第壹章 緒論
第一節 研究背景與動機
一、為什麼要研究平面向量？
每當升大學的考試來臨，總是會看見新聞媒體分享補教或學校教師強調的
「重點單元」，這些重點單元裡的一個常客就是「向量」。自己多年的家教經驗 也發現，高中數學裡向量單元所占比重極高，常見將幾何圖形坐標化後結合向 量以求解的題型，畢竟向量在高中數學裡的份量比重很大，大學學測、指考的 出現頻率高也就不另人意外了。依據教育部普通高級中學 99 修正課綱，高二上 學期數學Ⅲ最後一單元開始學生正式進入數學向量單元的學習，學生先從平面 向量開始，到了高二下學期數學Ⅳ 再進入空間向量，並進一步影響後續「空間 中的平面與直線」的學習。99 修正課綱中，先從幾何表示、坐標表示法兩種不 同的表徵介紹平面向量，接著介紹加、減、係數積、線性組合的基本運算，後 續再引入內積的概念，連結餘弦定理，推導出簡便易算的內積坐標表示法，將 幾何圖形代數化，平面向量在平面圖形上的應用也在此看見精髓。此外，也介 紹向量的其它應用，例如：平面上的直線參數式、向量的正射影、點到直線的 距離、柯西不等式等。
表 1- 1 107 課綱向量相關學習內容
學習內容 數學 A 數學 B
平面向量：坐標平面上的向量係數積與加減，線性組合 V V 平面向量的運算：正射影與內積，兩向量的平行與垂直判定，兩向
量的夾角
V V
平面向量的運算：面積與行列式，柯西不等式 V X
空間向量的運算：正射影與內積，兩向量平行與垂直的判定、柯西 不等式，外積
V X
107 課綱草案中，將普通高中高二必修 8 學分分成 A、B 兩類，建議高數學 需求（例如理工資電傾向）的學生修習數學 A、低數學需求（例如文法藝術傾向）
的學生修習數學 B。在向量相關單元中，B 類學生的學習內容已刪除空間向量，
僅剩下平面向量，由內容可見，B 類學生著重在利用向量幫助找出平面上幾何 圖形的夾角、邊長等關係，透過坐標去連結幾何與代數，A 類學生則需進一步
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學習不同形式的延伸應用，以及更高維度的空間向量運算。
單維彰（2013）引用 2005 年出版的《中小學數學科數學綱要評估與發展研 究》報告書，該文件做了美國加州、英國、新加坡、中國（北京標準）、韓國和 日本的橫向比較，都沒有把向量列為數學必修課程，而台灣約略半個世紀以來 的教材內容都含有向量單元。既然國外不少國家皆將向量放在大學學習，何以 台灣會獨厚向量呢？王湘君（1978）認為向量是近代數學的新工具，在引入內 積後，向量才真正顯現出它的好處，讓計算更為簡潔，它可以幫助我們求線段 長度、夾角、判定兩直線關係、求投影長、三角形面積。單維彰（2013）也形 容「向量是以現代的武器，參與過去的戰爭」，所以許多數學題目以向量的觀點 切入，可將解題過程化繁為簡。
以高中數學來看，向量對於幾何解題有很大幫助，學生卻不容易掌握。林 進發（2001）針對桃園地區高中學生向量內積錯誤類型所做的研究發現學生由 概念不清、未能注意符號實質表徵意義等原因而產生錯誤。李永貞（2009）研 究高二學生向量概念學習的錯誤類型，也有不少屬於學生對符號意義的誤解。
（例如：以為向量記號可以表示向量大小、認為向量記號相加減就是長度相加 減。） 洪志瑋（2013）則認為在高中數學裡，向量直到內積出現後，學生才浮 現明顯的學習困難，即使如此，他在關於向量內積的概念心像的研究中發現，
仍有超過四分之一的學生無法分辨向量與純量的不同。
究竟怎麼樣的教學方式可以幫助學生將平面向量學好？或許我們要先探討 一般性的問題，就是有哪些教學方式可以幫助學生學習？奧蘇貝爾（David Ausubel）提出的講解式教學（expository），主張由教師擬定教學目標，依計畫直 接教導學生，屬於直接教學法（direct instruction），是以教師為中心的教學取向。
除了傳統以教師為中心的教學取向，還有些教學傾向以學生為中心，布魯納的發現 學習理論（discovery learning）即是如此。他主張學生主動探索、進而發現當中的 原理原則，建構屬於自己的概念與意義。受認知學習理論影響，不論教師採用何種 教學取向，不少教育心理學家都認為在討論教師怎麼教之前，應先行了解學生怎麼 學。
近代流行的學習理論主要分為行為取向、認知取向的學習理論。行為取向的學 習理論認為個體在「刺激→反應」後，以試誤的方式逐步修正。Skinner 提出操作 制約學習理論，主張行為後果的愉快與否如何影響個體，若行為後果有愉快的結果 會強化該行為，有不愉快的後果則會弱化行為。Bandura 則認為強化物本身不會對
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個體起強化作用，而是提供個體訊息，引發其學習動機。他的主張屬於會學習論，
認為個體會在情境中觀察別人並模仿。然而，數學是一門重思考的學科，行為取向 的學習理論奠基於老鼠、鴿子等低等動物實驗，很難說明人類如何習得一個抽象概 念，在數學的學習上認知取向的學習理論似乎更能說明個體如何學習。
學者將行為學派提出的「刺激→反應（S-R）」這一公式，改為「刺激–有機 體–反應（S-O-R）」模式，將有機體的內部變化列為考量，這個內部變化是引 起一串反應的關鍵因素，包含目的、認知因素、能力因素等。皮亞傑認為生物 的發展是個體組織環境和適應環境兩種活動的相互作用過程，也就是生物的內 部活動與外部活動的相互作用過程。Piaget 認為個體在知覺與記憶的歷程中，
具備一個複雜的組織系統，稱為基模，它是人類對周圍世界認識的認知架構，
在面對刺激情境時，會將新情境與既有的認知結構核對，做出調適（adapt），
如果能夠直接融入既有架構，則同化（assimilate）到原有基模中，若發生衝突 或需要修正的情形時，原基模則受部分調整，與新情境產生順化
（accommodate）作用。邏輯與數學概念一開始對兒童來說，都是個體外部的概 念，之後兒童才透過內化建立個人的邏輯與數學概念，有些事物在運思時被符 號所取代，藉由一次次的調適機制，摸索出平衡狀態，這個平衡狀態包含低層 次的試誤、探索活動達成，也包含更高層次的分類、命題等抽象活動完成，而 這些層次可能因有利或不利的社會環境而提早或延遲達成。（王憲鈿，1981）
David Ausubel 提出有意義的學習理論（meaningful learning theory），重視教 材間的連結。 Marilyn Nickson（2000）指出學習不只是有目標的活動，還需要 讓學生有意義的學習，行為主義似的機械式練習，讓學生「能夠做（coming to do）」，有意義的學習則講究如何讓學生「能知道（coming to know）」，以幫助學 生適應生活週遭。Skemp（1987）所說的慣性學習即屬於機械式練習、有意義 的學習則類同智慧學習。Skemp（1987）說明慣性學習與智慧學習的差異：在 慣性學習中，知識的適應力很弱，只能在類似的經驗中重覆，它依循行為學派 的觀點，給予個體一定的刺激，產生相對的反應，行為是由外在環境形塑而 成；智慧學習則由個體在了解情境後，設法朝向個人心中的目標前進，具有很 大的認知成分。與其提供學生一套標準作業流程，不如給他們一套知識結構，
這套知識結構 Skemp 稱之為心靈影像，它可以幫助學生在不同的情境下發展新 的計畫以達到目標。中學生學習的數學知識是好幾個世紀以來許多人困心衡慮 累積而成的智慧，如果希望學生在相對短暫的教學時間內學習新的數學概念，
教師必須有好的教學方法，而好的教學方法，需要教師了解學生內在系統如何
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建立和測試、進而幫助建立心靈影像。
綜合前述，我們可以說智慧學習和慣性學習都不可或缺，但人類從剛出生 時，幾乎僅具有本能的感覺反應，若沒有智慧學習，原有的基模如何擴大？所 以筆者認為在形成慣性學習前，學習者或多或少都經歷過智慧學習。在有限的 教學時間內，教師如何幫助學生建構穩健的認知基模以促進智慧學習？依據認 知學習理論的研究成果，張春興（1996）指出教育心理學家們的新構想：教師 要教學生知識之前，必須先了解學生如何學習知識。也因此回答前述問題之 前，我們不得不回答另一個更根本的問題，就是：學習者如何建構一個概念的 心靈影像？