兒童幾何概念的發展與學習上的迷思

在兒童幾何概念的發展方面有一些學者做了較深入的研究，一是 Piaget 和 Inhelder 之研究，另一個是 van Hiele 之研究。在學習上的表現也有不少學者加以 探討，以下將對這些相關研究做探討。

壹、Piaget

兒童幾何概念發展理論

Piaget 與 Inhelder（1967）將兒童幾何發展的階段分為三個階段，分別是：一、

拓樸幾何概念：約 3 到 4 歲，依據圖形是否開放或封閉，完全沒有邊長、角度、

大小等歐氏幾何的概念；二、射影幾何概念：約 4 到 6 歲，由不同的角度觀看物 體，此階段為過渡時期；三、歐氏幾何概念：約 6 到 8 歲，考慮物體之大小、距 離及方向，並涉及角度、長度等測量的工作。以下就這三個階段分別做簡要的說 明：

一、拓樸幾何概念（Topological concepts）

這個階段又稱為位相性空間概念的階段，屬於前運思期。此階段的兒童對 於直線和曲線尚未有嚴格的區分能力，而且對角度或長度的差異也不能做仔細 的觀察。

拓樸幾何又稱為橡皮幾何（rubber-sheet geometry），拓樸變換（拉扯與壓 縮）會改變圖形的形狀或大小，但是包圍性、分離性、順序性、接近性和連續 性等性質不會改變。因而拓樸幾何即是在不管大小或形狀的狀況下，研究空間 的關係與形式，其所處理的是開放與封閉的圖形，即無論此一圖形如何變換，

其內與外之間，開放與封閉的圖形間之差異，並不會因此消失（王文科譯，

1989）。

在拓樸幾何，圖形不被視為嚴格或固定的形狀，簡單的封閉圖形像三角 形、圓形、正方形，在拓樸意義上是同等的，因為他們可以被拉長或擠壓而形 成彼此的形狀，如正方形可以拉成三角形或長方形（周淑惠，1995）。

二、射影幾何概念（Projective geometry）

射影幾何是一種透視（perspective）的幾何學，具有此概念的兒童能由不同 的視覺觀點來看物體。

凡是利用中心射影或平行射影，把一個圖形映成一個圖形的映射，都稱為 射影變換。射影幾何學便是在討論圖形經過射影變換後仍然不變的性質。 例 如在平面π上的點射影到π'上依然是一個點，一條直線的射影依然是直線，相 交兩直線的射影依然是相交的，三角形的射影依然是三角形，但是等腰三角形 經過射影變換之後不再是等腰三角形，圓的射影成為橢圓。共線的點的射影還 是共線，共點的線的射影還是共點，橢圓的射影還是橢圓。有些圖形性質在射 影變換之後就轉變了，像正多邊形、圓形、平行線、角的大小等等（劉秋木，

1996）。射影變換是由不同的視覺觀點而產生，它會改變形狀和大小，卻不會 改變其直線性（straightness）。

三、歐氏幾何概念（Euclidean geometry）

此階段的兒童認為圖形不管怎麼移動，其形狀或大小都不變。Piaget 認為 兒童必須要從視覺的迷惑擺脫出來才有可能有歐氏幾何概念，而有關圖形的問 題，須以下面的認識為基礎（引自吳貞祥，1980）：

A. 認知線段長度的不變性（亦稱保留性）

B. 認知角度大小的不變性 C. 認知面之大小的不變性

歐氏幾何是一個公設化的系統，各定理是由公設、公理和定義依邏輯規則 推導出來的。在歐氏幾何裡，圖形的形狀與大小是不變的，所關心的是兩個圖 形的全等、相似或等價關係，大部分定理也都針對這三種關係（劉秋木，1996）。

歐氏變換是指翻轉（flip）、移位（slide）與旋轉（rotate）。我們將幾何物 體予以翻轉、移位或旋轉，在變換之後依然保留了形狀、大小不變的性質。所 以歐氏變換會改變圖形的位置或方向，然而卻不改變其形狀與大小（周淑惠，

1995）。因此在這個階段的兒童已具有長度、角度、面積的保留概念，也具有 平行的概念。

就歷史的角度來看，歐氏幾何的發展最早，在古埃及時即用來重新畫定尼羅 河氾濫之後的土地疆界；射影幾何用以處理透視的問題，約在十七世紀出現；拓 樸幾何到十九世紀才出現，是在不計大小或形狀的情形下，研究空間的關係與形 式，所處理的是開放與封閉的圖形（王文科譯，1989；王文科，1994）。Piaget 與 Inhelder（1967）認為兒童最先獲得的是拓樸概念，其後開始形成射影幾何概 念的同時，也正學著建構歐氏幾何的概念，二者是平行發展的。他們並認為兒童 空間運思與幾何概念的發展符合邏輯理論的次序而非歷史的次序，並將之稱為

「拓樸為先論點」（topological primacy thesis）。

在小學，兒童的圖形概念大都已發展到歐氏幾何階段，所學的幾何學是以歐 氏幾何為主。六年級的學生依 Piaget 理論的觀點已達到歐氏幾何階段，其學習成 就研究的重點可考慮圖形的封閉、曲直、方位、邊長與角度等特性，以瞭解學童 辨認圖形的表現情形。以上的分析可供本研究試題編製的參考。

貳、van Hiele 之幾何思考層次理論

荷蘭教育家 Piere Marie van Hiele 及 Dina van Hiele-Geldof 夫婦，在西元 1957 年提出幾何思考層次理論，主張學生之幾何思考可以分為五個層次：視覺期

（visualization）、分析期（analysis）、關係期（relation）或非形式演繹期（informal deduction）、形式演繹期（formal deduction）、以及嚴密性（rigor）或公理性

（axiomatic）。依 van Hiele（1986）最新的用法及其名詞，分別稱之為層次一：

視覺的層次、層次二：描述的層次、層次三：理論的層次、層次四：形式邏輯的

層次、以及層次五：邏輯法則本質的層次。分述這五個層次如下（Fuys, Geddes, &

Tischler, 1988；吳德邦，1998；吳德邦，2004；劉秋木，1996；劉好，1998）： 一、層次一：視覺的層次

此層次的學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體 實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透 過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形 狀，如像門或窗戶的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形 狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定 義。他們能辨認三角形或正方形，但其辨認是依據其整個形狀，而不會分析圖 形的性質。

二、層次二：描述的層次

此層次的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖 形，並且可以利用實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）

的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經 驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，

但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四 邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。他們能描述圖形的定義，但不易精簡描 述的過程。他們能分析圖形的性質，知道某類圖形含有一些相同的性質，但還 不能看出不同類圖形間的關係，所以他們會認為一個圖形是正方形，所以它不 是長方形。

三、層次三：理論的層次

此層次的學生可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結，能 進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等 即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在了解圖形 內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角 為直角時，此四邊形即為長方形。他們能以非形式的演繹推理發現一些圖形的

性質，如四邊形的內角和是 360 度。

四、層次四：形式邏輯的層次

達此層次者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他 們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖形的性質，而且能 夠證明，並了解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分 或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能了解正方形邊長 均相等，，但邊長均相等的四邊形不一定是正方形。當他們知道一個定理：「平 行四邊形的對角線互相平分」，能寫出其逆定理：「對角線互相平分的四邊形是 平行四邊形」。

五、層次五：邏輯法則本質的層次

達此層次者，能夠在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系 統。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異，也可了解抽象推理幾何，甚 至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者 亦不易達成。

根據 van Hiele 的理論，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的 各項概念與能力，教師才能有效進行下一層次的教學活動。教材教法的差異，會 影響學習者落入不同層次中。國民小學低年級學生大都在層次一，故學生必須透 過實物的操作、觀察、描述與比較，在豐富的具體經驗後，才能夠循序漸進地達 到更高的層次。中年級學生大約可達層次二，高年級學生大約在層次二至層次三 的過渡期（劉好，1998）。林軍治（1992）發現花蓮地區三年級兒童有 44.19%在 層次一，22.09%在層次二，沒有人達到層次三；五年級兒童有 26.06%在層次一，

29.70%在層次二，達到層次三也有 29.70%。學生的幾何思考層次要從一個層次 提升到另一個層次，依賴合宜的教學多，依賴年齡或生理的成熟少；若進行的是 某種不合宜的教學活動，會導致學生依賴背誦，且學生無法理解亦無法思考。

劉秋木（1996）描述前三個層次的兒童之可能表現，如表 2-5：

表 2-5 van Hiele 幾何層次一至層次三的兒童之可能表現 van Hiele 幾何層次 兒童的可能表現

能在一組圖形卡中依圖形外貌找出某種圖形。

能用釘板和橡皮筋仿作一個圖形，或用一個圖形拼成另一圖形。

能說出圖形的名稱，能指出兩個圖形是否相同，並作分類。

層次一

依圖形的整體外貌描述一個圖形。

能指出一個圖形的構成要素或要素間的關係。

能由兩個圖形之要素與其間關係的異同比較兩個圖形。

能依圖形的性質來建構圖形。

能在測量或操作圖形之後歸納圖形的性質。

層次二

能比較不同類圖形間的性質有何異同。

能以圖形的屬性定義一圖形。

建構不同圖形類別間的包含關係。

能使用邏輯關係證明一個陳述。

能以推理發現圖形的性質。

層次三

能指出某種圖形有幾組性質，並能以最少數的性質來定義圖形。

由以上所述，可知 van Hiele 幾何思考的發展是由實體到分析思考，再到嚴密 的抽象數學演繹。van Hiele 理論強調學習的過程，其發展過程為：圖形的知覺辨 認、圖形的特徵辨認與概念的形成、圖形間關係的辨認與推演、幾何命題的邏輯 論證、抽象的幾何系統之建構。van Hiele 理論的研究重點在於建構幾何系統的邏

由以上所述，可知 van Hiele 幾何思考的發展是由實體到分析思考，再到嚴密 的抽象數學演繹。van Hiele 理論強調學習的過程，其發展過程為：圖形的知覺辨 認、圖形的特徵辨認與概念的形成、圖形間關係的辨認與推演、幾何命題的邏輯 論證、抽象的幾何系統之建構。van Hiele 理論的研究重點在於建構幾何系統的邏