在高中生的眼裡，還可以知道「5」也是個虛部為 0 的複數，
隨著學習經驗的增加，學生能更清楚「5」這個物件的內涵以及它和其它物件之 間的關係，但無論如何，我們會先建立學生關於 5 最基礎的概念，像是可以用 來計數、表示某個量。平面向量也是如此，學習活動中，先讓學生認識平面向 量的幾何表示法、向量的基本性質：大小與方向；接著學生認識向量的係數 積，此時關注的不再是單一向量或者是兩個向量是否相等，而是一組有特殊關 係的向量，這一組向量在幾何上的方向相同或相反、在代數中𝑥分量、𝑦分量都 成比例；再來是向量的加減法，在幾何上，可討論不平行向量之間的關係，例 如圖中𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑐 ，𝑎 、𝑏⃑ 、𝑐 三個向量圍成三角形，也就是最基本的多邊形，此 時，再結合坐標表示法，平面向量已準備好和更多其它數學物件建立關係。倘 若結合加減法和係數積，發展出向量的線性組合，甚至可將兩向量做為基底
（代數觀點）或參考的「兩軸」（幾何觀點），建立斜角坐標系，為後續三維、
26
乃至於更抽象的 n 維向量空間建立先備經驗與概念。倘若結合內積，利用向量 就能將幾何問題的邊、角關係，以代數方式運算處理。隨著關注的焦點不同，
物件扮演的角色也隨之不同，本研究嘗試尋找概念建立的可行路徑，在後續的 起源分解中也可看見形成的物件變成新的操弄對象，一次又一次的重覆這個過 程，經由各種認知機制，最終停在向量的線性組合。
為了解學生平面向量概念之認知結構，本研究參考各版本教科書、103 課 綱、十二年國民基本教育課程綱要草案（107 草案）、平面向量概念的歷史，由 筆者於研究會議討論經數次修改，發展出平面向量線性組合之起源分解初稿。
《見附錄 11》該會議由一位資深數學教育教授主導、兩位博士班研究生、數名 碩士班學生參與。筆者在發展完起源分解初稿後，參考歷年來大學學測考古 題、各版本教科書，設計學習訪談工作單，進行前導研究。經前導研究後，發 現原教學模式頗為費時，雖較傳統偏講述式的教學方式能引起學生主動思考，
卻略顯無趣、沒效率，讓學生容易疲乏。為了讓各個樣本間的教學活動差異性 減少、增加學習訪談的結構性，以及基於下列理由，引入 GeoGebra 動態幾何 軟體做為輔助學習平台（以下簡稱 GGB 教學平台）：（1）降低學生概念學習時 的複雜度，專注在概念建立；（2）事先設計做為鷹架，配合學生近側發展區，
轉化不同表徵；（3）做為轉譯工具，透過操弄，發展數學概念。綜合而言，本 研究 GGB 教學平台設計活動主要有三種目的：（1）提供探索臆測的機會；
（2）概念的定義性質等介紹；（2）促使學生發揮內化或膠囊化等心理機制。考 量學生認知負荷，筆者在線性組合的學習活動中，提供學生機會，一次專注在 向量線性組合的局部特質，譬如向量的終點坐標或者向量線性組合的係數等。
筆者將平面向量基礎概念分為三個部分：一是平面向量的基本意義、二是 平面向量的基本運算、三是平面向量線性組合，發展這三部分的起源分解（簡 稱 GD，即 genetic decomposition 之縮寫）初稿，其中第二部分基本運算再依係 數積、加法、減法拆開圖示，每個起源分解圖皆依 APOS 理論顯示相關心智機 制與結構，示例說明如下：《詳見附錄 11》
27 圖 3- 1 起源分解圖說明
表 3- 2 起源分解圖中，判別個體是否具備心智結構的主要依據
心智結構 個體可能表現
Action（動作） 操作特例
Process（過程） 操作任意例子
Object（物件） 視為靜態的狀態、概念性質
Schema（基模） 處理概念間或表徵間的轉換
𝐠開頭：幾何表示法 𝐜開頭：坐標表示法 𝐚開頭：代數表示法 活動學習單對應編號
A 結尾：Action P 結尾：Process O 結尾：Object
28