高中生建構平面向量線性組合概念之個案研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益. 博士. 高中生建構平面向量線性組合概念之個案研究. 研究生：沈湘屏. 中華民國 106 年 6 月.

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(3) 致謝身為研究新手，本篇碩士論文的完成實屬不易，一路上需要感謝的人真的太多了！首先，感謝指導教授左台益老師的指導，老師的研究熱忱總不斷督促我前行，也包容我的理解緩慢，逐步的引導我的研究進行。感謝口試委員楊凱琳老師、鄭英豪老師與英家銘老師抽空擔任口試委員，給予本篇論文許多寶貴的建議與指導，讓研究得以更為完善。再來，要感謝建恆學姊、鳳琳學長，你們總是熱心回答我的疑惑、樂於分享研究經驗與意見，也謝謝宗穎在行政上的各種幫助和精神打氣，還要感謝 409 以及隔壁的好朋友們讓我單調的研究生活增添趣味，尤其謝謝宗倫在研究後期給予的各種支持。還有謝謝那些不方便指明、協助我尋找個案學生的老師們，感謝你們的幫忙讓訪談得以順利進行。最後，謝謝我親愛的家人，你們是我生命中最堅實的後盾。我愛你們。.

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(5) 摘要本研究探討學生學習平面向量過程的特徵與困難，以及平面向量基本概念之認知結構，研究中選取會考成績達基礎以上乃至精熟之學生為樣研究對象，針對六位未學過的高一學生進行學習活動、訪談及後測。筆者依 APOS 理論發展平面向量基本概念之起源分解圖，包含平面向量基本意義、平面向量基本運算（加法、減法、係數積）以及平面向量線性組合；接著再依起源分解圖發展研究工具，設計對應之學習活動單與後測評量卷。資料收集分為兩階段，筆者此時同時扮演教學者與訪談者的角色，第一階段為平面向量基本概念之學習活動，過程中筆者不斷與個案學生互動，必要時會輔以提示、引導介入；第二階段為後測，測驗學生學習後具備之概念，在學生完成測驗後再訪談學生。研究結果顯示部分學生因幾何圖形性質不熟悉影響其將向量幾何表徵轉為坐標表徵；幾乎所有學生都無法自行由代數符號關係轉換坐標或幾何表徵求出係數積向量；學生傾向以物理情境或平移向量幫助自己建構與內化向量加法過程，而有些學生幾何加法過程有些反覆；學生在減法幾何中，難以反轉平行四邊形法加法，傾向以「加法與反向量過程合成」處理幾何減法；給定任意幾何圖形，學生很難將圖中向量去膠囊化，改寫成其它兩不平行向量的線性組合。筆者建議教學者設計活動讓學生主動連結向量坐標與幾何表徵；利用物理上位移、合力的類比幫助學生思考，加速學生內化向量幾何加減法的過程與意義；並幫助學生建立穩健的基本運算概念，建立各個基本運算間基模的連結；也幫學生統整複習其它幾何圖形的關係與性質；除了幾何直觀證明，也可利用二元一次聯立方程式說明兩不平行向量線性組合的存在性。. 關鍵字：平面向量、APOS 理論、認知建構.

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(7) Abstract This research was trying to understand the cognitive construction of senior high school students in linear combinations of plane vectors. The author researched about the characteristics and obstacles of students while learning, and the cognitive constructions about elementary concepts of plane vectors after learning. Six freshmen participated the learning activities, joined the tests, and were interviewed. The author developed genetic decomposition diagrams (GD) of the elementary concepts in plane vectors according to APOS Theory, including basic meaning, elementary operations (vectors addition, subtraction and scalar multiplication were included) and linear combination. After then, research tools were developed. Learning activities sheet and post-test sheet were designed according to GD. The data were collected by 2 phases: the first phase were learning activities, in which phase the author interacted with the interviewed student at times; and the second phase were post-test, in which phase student was interviewed after finishing the test. The research result showed that some students had difficulties in transferring geometric representation into coordinate one. Almost all students couldn’t transferred coordinate and algebraic representation into geometric one and figured out scalar vectors by themselves. Students used physical situation and translated vectors to help interiorize the Process of addition. Some students had difficulties in reversing the Process of addition such that they intended to coordinate the Process of addition and inverse vectors while dealing with the subtraction problems. Students had difficulties in de-encapsulating a vector Object into the linear combination of other non-parallel vectors. The author suggested that teacher design activities to let students have opportunities in connecting coordinate and geometric representations. The analogy of “displacement” and “force” may help students’ learning, accelerate the interiorization of addition and subtraction Process. With intact concepts in elementary operation can help students develop the connection between the schema of those concepts. Teacher should also help student review the relation and properties of other geometric graphs. Except geometric intuition discussion, teacher can help students realize the existence of linear combinations between two non-parallel vectors with the help of linear equation with two unknowns.. Key words: plane vectors, APOS Theory, cognitive construction.

(8) 目錄第壹章緒論................................................................................................................ 1 第一節研究背景與動機 ........................................................................................ 1 第二節研究目的與研究問題 ................................................................................ 4 第三節重要名詞界定 ............................................................................................ 5 第貳章文獻探討........................................................................................................ 7 第一節數學概念與概念建構 ................................................................................ 7 第二節 APOS 理論與起源分解 ........................................................................... 15 第參章研究方法...................................................................................................... 23 第一節. 研究對象.................................................................................................. 23. 第二節第三節第四節第五節. 研究設計.................................................................................................. 24 研究工具.................................................................................................. 28 研究流程.................................................................................................. 32 資料收集與分析方式.............................................................................. 33. 第六節. 研究限制.................................................................................................. 35. 第肆章資料分析與研究發現.................................................................................. 37 第一節高中生在發展平面向量線性組合的過程中所呈現的認知特徵與學習困難.............................................................................................................................. 37 第二節高中生在平面向量線性組合的認知結構 .............................................. 101 第五章結論與建議.................................................................................................. 115 第一節研究結論 .................................................................................................. 115 第二節實務與研究的建議 .................................................................................. 120 參考文獻.................................................................................................................... 122 附錄............................................................................................................................ 127 附錄 1 附錄 2 附錄 3 附錄 4 附錄 5 附錄 6. 個案學生 S1 的訪談內容摘錄 ............................................................... 127 個案學生 S2 的訪談內容摘錄 ............................................................... 138 個案學生 S3 的訪談內容摘錄 ............................................................... 153 個案學生 S4 的訪談內容摘錄 ............................................................... 165 個案學生 S5 的訪談內容摘錄 ............................................................... 182 個案學生 S6 的訪談內容摘錄 ............................................................... 215. 附錄 7 觀察系統登錄表 (形成性評量) ............................................................. 232 附錄 8 觀察系統登錄表 (總結性評量) ............................................................. 234 i.

(9) 附錄 9 附錄 10 附錄 11 附錄 12 附錄 13 附錄 14 附錄 15. 學習時間整理表 ..................................................................................... 235 學習介入評分表 ................................................................................... 254 起源分解圖 ........................................................................................... 260 活動學習單 ........................................................................................... 266 GGB 檔案彙總表曁 GGB 畫面 ........................................................... 284 後測評量 ............................................................................................... 294 學習活動雙向細目表 ........................................................................... 301. ii.

(10) 圖目錄圖 2- 1 圖 2- 2 圖 3- 1 圖 3- 2 圖 3- 3 圖 3- 4. Lesh, R., Post, T., & Behr, M.（1987）區分的五類表徵 .......... 11 APOS 理論架構圖 ....................................................................... 17 起源分解圖說明 .......................................................................... 27 活動學習單截取 .......................................................................... 28 GGB 活動檔範例一 ..................................................................... 29 GGB 活動檔範例二 ..................................................................... 30. 圖 3- 5 圖 3- 6 圖 3- 7 圖 4- 1 圖 4- 2. 後測題號與 GD 對應簡圖 .......................................................... 31 研究流程架構圖 .......................................................................... 32 研究現場照片 .............................................................................. 34 學習過程自主學習程度示意圖說明 .......................................... 38 S1 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ......... 38. 圖 4- 3 圖 4- 4 圖 4- 5 圖 4- 6. S1 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ................. 39 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ............. 40 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ................. 40 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ................. 41. 圖 4- 7 圖 4- 8 圖 4- 9 圖 4- 10 圖 4- 11 圖 4- 12 圖 4- 13 圖 4- 14 圖 4- 15. S1 在平面向量線性組合的自主學習程度 ................................. 42 S2 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ......... 43 S2 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ................. 44 S2 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ........... 45 S2 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ............... 46 S2 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ............... 46 S2 在平面向量線性組合的自主學習程度 ............................... 48 S3 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ....... 49 S3 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ............... 49. 圖 4- 16 圖 4- 17 圖 4- 18 圖 4- 19 圖 4- 20 圖 4- 21 圖 4- 22 圖 4- 23 圖 4- 24. S3 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ........... 51 S3 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ............... 51 S3 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ............... 52 S3 在平面向量線性組合的自主學習程度 ............................... 53 S4 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ....... 54 S4 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ............... 55 S4 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ........... 57 S4 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ............... 57 S4 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ............... 58. 圖 4- 25 圖 4- 26. S4 在平面向量線性組合的自主學習程度 ............................... 59 S5 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ....... 61 iii.

(11) 圖 4- 27 圖 4- 28 圖 4- 29 圖 4- 30 圖 4- 31 圖 4- 32 圖 4- 33 圖 4- 34 圖 4- 35. S5 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ............... 61 S5 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ........... 64 S5 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ............... 65 S5 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ............... 65 S5 在平面向量線性組合的自主學習程度 ............................... 67 S6 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段） ....... 68 S6 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量） ............... 69 S6 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積） ........... 71 S6 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法） ............... 71. 圖 4- 36 圖 4- 37 圖 4- 38 圖 4- 39 圖 4- 40. S6 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法） ............... 72 S6 在平面向量線性組合的自主學習程度 ............................... 73 S1 後測表現示意圖 ................................................................. 102 S2 後測表現示意圖 ................................................................. 103 S3 後測表現示意圖 ................................................................. 104. 圖 4- 41 S4 後測表現示意圖 ................................................................. 106 圖 4- 42 S5 後測表現示意圖 ................................................................. 107 圖 4- 43 S6 後測表現示意圖 ................................................................. 108 圖 5- 1 本研究的學習時間計算比較圖 ................................................ 116 圖 5- 2. 本研究的自主學習完成度比較圖 ............................................ 116. iv.

(12) 表目錄表 1- 1 表 2- 1 表 2- 2 表 3- 1 表 3- 2 表 3- 3 表 3- 4. 107 課綱向量相關學習內容 ......................................................... 1 Skemp 提出心靈影像的建立與測試部分 .................................. 15 過程與物件的過渡 ...................................................................... 17 個案學生基本資料 ...................................................................... 23 起源分解圖中，判別個體是否具備心智結構的主要依據 ...... 27 後測雙向細目表 .......................................................................... 31 訪談時間表 .................................................................................. 33. 表 4- 1 表 4- 2 表 4- 3 表 4- 4 表 4- 5. 本研究的學習時間整理（向量的基本意義） .......................... 75 本研究的教師介入評分（向量的基本意義） .......................... 76 本研究的學習時間整理（向量的基本運算） .......................... 82 本研究的教師介入評分（向量的基本運算） .......................... 83 本研究的學習時間整理（向量的線性組合） .......................... 92. 表 4- 6 表 4- 7 表 4- 8. 本研究的教師介入評分（向量的線性組合） .......................... 93 本研究的學習時間整理（平面向量） ...................................... 99 本研究的教師介入評分（平面向量） ...................................... 99. v.

(13) 第壹章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 一、為什麼要研究平面向量？每當升大學的考試來臨，總是會看見新聞媒體分享補教或學校教師強調的「重點單元」，這些重點單元裡的一個常客就是「向量」。自己多年的家教經驗也發現，高中數學裡向量單元所占比重極高，常見將幾何圖形坐標化後結合向量以求解的題型，畢竟向量在高中數學裡的份量比重很大，大學學測、指考的出現頻率高也就不另人意外了。依據教育部普通高級中學 99 修正課綱，高二上學期數學Ⅲ最後一單元開始學生正式進入數學向量單元的學習，學生先從平面向量開始，到了高二下學期數學Ⅳ 再進入空間向量，並進一步影響後續「空間中的平面與直線」的學習。99 修正課綱中，先從幾何表示、坐標表示法兩種不同的表徵介紹平面向量，接著介紹加、減、係數積、線性組合的基本運算，後續再引入內積的概念，連結餘弦定理，推導出簡便易算的內積坐標表示法，將幾何圖形代數化，平面向量在平面圖形上的應用也在此看見精髓。此外，也介紹向量的其它應用，例如：平面上的直線參數式、向量的正射影、點到直線的距離、柯西不等式等。表 1- 1 107 課綱向量相關學習內容學習內容. 數學 A. 數學 B. 平面向量：坐標平面上的向量係數積與加減，線性組合. V. V. 平面向量的運算：正射影與內積，兩向量的平行與垂直判定，兩向. V. V. 平面向量的運算：面積與行列式，柯西不等式. V. X. 空間向量的運算：正射影與內積，兩向量平行與垂直的判定、柯西. V. X. 量的夾角. 不等式，外積. 107 課綱草案中，將普通高中高二必修 8 學分分成 A、B 兩類，建議高數學需求（例如理工資電傾向）的學生修習數學 A、低數學需求（例如文法藝術傾向）的學生修習數學 B。在向量相關單元中，B 類學生的學習內容已刪除空間向量，. 僅剩下平面向量，由內容可見，B 類學生著重在利用向量幫助找出平面上幾何圖形的夾角、邊長等關係，透過坐標去連結幾何與代數，A 類學生則需進一步 1.

(14) 學習不同形式的延伸應用，以及更高維度的空間向量運算。單維彰（2013）引用 2005 年出版的《中小學數學科數學綱要評估與發展研究》報告書，該文件做了美國加州、英國、新加坡、中國（北京標準）、韓國和日本的橫向比較，都沒有把向量列為數學必修課程，而台灣約略半個世紀以來的教材內容都含有向量單元。既然國外不少國家皆將向量放在大學學習，何以台灣會獨厚向量呢？王湘君（1978）認為向量是近代數學的新工具，在引入內積後，向量才真正顯現出它的好處，讓計算更為簡潔，它可以幫助我們求線段長度、夾角、判定兩直線關係、求投影長、三角形面積。單維彰（2013）也形容「向量是以現代的武器，參與過去的戰爭」，所以許多數學題目以向量的觀點切入，可將解題過程化繁為簡。以高中數學來看，向量對於幾何解題有很大幫助，學生卻不容易掌握。林進發（2001）針對桃園地區高中學生向量內積錯誤類型所做的研究發現學生由概念不清、未能注意符號實質表徵意義等原因而產生錯誤。李永貞（2009）研究高二學生向量概念學習的錯誤類型，也有不少屬於學生對符號意義的誤解。（例如：以為向量記號可以表示向量大小、認為向量記號相加減就是長度相加減。）洪志瑋（2013）則認為在高中數學裡，向量直到內積出現後，學生才浮現明顯的學習困難，即使如此，他在關於向量內積的概念心像的研究中發現，仍有超過四分之一的學生無法分辨向量與純量的不同。究竟怎麼樣的教學方式可以幫助學生將平面向量學好？或許我們要先探討一般性的問題，就是有哪些教學方式可以幫助學生學習？奧蘇貝爾（David Ausubel）提出的講解式教學（expository），主張由教師擬定教學目標，依計畫直接教導學生，屬於直接教學法（direct instruction），是以教師為中心的教學取向。除了傳統以教師為中心的教學取向，還有些教學傾向以學生為中心，布魯納的發現學習理論（discovery learning）即是如此。他主張學生主動探索、進而發現當中的原理原則，建構屬於自己的概念與意義。受認知學習理論影響，不論教師採用何種教學取向，不少教育心理學家都認為在討論教師怎麼教之前，應先行了解學生怎麼學。近代流行的學習理論主要分為行為取向、認知取向的學習理論。行為取向的學習理論認為個體在「刺激→反應」後，以試誤的方式逐步修正。Skinner 提出操作制約學習理論，主張行為後果的愉快與否如何影響個體，若行為後果有愉快的結果會強化該行為，有不愉快的後果則會弱化行為。Bandura 則認為強化物本身不會對 2.

(15) 個體起強化作用，而是提供個體訊息，引發其學習動機。他的主張屬於會學習論，認為個體會在情境中觀察別人並模仿。然而，數學是一門重思考的學科，行為取向的學習理論奠基於老鼠、鴿子等低等動物實驗，很難說明人類如何習得一個抽象概念，在數學的學習上認知取向的學習理論似乎更能說明個體如何學習。. 學者將行為學派提出的「刺激→反應（S-R）」這一公式，改為「刺激–有機體–反應（S-O-R）」模式，將有機體的內部變化列為考量，這個內部變化是引起一串反應的關鍵因素，包含目的、認知因素、能力因素等。皮亞傑認為生物的發展是個體組織環境和適應環境兩種活動的相互作用過程，也就是生物的內部活動與外部活動的相互作用過程。Piaget 認為個體在知覺與記憶的歷程中，具備一個複雜的組織系統，稱為基模，它是人類對周圍世界認識的認知架構，在面對刺激情境時，會將新情境與既有的認知結構核對，做出調適（adapt），如果能夠直接融入既有架構，則同化（assimilate）到原有基模中，若發生衝突或需要修正的情形時，原基模則受部分調整，與新情境產生順化（accommodate）作用。邏輯與數學概念一開始對兒童來說，都是個體外部的概念，之後兒童才透過內化建立個人的邏輯與數學概念，有些事物在運思時被符號所取代，藉由一次次的調適機制，摸索出平衡狀態，這個平衡狀態包含低層次的試誤、探索活動達成，也包含更高層次的分類、命題等抽象活動完成，而這些層次可能因有利或不利的社會環境而提早或延遲達成。（王憲鈿，1981） David Ausubel 提出有意義的學習理論（meaningful learning theory），重視教材間的連結。 Marilyn Nickson（2000）指出學習不只是有目標的活動，還需要. 讓學生有意義的學習，行為主義似的機械式練習，讓學生「能夠做（coming to do）」，有意義的學習則講究如何讓學生「能知道（coming to know）」，以幫助學生適應生活週遭。Skemp（1987）所說的慣性學習即屬於機械式練習、有意義的學習則類同智慧學習。Skemp（1987）說明慣性學習與智慧學習的差異：在慣性學習中，知識的適應力很弱，只能在類似的經驗中重覆，它依循行為學派的觀點，給予個體一定的刺激，產生相對的反應，行為是由外在環境形塑而成；智慧學習則由個體在了解情境後，設法朝向個人心中的目標前進，具有很大的認知成分。與其提供學生一套標準作業流程，不如給他們一套知識結構，這套知識結構 Skemp 稱之為心靈影像，它可以幫助學生在不同的情境下發展新的計畫以達到目標。中學生學習的數學知識是好幾個世紀以來許多人困心衡慮累積而成的智慧，如果希望學生在相對短暫的教學時間內學習新的數學概念，教師必須有好的教學方法，而好的教學方法，需要教師了解學生內在系統如何 3.

(16) 建立和測試、進而幫助建立心靈影像。綜合前述，我們可以說智慧學習和慣性學習都不可或缺，但人類從剛出生時，幾乎僅具有本能的感覺反應，若沒有智慧學習，原有的基模如何擴大？所以筆者認為在形成慣性學習前，學習者或多或少都經歷過智慧學習。在有限的教學時間內，教師如何幫助學生建構穩健的認知基模以促進智慧學習？依據認知學習理論的研究成果，張春興（1996）指出教育心理學家們的新構想：教師要教學生知識之前，必須先了解學生如何學習知識。也因此回答前述問題之前，我們不得不回答另一個更根本的問題，就是：學習者如何建構一個概念的心靈影像？. 第二節. 研究目的與研究問題. Ilana Arnon, Jim Cottrill, Ed Dubinsky（2013）等人指出幫助一個人建立最基本的建構，對於他後續建構更強健的結構來說是很重要的。在高中課程中，學生雖有部分「向量」經驗，但「平面向量」是學生第一次接觸到有別於實數的世界，雖然實數系也可以視為一維的向量空間，但其運算性質無法完全直接推廣至平面、空間向量。平面向量幫助我們將幾何問題代數化，簡便運算過程，而空間向量更是可以應用在真實世界中的許多物理現象，若教師能幫學生奠定良好的向量基本概念，或許能改善後續內積、外積等更進階的學習與理解，奠定向量學習的基礎，也提供其它學科實際好用的工具。相較於 99 修正課綱，107 課綱草案中部分學學生已無需學習空間向量，但平面向量仍列為高二必修單元。故本研究主要專注在向量表示法、加減法、係數積、線性組合等入門的向量概念，研究之目的在於分析平面向量線性組合之概念結構，以及學習者如何建構此一概念。依此研究目的，本研究發展出研究問題如下： 1. 高中生在發展平面向量線性組合的過程中所呈現的認知特徵與學習困難為何？ 2. 高中生在平面向量線性組合的認知結構為何？. 4.

(17) 第三節重要名詞界定本研究探討學生平面向量線性組合的學習，為分析學生認知結構，筆者採用 APOS 理論，它是一個關於「如何習得數學概念」的理論，一開始由 Ed Dubinsky 等人發展而成，並將 APOS 理論應用至起源分解圖上，「起源分解」（Genetic Decomposition，簡稱 GD）是個假設模型，它指出學生為了學習一個數學概念，可能需要的心智建構。本研究所使用的重要名詞界定如下： 1. 線性組合：指平面向量的線性組合，藉由將特定平面向量係數積相加減形成新的平面向量。參考課綱說明，相關題材包含向量的合成與拆解，例如：分點公式屬於向量合成、將平面上任意向量分解為其它向量的線性組合屬於向量拆解。 2. 認知結構：指 APOS 理論中心智結構（mental structures）與心智機制（mental mechanisms）。其中心智結構包含動作（Action）、過程（Process）、物件（Object）、基模（Schema）；心智機制包含內化（interiorization）、膠囊化（encapsulation）、整合（coordination）、反轉（reversal）、去膠囊化（de-encapsulation）。 3. APOS 理論中關於心智結構的說明 (Arnon, I. et al. , 2013) Action（動作）：個體對既有的物件做外顯可見的變換。 Process（過程）：個體內的連貫動態操弄。 Object（物件）：個體內將過程轉變為靜態的狀態。 Schema（基模）：個體已建構的數學概念中關於心智結構的描述、組織和釋例。 4. APOS 理論中關於心智機制的說明 (Arnon, I. et al. , 2013) 內化（interiorization）：從「動作」到「過程」的心智機制。膠囊化（encapsulation）：從「過程」到「物件」的心智機制。整合（coordination）：將不同的「過程」或「物件」合併為一個「過程」或「物件」的心理機制。反轉（reversal）：將既有過程「倒帶」的機制。去膠囊化（de-encapsulation）：從「物件」拆解出「過程」的心理機制。 5.

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(19) 第貳章. 文獻探討. 本篇論文研究主軸是探究高中生有關平面向量線性組合的認知結構，在研究問題形成的過程中，除了探究什麼是「概念」，腦中甚至浮現一些哲學的問題：概念真的是由個體所建構的嗎？在個體認識一個「概念」之前，這個概念存在嗎？如果它不存在，世界豈不都在我們想像？如果它本身客觀存在，個體如何去認識它？一個人認識的概念和其他人認識的概念一樣嗎？要有多少人的共同見解我們才對說這個概念是普遍共識，而不是個體的一廂情願？如果概念是由個體所建構，那身為研究者，我真的能夠探究研究對象腦中的概念嗎？如果真的可以研究，我該以什麼方式才能更接近「真實」？基於上述一連串的問題，筆者將文獻探討分成三部分，前半部是概念與概念的建構，中間是 APOS 理論與起源分解，最後則是有關教學設計的文獻。第一節略述哲學上本體論與認識論，再探討何謂概念以及個體如何從經驗中抽象化出類似屬性，並將經驗與物品等歸類，接著討論概念形成後，隨之而來的命名與符號，並從概念不同的呈現形態（表徵）來說明。下文談到的概念與表徵因為在談論時不易清楚切割，所以有可能是指存在於個體之外，也有可能是在個體內，可依內容脈絡推測為何者。接著筆者以訊息處理論說明物理上個體如何接收外在訊息並處理（主要從記憶角度分析），再以基模理論說明個體如何建立、測試概念。最後，因為個體的學習過程不是封閉的，還有社會文化因素影響，所以也探討社會建構對個體概念形成的影響。第二節則是尋找可以說明學生概念建構與概念內涵的理論架構。基於 Piaget 的理論，Dubinsky 等人發展出 APOS 理論，可用以分析學生平面向量線性組合的認知結構，它在教學設計與研究設計上皆有不少例子與成效，筆者接著從向量的歷史、數學課本脈絡、先前研究等面向，找出向量線性組合概念的起源分解，以替後續的實徵研究作準備。第三節則是在發展研究方法與設計時所查閱的資料，略述數學臆測、資訊融入教學與認知負荷理論，以及 ACE 教學循環、5E 教學循環。. 第一節. 數學概念與概念建構. (0) 本體論&認識論西方哲學有一個古老未解決的認識論問題：認知主體（cognizing subject）是如何知道一個獨立的客觀現實？Kilpatrick, J.（1987）提到我們只能對已知的真理 7.

(20) 做測試，我們無法確認自己已知的知識是什麼知識。任何試圖了解所知之事的真理為何的測試，本身就是一個「知道」（knowing）的行為，因此是主觀行為。因此，是不可能有任何「客觀真理」的知識。建構主義（constructivism）藉由將認識論（epistemology）與本體論（ontology）分離來削弱這個難題，並論證知識理論應該處理經驗和知識的適應性（fit），而不是知識與現實之間的匹配（match），因為我們可以知道的唯一現實是我們所經驗到的現實。Von Glasersfeld 在 1990 年指出建構主義的本質與知識的客觀存在這一論點相衝突，鄭毓信（1998）認為這完全不涉及客觀世界存在等形而上的問題，它只侷限在經驗知識範圍，認知僅是個體經驗週遭的適應過程。筆者的哲學觀點則是承認有所謂「客觀」真實的存在，只是不同個體在看待事物、經驗與概念時，會帶著自己的觀點去詮釋，不同個體的觀點必不盡然相同。 (1) 概念「概念」一詞在英文裡有兩個單字可以表示它，一個是 concept，另一個則是 conception。Concept 是數學家們共享、同意的共識，Conception 則是指個體內的想法與理解，所以也可以說前者代表的是客觀存在的概念本身，後者則是個體對客觀概念的主觀詮釋與理解的意義。 Vinner, S.（1983）提到個體關於某概念的心智圖像（mental picture），是指一個人心中所有關於某概念的圖像集合，這裡所指的圖像包含概念的視覺表徵甚至符號。除了關於某概念的心智圖像（mental picture），個體可能還了解某概念的相關性質，這一類的性質，再加上心智圖像，可以稱為概念意像（concept image）。舉例來說，有些人可能讓為三角形的高一定在三角形內部、或函數一定要用代數式表示，這些都是關於一個概念的性質，包含在個體的概念意象裡。Skemp（1987）認為人由過去經驗，找出輸入中的不變因子（invariants），經由抽象化這一心智過程把具有共通性與相似性的經驗歸為一類，抽象化後的結果（abstraction）就稱為概念，在抽象化之前，個體需藉由例子與反例的經驗找出共通性與相似性。Skemp 將概念分成兩種：初級概念（primary concept）與次級概念（secondary concept），初級概念是由感官直接對外經驗而得，像是紅色、甜；次級概念則是由初級概念進一步抽象而得，像是顏色、味道等。在數學這門學科，我們常常會對某概念下定義。「概念定義」（concept definition）是指以一種不會循環的方式正確解釋概念的語言定義（verbal definition）。Tall & Vinner（1981）認為不管是機械學習或有意義的學習，個體 8.

(21) 都有可能學到的一個概念定義，它不僅是個體學習到的，它也可以是學生對定義的個人重建，譬如有人問他時，他的解釋。不管概念是別人給的，還是個人重建，一個人對概念的定義就是有可能和「客觀」的概念有所不同。如果只是給學生定義，有些概念的特性可能會被忽略，譬如在極限的概念中，當我們說「𝑠𝑛 趨近 s」時隱含𝑠𝑛 ≠ 𝑠，這個隱含訊息在定義中並沒有特別提到。Skemp （1987）認為定義可以把一個概念更明確的和其它概念區分開來，但我們無法以超過個體所能理解的概念去溝通，只能以較低階的概念或實例讓個體抽象出概念，如果以這個角度來看，他認為概念一詞無法精確定義，因為任何一個概念都是「概念」的例子。如同前述，概念意像是個體心智裡對某概念的認知結構，包含心智圖像（mental pictures）、性質和過程等，它可能不是完全一致的，而且在某些方面和概念的正式定義相當不同，個體在認識概念的正式定義之前，有可能就存在某種概念意像，當一個概念被喚起時，就產生某種概念心像（mental images）。Vinner（1983）認為在非正式的學習概念時，個體需要的是概念意像，而不是概念定義，因為我們在思考的時候，通常喚起的是概念意像，但在正式學習概念時，則少不了定義。當教師進行教學時，學生的認知任務（cognitive tasks）比較像是依下列情況運作：它們並非直接經過概念定義，而是經過概念意像後輸出。在數學概念形成過程中，新的概念常常建立在另一個概念之上，到了高中數學，許多概念已經不只是「次級」了！若缺乏較低階的概念，學生自然無法形成更高階的概念。 (2) 符號&表徵（representation）我們有兩種方式可引起概念的作用，一是提供這個概念的例子給人，這個人就會為了歸類而應用概念；另一個則是讓人聽到、看到或知覺到這個概念的名稱或符號。Tall & Vinner（1981）表示我們使用的許多概念都不是正式定義，我們依著經驗在適當情境脈絡下使用後，學會辨認某些概念。隨著使用的頻率增加，我們有了更精準的概念，這個時候，我們通常會給概念一個符號或名稱以方便我們溝通或在心智中操弄。Skemp（1987）也提到當概念形成後，人們會賦予它名稱，命名可以幫助我們區分不同的概念，一個符號最好只代表 ̅̅̅̅ = 3，𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 除了可指稱線段本身，同時又一個概念，否則可能造成混淆，譬如𝐴𝐵 ⃑⃑⃑⃑⃑ 除了指了指稱有向線段（始終可指稱線段的長度，又例如平面向量單元中，𝐴𝐵 9.

(22) 點固定），也指稱向量（不計較始終點），容易照成學生混淆。 Skemp 指出符號的幾種功能，筆者列舉部分並重新分類如下： (1) 幫助溝通：符號可以幫助我們和別人溝通、解釋，可以將知識與想法記錄下來，可以從已知的符號概念傳達新概念。 (2) 呈現概念的不同面向與結構：例如4𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2，如果改以(2𝑥 − 3𝑦)2 呈現，可知在實數的世界中它必然不為負數。它也能幫助我們看見符號的結 ⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐵𝐶 ⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐴𝐶 ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可以將𝐴𝐵 ⃑⃑⃑⃑⃑ 、𝐵𝐶 ⃑⃑⃑⃑⃑ 始終點接續。構，例如𝐴𝐵 (3) 促進思考：符號可用來指稱不在眼前的物品或概念，只要連結好符號與概念，我們可以藉由操弄符號來操弄概念，自由控制與發展自己的思想。藉由符號也能將計算等例行步驟自動化，待解題完成後再回想符號所連結的概念，替學習者省下許多時間。當我們在使用一個符號時，它不只是符號或圖像的表象，它還喚起我們的心像，不管是圖形的、符號的或是其它種的心像（mental picture）。概念可以是腦袋中的想法或客觀的知識，但名稱只是一個符號或聲音，當我們使用概念的名稱或符號時，也會喚起相關概念。美國數學教師協會（National Council of Teacher of Mathematics[NCTM], 2000）在數學課程標準中提到學生也可使用自己的符號，但符號的使用不是最終目的，而是用來組織、記錄並幫助溝通概念，有些傳統符號寫來容易，但概念上的理解並不如表面簡單（如十進位的阿拉伯數字）。 NCTM（2000）揭示數學課程五種內容標準與五種過程標準（Process Standards），表徵即是其中之一。在 K-12 教育中，教師應該讓學生能創造並使用表徵來組織、記錄與溝通數學概念，透過不同數學表徵的選取、使用與轉換來進行解題，並且善用各種表徵進行數學建模與詮釋。學生對於表徵的發展、理解與應用的過程依循 Piaget 的三種抽象化思維式：經驗抽象、擬經驗抽象、反思抽象。 Goldin（2002）認為在數學學習與問題解決中，表徵建構、表徵系統、表徵結構的發展相當重要。討論表徵時，我們要能夠考慮外部符號與物件結構、學習者的內部結構，以及內外部結構之間的關係。Goldin 認為這是數學形式本質的重要元素，在心理上，它們也是何謂「數學理解」（mathematical 10.

(23) understanding）、個體如何獲得數學理解的關鍵組成元素。因此，數學表徵的研究牽涉到一些外部、可直接觀察的行為變因，同時也牽涉一些內部建構，而這些內部建構需要在不同情境脈絡下仔細推敲。研究數學表徵讓我們可以描述學生數學發展並創造出能培養數學力（mathematical power）的教學法。因此，它也是幫助我們利用國民教育（public education）提升數學學習機會的重要工具。 Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987)將表徵分為五類，這裡的表徵（representations）指的是個人概念的具體化後的外顯呈現：（1）真實情境（real scripts）：在真實世界組織建構，可做為詮釋或解決其它問題的情境。（2）教具模型（manipulative models）：像是古氏積木（Cuisenaire rods）、分數條（fraction bars）等本身沒有太大意義，但內含的關係與運算可適用在很多情境。（3）靜態圖像（static pictures）：跟教具模型一樣，可以內化成心像（image）。（4）口語（spoken language）：也包含邏輯語言等。（5）書寫符號（written symbols）：像口語一樣，和特定句子或陳述有關。. 圖 2- 1. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. （1987）區分的五類表徵. Bruner, J. S. （1964）認為人類智能運作的發展來自心智技巧的成熟，這些技巧不單由於個體的成熟，更是來自文化傳承，如語言的傳承，因此，認知成長（cognitive growth）除了由內而外，也會由外而內發生。他提出人類處理資訊的三種不同系統：透過動作、想像和語言。人類的動作能力，隨著切割工具到輪子等工具而擴大；感覺能力則從原始的煙霧訊號到現今的雷達信號而擴大；推理語言能力則從語言系統到理論與解釋（theory and explanation），這三種形式，或多或少都由文化所傳遞。Bruner依前述提出三種對應的表徵：動作表徵、圖像表徵、符號表徵，它們在孩子生活中依序出現。動作表徵是透過適當動作回應呈現過去的事件，舉例來說，有些地方我們走的很習慣，在走的時候根本不會仔細看，但我們也不會絆倒；圖像表徵摘要出印象中的樣子；符號系統表示一些不在我們眼前的事物，具有武斷性質。 11.

(24) Lesh（1987）等人提到當我們說一個學生了解一個概念時，是指（1）他能夠在不同表徵系統下指出這一概念，（2）能在給定表徵時彈性操弄概念，（3）能正確將想法從一個系統轉換到另一個。以向量為例，第一點表示能從向量幾何、坐標表徵指出向量概念；第二點表示在給定代數表徵時，學生若能自行將向量改寫成其它向量相加或相減形式，即為一種彈性操弄；第三點則關於表徵之間的轉譯，譬如向量的坐標表徵可轉換成幾何表徵，幾何表徵也可坐標化。除了 Lesh 重視學生能正確將想法從一個系統轉換到另一個，Kaput（1989）也提到數學意義的建立有賴於不同表徵間的轉移（translation），以及表徵內的轉換（transformation）。 (3) 訊息處理論以電腦的運作為比喻，Atkinson & Shiffrin（1968）的論文中以記憶的歷程說明個體的學習歷程。個體在接受外在刺激時，先由視覺、聽覺等各種感官收錄器（sensory register）收到訊息，部分的訊息未經進一步的處理，很快就被遺忘，有一部分的訊息則受到注意、經由覆誦（rehearsal），就進入短期或工作記憶（short-term / working memory）。工作記憶是個體正在處理運行的記憶，它可能來自感官，也可能來自長期記憶（long-term memory），譬如我們看到一個直角三角形，也從長期記憶中提取畢氏定理等與直角三角形有關的性質。工作記憶的容量有限，一般來說大約是 7±2 個訊息單位，且具有個別差異，先備知識越豐富，就越能吸收新的訊息。除了先備知識會影響工作記憶，個體組織訊息的能力也是影響因素。老師可以幫助學生組織訊息，以有脈絡的方式讓學生了解新訊息，就能藉著長期記憶的協助，以利工作記憶容納新訊息。短期記憶維持的時間很短，經過幾次複習後，可以進入長期記憶。長期記憶的容量很大，保留訊息的時間很長，可以依訊息性質組織與更新，必要時還能因應環境提取使用，主要可以分成陳述性知識（declarative knowledge）、程序性知識（procedural knowledge）。程序性記憶（procedural memory）是「知道如何做」的記憶，例如打字、跑步和騎車等技能；陳述性知識則又細分為情節記憶（episodic memory）和語意記憶（semantic memory），情節記憶就像電影影像，是個體經驗過並且記得的事，語意記憶則是由相關聯的概念連結而成的網絡，若能將知識以階層或大綱的形式組織，就能幫助納入新訊息。. 12.

(25) (4) 概念的起源與基模理論訊息處理論主要是從記憶的角度說明個體如何接收外在訊息，但人類不是影印機，由感官接受的資訊不是全然複印在腦海，我們有更高層次的思考，除了記憶，我們還需要探討人類是如何發揮理解、分析等認知功能，以理解個體如何形成概念，乃至於數學概念。 Piaget 提出發生認識論（genetic epistemology），他認為人天生就有想與環境互動的傾向，一開始先藉由吸吮、吞嚥等遺傳性基模，與外在環境互動，形成基模（schemes），基模表示指引導兒童行為與思考的心理模式（pattern），個體經由對環境適應（adaptation）而產生，這個歷程包含同化與順化。同化是將現有經驗與事物納入舊有基模，它有三種層次：第一種是將外在環境同化於個體之內；第二種是感覺動作智力，把自己的行為加以組織；第三種是邏輯智力，把經驗內容同化成個人智力。當經驗與所知有所衝突時，就會產生失衡狀態（disequilibrium），個體則依新經驗調整原有基模，就產生順化（accommodation）。 Piaget 的發生認識論將結構主義與建構主義緊密連結：每個心理結構都是建構出來的結果，建構的發生也都根源於個體已有的認知結構。藉由建立較初階的心理結構，個體逐步發展，經由排序、對應等方式調節後建構出更複雜的心理結構，兒童隨年齡增長而造成智力上的改變，不僅是「量」方面的改變，還有「質」方面的改變，這在 Piaget 的認知發展階段中可看見不少例子。Piaget 將兒童思維發展分為四個階段：感覺動作期（sensorimotor stage）、前運思期（preoperational stage）、具體運思期（concrete operational stage）、形式運思期（formal operational stage）。舉例來說，兒童一開始並不具備可逆性（reversibility），如果他們在執行任務的過程中出錯，他們是無法逆轉回復到原始狀態，直到具體運思期之後才發展出可逆性。本篇論文的研究對象為高中生，屬於前述最後一個階段──形式運思期的學生，理論上已有能力進行純符號的思考與抽象思考。 (5) 社會建構論 Vygotsky 受 Karl Marx 影響，主張所有現象應研究動態及改變歷程，只有從行為發展來看才能了解人的行為。學習受到歷史、社會、文化的影響，兒童藉由與更有能力的成人或同儕的互動來學習，行為經歷複雜的轉化，不僅產生 13.

(26) 「量」的改變，還有「質」的改變。Vygotsky 將心智功能分為高層次（higher mental function）與基本心理功能（elementary mental function）：基本心理功能是生物遺傳的，包含非自主性注意、簡單知覺及自然記憶；高層次心理功能則為人類獨有，包括語言、刻意注意、抽象思考、邏輯推理、工具製作與使用等，經符號語言仲介與內化（interiorization）行為產生。高層次的心理歷程雖與基本心理歷程有關，但無法完全用基本心理功能的運作原則解釋，記號與人類心理工具（psychological tools）的使用在此扮演重要角色；這裡的心理工具包含語言、記數系統、代數符號系統、記憶技巧等，他們是人為的，也是受社會文化影響的。心智發展純粹是人類抽象智力所導致，語言與實際行動交彙之時就是心智發展中的重要時刻，舉例來說，兒童自我中心語言（egocentric speech）有助於促進其認知發展，在具體運思期之前，助其調和思想和行動，實際上具備自我溝通的意義，也可以幫助兒童解決問題。隨著兒童發展，語言的功能變成存在於思考中的、尚未實現的行為計畫之輔助。兒童能否掌握其注意力是解決問題成敗的關鍵，兒童藉著語言重述整理記憶中的經驗與現在的情境，並利用記號保留記憶的線索（譬如打繩結），Vygotsky 相信記號是在社會發展的情境下發展出來的，但個體使用記號的活動不是先驗也不是成人直接傳遞的，而是經由一系列質的轉換才出現。使用像記號一樣仲介性的活動改變了心理操作，讓個體能操作新的心理功能，這種聯結工具與記號的活動，就是前述高層次心理功能，也是數學學習裡所需的功能。（蔡敏玲、陳正乾，1997） (6) 數學概念的形成個體與外在人事物的互動，有助於概念形成，但若是想發揮更大的作用，個別概念需與其它概念交互作用，形成關係縱橫的網絡，Skemp 稱它為心靈影像（Schema），它和知識結構（knowledge structure）、概念結構（conceptual structure）幾乎是同義詞，只是強調的意味不同，心靈影像偏向個體內的概念、知識結構偏向客觀存在的知識，概念結構則同時可以指稱個體內或客觀外在存在的概念。 Skemp 認為「數學本身的理論」一開始依第一類建立或測試，但很快就進入二、三類，經驗或實驗並不參與大部分的數學理論。有時我們反而會被感官經驗所欺騙，此時個體內部的推理的理性態度才能幫我們建立合邏輯的心靈影像。. 14.

(27) 表 2- 1. Skemp 提出心靈影像的建立與測試部分. 建立部分. 測試部分. 第一類：由個體與外界環境接觸所建立──. 第一類：基於對實際事物的期望來測試──. 經驗. 實驗. 第二類：與其它個體交流所建立──溝通. 第二類：與其它個體比較來測試──討論. 第三類：個體內在獨自建立，透過推測、想. 第三類：與個體內在知識、信念比較來測試. 像、直覺等方式──創造. ──一致. （引述自數學學習心理學 p.159）. 第二節. APOS 理論與起源分解. 數學概念發展需要高層次的心智功能，皮亞傑（Piaget）認為反思抽象/反省性抽象能力（reflective abstraction）是想法發展時的心智建構機制，也是個體發展邏輯數學結構時的心理機制。反思抽象包含兩個部分：反思（reflection）、重建&重新組織（reconstruction & reorganization），屬於皮亞傑分類中，11 歲以後的「形式運思期」，它分成兩部分：「反思」，意指能夠察覺到內容（content）與「運思」的更深刻思考，以從較低的認知層級，提升到較高的認知層級；而「重建」與「重組」內容，使我們能進行更進階的「運思」。以兒童數蘋果為例，他可能發現蘋果本身「先數兩顆，再數三顆」和「先數三顆，再數兩顆」是一樣的，一開始發現的是實物本身具交換性，經由反思抽象後，才發現其代表的數 2+3 具交換性。我們並非直接從事物推導出數學與邏輯的特性，而是藉由操弄事物（acting on things）推導出，經過反思抽象，將一串的物質動作（material action）轉化成一個內化後的運思系統（a system of interiorized operations）。Skemp 認為學習的過程就是由操弄實物到操作概念，當概念加以符號做為標誌時，我們可以直接操作這個標誌，等這個自動化步驟完成後我們可以追溯而回，由符號本身去回想它的相關概念，再由這個概念回想到原始的實際事物。筆者認為，高中數學概念已不再是從數蘋果這類具體物開始建構，學生可能會先看到熟悉的概念符號或表徵，藉由操弄這些物件，建構出更高階、更抽象、更豐富的概念。以認知觀點來看，數學概念是由它的起源分解來構築（framed），它描述個體可能如何建構一個概念。. 15.

(28) 在第一節的文獻探討後，筆者嘗試找尋可以幫助說明與分析學生認知結構的理論。由上述觀點可發現，有些學者傾向認為概念的起源來自對既有物件的操弄，Dubinsky 等人亦依循建構主義的觀點發展出 APOS 理論，由於它在教學設計與研究設計上已有不少例子與成效，故筆者也利用它來幫助分析學生平面向量線性組合的認知結構。【APOS 理論】 Dubinsky（1986, 1991）和 Cottrill 等人（1996）提出以 APOS 理論，說明個體建構數學概念的機制以及心智結構（structures），這些心智結構在 APOS 理論中被分成一個個階段（stages），它們分別是動作（Action）、過程（Process）、物件（Object）、基模（Schema），這些心智建構是藉由一步步的反思抽象來形成，理論中包含了五種反思抽象的心智機制，它們分別是內化（interiorization）、合成（coordination）、反轉（reverserval）、膠囊化（encapsulation）、一般化（generalization）。（Arnon, I. et al., 2013） APOS 採用皮亞傑的理論，概念最一開始是對既有的物件（Object）做外顯可見的操作（Action），當一個人重覆和反思一個動作時，就可能內化成一個心智過程（Process）。心智過程會和外部的動作做一樣的事，不過是在心裡做。當一個人能將動態結構（Process）視為一個可在上面動作的「靜態結構（static process）」時，就是膠囊化（encapsulation）發生的時候，在奠基於 APOS 理論的研究中，膠囊化是心智機制中最困難的部分。一旦過程膠囊化（capsulation）成心智物件後，必要時也能物件去膠囊化（de-encapsulation）回到過程。此外，我們還能合成（coordination）將兩個以上的物件去膠囊化後，再形成一個新的物件，或者將過程倒帶（Reversal of Process）。以除法和分數為例：個體在建構分數概念前，先將𝑎/𝑏視為𝑎除以𝑏，是對已知的兩個實數（物件）做除法，這是個動態外在的操弄過程。透過反思抽象，個體進而把這除法動作內化成比例的概念（兩物關係的概念），再進一步的反思抽象後，還能將動作轉化成分數（數值的概念），也就是將除法這個 Process 膠囊化成物件，就能進一步比較𝑎/𝑏和𝑐/𝑑這兩個分數之間的大小關係。又或以大學線性代數為例：個體可先依順序將特定的數放進 n 元序組（n tuples）中，此時是對已有物件的操弄，待內化成過程後，即使不知道 n 是多少，個體一樣能在任何向量空間建立 n 元序組，甚至在無限維度的空間中建立。接著他也可能思考 n 元序組裡的元素特性，發現這些元素可以重複出現， 16.

(29) 但不能調換順序；最後，當個體必須將 n 元序組膠囊化成靜態物件，才能處理 n 元序組的二元運算。. 圖 2- 2. APOS 理論架構圖. 引用自 Asiala 等人（1997）。表面為線性，但實際上，發展並非總是線性的一步跟著另一步，我們其實會依情境不同，而在步驟間來回往返。表 2- 2. 過程與物件的過渡. 引用自 Tall, D.等人（1999）. 至於合成則是兩個以上的心智結構的產物，例如我們可以合成兩個以上的 Process 形成新的 Process。有時 Process 的合成是序列性的（serial），例如𝑎𝑢 ⃑ + 𝑏𝑣，若單一處理𝑎𝑢 ⃑ 、𝑏𝑣，再將它們相加，不論是藉由幾何或代數表徵的思考，似乎都不算困難，但要將每個單一的線性組合類推到無窮多個係數組成的線性組合就困難多了，學習者必須從有限個向量情形總結成一般性的描述。舉例來說，學習者除了知道2𝑢 ⃑ 、−√3 𝑢 ⃑ ，還要能想像𝑎𝑢 ⃑ ，其中0 < 𝑎 < 10等無窮多個向量的情形。Conttrill（1996）等人的研究中發展出極限概念的起源分解，關於極限我們常見如下敘述「∀ε>0，∃δ>0 such that | 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 whenever 0 < | 𝑥 − 𝑎| < 𝛿」，其中 "0 < | 𝑥 − 𝑎| < 𝛿"、"| 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀" 兩個語句皆包 17.

(30) 含無窮個點與許多不同的元素，它們兩句之間還具備邏輯關係，兩者的合成實屬不易，若在起源分解中將它們拆解成更細緻的階段，或許有利於學習者順利合成。我們知道概念可能起源於對舊有物件的操弄，但究竟什麼是「物件」？ Tall, D., Thomas, M., Davis, G., Gray, E., & Simpson, A. （1999）分析整理 Piaget 、Greeno、Sfard、Gray and Tall 等人關於過程、物件的研究，將數學物件分成以下不同層次，它們的運作一個比一個還精細： 1. 感知物件（perceived objects）：由環境中物件經驗抽象後得到。後續可能藉由專注在言辭描述（verbal descriptions）和定義建構「理想物件（platonic objects）」，獲得更細緻的意義。 2. 過程概念（procepts）：首先與真實世界物件的過程（processes）有關，它使用符號（symbols），符號接著可以當作物件來操弄、可以同樣的方法在運作物件、將物件符號化。 3. 公理物件（axiomatic objects）：由公理或定義這類特定準則所認知（conceived），這物件的特性可由形式證明演繹出來。由皮亞傑「抽象（abstraction）」的概念說明如下：個體藉由「經驗抽象（empirical abstraction）」建構出「感知物件」，然後藉由「反思抽象（reflective abstraction）」建構出更精密複雜的「理想物件」；「過程概念（procepts）」則是先從真實生活物件的動作（action）「擬經驗抽象（pseudo-empirical abstraction），然後由符號表徵對認知物件，讓我們從感知或認知物件建構更高階的反思抽象，符號（symbols）讓我們連結過程和概念（process & concept）；「定義物件（defined objects）」是藉由感知或認知物件的性質反思抽象而來，其中包含理想和過程概念物件。藉由演繹的邏輯過程，有些物件性質變成公理或定義，而其它性質則被建構成定理（theorem）。理想物件、過程概念，以及定義物件都是認知物件的分類。在奠基於 APOS 理論的研究中，將過程膠囊化成物件是心智機制中最困難的部分，Trigueros & Marines-Planell（2010）發現他們研究的學生中，只有一位能將雙變數函數視為物件；Sfard（1991）也指出將 Process 轉化成 Objects，就像從一個科學領域到另一個科學領域一樣困難。 18.

(31) 一個概念發展到最後，物件、過程、動作會形成一個連貫關聯的結構，我們就將此稱為基模，它包含個體已建構的數學概念中關於心智結構的描述、組織和釋例，在我們解決問題時會喚起適當的基模幫助我們解題。基模是動態的，一個人在特定數學情境中的數學活動，都會讓他持續重新建構基模，基模一旦由協調一致的結構（含動作、過程、物件和基模）所建立時，它可以主題化（thematization）後發展成一個靜態結構（認知物件），但同時也可以當成動態結構來使用，去同化其它相關的物件和基模。舉例來說，有些人一開始只有 n 維實數向量空間的基模，一旦他把整個向量基模主題化，n 維實數向量空間也可以視為一個物件，而矩陣、多項式、函數等向量空間也都能視為物件，這些物件具有相關性。（Arnon, I. et al., 2013）根據皮亞傑的認知發展理論，基模的產生分成三個部分：Intra, Inter 和 Trans。在 Intra 層次時，新物件連同其它物件和過程一起出現，但此時我們並不知道這些物件和過程之間的關係；在 Inter 層次時，這些關係才開始出現；到了 Trans 層次時，我們意識到這些關係完整的結構，並且能決定某個特殊情況是否能由某特定基模解決。因為基模可以主題化後成為物件，物件也可以成為基模的一部分，所以本研究不著重於明確分類何者為物件、何者為基模；而討論基模時，筆者關注的重點為基模內與基模間的關係與變換，而非將基模分類到不同層次。有些理論與 APOS 理論有些相關性，例如：Sfard 提及的運思與結構（operational & structural）、過程與物件（process & object），Gray & Tall 所言之過程物件，包含過程、物件與符號。它們都與 APOS 理論有幾分相似之處，但它們仍有些重要不同，譬如這些理論未提到 Action 和 Process 的「建構」與 Schema，而 Tall & Vinner 雖有提到 Concept image（概念意象），但仍和 Schema 有所不同。（Arnon, I. et al., 2013）【起源分解】起源分解是個假設性模型，描述學生在學習特定數學概念時所需的心智結構，它可以解釋學生學習表現何以有差異，但起源分解不是唯一，它是個理論模型，能幫我們了解大部分學生概念建構的軌道，但其實不同的學生會依循不同的軌道，若經由實證研究支持的起源分解，就可視為學生概念建構的合理描述（Marcela Parragues, Asuman Oktac,2010、Cottrill, J., 1996）。特別要強調的是：起源分解是以認知建構（cognitive constructions）的觀點產生，而不是由數 19.

(32) 學結果來看，它和概念的數學形成（mathematical formulation）不同，數學形成是討論一個概念在數學世界裡的位置。我們可以從不同的路徑獲得起源分解初稿（preliminary genetic decomposition），譬如：研究人員關於某概念教與學的經驗、研究人員關於 APOS 理論的知識、。一個概念可能包含幾個不同的動作、過程和物件，起源分解可以描述這些結構之間的關係，並組成一個較大的心智結構，也就是所謂基模。藉由實際教學與評量的回饋，我們可以比對學生們各部分的狀況，就可能找出學生在某些任務（task）上的不同表現，並據此改良概念的起源分解。例如，無法達成某些任務可能指出學生還沒建立必須的心智建構；如果能達成，則可視為「學生已建立某些心智建構」的證據，藉由這樣的分析，獲得的整個結果就可以成為起源分解的心智建構組織。筆者亦參考向量歷史、教科書脈絡、過去研究發現關於向量之困難，以獲得平面向量之起源分解圖，並作為學習活動設計之參考。概述如下： (1) 向量歷史單維彰（2010）指出早在古希臘時代即出現以平行四邊形對角線呈現合力的作法，至於向量在近代的發展要從複數的歷史說起，複數發展至 18 世紀末，威塞爾（Caspar Wessel）提出複數平面概念，之後複數開始有了幾何意義，在他的論文中找到一個可以用來表示方向改變的代數運算，到了 19 世紀，高斯（Carl Friedrich Gauss）賦予複數平面完整幾何概念，若將原點和複數平面上一點連起來即可表示一個向量，在複數平面解釋複數的幾何意義，複數幾何意義也為平面向量提供一套代數規則。之後數學家開始思考三維以上向量的表示法與運算方式，漢彌爾頓（William Rowan Hamilton）嘗試以四元數表示空間向量的伸縮和旋轉，而後電磁學大師麥斯威爾（James Clerk Maxwell）將四元數中向量獨立出來定義加減法、內積、外積。 (2) 高中數學教科書脈絡筆者參考龍騰、翰林、南一這三家國內市佔率最大的教科書，整合比較三版本的教材編排脈絡，發現龍騰先以幾何表徵說明所有向量意義、加法、減法、係數積、線性組合等，之後才將它們坐標化，翰林和南一則是在各子標題下即介紹幾何和坐標表示，但不論哪個版本主要都是先以幾何表徵認識，而後才坐標呈現。它們都在簡述分辨向量、純量後，以跑步、打撞球、踢足球等位移情境介紹有向線段、向量，以及始點、終點、長度等名詞和符號。所有版本皆包含平行四邊形法和三角形法，其中南一以水流與船速合成以及力的合成情 20.

(33) 境說明平行四邊形加法，翰林、龍騰以位移說明三角形法，在引入加法後，再利用反向量改寫成減法，並以三角形法呈現減法關係。介紹完加減法，各版本再來係數積的部分，龍騰以加法帶到整數倍係數積，南一輔以情境說明，翰林直接從符號說明意義，最後三個版本都總結係數與向量方向和大小關係，並用相似三角形說明向量係數積的坐標表示法為何。最後南一從分點公式下手再拆解成線性組合型式後才介紹線性組合，翰林和龍騰介紹簡單實例即說明線性組合的意義，再做向量拆解和分點公式。南一、翰林先以向量坐標合成為例，再將坐標和代數轉換為幾何圖形，接著依圖形拆解向量。此外，線性組合有個重要性質，就是「任一向量可唯一組成任意兩不平行向量的線性組合」，龍騰、南一皆以幾何證明存在性、矛盾證法說明唯一性，翰林則直接以圖形說明存在性和唯一性。 (3) 先前研究參考國內碩博士論文與向量有關之研究，主要針對錯誤類型做描述，部分論文也提及學習過程所出現的現象。洪壽陽（2015）研究一所高中 30 名高中生平面向量學習表現和犯錯類型，發現學生對概念名詞和概念本身無法連結、對公式記憶錯誤、計算錯誤、向量加減法判斷錯誤、題目向量無數值便無法計算，以及向量分解出錯等問題。黃楷文（2012）則將向量教具融入教學，對桃園三所高中共 215 位學生實驗，發現向量教具能有效提昇低成就學生學習成效。洪志瑋（2013）探究高中生關於向量內積的概念心像發現仍有 26%的學生無法分辨向量與純量的不同、有 12%的學生對於向量絕對值的概念是不正確的。李永貞（2009）針對重修學生分析其向量類型錯誤如下：約六成學生認為向量記號即為向量大小、超過三成在以三角形法做加法時、將始點與終點位置寫反、在平行四邊形法做加法時使用錯誤的對角線、約三成學生認為向量記號相加或相減就是長度相加或相減。莊景文（2013）研究空間向量的錯誤類型也提到學生對數學名詞或符號不清楚、由圖形臆測長度或角度、對數學公式不清楚等問題。陳俊廷（2002）研究高中生空間向量學習困難，發現學生易偏向機械式學習、喜歡套公式。林進發（2001）研究桃園地區高中生內積錯誤類型，指出學生因概念不清產生錯誤、未能注意符號實質的表徵意義、受題目情境設計與題目文字敘述影響等而產生錯誤。. 21.

(34)

(35) 第參章. 研究方法. 雖然 APOS 理論中提到的概念不是線型發展，但一個物件的形成一定要經過 A-P-O 這個順序嗎？目前高中教科書在介紹平面向量概念時，都從幾何表徵引入，難道向量圖形不是一個數學「物件」嗎？從 Van Hiele 的幾何概念層次來看，兒童一開始建構諸如三角形等形狀比較接近一個完形的意象，表面上他們似乎沒有操弄什麼物件，純粹藉由比對類似形狀的物品，就抽象出「三角形」這個形狀。從 David Tall（1999）等人的研究中，我們知道物件可以藉由感官經驗直接獲得，也就是所謂的感知物件（perceived object），本研究更重視其它物件的建立，例如理想物件。當討論向量的幾何表示法時，筆者期待學習者不僅是能夠畫出一個「帶有箭頭的線段」，還能說出這個圖形的內涵，學習者必需先有點、線段、平行等物件與概念，他才能理解與說出更精緻的向量意義，譬如始點、終點、長度、方向等用語。本研究重視的數學內容不只是純粹直接的感官經驗歸納，而是操弄具有抽象意義的符號與圖形等既有物件，進而建立更高層次的概念。. 第一節研究對象本研究的研究對象為高一尚未學習平面向量之學生，參考學生會考之成績將學生區分為高、中、低成就三組，總共進行三次學習訪談、一次後測與訪談，其中學習訪談每次進行一個主題，後測的過程中則不介入學生答題，待學生回答後才進行訪談，以深入了解學生對相關概念的想法與認知結構。本研究採立意取樣，為避免程度過低的學生先備知識過於貧乏，可能影響研究進行，故挑選會考數學成績在 B 以上的學生，從大台北地區認識的現職教師中，找尋有興趣參與的學生，並挑選出成績為 B++以下、A、A++各兩名，探究中等程度以上的學生在研究環境下平面向量基本概念建構發展的過程。表 3- 1. 個案學生基本資料. 學生編號. S1. S2. S3. S4. S5. S6. 會考成績. A++. A++. A. A. B++. B+. 分組. 精熟. 精熟. 精熟. 精熟. 基礎. 基礎. 頂標. 頂標. 23.

(36) 為保護研究對象資料，且本研究未針對性別作研究，是以在提及研究對象時不分性別，皆以「他」作為陳述代名詞。訪談現場中，筆者觀察到或者學生談及之背景資料如下：學生 S1 對數學很有興趣，因此國中時自行去報考並就讀數理資優班，他在訪談時正準備參加數學科展；學生 S2 長期在補習，會積極做大量題目練習；學生 S3 家庭經濟弱勢，他沒有補習，相對於其它科目會考成績都是 A++，數學是他較弱的科目，他表示在國中進入幾何單元時遭遇一些困難，因為很多幾何的解題方式與手法很難自己想到；學生 S4 每週補習一、兩天，對數學沒有特別喜好或厭惡；學生 S5 有去補習班補數學，母親對於他的學習相當關心，會要求他做練習，他曾經要求母親保證他寫完練習後考試能到某特定成績；學生 S6 國二以前數學成績常常都是滿分，大概在學習根號之後，開始產生困難，常常聽不懂老師在教什麼。. 第二節研究設計由數學教科書脈絡、概念先前的研究、概念的歷史發展等，研究者可以寫出起源分解初稿（preliminary genetic decomposition），用以引導教學方案的發展，在實行教學方案後，提供研究者收集資料的機會，並藉由書面工具（written instrument）或深度訪談來收集資料。在分析資料時，研究者要探討兩個問題：（1）學生是否建立「起源分解」裡提到的心智建構？（2）學生數學內容學的有多好？這兩種問題都可能讓起源分解或教學方案有所更動，待經過實證後（verified empirically），起源分解可做為有用的認知模型、做為「描述學生概念」與「有效教學設計」的有效工具。認識論是描述性的理論，而教學或教學的理論則是實踐的理論（Kerr 1981）。本研究理想上想研究學生的心智結構與機制，APOS 理論提出一個關於心智建構的架構，起源分解提供個體一特定概念的建構時的確切內容，但實際研究時，學生不會無中生有主動想去建構平面向量的概念，筆者必須提供資料或藉由互動等方式，逐步引導研究對象建構相關概念，再藉由設計好的研究工具，由學生外顯的行為與回答等，分析不同學生的建構過程與結果，也因此免不了需要尋找適當的教學方法介入。由於 APOS 理論傾向於概念是個體所建構的想法，筆者研究不同的教學理論與主張後，選取以學生為中心的教學理論為參考，設計研究相關活動並以此為教學指引。 24.

(37) Dubinsky 等人採用 APOS 理論、ACE 教學循環設計教學活動時，藉由適當的活動（activities）和練習（exercise）來幫助學生建構 Action，並幫助它們內化成 Process、再膠囊化成 Objects，並整合兩個以上的 Processes 來建構新的 Process。本研究的教學活動設計亦包含數學臆測活動，藉以幫助學生主動探索建構數學概念，筆者在學習訪談時，也會嘗試了解學生臆測結果和探索活動背後的思維或知識，以及如何作檢驗以支持或反駁原先的猜想，待學生有基本的概念意象後，才介紹概念的正式定義與性質。教學活動設計提供學生嘗試與操弄的媒介，著重在幫助學生應用各種心理機制建立概念的各種心理結構，輔以開放性的問題讓學生說明「所嘗試之事」與「所得結果」之關聯；而在臆測活動時，則讓學生說明「所嘗試之事」與「猜測所得結論」之間的邏輯關聯。本研究的主題是關於平面向量的基本概念，學生在平面向量單元時，第一次正式接觸向量的代數符號與幾何、坐標表示法，隨即就進入平面向量的加、減、係數積等向量的基本運算。根據 APOS 理論，一方面，學生必需將形如 𝑎、𝑏⃑ 等單一向量視為物件，才能操弄該物件，像是求出𝑎 + 𝑏⃑、𝑟𝑎 等向量；另一方面，𝑎 + 𝑏⃑、𝑟𝑎等向量不僅隱含一些運算過程，它們本身也能單獨表示一個向量，因此也是一個向量物件。學習者對於向量這一物件的概念隨著解題與操弄的經驗增加其豐富性。就如同「5」這個物件，我們可以說正常小學中年級的學生知道「5」這個物件是什麼，但在國中學生的認知裡，「5」不僅可以計數，它還是個質數，而在高中生的眼裡，還可以知道「5」也是個虛部為 0 的複數，隨著學習經驗的增加，學生能更清楚「5」這個物件的內涵以及它和其它物件之間的關係，但無論如何，我們會先建立學生關於 5 最基礎的概念，像是可以用來計數、表示某個量。平面向量也是如此，學習活動中，先讓學生認識平面向量的幾何表示法、向量的基本性質：大小與方向；接著學生認識向量的係數積，此時關注的不再是單一向量或者是兩個向量是否相等，而是一組有特殊關係的向量，這一組向量在幾何上的方向相同或相反、在代數中𝑥分量、𝑦分量都成比例；再來是向量的加減法，在幾何上，可討論不平行向量之間的關係，例如圖中𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑐 ，𝑎、𝑏⃑、𝑐 三個向量圍成三角形，也就是最基本的多邊形，此時，再結合坐標表示法，平面向量已準備好和更多其它數學物件建立關係。倘若結合加減法和係數積，發展出向量的線性組合，甚至可將兩向量做為基底（代數觀點）或參考的「兩軸」（幾何觀點），建立斜角坐標系，為後續三維、 25.