第貳章 文獻探討
本篇論文研究主軸是探究高中生有關平面向量線性組合的認知結構，在研 究問題形成的過程中，除了探究什麼是「概念」，腦中甚至浮現一些哲學的問 題：概念真的是由個體所建構的嗎？在個體認識一個「概念」之前，這個概念 存在嗎？如果它不存在，世界豈不都在我們想像？如果它本身客觀存在，個體 如何去認識它？一個人認識的概念和其他人認識的概念一樣嗎？要有多少人的 共同見解我們才對說這個概念是普遍共識，而不是個體的一廂情願？如果概念 是由個體所建構，那身為研究者，我真的能夠探究研究對象腦中的概念嗎？如 果真的可以研究，我該以什麼方式才能更接近「真實」？基於上述一連串的問 題，筆者將文獻探討分成三部分，前半部是概念與概念的建構，中間是 APOS 理論與起源分解，最後則是有關教學設計的文獻。
第一節略述哲學上本體論與認識論，再探討何謂概念以及個體如何從經驗 中抽象化出類似屬性，並將經驗與物品等歸類，接著討論概念形成後，隨之而 來的命名與符號，並從概念不同的呈現形態（表徵）來說明。下文談到的概念 與表徵因為在談論時不易清楚切割，所以有可能是指存在於個體之外，也有可 能是在個體內，可依內容脈絡推測為何者。接著筆者以訊息處理論說明物理上 個體如何接收外在訊息並處理（主要從記憶角度分析），再以基模理論說明個體 如何建立、測試概念。最後，因為個體的學習過程不是封閉的，還有社會文化 因素影響，所以也探討社會建構對個體概念形成的影響。第二節則是尋找可以 說明學生概念建構與概念內涵的理論架構。基於 Piaget 的理論，Dubinsky 等人 發展出 APOS 理論，可用以分析學生平面向量線性組合的認知結構，它在教學 設計與研究設計上皆有不少例子與成效，筆者接著從向量的歷史、數學課本脈 絡、先前研究等面向，找出向量線性組合概念的起源分解，以替後續的實徵研 究作準備。第三節則是在發展研究方法與設計時所查閱的資料，略述數學臆 測、資訊融入教學與認知負荷理論，以及 ACE 教學循環、5E 教學循環。
第一節 數學概念與概念建構
(0) 本體論&認識論
西方哲學有一個古老未解決的認識論問題：認知主體（cognizing subject）是如 何知道一個獨立的客觀現實？Kilpatrick, J.（1987）提到我們只能對已知的真理
8
做測試，我們無法確認自己已知的知識是什麼知識。任何試圖了解所知之事的 真理為何的測試，本身就是一個「知道」（knowing）的行為，因此是主觀行 為。因此，是不可能有任何「客觀真理」的知識。建構主義（constructivism）
藉由將認識論（epistemology）與本體論（ontology） 分離來削弱這個難題，並 論證知識理論應該處理經驗和知識的適應性（fit），而不是知識與現實之間的 匹配（match），因為我們可以知道的唯一現實是我們所經驗到的現實。Von Glasersfeld 在 1990 年指出建構主義的本質與知識的客觀存在這一論點相衝突，
鄭毓信（1998）認為這完全不涉及客觀世界存在等形而上的問題，它只侷限在 經驗知識範圍，認知僅是個體經驗週遭的適應過程。筆者的哲學觀點則是承認 有所謂「客觀」真實的存在，只是不同個體在看待事物、經驗與概念時，會帶 著自己的觀點去詮釋，不同個體的觀點必不盡然相同。
(1) 概念
「概念」一詞在英文裡有兩個單字可以表示它，一個是 concept，另一個則 是 conception。Concept 是數學家們共享、同意的共識，Conception 則是指個體 內的想法與理解，所以也可以說前者代表的是客觀存在的概念本身，後者則是 個體對客觀概念的主觀詮釋與理解的意義。
Vinner, S.（1983）提到個體關於某概念的心智圖像（mental picture），是指 一個人心中所有關於某概念的圖像集合，這裡所指的圖像包含概念的視覺表徵 甚至符號。除了關於某概念的心智圖像（mental picture），個體可能還了解某概 念的相關性質，這一類的性質，再加上心智圖像，可以稱為概念意像（concept image）。舉例來說，有些人可能讓為三角形的高一定在三角形內部、或函數一 定要用代數式表示，這些都是關於一個概念的性質，包含在個體的概念意象 裡。Skemp（1987）認為人由過去經驗，找出輸入中的不變因子（invariants），
經由抽象化這一心智過程把具有共通性與相似性的經驗歸為一類，抽象化後的 結果（abstraction）就稱為概念，在抽象化之前，個體需藉由例子與反例的經驗 找出共通性與相似性。Skemp 將概念分成兩種：初級概念（primary concept）與 次級概念（secondary concept），初級概念是由感官直接對外經驗而得，像是紅 色、甜；次級概念則是由初級概念進一步抽象而得，像是顏色、味道等。
在數學這門學科，我們常常會對某概念下定義。「概念定義」（concept definition）是指以一種不會循環的方式正確解釋概念的語言定義（verbal definition）。Tall & Vinner（1981）認為不管是機械學習或有意義的學習，個體
9
都有可能學到的一個概念定義，它不僅是個體學習到的，它也可以是學生對定 義的個人重建，譬如有人問他時，他的解釋。不管概念是別人給的，還是個人 重建，一個人對概念的定義就是有可能和「客觀」的概念有所不同。如果只是 給學生定義，有些概念的特性可能會被忽略，譬如在極限的概念中，當我們說
「𝑠𝑛趨近 s」時隱含𝑠𝑛 ≠ 𝑠，這個隱含訊息在定義中並沒有特別提到。Skemp
（1987）認為定義可以把一個概念更明確的和其它概念區分開來，但我們無法 以超過個體所能理解的概念去溝通，只能以較低階的概念或實例讓個體抽象出 概念，如果以這個角度來看，他認為概念一詞無法精確定義，因為任何一個概 念都是「概念」的例子。
如同前述，概念意像是個體心智裡對某概念的認知結構，包含心智圖像
（mental pictures）、性質和過程等，它可能不是完全一致的，而且在某些方面 和概念的正式定義相當不同，個體在認識概念的正式定義之前，有可能就存在 某種概念意像，當一個概念被喚起時，就產生某種概念心像（mental
images）。Vinner（1983）認為在非正式的學習概念時，個體需要的是概念意 像，而不是概念定義，因為我們在思考的時候，通常喚起的是概念意像，但在 正式學習概念時，則少不了定義。當教師進行教學時，學生的認知任務
（cognitive tasks）比較像是依下列情況運作：它們並非直接經過概念定義，而 是經過概念意像後輸出。
在數學概念形成過程中，新的概念常常建立在另一個概念之上，到了高中 數學，許多概念已經不只是「次級」了！若缺乏較低階的概念，學生自然無法 形成更高階的概念。
(2) 符號&表徵（representation）
我們有兩種方式可引起概念的作用，一是提供這個概念的例子給人，這個 人就會為了歸類而應用概念；另一個則是讓人聽到、看到或知覺到這個概念的 名稱或符號。Tall & Vinner（1981）表示我們使用的許多概念都不是正式定 義，我們依著經驗在適當情境脈絡下使用後，學會辨認某些概念。隨著使用的 頻率增加，我們有了更精準的概念，這個時候，我們通常會給概念一個符號或 名稱以方便我們溝通或在心智中操弄。Skemp（1987）也提到當概念形成後，
人們會賦予它名稱，命名可以幫助我們區分不同的概念，一個符號最好只代表 一個概念，否則可能造成混淆，譬如𝐴𝐵̅̅̅̅ = 3，𝐴𝐵̅̅̅̅除了可指稱線段本身，同時又 可指稱線段的長度，又例如平面向量單元中，𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ 除了指了指稱有向線段（始終
10
點固定），也指稱向量（不計較始終點），容易照成學生混淆。
Skemp 指出符號的幾種功能，筆者列舉部分並重新分類如下：
(1) 幫助溝通：符號可以幫助我們和別人溝通、解釋，可以將知識與想法記錄下 來，可以從已知的符號概念傳達新概念。
(2) 呈現概念的不同面向與結構：例如4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2，如果改以(2𝑥 − 3𝑦)2 呈現，可知在實數的世界中它必然不為負數。它也能幫助我們看見符號的結 構，例如𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ ，可以將𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ 、𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ 始終點接續。
(3) 促進思考：符號可用來指稱不在眼前的物品或概念，只要連結好符號與概 念，我們可以藉由操弄符號來操弄概念，自由控制與發展自己的思想。藉由 符號也能將計算等例行步驟自動化，待解題完成後再回想符號所連結的概 念，替學習者省下許多時間。
當我們在使用一個符號時，它不只是符號或圖像的表象，它還喚起我們的 心像，不管是圖形的、符號的或是其它種的心像（mental picture）。概念可以 是腦袋中的想法或客觀的知識，但名稱只是一個符號或聲音，當我們使用概念 的名稱或符號時，也會喚起相關概念。美國數學教師協會（National Council of Teacher of Mathematics[NCTM], 2000）在數學課程標準中提到學生也可使用自 己的符號，但符號的使用不是最終目的，而是用來組織、記錄並幫助溝通概 念，有些傳統符號寫來容易，但概念上的理解並不如表面簡單（如十進位的阿 拉伯數字）。
NCTM（2000）揭示數學課程五種內容標準與五種過程標準（Process Standards），表徵即是其中之一。在 K-12 教育中，教師應該讓學生能創造並使 用表徵來組織、記錄與溝通數學概念，透過不同數學表徵的選取、使用與轉換 來進行解題，並且善用各種表徵進行數學建模與詮釋。學生對於表徵的發展、
理解與應用的過程依循 Piaget 的三種抽象化思維式：經驗抽象、擬經驗抽象、
反思抽象。
Goldin（2002）認為在數學學習與問題解決中，表徵建構、表徵系統、表 徵結構的發展相當重要。討論表徵時，我們要能夠考慮外部符號與物件結構、
Goldin（2002）認為在數學學習與問題解決中，表徵建構、表徵系統、表 徵結構的發展相當重要。討論表徵時，我們要能夠考慮外部符號與物件結構、