與學習困難
本小節將分別討論六位個案學生在平面向量的學習情形，並且依序報導這 三項數學內容：向量的基本意義、向量的基本運算、向量的線性組合，並依起 源分解圖附上每位個案學生的學習過程示意圖。最後，會提出個案學生整體說 明。
一、個案學生 S1 的學習過程
（一） 向量的基本意義
見附錄 9 的學習時間整理表與雙向細目表的對應結果，S1 學生在本項目總 共花費的學習時間是 2330 秒 （至少 38 分鐘），在各子標題所需要的學習時間 為：向量的幾何表示法 455 秒<有向線段 850 秒<向量的坐標表示法 1025 秒。
見附錄 7 的觀察系統登錄表的第 2 題到第 19 題，在教師介入評分方面，除了第 3 題定義教學不採計之外，本主題總共評分了 17 題。若以滿分 34 分來看，他 拿到 33 分，自主學習完成率至少為 97%，幾乎不需要教師介入即可學好「向量 的基本意義」。
見附錄 1 的第 17 題，教師可以介入的時機，只出現在學生 S1 看錯題目時;
他將𝐷𝐸⃑⃑⃑⃑⃑ 看成𝐸𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ ，除此之外，並無其它錯誤。他一開始就直接做出一直角三角 形，並標上 1、2、√3，筆者認為他的先備知識、基模間的連結、表徵轉換皆無 礙。另外，他在第 9 題有出人意表的亮點，他從向量定義裡的長度和方向中，
聯想到接近「極坐標」的向量表示法; 若改成「直角坐標」的寫法，也能自行 想到將始點移到原點，則終點就能轉換成向量坐標。
圖 4-1 為學習過程示意圖，該示意圖將起源分解初稿簡化，各圖中會呈現 學生原有物件與學習後之物件名稱，以及相對應之動作與過程等心智結構，筆
38
者依學生在活動學習單與雙向細目表中對應活動之學習情形判斷學生在該心智 結構形成的過程中所需要的介入程度；其中，以粗實線外框表示學生在對應活 動中幾乎無需教師介入，即可完成自主學習；細實線外框表示需教師部分介 入；虛線外框則顯示學生無法自主學習，幾乎由老師依序指引才能完成。
圖 4- 1 學習過程自主學習程度示意圖說明
圖 4- 2 S1 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段）
39
圖 4- 3 S1 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量）
（二） 向量的基本運算
見附錄 9 的學習時間整理表與雙向細目表的對應結果，S1 學生在本項目總 共花費的學習時間是 4910 秒 （至少 1 小時 21 分鐘），在各子標題所需要的學 習時間為：減法（坐標）475 秒<係數積（幾何）547 秒<係數積（坐標）657 秒
<加法（坐標）725 秒<加法（幾何）1250 秒<減法（幾何）1255 秒。見附錄 7 的觀察系統登錄表的第 20 題到第 41 題，在教師介入評分方面，本主題總共評 分了 22 題。若以滿分 44 分來看，他拿到 37 分，自主學習完成率至少為 84%，
不太需要教師介入就能學好「向量的基本運算」。
見附錄 1，教師可以介入學生 S1 的時機共有七題，分別是第 21、22、24、
25、28、36、40 題。見第 21 題，他很有條理的將「t𝑎 與𝑎 的關係」依「t 的正 負情形」分成三類，但出現了一點小錯誤; 零向量在符號上一開始漏掉箭頭; t𝑎 倍大小為𝑎 的|t|倍，寫成 t 倍。見第 22 題，他能直覺地推出「係數積的坐標表示 法」，但是無法再進一步說明原因。見第 24 題，他很快就畫出答案，只是多了 箭頭，再看一次題目即發現不含箭頭。見第 25 題，他解釋（d）選項時，發現 自己的錯誤。見第 28 題，他一開始誤看成要求CB⃑⃑⃑⃑⃑ 向量，所以畫出的向量箭頭 指向 B 點，發現後隨即更正。見第 36 題，他畫成（𝑎 − 𝑏⃑ ） + 𝑎 ，但是無法解 釋自己做的圖，接著寫下坐標並且將−𝑏⃑ 的坐標算出來再放回圖上，似乎認為−b⃑
40
和已知兩向量應該會圍成三角形或平行四邊形，最後將（𝑎 − 𝑏⃑ ）坐標化時寫錯 𝑥分量，教師提醒之後才利用(𝑎 − 𝑏⃑ ) − 𝑎 得到−𝑏⃑ 與圖形。另外，他在幾何題卡 住時，會想到轉換成坐標表徵，以幫助自己解題。見第 40 題，他由DA⃑⃑⃑⃑⃑ +AE⃑⃑⃑⃑⃑ =DE⃑⃑⃑⃑⃑
推得DE⃑⃑⃑⃑⃑ +EA⃑⃑⃑⃑⃑ =DA⃑⃑⃑⃑⃑ ，直接省略中間DA⃑⃑⃑⃑⃑ =DE⃑⃑⃑⃑⃑ − AE⃑⃑⃑⃑⃑ 這個過程，並且誤將DA⃑⃑⃑⃑⃑ 寫成AD⃑⃑⃑⃑⃑ ; 此 外，在後面的解題過程中，他找出更有效率的解題方式，可以將「向量的減 法」改寫成「加上反向量」。
圖 4- 4 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（係數積）
圖 4- 5 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（加法）
41
圖 4- 6 S1 在平面向量基本運算的自主學習程度（減法）
（三） 向量的線性組合
見附錄 9 的學習時間整理表與雙向細目表的對應結果，S1 學生在本項目總 共花費的學習時間是 3230 秒 （至少 53 分鐘），在各子標題所需要的學習時間 為：合成（坐標）530 秒<合成（幾何）795 秒<拆解（坐標）912 秒<拆解（幾 何）992 秒。見附錄 7 的觀察系統登錄表的第 43 題到第 55 題，在教師介入評 分方面，本主題總共評分了 13 題。若以滿分 26 分來看，他拿到 25 分，自主學 習完成率至少為 96%，幾乎不需要教師介入即能學好「向量的線性組合」。
見附錄 1，教師可以介入的時機，只出現在第 48 題。在第（1）小題中，
學生 S1 畫出 1OA⃑⃑⃑⃑⃑ +0OB⃑⃑⃑⃑⃑ 後，就畫出所有 P 點所形成的圖形為一線段；但在第
（2）小題中，他先考慮 y=0 且-1≤x≤2 時的圖形，再考慮 x=0 且 0≤y≤1 時的圖 形。他在跟教師說明時，才發現不只是兩個線段，最後修正成一個三角形; 教 師再提醒他回想第（1）小題作圖過程，他隨即發現圖形為一個平行四邊形。另 外，他在第 50、51、53 題裡有一個特別的想法，也就是在做向量的線性組合時 會將「向量的平行」與「斜率」做連結。
42 圖 4- 7 S1 在平面向量線性組合的自主學習程度
從上述文章可以得知，S1 學生在第一階段總共花費的學習時間是 10470 秒
（至少 2 小時 54 分鐘），各主題所需要的學習時間為：向量的基本意義 2330 秒
<向量的線性組合 3230 秒<向量的基本運算 4910 秒。在教師介入評分方面，第 一階段總共評分了 52 題。若以滿分 104 分來看，他拿到 96 分，自主學習完成 率至少為 92%，幾乎不需要教師介入即能學好「平面向量」。
二、個案學生 S2 的學習過程
（一） 向量的基本意義
見附錄 9 的學習時間整理表與雙向細目表的對應結果，S2 學生在本項目總 共花費的學習時間是 4070 秒 （至少 1 小時 7 分鐘），在各子標題所需要的學習 時間為：有向線段 1060 秒<向量的幾何表示法 1070 秒<向量的坐標表示法 1940 秒。見附錄 7 的觀察系統登錄表的第 2 題到第 19 題，在教師介入評分方面，除 了第 3 題定義教學不採計之外，本主題總共評分了 17 題。若以滿分 34 分來 看，他拿到 31 分，自主學習完成率至少為 91%，幾乎不需要教師介入即可學好
「向量的基本意義」。
見附錄 2，教師可以介入學生 S2 的時機共有三題，分別是第 9、13、18 題。見第 9 題，他最初想以「長度數值」加「方向圖示」訂定坐標表示，教師 告訴他以數值方式，而非幾何呈現; 接著他想以長度規定就好，經由教師提示
43
才想出以始終點相對水平、鉛直距離來看，但接著又突然聚焦在向量長度，認 為自己的訂定方式不妥。在教師以向量（1,2）、（2,1）為例子說明後，學生發現 長度相同也可以是不同向量; 在教師以向量（-2,-1）詢問時，他一度訂為（2,-1），最後才想到以始終點相對位置再參考方向「往右為正、往左是負；往上是 正、往下是負」訂定向量的坐標表示法。見第 13 題，給定長度相同但方向不同 的兩向量𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ 、 𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ 時，他認 為 「 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ = 5 = 𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ 」 是 合 理 的 ; 但 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ =𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ 時 ， 學生卻認為等式有誤。筆者認為，學生可能是在符號與意義上的連結不穩固，
在題目的脈絡下，注意力只放在向量的長度，而忽略符號的原始意義。見第 18 題，他可以點出菱形第四點合理的大概位置，但想不出來如何從菱形的四邊等 長找出第四點; 雖然他自稱知道菱形也是平形四邊形的一種，但在教師提醒後 才想起來並正確回答。筆者認為他雖然具備解題所需的元素，但在解題過程裡 並未由基模裡主動提取相關概念。
圖 4- 8 S2 在平面向量基本意義的自主學習程度（有向線段）
44
圖 4- 9 S2 在平面向量基本意義的自主學習程度（向量）
（二） 向量的基本運算
見附錄 9 的學習時間整理表與雙向細目表的對應結果，S2 學生在本項目總 共花費的學習時間是 9770 秒 （至少 2 小時 42 分鐘），在各子標題所需要的學 習時間為：減法（坐標）831 秒<係數積（幾何）945 秒<加法（坐標）1521 秒<
係數積（坐標）1865 秒<減法（幾何）1916 秒<加法（幾何）2691 秒。見附錄 7 的觀察系統登錄表的第 20 題到第 41 題，在教師介入評分方面，本主題總共 評分了 22 題。若以滿分 44 分來看，他拿到 35 分，自主學習完成率至少為 79%，可能需要一些教師介入才能學好「向量的基本運算」。
見附錄 2，教師可以介入學生 S2 的時機共有九題，分別是第 21、22、23、
26、28、31、36、40、41 題。見第 21 題，他在說明𝑡𝑎 與 𝑎 的關係時，最初以 為𝑡 = 0時，𝑡𝑎 和𝑎 一樣，教師反問他𝑡 = 1的情況以製造認知衝突，思考一會後 即發現𝑡 = 0時，𝑡𝑎 應為零向量。見第 22 題，他在u⃑ =rv⃑ 時，能利用v⃑ ，推出u⃑ 的 坐標表示法，但並未仔細說明理由，可能是憑數學直覺去猜測。見第 23 題，在 教師提示第（3）小題後他畫出兩平行向量，作出相似三角形並求出其邊長即得 到𝑏⃑ 的兩個分量。見第 26 題，他最初想不出怎麼畫，接著在第（1）小題的平行 四邊形畫出對角線，但還是無法找出關係來還原第（2）小題的圖形; 教師依序 提醒他平行四邊形裡有兩個三角形、兩個全等三角形、三角形的其中一個邊是
45
對角線，學生才畫出正確圖形。筆者認為他關於平行四邊形的性質有些不熟 悉，這可能影響後續線性組合幾何表示法的學習表現。見第 28 題，他在第
（1）小題用三角形法順利完成，但使用平行四邊形法時做出了錯誤的向量; 教 師因此重新說明平行四邊形法的想法與使用時機。第（3）小題裡他受限於三角 形、平行四邊形的外型，而無法類推出兩向量平行時的加法該如何處理; 教師 提醒他思考如三角形法背後位移的概念，學生即可作出正確圖形。見第 31 題，
第（3）小題裡他先將兩向量坐標相加，再畫出相加後的向量圖形，卻不小心數
第（3）小題裡他先將兩向量坐標相加，再畫出相加後的向量圖形，卻不小心數