第四章 結果與討論
第二節 各概念項目的作答情況與進步率分析
多邊形概念測驗包含六個概念項目，因此本節分成六個部分加以說明，分別 為：圖形的辨認、圖形的分類、圖形的組成要素、圖形的性質、圖形性質的異同 比較與探求圖形的性質。為理解受試學童在每一個概念的答題和理解情況，因此 將學童在每一題的答對率及各選項反應比率統計成表以利分析。本節中各表內之 答對率與反應比率以百分率表示，括號內為人數，正確選項以灰色網底表示。
壹、圖形的辨認
本研究之「圖形的辨認」包含三角形、四邊形及凹多邊形等三部分，分別以 多邊形概念測驗中之第一大題、第二大題、第三大題的學童作答情形及訪談資料 內容，加以分析，詳細內容如下：
一、辨認三角形的反應情況
（一）「辨認三角形」概念項目之筆試題目與答題統計分析 題目：
一、下列各題中，哪些是三角形，請在（ ）內打「3」。（有的題目可能不只一個答案）
1.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 2.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 3.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ）
4.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ）
5.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ）
6.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ）
研究者藉由第一大題瞭解學童對於「辨認三角形」的能力，本大題共包 含 6 題，分為開放與封閉圖形、直線與曲線圖形、不同方位圖形、不同大小 圖形、鈍角特大圖形、圖形外框線粗細的判別等六個概念內容。茲將受試學 生在本大題的作答情形統計如表 4-8。
從表 4-8 可知，在三角形的辨認方面，前測時除了圖形邊的曲直和鈍角 特大圖形的判別之答對率明顯較低，其餘的答對率都在 80%以上。圖形邊的 曲直之前測答對率僅 66%（21 人），後測答對率為 81%（26 人），顯示尚有 近二成（6 人）的學生在辨認三角形時以大略整體圖形判定，以為看起來像 三角形的圖形就是三角形。分析第 2 題的作答情況，雖然對選項 1 都認同，
但對其他選項仍有一些迷失，特別是選擇錯誤選項 4 的比率增加。從訪談資 料中可知尚有一些學生只是因為圖形看起來很像三角形就選了，而忽略三角 形的三個邊皆必須要為直線段。鈍角特大圖形的判別之前測答對率僅 66%（21 人），後測答對率為 72%（23 人），顯示約有三成（9 人）的學生對於鈍角特 大圖形之辨認尚不夠清楚。薛建成（2003）的研究發現此概念類型不論在三
角形或四邊形的通過率都明顯的偏低，分別只有 69.5%和 55.8%，本研究的
框線的粗細也會影響其判斷。顯然此類學童在歐氏幾何階段的認知仍不穩 定，茲將訪談學童的想法摘錄如下：
1-1 GL32－以可能性為判準，而非以現狀做判準。忽略三角形的組成要素與封 閉性。
GL32001 T：第一大題的第 1 題你選 2 和 4，你覺得 4 是三角形嗎？
GL32002 S：（點點頭）。
GL32003 T：為什麼它是三角形？
GL32004 S：因為它連起來就是三角形。
GL32005 T：可是它現在有連起來嗎？
GL32006 S：沒有。
GL32007 T：所以它現在是三角形嗎？
GL32008 S：不是。
1-2 GL26－以可能性為判準，而非以現狀做判準。忽略三角形的組成要素與封 閉性，以為有三個角就是三角形。
GL26001 T：第一大題的第 1 題你選 1、2、3、4 都是三角形，為什麼 1 是三角形？
GL26002 S：因為……（喃喃自語）
GL26003 T：這邊不是有一個缺口嗎？
GL26004 S：對呀！
GL26005 T：那為什麼你覺得它是一個三角形 GL26006 S：如果你把它連起來的話就像一個三角形 GL26007 T：3 是三角形嗎？
GL26008 S：也是啊！
GL26009 T：你怎麼認為它是三角形？
GL26010 S：因為它有直角。這邊 40，這邊 50，這邊 90，加起來是 180。（手比圖形的角）
GL26011 T：這邊不是有一個缺口嗎？
GL26012 S：嗯！（點頭）
GL26013 T：那你為什麼認為它是三角形？
GL26014 S：想一想……（疑惑狀），就是看這個角度才會覺得它是三角形。
GL26015 T：4 是三角形嗎？
GL26016 S：把它連起來的話就是三角形。
2-1 BL10－作答時認為長得像三角形就是三角形，訪談時仍以為構成圖形角的 兩邊靠近頂點處呈弧形也是三角形。
BL10001 T：第一大題的第 2 題你選 1、2、3 是三角形，1 是三角形嗎？
BL10002 S：是。
BL10003 T：2 是三角形嗎？
BL10004 S：不是。
GL25006 S：2 比較大。
GL25023 T：4 是不是？
GL25024 S：（搖頭）
GL25025 T：為什麼？
GL25026 S：因為它的形狀跟其他不太一樣。
GL25027 T：你那時候為什麼沒有選 3？
GL25028 S：不知道。
6. GL25－圖形外框線的粗細會影響判斷，認為較粗的就不是三角形。
GL25009 T：第一大題的第 6 題你選 3 和 4，為什麼 1 不是三角形？
GL25010 S：因為它歪了一邊。
GL25011 T：它有歪嗎？
GL25012 S：（疑惑狀）
GL25013 T：你覺得 1 跟 3、4 有什麼不一樣？
GL25014 S：（疑惑狀且咬手指頭）
GL25015 T：那 2 呢，你為什麼覺得它不是三角形？
GL25016 S：（疑惑狀且咬手指頭）
GL25017 T：1、2 跟 3、4 有什麼不一樣？
GL25018 S：因為它用的顏色比較不同。
綜合以上測驗統計結果與訪談資料分析，六年級學童對於辨認三角形的反 應，除了鈍角特大圖形的判別外，其他小題在後測時完全正確的比率皆超過 80%。答錯的學童大都依靠自己的直覺來判斷，而忽略組成要素、封閉性、邊 的曲直，且受圖形方位、大小、形狀、外框線粗細的變化影響，因此這些學童 對三角形概念的認知能力仍不穩固。在 Logo 的環境中，小海龜行進的軌跡是 直線，而且如果小海龜不能從起點出發後再回到起點，是不能形成一個封閉的 圖形。比較各概念的整體答對率，封閉性、邊的曲直及鈍角特大圖形都還有進 步的空間，可能和研究者在引導歷程中未再特別強調三角形的組成要素與其性 質有關，例如封閉性、直線段的邊、角的形狀等。由此顯示在教學時也應多舉 一些不成為三角形的圖形做為例子，讓學生討論其無法成為三角形的原因。對 於比較特殊少見的三角形，例如鈍角特別大的，因為日常生活中較少接觸到，
也要讓學生有多認識的機會。
二、辨認四邊形的反應情況
（一）「辨認四邊形」概念項目之筆試題目與答題統計分析
題目：
二、下列各題中，哪些是四邊形，請在（ ）內打「3」。（有的題目可能不只一個答案）
1.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 2.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 3.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 4.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ） 5.
1 2 3 4
（ ） （ ） （ ） （ ）
研究者藉由第二大題瞭解學童對於「辨認四邊形」的能力，本大題共包 含 5 題，分為開放與封閉圖形、直線與曲線圖形、不同方位圖形、不同大小 圖形、圖形外框線粗細的判別等五個概念內容。茲將受試學生在本大題的作 答情形統計如下表 4-9：
表 4-9 辨認四邊形概念項目各小題之作答情況統計表
會有一些學童沒有將其辨認為四邊形。從後面的訪談資料中發現方位會影響 判斷，有迷思概念的學童認為要擺得正正的才是四邊形，擺得不正或歪歪的 就不是四邊形。
（二）「辨認四邊形」概念項目之訪談資料分析
訪談時發現答錯的學童通常利用自己的可能性直覺來辨認四邊形，忽略 了四邊形的組成要素與封閉性，認為構成圖形角的兩邊靠近頂點處呈弧形也 是四邊形，而四邊形若是方位改變、形狀的大小也會影響其判斷。顯然此類 學童在歐氏幾何階段的認知仍不穩定，茲將訪談學童的想法摘錄如下：
1-1 GL32－以可能性為判準，而非以現狀做判準。忽略四邊形的組成要素與封 閉性。
GL32009 T：第二大題的第 1 題你選 3 和 4，為什麼你覺得 4 是四邊形？
GL32010 S：因為它連起來就是四邊形。
1-2 GL26－以可能性為判準，而非以現狀做判準。忽略四邊形的組成要素與封 閉性，以為有四個角就是四邊形。
GL26035 T：第二大題的第 1 題你選 1、2、3 是四邊形，為什麼 1 是四邊形？
GL26036 S：如果把它連起來就是四邊形。
GL26037 T：為什麼 2 是四邊形嗎？
GL26038 S：因為它的角都有出來，把它連起來就是了。
GL26039 T：3 是嗎 GL26040 S：是。
GL26041 T：4 呢？
GL26042 S：把它連起來就是了
GL26043 T：可是你當初為什麼沒有選啊？
GL26044 S：不知道。
2-1 BL10－作答時認為長得像四邊形就是四邊形，構成圖形角的兩邊靠近頂點 處有彎度也是四邊形。
BL10027 T：第二大題的第 2 題你選 1、2、3 是四邊形，1 是四邊形嗎？
BL10028 S：不是。
BL10029 T：那時候你為什麼選它呢？
BL10030 S：形狀長得像四邊形。
BL10031 T：3 是四邊形嗎？
BL10032 S：不是。
BL10033 T：為什麼它不是四邊形？
BL10034 S：角是彎的，不是尖的。
2-2 BM07－作答時認為有四個邊，看起來像四邊形，就是四邊形。
BM07007 T：第二大題的第 2 題，4 是不是四邊形？
BM07008 S：不是。
BM07009 T：可是你那時候有選 4，為什麼？
BM07010 S：因為 4 有四個邊，看起來像四邊形。
3. BL06－方位會影響判斷，認為要擺得正正的才是四邊形。
BL06001 T：第二大題的第 3 題你選 3 是四邊形，為什麼 1 不是四邊形？
BL06002 S：因為這個（手指比 1 號圖）不是正的。
BL06003 T：第 2 個呢？
BL06004 S：（在想…）
BL06005 T：也不是正的？
BL06006 S：（點頭）
BL06007 T：第 4 個呢？
BL06008 S：第 4 個歪歪的。
4. BL06－大小會影響判斷，感覺比較小的就不是四邊形。
BL06011 T：第二大題的第 4 題你只選 1，2、3、4 沒有選，你覺得 2 是不是四邊形？
BL06012 S：是。
BL06013 T：3 是不是？
BL06014 S：是。
BL06015 T：4 是不是？
BL06016 S：是。
BL06017 S：你那時候為什麼沒有選這三個？
BL06018 S：因為這三個看起來比較小。
綜合以上測驗統計結果與訪談資料分析，六年級學童對於辨認四邊形的反 應，在後測時完全正確的比率皆超過 80%。答錯的學童大都依靠視覺來判斷，
而忽略組成要素、封閉性、邊的曲直，且受圖形方位及大小的變化影響，因此 這些學童對四邊形概念的認知能力仍不穩固。比較各概念的整體答對率，除了 圖形外框粗細的判別外，都還有進步的空間，可能和研究者在教學歷程中未再 特別強調四邊形的組成要素與其性質有關，例如封閉性、直線段的邊、角的形 狀等。由此顯示在教學時也應多舉一些不成為四邊形的圖形做為例子，讓學生 討論其無法成為四邊形的原因。
三、辨認凹多邊形的反應情況
（一）「辨認凹多邊形」概念項目之筆試題目與答題統計分析 題目：
三、這些是幾邊形，請在（ ）內填入答案。
1. 2.
（ ）邊形 （ ）邊形
研究者藉由第三大題瞭解學童對於「辨認凹多邊形」的能力，本大題共 包含兩題，內容則是四邊形和五邊形的判別。茲將受試學生在本大題的作答 情形統計如下表 4-10：
表 4-10 辨認凹多邊形概念項目之答對率
類別 概念內容 題號 前測 後測
四邊形的判別 三-1 97% 97%
凹多邊形
五邊形的判別 三-2 97% 94%
從表 4-10 可知，在凹多邊形的辨認方面，四邊形的判別之前、後測的答 對率均為 97%（31 人），五邊形的判別之前測答對率為 97%（31 人），後測 答對率為 94%（30 人），顯示絕大多數的六年級學生在辨認凹多邊形時沒有 困難。四邊形的判別在前、後測答錯的都是同一個學生（代碼 BL02），從後 面的訪談資料中發現他在計算凹多邊形的頂點個數時會忽略凹進去的頂點，
因此會有辨認錯誤的情形發生。五邊形的判別有一名學生（代碼 GH24）在 前測時答對，在後測時因看錯而答錯，但訪談時能正確的辨認凹多邊形，沒 有任何困難。
（二）「辨認凹多邊形」概念項目之訪談資料分析
訪談時發現答錯的學童在辨認凹多邊形的頂點個數時會忽略凹進去的頂 點，因此在判斷時會將四邊形誤判為三角形，五邊形誤判為四邊形。茲將訪 談學童的想法摘錄如下：
1. BL02－將四邊形誤判為「三邊形」。
BL02027 T：第三大題的第 1 題，它是幾邊形？
BL02028 S：四邊形。
BL02029 T：為什麼？
BL02030 S：（想…）
BL02031 T：它有幾個邊？
BL02032 S：三個邊。
BL02033 T：你數給我看。
BL02034 S：（圈了 1 號圖的三個頂點，漏掉凹進去的頂點）
BL02035 T：所以它是幾邊形？
BL02036 S：三邊形。
2. BL02－將五邊形誤判為四邊形。
BL02037 T：第三大題的第 2 題，它是幾邊形？
BL02038 S：（圈了 2 號圖的四個頂點，漏掉凹進去的頂點）四邊形。
3. GH24－作答時看錯了，訪談時能正確辨認出五邊形。
GH24001 T：第三大題的第 2 題，這個是幾邊形？
GH24001 T：第三大題的第 2 題，這個是幾邊形？