第五章 結論與建議
附錄 1 個案學生 S1 的訪談內容摘錄
【附錄 1】個案學生 S1 的訪談內容摘錄
(一) 向量的基本意義
題號 逐字稿內容 17 [學生圍出一直
角三角形，並 寫出 1、2、√3 等數字，但畫 出來的向量是
⃑⃑⃑⃑⃑ ] 𝐸𝐷
師：題目問的 是…𝐷𝐸⃑⃑⃑⃑⃑
S1：喔 [學生把答案寫上]
09 師：那如果說你希望相同的向量它就有相同的標示法，不同的向量它就有不同的標示 法…那你剛剛那樣相同的向量它可能就會標的不一樣。
S1：對啊。那我就會這樣寫…它的那個長度跟方向。
師：那你要怎麼去表達？
S1：呃…看一下喔…就 45 度、根號 2。
師：你是從哪裡轉到哪裡 45 度？
S1：呃…還是就這邊…和 y 軸。
師：你是指和 y 軸的正向夾角為 45 度？然後長度是根號 2。
S1：對。
師：那如果和 y 軸沒交點呢？
S1：就是…把軸移過來…
師：所以這個你就會叫它？
S1：270，然後 1。[前面是夾角，後面是長度]
師：你學過極坐標嗎？
S1：什麼是極坐標？長什麼樣子？
師：那你可能沒學過。它的定位方式，它在講一個點的方式跟你講的方式有點像。譬 如這個 OA 是 r，θ 是它的夾角，就表示[r, θ]
S1： 喔。
128 師：所以你沒有學過？
S1：恩，沒有。
師：不錯，很有創意。那如果我們想要像一般的坐標的標示你有沒有別的想法？
S1：一般的坐標標示？我想一想。
師：一樣，就是相等的向量要有相等的表示法，不同的坐標要不一樣。
S1：你是說跟平常的坐標很像嗎？
師：對，就一組在這。你剛剛的標法我覺得也可以啦！也蠻清楚的。
S1：[學生想約一分鐘] 還是把它的始點移到原點的地方，然後再用我剛剛前面講的方 式，然後寫…就假如是這樣，然後把它移到原點，然後這邊就是…然後寫它在的位 置。
師：它在的位置？你是指誰的位置？
S1：終點在的位置。
(二) 向量的基本運算
題號 逐字稿內容 21
師：符號可能差一點點，零向量我們…
S1：[學生補上箭頭]
師：那如果這個𝑡是−5，大小會是−5倍嗎？差一點絕對值。
S1：[學生將𝑡 < 0 後 「大小是𝑡倍」，改成「|𝑡|倍」]
22 S1：嗯…就是…坐標表示法？恩，都是4.1倍，就是原本坐標表示法的4.1倍，原本是 (2, 1)，這個就是(8.4, 4.1)…[中間內容省略]
師：你可以再明確一點的說明為什麼你確定它是𝑡倍嗎？
S1：它就是𝑡乘上𝑎向量，很直覺啊，我也不知道怎麼講。
129
130 師：你的(𝑎 − 𝑏⃑ )很奇怪 [坐標]
S1：這不是(−3, −3)…(3, −3)啦！ 這應該-2[學生寫]，所以，應該跟剛剛一樣。[學生 畫]
40 師：你的 DA-EA 是哪裡來的？
S1：喔，我剛剛有寫 DA 加 AE 會等於 DE，所以我把它反回去。就是如果我這樣子的 話，DE 加 EA 會等於 DA
師：對。你嘴巴說的和你寫的不一樣。
S1：喔對，我寫成 AD。[中間略，學生繼續寫]
師：這個是。
S1：我跟上面這個一樣的方法，我就把這個反過來。
師：你剛剛第三題是直接用這個嗎？[指第(3)題利用第(1)題，改寫成加上反向量。]
S1：不是，剛剛發現有這個規律。
(三) 向量的線性組合
題號 逐字稿內容
131 48
S1：[學生寫第(1)小題] P 點所形成的圖形。喔，只有 P 點。這裡。
師：可以說明一下嗎？
S1：因為 OP 是 0 到 1，它的長度有可能是從這邊慢慢到這邊，然後把它移過來這裡，
然後就是這一段。所以 P 點就在這上面移動。[指 A 點往左上的那一段]
師：好。
[略，學生寫第(2)小題]
S1：這樣吧。
師：為什麼？
S1：如果我 x 的範圍是 0 到 2，它就是這一段在移動[指 “亠”兩線段]，恩，不對。是這 一塊吧。[指三角形]。
師：那你說明一下。
S1：如果我的 x 是一點多的話，它們在這邊吧。[y=0, x 比 0 大]
師：那你那時候的 y 是誰？
S1：y 如果是 1 的話，就會在這裡。[(x,y)=(0,1)時]
師：你剛剛那個第一題再重新說一次。
S1：恩，我畫錯了。我剛剛有把這個移過去，但我這個沒有移。所以應該是這一段可 以移動，所以到這邊，所以我可以…所以是個平行四邊形。
師：為什麼？
S1：因為如果 OP 連過來 x=2 時，都會在這裡。
師：你的 x=2，那你的 y 呢？
S1：y 就是 0 到 1，就是在這一整條。
師：那？
132
133 就出來了。
師：然後代回這個式子去求 b？
S1：恩 進 2
S1：這個是我看它有多長，然後去把它放上來。
師：恩恩
S1：然後就把這邊做延長。
師：然後剛好 AP 就接到，還是？
S1：恩，這邊要加一個負號，等一下喔。對，這邊加一個負號，然後把它移過來這 裡，這邊就接到。
師：這邊你如果還沒寫下去，你有辦法直接從圖形直接判別 AP 等於 xOA 加 yOB，x、y 的正負情形嗎？
S1：可以。
師：你怎麼判別？
S1：畫這個，看它在哪個區塊。
師：所以這個是？
S1：它在 C 的後面，所以 AC 的是負的，然後 AB 是正的。
(略，下一小題)
S1：然後這一題就用那個，這樣去解。
師：我看你一開始在畫圖。
S1：對，我就把它移過來，讓它變負的，讓它變平行，然後在用這個解。
師：原本有想要嘗試數格子嗎？
S1：對，我原本想要用這個去解。
師：然後數字有點醜？
S1：恩。
134 進 3 師：下一個。
S1：它說 PQ，所以 就是 PA 加上 AQ，
然後 PA 是四分之一 個 BA，所以就等於 負四分之一個 AB，
然後 AQ 是三分之
二個 AC，然後就等於這個。
進 4 S1：然後這個一 樣用那個…上 次，就是 OP 的這 個分量是比 n，
所以這段就是 m+n 之 n 個 OA，
然後這邊就換這 兩個三角形。
進 5 S1：這題我是先畫出它的 xU 向量，是這段到這裡，然後我把 yV 丟上來是這一段，它 如果在這邊，然後要取它的前半段，然後它可以從這邊移動到這邊，所以它掃過的面 積就是它。
師：你剛剛說哪個移到哪個？
S1：就是 V 向量可以從這段一直移動到上面。
師：你現在指的 V 向 量可以移動是？V 向量 就是 V 向量啊，所以 你是在移誰？
S1：yV
師：然後你的 y 是指？
有個範圍的？還是？
S1：1/2 到 1。
師：所以你是在移 yV，然後 y 介於 1/2 到 1 的時候。
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S1：這樣 師：為什麼？
S1：因為我寫出來 的 BP 是 0 跟 2x-2 師：為什麼要特別 寫 BP？
S1：因為我想要讓 它…
師：為什麼不是寫
AP，不是寫 CP，而是寫 BP？
S1：恩…因為 B 點它就是剛好會等於 P 的時候，x=1 的時候剛好在上面，所以我就會想 要找它。然後 y 的話就是找二分之一，所以二分之一在這邊，因為剛好在[指 D]
師：所以那個點加 D 點，你可以另外找別的嗎？
S1：有，就是 DP。
師：也可以，那你找完 DP 之後？
S1：你可以發現 DP 的斜率是無意義，是鉛直線。
師：不過我們通常不會用斜率去講向量，但我知道你想要表達什麼。所以 DP 這個向量 會平行誰？
S1：就平行 Y 軸，X=0。
(略)
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