第五章 結論與建議
第二節 實務與研究的建議
從研究可以發現，影響學生建構平面向量概念的因素很多，學生若在向量 概念的成績不好，可能是四則運算等程序不熟練，導致向量長度或坐標計算錯 誤；相對的，有時學生能正確回答常見題目只不過是因為記住了解題關鍵，傳 統數學紙筆測驗是看不到這個過程的，考試成績有時可能成為迷惑的表象，數 學教師可以思考不同的評量方式，幫助學生建構概念，而非流於規則的記憶。
筆者提出以下教學與研究上的建議，期望能對數學教育與研究盡綿薄之力：
一、教學上的建議
1. 對學生而言，平面向量坐標的基本運算相對容易，向量加減法不過是將實數 加減法放在有序對裡，套用分配律和四則運算就能直接類比係數積和線性組 合的規則，學生可能傾向於依賴坐標數對，而忽略或懶得思考它們在幾何上 的意義，建議教師教完向量的幾何表示法、係數積後，設計活動讓學生主動 連結向量坐標與幾何表徵，擁有豐富而緊密的平面向量物件。
2. 對於反思抽象速度較慢的學生，教師要避免不必要的干擾，例如拿掉格子 圖、向量長短關係不固定等，利用物理上位移、合力的類比可幫助學生思 考，加速學生內化向量幾何加減法的過程與意義。
3. 在幾何圖形中，將一向量拆解成其它向量的線性組合需分析圖形間的關係，
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教師不僅教學生解題，也要設法幫助學生建立各個基本運算間基模的連結。
4. 由個案學生學習情況可發現，學生若不熟悉基本運算，是不可能合成向量 的。建議教師的教學進度往前同時，注意向量的基本運算，才能合成線性組 合，否則學生只會一知半解或流於記憶。
5. 市佔率最大的三個版本的教科書皆以圖形證明兩不平行向量線性組合的存在 性，但對幾何圖像理解較弱的學生，這部分並不直觀，此時教師也可利用二 元一次聯立方程式解的情形說明存在性。
6. 高中數學裡，向量常應用在幾何圖形解題，學生在這類型的困難主要是因為 無法從過往學過的幾何圖形基模中提取所需概念，建議教師可以幫學生統整 複習其它幾何圖形的關係與性質，如菱形、平行四邊形、正多邊形等。
二、研究上的建議
個體除了藉由反思抽象自行建構新的數學概念，也藉由與其他個體互動建 立與測試概念，在學生心智機制不足以處理眼前任務時，教師適時的介入可以 幫助學生建構新概念，本研究由教師與個案學生一對一進行，適時搭建鷹架幫 助學生學習，然而實際課室中同學的影響或許更大，未來研究上也可考慮小組 進行，觀察同儕間的社會互動如何影響學生概念建構。此外，也可試著將測驗 時間間隔拉長，以判斷學生學習保留狀況。
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參考文獻
一、中文部分
陳澤民（譯）（2000）。數學學習心理學（原作者：Richard R. Skemp）。臺北市：
九章。（原作出版年：1987）
蔡敏玲、陳正乾（譯）（1997）。社會中的心智: 高層次心理過程的發展（原作 者： Vygotsky, LS）。臺北市：心理。（原作出版年：1978）。
王湘君（1978）。向量的「內積」與應用。數學傳播， 3（1），120-122
王憲鈿（譯）（1981）。發生認識論原理（原作者： J. Piaget）。北京市：商務印 書館。
張春興（1996）。教育心理學：三化取向的理論與實踐（pp. 32-58、376-410）。
臺北市：臺灣東華。
單維彰（2010）。從四元數到空間向量（上）。科學月刊 41（8），562-573
單維彰（2010）。「向量」從何而來。科學月刊，41（5），332-333
單維彰（2013）。向量在高中數學課程的份量。科學月刊，44（3）， 172-173
鄭毓信（1998）。 建構主義與數學教育。數學傳播，22（3），36-49
詹勳國、李震甌、莊蕙元、戴政吉、侯美玲（譯）（2004）。數學的學習與教 學： 六歲到十八歲（原作者：Marilyn Nickson）。臺北市：心理。（原作出 版年：2000）。
洪壽陽（2015）。台南地區高中學生在「平面向量」單元之錯誤類型分析（碩士 論文）。
黃楷文（2012）。教具融入高中平面向量教學之成效研究（碩士論文）。
123
洪志瑋（2013）。高中生關於向量內積的概念心像之探究（碩士論文）。
李永貞（2009）。高二學生在向量概念學習上的主要錯誤類型及其補救教學之研 究（碩士論文）。
莊景文（2013）。桃園地區高二學生空間向量單元之錯誤類型分析（碩士論 文）。
陳俊廷（2002）。高中學生空間向量學習困難的診斷測驗工具發展研究（碩士論 文）。
林進發（2001）。桃園地區高中學生向量內積之運算及應用錯誤類型之研究（碩 士論文）。
林福來、陳順宇、陳創義、徐正梅、許清土、林信安 （2011）。普通高級中學 數學第三冊（pp.143-218）。台南市：南一書局。
許志農、許琬青、陳清風、謝銘峰、南婷婷 （2011）。普通高級中學數學第三 冊（pp.140-215）。台北縣：龍騰文化。
游森棚、林延輯、柯建彰、洪士薰、洪育祥、張宮明（2011）。普通高級中學數 學第三冊（pp.150-229）。台南市：翰林出版公司。
二、英文部分
Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Fuentes, S. R., Trigueros, M., & Weller, K. (2013). APOS theory: A framework for research and curriculum development
in mathematics education. New York: Springer.
Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K.
(1997). A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education. In Research in Collegiate mathematics education II.
CBMS issues in mathematics education (Vol. 6), pp. 1-32. Providence, RI:
American Mathematical Society.
124
Atkinson, R. C., & Shiffrin, R. M. (1968). Human memory: A proposed system and its control processes. Psychology of learning and motivation, 2, 89-195.
Bruner, J. S. (1964). The course of cognitive growth. American psychologist, 19(1), 1.
Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., & Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process scheme. The Journal of Mathematical Behavior, 15(2), 167-192.
Goldin, G. A. (2002). Representation in mathematical learning and problem solving.
Handbook of international research in mathematics education, 197-218. New
York : Routledge.Kaput, J. J. (1987). Representation Systems and Mathematics. Problems of
Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Edited by Claude
Janvier : Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ. pp. 19-26.Kilpatrick, J. (1987). What constructivism might be in mathematics education. In
Proceedings of the eleventh conference of the international group for the psychology of mathematics education (PME 11). Volume 1(pp. 3-27).
University of Montreal.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. Problems of
representation in the teaching and learning of mathematics, (pp. 33-40).
Netherlands: Kluwer Academic.
National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). (2000). Principles and standards
for school mathematics (Vol. 1). National Council of Teachers of Mathematics.
Parraguez, M., & Oktac¸, A. (2010). Construction of the vector space concept from the viewpoint of APOS theory. Linear Algebra and its Applications, 432, 2112-2124.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in
mathematics, 22(1), 1-36.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in
mathematics, 12(2), 151-169.
Tall, D., Thomas, M., Davis, G., Gray, E., & Simpson, A. (1999). What is the object of the encapsulation of a process?. The Journal of Mathematical Behavior, 18(2), 223-241.
Trigueros, M., & Martı´nez-Planell, R. (2010). Geometrical representations in the learning of two-variable functions. Educational Studies in Mathematics, 73, 3-19.
125
Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of
function. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 14(3), 293-305.
127