國小六年級學生在Logo環境中學習多邊形概念之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：劉好教授

國小六年級學生在 Logo 環境中

學習多邊形概念之研究

研究生：仇永善撰

中華民國九十五年六月

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國小六年級學生在 Logo 環境中學習多邊形概念之研究

摘要

本研究旨在探討透過實施「Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程」（以下簡稱 Logo 課程）後，對六年級學生多邊形概念和幾何思考層次的影響，及關於多邊形概念的認知表現和所呈現的迷思概念。本研究採單組前測後測設計，研究對象為彰化縣某國小六年級學童 32 人，以補救教學的方式實施。在 Logo 課程教學之前先進行前測，教學時間為期四週，每週三次，共計十二節課。教學完畢之後進行後測，並選取學童進行訪談。由資料分析結果，本研究歸納出以下結論：一、學童在接受 Logo 課程之後，在多邊形的認知上皆有顯著地提升。在圖形的辨認、圖形的組成要素、圖形的性質方面的理解狀況極為良好；在圖形的分類、圖形性質關係之辨認、探求圖形的性質方面的理解狀況，多數項目尚為良好，有少部分項目表現較不理想。二、學童在接受 Logo 課程之後，在多邊形概念測驗的成就表現有顯著的進步。依性別分組，在教學後的成就表現也都有顯著的進步，但學童進步的情形不因性別的不同而有顯著的差異。此外，高、中、低分組學童在教學之後都有顯著的進步。三、本研究前測時 van Hiele 幾何思考層次一至層次三的通過率分別為 91%、81% 及 6%，後測時層次一至層次三的通過率分別為 94%、88%及 6%。學童在接受 Logo 課程之後，達到 van Hiele 的幾何思考層次一與層次二的人數皆有提升，但在層次三部分則未增加。

最後，本研究提出一些建議，期能提供多邊形概念的教學及進一步相關研究的參考。

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The Study of Sixth-grade Students’ Polygon Concept in the Logo Learning Environment

Abstract

The study was undertaken to explore the sixth-grade students’ polygon concept and level of geometry thinking influenced by “Logo Program Assisted Course about Polygon Concept Learning”; moreover, we could understand their cognitive performance and misconception. This study was adopted the one-group pretest-posttest design to investigate 32 sixth-grade students from a elementary school in Changhua County, and the course had been practiced in remedial teaching method. Before practicing the Logo course teaching, the target group had a pre-test. Further, the duration of the teaching was 4 weeks and three times a week. The total was 12 classes. Besides, a post-test was begun after the teaching, and the pupils were selected to have interviews. The data analysis results were as follows:

1. Students had significant advance in polygon cognition after joining the Logo course. Their understanding about figure recognitions, figure composing elements, and figure properties was extremely good. Also, they comprehended figure relation classifications, figure property recognitions, and figure character explorations as well. Yet, few items were not performed ideally.

2. After having the Logo course, pupils had significant progress in polygon concept test performance. The target group was divided by the gender, and their performances also greatly advanced after the teaching. However, students’ progress was not related to the gender. Additionally, the high, medium and low achievement groups also greatly advanced after the teaching.

3. The number of the students, who arrived at geometric thinking level 1 and 2 developed by van Hiele, was increased. Yet, the number of students in level 3 was remained.

In conclusion, this research has brought up some suggestions to provide reference materials about polygon concept teaching for further study.

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致謝 ……… 中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 目次 ……… iii 表次 ……… v 圖次 ……… vii 第一章緒論第一節研究背景與動機……… 1 第二節研究目的與待答問題……… 4 第三節名詞釋義……… ₅ 第四節研究限制……… 7 第二章文獻探討第一節電腦的教育功能……… 9 第二節 Logo 語言與在教育上的應用……… 13 第三節幾何圖形概念與課程規劃……… 22 第四節兒童幾何概念的發展與學習上的迷思……… 37 第五節教學法之相關理論……… 47 第三章研究方法第一節研究架構……… 51 第二節研究對象……… 52 第三節研究工具……… 54 第四節研究步驟……… 60 第五節資料處理與分析……… 63 第四章結果與討論第一節多邊形概念測驗前、後測的分析……… 65 第二節各概念項目的作答情況與進步率分析……… 69 第三節 van Hiele 幾何測驗前、後測的分析……… 116 第五章結論與建議第一節研究發現與結論……… 119 第二節建議……… 125 第三節研究者之省思……… 128

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參考文獻中文部分 ……… 130 英文部分 ……… 134 附錄附錄一多邊形概念測驗預試試題……… 137 附錄二多邊形概念測驗預試試題與平面圖形概念之細目表… 145 附錄三多邊形概念測驗預試試題的難度、鑑別度分析表…… 147 附錄四多邊形概念測驗正式施測試題……… 149 附錄五吳－薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗……… 157 附錄六使用同意書……… 180 附錄七訪談問題……… 181 附錄八教學活動設計……… 183

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表次

表 2-1 八十二年版課程「平面圖形」之教材綱要……… 30 表 2-2 八十九年版九年一貫課程數學領域國小階段「圖形與空間」之能力指標… 31 表 2-3 九十二年版九年一貫課程數學領域國小階段「幾何」之能力指標………… 32 表 2-4 本研究對象的六年級學生已學過之數學教材版本與平面圖形教材內容… 34 表 2-5 van Hiele 幾何層次一至層次三的兒童之可能表現……… 42 表 2-6 六年級學生已學過之平面圖形概念與 van Hiele 幾何層次對照表………… 43 表 3-1 實驗設計模式……… 52 表 3-2 預試樣本數分布情形統計表……… 53 表 3-3 多邊形概念測驗正式施測試題與平面圖形概念之細目表……… 56 表 3-4 Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程大綱……… 59 表 4-1 全體受試者的前後測總分之描述性統計量……… 65 表 4-2 全體受試者的前後測總分相依樣本 t 檢定……… 65 表 4-3 男、女生受試者的前後測總分之描述性統計量……… 66 表 4-4 男、女生受試者的前後測總分相依樣本 t 檢定……… 66 表 4-5 不同性別的學生進步總分平均數獨立樣本 t 檢定……… 67 表 4-6 高、中、低分組受試者的前後測總分之描述性統計量……… 67 表 4-7 高、中、低分組受試者的前後測總分相依樣本t檢定……… 68 表 4-8 辨認三角形概念項目各小題之作答情況統計表……… 71 表 4-9 辨認四邊形概念項目各小題之作答情況統計表……… 77 表 4-10 辨認凹多邊形概念項目之答對率……… 80 表 4-11 圖形的分類概念項目之答對率……… 83 表 4-12 三角形的組成要素概念項目之答對率……… 92 表 4-13 三角形的性質概念項目之答對率與各選項反應比率……… 94 表 4-14 四邊形與正多邊形的性質概念項目之答對率與各選項反應比率………… 98 表 4-15 圖形性質關係之辨認概念項目之答對率與各選項反應比率……… 104 表 4-16 探求圖形的性質概念項目之答對率與各選項反應比率……… 109 表 4-17 全體受試者在不同 van Hiele 層次的通過人數和通過百分率……… 116

表 4-18 van Hiele 層次及多邊形概念間之 Pearson 積差相關……… 117

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圖次

圖 2-1 概念形成的過程……… 26 圖 2-2 四邊形概念的特殊化過程……… 27 圖 3-1 研究架構圖……… 51 圖 3-2 研究流程圖……… 62 圖 4-1 訪談時提供分類的圖形……… 86

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第一章緒論

本章共分四節，第一節說明研究背景與動機，第二節敘述本研究之研究目的與待答問題，第三節針對本研究之相關名詞加以定義或說明，第四節說明本研究之研究限制。

第一節研究背景與動機

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般人所想像要豐富堅實。幾何不但是數學教育中的重要議題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元（教育部，2003）。小孩子天生就對幾何圖形有興趣，他們認為幾何圖形既有趣又能激發想像力，所以小孩子的空間能力往往超越他們的數字技能（National Council of Teachers of Mathematics; 簡稱 NCTM，1989）。幾何學的重要性是不容置疑的，Clements 和 Battista（1992）指出：幾何提供了我們詮釋和仔細思考自然環境的一種方法，並且可做為學習其他數學和科學主題的工具，更重要的是幾何的空間思考有助於高層次數學的創造思考力。幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學，幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式且與數學其他領域緊密聯結（左台益、梁勇能，2001）。民國五十七年的數學課程中以數、計算與實測為教材的核心，視計算為教學的重點（譚寧君，1993）。六十四年版課程標準開始重視「形」的教學，所以把教材領域擴充為數、量、形三個層面，自此幾何的教材才自成一類（吳貞祥， 1980）。所謂「形」就是指「圖形」，它是一種抽象的概念，是根據物體的形狀抽象化而形成，是幾何學研究的範疇。八十二年版課程標準將「圖形與空間」教材領域分為平面圖形與立體圖形兩部分（教育部，1993）。八十九年公布的九年一貫課程暫行綱要裡的數學領域分成五大主題，分別是數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結（教育部，2000）；九十二公布的正式綱要裡的數學領域依然分成五大主題，只是「圖形與空間」改為「幾何」（教育部，2003）。顯示國小

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數學課程的幾何主題逐漸受到重視，它的地位也愈來愈重要。在我們周遭的生活中，到處可見與數、量、形有關的事物。盧銘法（1996）認為幾何的學習涉及數、量、形三個領域，學童對於幾何的學習感到相當困難。譚寧君（1993）指出形的教材在實施十餘年來看似成功，實際上學生是靠強記許多抽象的公式而已，而無法透過操作與推理來建立正確的幾何概念，阻礙了他們未來推理幾何的學習；她也指出幾何常以機械式的方法來教學，以三角形的內角和是 180 度為例，學生往往很簡單地被告訴結果，然後經由背誦就以為建立了正確的幾何概念，事實上這個概念被建立是經由無數次的操作和測量而得。林軍治（1992）的研究亦指出兒童的幾何錯誤概念普遍存在，他們在直觀或記憶性的問題表現較好，在思考性和概念化的問題則表現較差。朱莉文（2005）的研究亦發現五年級學童在三角形與四邊形的認知上有不少迷思。以研究者在國小數學科的教學經驗來看，兒童對於「形」的概念較不能掌握，流於記憶公式和數量化的計算，缺乏探索圖形之性質與關係的能力。

NCTM（2000）強調所謂的「科技原則」（The Technology Principle），指出科技可以增強學生數學的學習，並且也可以幫助教師做有效的教學；電子科技的運用，特別是計算機和電腦的普及，使它們成為在從事數學的教與學時必要且不可或缺的工具。我國的九年一貫課程也主張各學習領域應使用資訊科技為輔助學習之工具，以擴展各領域的學習，並提升學生解決問題的能力（教育部，2003）。因此，如何將資訊教育與數學教育適當地連結以符合九年一貫課程之精神，便成為一個重要的議題。 1960 年代，Seymour Papert 根據皮亞傑的兒童認知發展理論和建構主義的觀點，發展出一套適合兒童學習的程式語言—Logo。Logo 語言的最大特色是小海龜幾何學（turtle geometry），兒童可以用一些簡單的指令，指揮小海龜在電腦螢幕上繪圖。根據 Papert（1980）的看法，兒童在 Logo 中可以透過擬人化的心像（anthropomorphic images），以小海龜作為學習形式數學的媒介，並能從中學習形式幾何的概念和思考的策略。

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劉湘川、劉好、許天維（1993）的研究發現中年級的學生對於長方形、正方形的結構，大都憑直覺辨認，還不能較仔細地分析構成要素間的關係；就一般幾何概念（如長方形、正方形、平行四邊形），四年級的學生雖略優於三年級的學生，但大部分僅及視覺的層次。劉好（1994）指出國小低年級學童大都屬於最初的視覺辨別層次；中、高年級的兒童則已逐漸進展到分析描述的層次，這時候的教學可以安排適當的觀察及實際驗證的方法，分析圖形的構成要素及圖形的性質。Logo 環境可以提供這種幫助，例如學童在畫長方形時，就必須去分析長方形的構成要素及構成要素間的關係，因此可以引導他們進入描述的層次。國外學者的研究（Mason, 1989；Clements & Battista, 1989, 1990；Van de Walle, 2004）發現 Logo 教學能幫助提升 van Hiele 的幾何思考層次。兒童在 Logo 環境學習多邊形的相關概念，對其幾何認知能力和思考層次是否有所提升，研究者認為值得加以探討。 Logo 在世界各國的教育界已推行很久，然而國內對於 Logo 應用在數學習上之相關研究並不多。張富強（1992）以質的研究法探究國小學生在 Logo 環境中學習幾何的情形，主要目的在理解學生在 Logo 微型世界中與幾何概念及技能互動的特性，與理解學生在 Logo 環境中指揮海龜時建構知識的過程。黃文聖（2001）的研究主要探討 Logo 學習環境中學童的學習特性及解題過程，並未針對某一數學概念進行研究；其建議未來可針對數學概念如角度、幾何或變數等進行研究。國內其他學者的研究（王萬清，1988；陳勝利，1989；曾錦達，1995；蘇順德， 2000；崔夢萍，1999；林裕雲，2002）大多是對解題能力、推理能力、創造思考力和認知能力等進行研究，對於幾何概念的學習情況方面，較少做深入的探討。因應九年一貫課程主張資訊教育融入數學領域，我國國小數學教育如何使用 Logo 或應用 Logo 環境學習多邊形的相關概念，對學童多邊形概念的認知是否有幫助？應是值得研究的問題。基於上述理由，研究者以 Logo 環境為基礎，來探討 Logo 程式設計輔助多邊形概念學習對國小六年級學生多邊形概念的影響。

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第二節研究目的與待答問題

壹、研究目的 依據上述的研究動機，本研究的目的如下：一、在 Logo 環境中，探討國小六年級學生多邊形概念之認知情形。二、探討 Logo 程式設計輔助多邊形概念學習對國小六年級學生多邊形概念之影響。 貳、待答問題 根據上述的研究目的，本研究探討的問題如下：一、國小六年級學生以 Logo 語言學習不同類型多邊形的程式設計中，多邊形概念的理解表現情況為何？包括以下六個項目：（一）圖形的辨認（二）圖形的分類（三）圖形的組成要素（四）圖形的性質（五）圖形性質關係之辨認（六）探求圖形的性質二、Logo 程式設計輔助多邊形概念學習對國小六年級學生之幾何概念認知影響情況為何？（一）實施「Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程」對國小六年級學生的多邊形概念認知是否有所提升？除了全體學生，同時依性別、程度來考量。（二）實施「Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程」的國小六年級學生，其於幾何概念認知層次上的表現是否有所提升？本研究之假設為實施「Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程」對國小六年

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級學生的多邊形概念有顯著影響。為了增加研究的廣度，本研究加入了性別、程度等變因，探討其對多邊形概念能力進步的影響。

第三節名詞釋義

針對本研究相關的名詞，研究者加以界定說明如下： 壹、Logo

是由美國麻省理工學院（Massachusetts Institute of Technology, 簡稱 MIT）人工智慧實驗室，和柏特公司（Bolt, Beranek & Newman Inc.）進行專案研究所發展的電腦語言。本研究所用的 Logo 程式語言有國人劉敬洲所設計的「Gerlabau 中文小海龜 2002」，版本是 2.82.198 標準版，及 Softronics, Inc.開發的 MSWLogo 6.5b。 貳、Logo 環境 是指在 Logo 程式語言的套裝軟體所營造的學習環境，由研究者自編十二個單元的「Logo 程式設計輔助多邊形概念學習課程」，提供學童一些圖形或問題，要求學童利用已學過的指令來撰寫程式以完成任務。藉由程式設計和繪圖的過程，瞭解各種多邊形的性質與關係。參、國小六年級學生係指九十四學年度在學（即八十九學年度入學）之彰化縣某國小六年級的學生，其一至三年級是接受八十二年版課程標準的數學課程，四、五、六年級則是接受九年一貫暫行綱要的數學領域課程。肆、多邊形由三個邊或三個以上的邊圍成的簡單封閉平面圖形之通稱，如三角形、四邊形、五邊形、…皆是多邊形。各邊相等且各內角相等的多邊形叫作正多邊形，如正三角形、正方形、正五邊形、…皆是正多邊形。

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伍、多邊形概念 本研究的「多邊形概念」包含以下六項能力：一、圖形的辨認能力：本研究中之圖形的辨認包括辨認三角形、四邊形及凹多邊形。從簡單圖形外觀上作基本的辨認，來瞭解學生是否考慮到圖形的封閉性、邊的曲直、圖形的方位、圖形的大小、圖形外框線粗細是否影響圖形的辨認之概念。二、圖形的分類能力：本研究中之圖形的分類包括三角形和四邊形的分類，藉此來瞭解學生是否能依據圖形的邊角性質做分類，理解圖形類別間的包含關係。三、認識圖形組成要素的能力：本研究中之圖形的組成要素是指三角形的組成要素，就給定的圖形，能指出其頂點、邊、角的位置。四、瞭解圖形性質的能力：本研究中之圖形的性質包括三角形、四邊形和正多邊形的性質，來瞭解學生是否能分析圖形的構成要素及要素間的關係。五、辨認圖形性質關係的能力：本研究包括三角形和四邊形性質關係的辨認，藉此來瞭解學生是否能分辨比較兩類圖形的不同性質和相同性質，如知道長方形與正方形都有平行的對邊。六、探求圖形性質的能力：本研究藉此來瞭解學生是否能依據非正式的演繹推理去探求一些圖形的性質，例如：三角形的內角和是 180 度，五邊形可分割為三個三角形，所以五邊形的內角和為 540 度。 陸、van Hiele 幾何思考層次

本研究所提及的 van Hiele 幾何思考層次，係指 van Hiele（1986）所提出的五個層次，分別為層次一：視覺的（visual）層次、層次二：描述的（descriptive）層次、層次三：理論的（theoretical）層次、層次四：形式邏輯的（formal logic）層次、以及層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。有關 van Hiele 理論的研究，許多學者的研究結果認為國小學童只能達到 van Hiele 幾何思考層次

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的前三個層次，後二個層次已超出國小學童的幾何認知能力，所以本研究僅針對前三個層次做探究。

第四節研究限制

本研究採用「前實驗設計」（pre-experimental design）之「單組前測後測設計」（the one-group pretest-posttest design），實驗處理以研究者自行設計的課程從事補救教學，並未設立控制組作為對照。在實驗過程中，由於一些難以控制的客觀因素的影響，所以產生以下的限制：一、本研究於前、後測皆使用相同的評量工具，加上會受到個體身心成熟因素所影響，以致影響研究結果。二、本研究屬實驗教學的研究，結果可能會隨教學者的特質而有所不同。三、本研究的對象為研究者任職之彰化縣某國小六年級其中一個班級的學生，研究結果只適用於類似學校背景的學生，對研究結果之推論須特別謹慎。

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第二章文獻探討

本章共分五節，第一節說明電腦的教育功能，並以 Taylor（1980）的三個模式說明電腦在教育上的運用；第二節簡介 Logo 語言與它在教育的應用與研究；第三節敘述幾何圖形的概念與課程規劃；第四節探討兒童幾何概念的發展與學習上的迷思；第五節則是探討教學法之相關理論。

第一節電腦的教育功能

面對全球化和資訊化的趨勢，我國在九十學年度起正式實施的國民中小學九年一貫課程，除了七大學習領域外，並提出了六項重大議題，其中「資訊教育」即列為第一項。在資訊教育的基本理念中指出，在資訊化的社會中，培養每個國民具備資訊知識與應用能力，已為各國教育發展的重點，各國紛紛推動相關的資訊教育計畫，以為其國家邁向二十一世紀的發展奠基（教育部，2003）。教育部於 1997 年起推動之「資訊教育基礎建設計畫」並配合擴大內需的政策，已完成提升中小學資訊教學設備，使所有國民中小學均有電腦教室，且上電腦課時一人一機；推動台灣學術網（Taiwan Academic Network; 簡稱TANet）到中小學，使所有學校均可專線連接網際網路；辦理資訊應用教師培訓到校，使中小學教師均有機會進行基本資訊素養之培訓，讓資訊教育得以在中小學奠定基礎（韓善民， 2000）。教育部為推動中小學資訊科技融入教學，於 2001 年規劃出「中小學資訊教育總藍圖」，以確立我國資訊教育發展之願景。我國九年一貫課程強調將資訊科技融入各學習領域中，落實資訊科技普及化，藉著使用電算器及電腦來學習數學概念，一方面可以培養國民獨立思考的能力，另一方面也可以提升國民資訊素養，以為國民終生學習奠下基礎，並能立足於未來的科技時代（羅昭強，2001）。將資訊科技與數學教育做連結，不但符合九年一貫課程落實資訊科技融入數學教學的目標，而且可以幫助學生理解重要的數學概念並能更深入地探究數學的內涵，並且能從事較高層次的思考和增進解題

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的能力。

近年來由於電腦的普及，在教育上的應用逐漸增多，目的是希望電腦能改進傳統的教材教法，以增進學習效果。

Taylor（1980）曾以三個模式說明電腦在教育上的運用： 1. 電腦是教學者（The computer as tutor）

2. 電腦是工具（The computer as tool） 3. 電腦是受教者（The computer as tutee）

當電腦是教學者時，它擔任「教師」的角色，當電腦是工具時，它擔任「機械」的角色，當電腦是受教者時，它扮演「反映思考歷程」的角色（王萬清，1988）。下面分別再做進一步的說明：

壹、電腦是教學者

當電腦是教學者時，就是一般所謂的電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction, 簡稱 CAI）。CAI 的教學內容通常是由學科專家及程式設計師共同設計程式，再經由電腦來執行教導或協助學生學習的任務。實施的程序是由電腦呈現教材，讓學生學習並反應，電腦評核學生的反應之後給予立即的回饋，並根據評核的結果以決定下一步要呈現的教材（王振德，1984）。何榮桂（1996）認為電腦輔助教學係指運用電腦之交談式或互動式的功能來引介教材，並提供個別化教學模式的一種教學環境。 Alessi 和 Trollip（1991）將電腦輔助教學的模式分成以下五種主要的模式（林寶山，1990；洪榮昭，1992；楊晰勛，2000）： 一、練習式（drill and practice）

這種模式的教學活動提供早期的學習有重複練習的機會，通常是教師指定家庭作業或者在課本中有許多練習題時，最能幫助學生自我學習。電腦呈現練習問題供學生反覆練習，電腦可以馬上判斷學生的回答是否正確。此模式的前提是教師已經把教材內容中的重要名詞、概念、技能及問題講解或討論過。

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二、指導式（tutorials） 又稱為家教式，電腦就像是一位家庭教師，為學生做個別的指導。當學生學習到某一個程度後，由電腦提出問題，依據學生不同反應，判定是否該繼續進入下一單元或重回到原學習單元。此模式可以用來提示新教材、教導新概念，也可做補救教學。 三、模擬式（simulations） 模擬是一種行為或情境的複製，其目的是為取代某種狀況而設計。當我們學習的環境帶有危險或某種傷害的可能性時，模擬性教學是最好的教學方式，例如飛行員的訓練、操作具危險性的實驗等。在學校裡，模擬式電腦輔助教學能對昂貴的、有安全問題或耗時間的重要工作或機件，提供便利的學習方式。 四、教學遊戲式（instructional games） 遊戲是一種寓教於樂的方法，最能引起學生動機，增加學習興趣，因而遊戲也是一般教育家最樂意使用的學習方式。福祿貝爾提倡在遊戲中學習，遊戲最主要的特點在於遊戲本身是最具有積極性的活動。 五、測驗式（tests） 測驗本身是一種重要的教學活動，通常在教育上之應用包括測驗計分、測驗命題撰寫、測驗題庫的建立與測驗題目的製造等。電腦輔助教學的優點是可以提供個別化的教學、可以反覆教學和增強、學生可以獲得立即的回饋，而且它呈現的方式是多樣的，容易引起學生的學習興趣和學習動機。然而電腦輔助教學也有實際上的限制，例如它缺乏師生之間的互動、造成非人性化教育，而且良好的電腦輔助教學軟體的開發是費時和費力的。 貳、電腦是工具 當電腦作為工具時，我們可以利用電腦的強大運算能力去從事複雜的數值計算、資料檢索、統計分析、文書處理、電腦繪圖、電腦動畫等等。Baggett和Ehrenteach （1992）主張把電腦和計算機當作工具，他們的立場是：讓老師說明、讓學生思

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考、讓電腦做不需動腦筋的工作（mindless work）。他們認為應該讓計算機和電腦減輕學生在從事單調乏味的算術運算時的痛苦。學生會運算並不是真正地瞭解數學，應該讓學生去思考、提問、做出精確的定義、佈題、並能解釋自己所得的答案。這和 NCTM（2000）的觀點頗為一致，他們主張科技工具的運用能讓學生集中更多的時間於做決策（decision making）、反思、推理和解決問題。教育部（2000）也提出複雜的計算工作可儘量交給電算器處理，而大量重複、反覆的計算或技術性的處理，也可儘量交給電腦來執行。 參、電腦是受教者 在國民小學資訊教育中，以把電腦當作「受教者」時，最富教育意義。此模式並非由電腦擔任教學者，透過預先設計好的軟體來指導兒童學習，而是透過一個豐富的思考環境，讓兒童在其中遊戲、操弄、設計程序，培養問題解決能力。以避免兒童把電腦當作電動玩具，而喪失培養思考能力的功能（王萬清，1988）。王立行（1992）認為把電腦當作接受命令、執行動作的「受教者」是一個非常引人入勝的新觀念，其論點是學習者為了指揮電腦做事，不但必須瞭解所欲執行的任務，且須精通與電腦交談的語言。譬如為了要在螢幕上畫一個矩形，首先必須先瞭解矩形的構成要素，再根據電腦程式語法下達指令，讓電腦執行，從而訓練邏輯思考與分析判斷的能力。 Luehrmann（1980）認為讓學生去教電腦，可以比傳統的 Tutor 模式獲得更深刻的學習。Logo 語言的設計者 Papert（1980, p. 5）指出：「今天在許多學校，電腦輔助教學是指讓電腦來教學生，或者有人說電腦是用來安排學生的學習。在我看來，應該是讓兒童去規劃電腦它該做些什麼。」羅清水（1998）亦指出傳統電腦教學的觀念經常將電腦當作成一個呈現知識的工具，由於學習是在「被告知」的情境下完成，多半以直線式、或簡單的分岔形式來呈現教學內容。所以有一些學者批評：在此情況下電腦只是用來傳遞電子編序教學的工具，甚至於被譏稱為「電子翻頁機」。隨者新教學科技時期來臨，

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電腦在教學上的角色從教學者轉變成受教者。 Papert（1980）把電腦看成是「思考的工具」（object-to-think-with）；他認為學童在 Logo 環境教小海龜去行動或思考能導致他們反思自己的行動和思考，而且這反思的歷程對將來建構有關形式幾何的較高階概念是必要的。他也指出經由除錯（debugging）的努力，會使學童思考他們自己的想法。從以上所述，電腦在教育上的應用主要有三個模式，較常使用的是 Tutor 模式和 Tool 模式，Tutee 模式則較少被應用，不過 Papert（1980）稱它為「所有電腦模式中最強而有力（Powerful）的一種」。當前電腦具有很多的功能，在學校的電腦教學上應善加利用，除了培養學生使用各種應用軟體之電腦基本能力外，尚可運用在學科知識上的啟發。電腦教學不應該只是用來傳授電腦的知識技能，或是把電腦當成學習特定學科知識的工具，而是應該讓學生有用電腦來學習思考的機會。Logo 具備「受教者」的角色，因此適合用來做為輔助學習的程式語言，學生透過他們自己使用 Logo 的經驗來幫助發展解題的方法與反思的能力。本研究據此觀點，嘗試將 Logo 應用在幾何概念的教學上。

第二節 Logo 語言與在教育上的應用

本節首先對 Logo 語言的發展做簡介，並詳述 Logo 語言的特性；其次探討 Logo 在教育的應用與研究，包括 Logo 的教育功能及 Logo 與數學學習的相關研究。

壹、Logo 簡介與其特性

在 1960 年代中期，曾在瑞士的日內瓦和 Piaget 共事過的數學家 Seymour Papert 與 Marvin Minsky 在 MIT 創立人工智慧實驗室，後來 Papert 和他的同僚在 1967 年開發了 Logo 的第一個版本。1970 年代 Logo 開始在 MIT 和一些研究單位進行研究活動。

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當初該程式語言的設計者以此命名，具有特殊的含意，即希望利用它作為一種思考的對象，藉此來激盪兒童的心智發展，所以 Logo 也代表著一種教育哲學觀（Clements, 1985；王振德，1984，p. 38）。尹玫君（1991）指出 Logo 是一種學習的語言，它是一種程式設計的語言，是為了使一般人儘可能很容易的了解電腦程式設計工作所設計而成的；Logo 也是一種「學習如何思考」（learning how to think）的語言。

Logo 語言具有下列特性（王振德，1984；王萬清，1988；尹玫君，1991；林裕雲，2002；陳勝利，1989；張富強，1992；Clements, 1985；Hoyles & Sutherland, 1989）：

一、Logo 具有程序性（procedural），如 Pascal、C 和與其他高階的程式語言一樣，能以簡單命令組成程序，再由程序組成更複雜的程序。

二、Logo 具有互動性（interactive），使用者在輸入一個指令或已完成定義的程序後敘述後可以立刻地執行，不需經由編譯程式（compiler）的編譯，因此可以迅速且容易的改變程式中的任何錯誤。

三、Logo 具有完整的資料型態（data type），能處理數字、字串、字組及串列（list），適合兒童學習也適合大人學習，是小型的人工智慧語言。四、Logo 具有擴充性，可創立新的程序，並當作原始指令（primitives）一樣的使用，增加兒童自由探索的機會。五、Logo 具有遞迴性（recursion），可使複雜的問題化成簡易的形式。在具有程序性的語言中，一個程序可以呼叫另一個程序，當作副程式來完成部分的工作。所謂遞迴性就是一個程序可以成為本身的一個副程序，也就是說一個程序可以呼叫本身（call itself），這是 Logo 語言的一大特色。

六、Logo 具有趣味性。Logo 的小海龜幾何學讓兒童可以透過一些簡單的指令，以嘗試錯誤、自我探索的方式來指揮螢幕上的小海龜前進、後退、左轉、右轉，畫出有趣又富變化的圖形。

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的教育哲學觀念係源於 Piaget 的發展認識論和人工智慧的理論，兒童主動地與電腦互動的經驗，將會影響其思考與認知發展。Logo 提供一個良好的學習環境，使得兒童把它當成一種思考的對象。Logo 如 BASIC、Pascal、C 語言等是一種程式語言，它同時是一種適合兒童學習的語言，能讓兒童去探索問題、在嘗試錯誤中學習，因此它是一種學習思考的語言。 貳、Logo 在教育的應用與研究 一、Logo 的教育功能 Logo 在教育上有許多功用，它可提供學習者自我建構的學習環境，幫助學習者發展思考學習的歷程、問題解決能力及創造思考能力，除了適合普通學生學習，也適合特殊學生學習。此外，可應用在許多學科的學習環境中。許多學者皆強調其在教育上具有良好的功能，茲進一步說明如下： (一) 尹玫君的看法 Logo 是一種專門為了兒童所設計的一種電腦語言，它建立了一個能讓兒童主動積極的學習環境，以實際接觸及嘗試錯誤的方式來學習，獲得知識（尹玫君，1991）。在 Logo 的環境中，學生扮演的是教學者，而電腦則成為受教者。學生只要瞭解一些簡單的指令，就可以繪出複雜的、有教育意義的幾何圖形。Logo 是一種結構化、模組化的程式語言，學生經由學習活動，可以培養解決問題的能力。 (二) 李文政的看法李文政（1991）認為 Logo 是一種根據 Piaget 的學習理論而發展出來的電腦程式語言，其目的在提供學童一種主動學習的環境，使他們能掌握他們自己的學習，並協助教師以一種新的方式來觀察學習過程。Logo 程式環境發展的基礎乃是源自於 Piaget 建構主義的教育哲學，而且有助於建構式的學習（constructive learning）。 (三) Loxa 教育網上的強調

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Logo 程式語言，受到許多學者專家的喜愛，主要它有以下的教育意義（引自 Loxa 教育網，http://www.loxa.edu.tw/）： 1. 具有符合學生舊經驗、簡單易懂的指令小學生就可以使用簡單的英文或中文指令，例如：前進、後退、左轉、右轉、重複，就可以畫出有意義的幾何圖形。 2. 透過建構式的歷程，學習解決問題的能力 Logo語言具有模組化、遞迴的功能，學生經由學習活動，可以培養其解決問題的能力。 3. 自我的、絕對的學習模式 Logo提供的海龜繪圖指令，不需要參照電腦螢幕系統的相對坐標，可以使用自己的方向及移動位置，就可以繪出圖形，在教學上有其獨特的教育意義。 4. 共振（syntonic）的學習模式學生在學習過程中，常看見他們的頭跟身體會隨著海龜的移動而跟著移動，也就是說，學生把自己當成螢幕上的海龜，站在海龜的立場來行動。 5. 與電腦輔助教學不同的教育理念電腦輔助教學把電腦當成教師，人是學生；而Logo把電腦當成學生，人教電腦，這是Tutee的教育觀念。 (四) Watt 的觀點 Logo 是一種沒有界限的學習語言，不但適合普通學生，也適合特殊學生。Watt（1982）指出 Logo 在學校有下列七個應用： 1. 提供學習數學的試驗性環境。 2. 促進解題能力的發展。 3. 做為初學的程式語言，以幫助學生學習結構化程式設計的原則。 4. 做為培養學生電腦素養的工具，以幫助學生發展個人控制電腦的觀念和能力。

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5. 幫助在傳統的教學情境中無法成功學習的學生。 6. 提供應用在許多學科的學習環境，包括音樂、語文、藝術、物理、生物及數學等。 7. 形成皮亞傑式教學活動的基礎，使用電腦做為幫助學習的多用途工具。由上述可知，Logo 在教育的應用很廣，而且頗富教育意義。如果教師能善加運用其教學中，對學童的學習成效或興趣提升，將有不少助益。 二、Logo 與數學學習 Logo 可以用在數學學習的很多方面，如幾何、角度、除法、向量、代數和機率等。Logo 不只是一種具有人工智慧的程式語言，它在數學學習上的應用才是教育工作者注意的焦點。以下說明 Logo 在幾何或其他數學方面的應用： (一) Logo在幾何學習上的相關運用 1. Logo在幾何圖形概念的學習應用以 Logo 最基本的指令前進（FD）、後退（BK）、左轉（LT）、右轉（RT）而言，學童就可以用它來畫基本的圖案，並可以獲得距離和角度的概念。 Logo 語言的最大特色是小海龜幾何學，螢幕上的小海龜有兩個屬性：位置（position）和方向（direction）。兒童可以用一些簡單的指令，指揮小海龜在電腦螢幕上繪圖。Papert（1980）認為用小海龜來繪圖是一種共振的學習，也就是兒童化身為小海龜來繪圖，並且以小海龜的角度來思考和行動。根據他的看法，兒童在 Logo 中可以透過擬人化的心像，以小海龜作為學習形式數學的媒介，並能從中學習形式幾何的概念和思考的策略。 Mason（1989）研究四至八年級資優生幾何理解和錯誤概念，其中一組接受 20 小時使用 Logo 的幾何教學，前後測結果顯示其 van Hiele 層次有顯著的改變。Clements 和 Battista（1989）的研究也發現 Logo 實驗組的學童較控制組的學童容易從 van Hiele 視覺的層次提升至描述的思考層次。 Clements 與 Battista（1990）指出 Logo 能豐富兒童的幾何知識，以及增進幾何思考的能力。他們發現能促進兒童的直觀概念發展成較精緻的幾何概

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念形成，而且學生開始去思考幾何形體的相關性質，這有助於提升他們幾何認知的層次。

Mayer 和 Fay（1987）對四年級學生的研究顯示，學習 Logo 程式語言可以增進兒童的空間認知能力。在 Binswanger（1988a）的研究中，他教學生去畫矩形，並探索矩形的周長和面積概念。Edwards（1991）認為 Logo 的電腦微型世界（ microworld ）有益於學生對於幾何變換（ geometric transformation）的瞭解，而且學生能和同伴討論並進而修正自己的錯誤觀念，此將有助於合作學習的進行。張富強（1992）採用質的研究法，以教學實驗的方式觀察五位學生在 Logo 環境中的作為，他發現：（1）學生把指揮海龜當成遊戲。在繪圖之前，學生會先思考圖形的構成要素；在繪圖時，屢次嘗試與猜測繪圖的步驟。他們通常會主動除錯，把繪圖程序修改到最為滿意的程度。（2）學生會把先前的經驗和知識用在指揮海龜作圖時。他們會利用餘角與補角的性質來求海龜要轉的角度；利用多邊形外角和為 360 度來畫正多邊形；利用旋轉與平移設計出一些簡單的花形；….。相對地，學生也從操作中發現數學關係，形成數學命題，且應用或推廣自己形成的數學命題，例如：多邊形外角和是 360 度，正多邊形的邊數愈多愈接近圓。（3）學生在 Logo 環境中指揮海龜的自信心增強了，他們不再畏懼錯誤，同時也建立了面對錯誤的積極態度。在 Logo 的情境下教學，可以讓學生具體感受到自己的數學直覺，因而能超越它，進而幫助他們從視覺性的幾何思考層次進入到描述性的幾何思考層次（謝如山、謝名起、謝名娟譯，2002）。舉例來說，學生往往只被要求辨認長方形，這是屬於視覺性的活動。但在 Logo 的環境中，會要求學生建立一連串的指令（或程序）去畫出一個長方形，此時學生就必須分析長方形的特性，了解長方形的構成要素和各要素之間的關係。例如，學生必須明確地說出長方形的四個角是直角，對邊等長等特性。這個過程使他們

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具體地建立長方形的概念，有助於引導他們從 van Hiele 的幾何思考層次一到層次二。Papert（1980, p. 145）說：「電腦使得或強迫孩子把直覺性的預期具體化。當直覺被轉化為程式，它變得更明顯和更容易去思考。」在 Logo 環境中，學生可以試驗幾何概念的定義，精簡他們所做的定義，並且把定義有系統地陳述。例如學生畫一個平行四邊形，如果他的程式有錯誤的地方或者所給的條件不夠，那麼他教海龜畫出來的圖形將會出現問題。因此，Logo 是一個可以用來探索想法和精煉（refine）定義的環境（張富強，1992）。 Logo 提供學童將直觀具體化為概念的一個環境，而且促使學童反思其解題的歷程。教師可將 Logo 環境做為學習幾何概念的媒介，藉由撰寫程式操作海龜和除錯的過程，幫助學童建立幾何概念並增進幾何概念的思考。 2. Logo在角的學習上之應用小學生通常較熟悉長度的概念，而要理解角度的測量是較有困難的（Newton, 1988；Wilson & Adams, 1992）。Wilson 和 Adams（1992）發現學生在定義特殊四邊形時常以邊長的性質來描述，例如四邊是否相等、對邊是否相等或平行，至於角的性質則幾乎未被提及；學生也往往誤以為角的大小是由邊長的大小所決定，甚至用直尺去量角的邊長和角的兩邊之距離。Wilson 與 Adams 也提出在小學階段適合以動態的觀點（旋轉或轉彎）來教導角的概念，不但可以和身體的具體經驗連結起來，而且可以減少一些常見的迷思概念，像是角的大小和兩邊的長度有關，或是角的其中一邊必須呈水平。 Noss（1987）的研究發現三至五年級的學童在經過 Logo 程式教學後，對其長度概念與角概念有顯著的影響，特別是在保留和測量的概念上，且 Logo 經驗對角概念的幫助明顯優於長度概念。在判斷兩個角的大小時， Logo 實驗組的表現顯著優於控制組，而且實驗組的學童較不易受角的方位和邊長的影響。

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Clements 和 Battista（1989）的研究指出 Logo 可以幫助兒童在角度測量上的了解，有 Logo 經驗的兒童對角的概念較能概括化和數學化。雖然他們依舊存在一些錯誤概念，例如認為角的大小與下列有關：兩邊的線段長度、角邊的傾斜度、兩邊及其夾角所圍的三角形區域的面積大小、兩邊間的距離或接近（proximity）。

Clements 和 Battista（1990）的研究又指出有 Logo 經驗的兒童會開始考慮圖形的性質，而不只是把圖形看作視覺的完形。因此 Logo 實驗組的兒童對角的概念化是較為精確的，也就是說他們從原本直覺的觀念提升為更精緻、複雜的角概念。。

在 Newton（1988）的研究中，他讓學生玩堆積木的遊戲，之後教學生用 Logo 程式去畫圖形。他發現學生可以很快地學會餘角、補角、平行、等長等數學概念，和「小烏龜旅行定理」（The Total Turtle Trip Theorem）：小烏龜出去旅行，環繞任何簡單封閉曲線且回到原處，總共須轉 360 度角。 Cope 和 Simmons（1991）指出在 Logo 的環境下，任何角度的改變皆需要輸入右轉或左轉的度數，因而當學童欲操控小海龜的方向時，必須經常評估轉動的角度，此舉有助於學童建立角的估測能力。但是 Simmons 和 Cope（1990）的研究則發現 Logo 的經驗可能使兒童得到某些角的迷思概念，像是將內角與外角的概念弄錯了，也就是把小海龜的旋轉角當作是要描繪的角。他們指出非結構性的使用 Logo 且在老師最少的介入下，不一定會對兒童在學習角的知識與角的測量獲得好處。因此若任由學生進行探索式的學習或「無教導之學習」（learning without being taught），不一定會對學童的學習有幫助，所以教師適當的介入是必要的。教師在教學時應該特別強調小海龜的旋轉角和其在螢幕上移動的路徑所形成的角之不同，以避免內角與外角間的迷思概念。

趙貞怡、劉傳璽（2004）發現在結構性的教學設計和正確的教師參與下，學童透過立即回饋及嘗試錯誤的經驗，能夠幫助學童提升分析思考及

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解決問題的能力。他們不認為學童因為無法立即從螢幕游標得到回饋，辨別目前方向，就不會使用嘗試錯誤的策略解決問題。他們的研究也發現，學童在正常的 Logo 環境下，所使用的指令數目並沒有比在限制立即回饋的 Logo 環境中要多。賴文正（2005）對國小五年級學童角概念的表現進行研究，他在「角概念」的教學方面建議應加強「直角概念」、「旋轉角」概念的認知和「估測」能力及「量感」的培養。他認為教師教學時，若能加強估測角度的活動，並藉由多次練習以增加經驗，建立估角的心像，對培養角的量感將有所助益。由上述的研究可知，Logo 對兒童角概念的理解有其助益，但也發現教師的適時介入是必要的。在結構性的教學環境下，透過社會化的互動，可以減少兒童在角的迷思概念，有助於兒童角概念的發展。 (二) Logo在數學學習的其他相關應用 Binswanger（1988a）曾在其研究中教導學生利用 Logo 去畫矩形，並探索矩形的周長和面積概念，他很驚奇地發現到學生在探究矩形的周長和面積概念的同時，他們也接觸到無限（infinity）、等式（identities）、分數和平方根等概念。學生不僅學到幾何和算術的相關概念，而且把數學看作是解題的過程而不只是得到正確的答案，他們從中會感覺到有成就感。Logo 在數學的學習，除了應用在幾何方面，也有許多學者將它應用在除法（Binswanger, 1988b），向量的繪圖、加減與分解（Lough & Tipps, 1986），線性代數（Brazier & Watkins, 1986）、機率（Lough & Tipps, 1988）與變數觀念（Sarama & Clements, 1998）等等。

Riedesel, Schwartz 與 Clements（1996）認為在烏龜幾何裡，烏龜往前走出的一段長度和轉彎的角度能讓學生統整幾何、測量和數字觀念；其次，烏龜幾何能夠提升學生的想法，從物理操作進階到更抽象、更精確的數學思考能力；最後，學生可以透過電腦來測驗自己的觀念是否正確（謝如山等譯，

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2002）。此外，在烏龜幾何中除了可以學習解決問題的策略與方法之外，尚且可以學習學校數學中一些重要的概念如角度、變數、遞迴等（王振德，1984， p. 61）。廖遠光（1993）以後設分析的方法研究電腦程式對認知學習的影響，發現有電腦程式經驗的學生在各種認知能力的表現高於那些未曾有過電腦程式經驗的學生，此外他認為學習一種程式語言的效果超越了該程式語言的內容。Chen 和 Silverman（1993）利用統合分析方法分析 25 篇探討 Logo 語言教學對國小兒童認知能力影響之論文，結果顯示 Logo 語言教學對國小兒童的認知能力有正面的效果，此處所指的認知能力包括數學知識、統合認知能力、問題解決能力及皮亞傑式操作能力。黃文聖（2001）研究 Logo 學習環境對數學學習的影響，其發現有：1. 提供學童主動思考之機會；2.讓學童按照個別差異來調整自己的學習步調； 3.讓學童可以覺察數學模式之機會。研究結果顯示 Logo 可以幫助我國國小學童學習數學並增進解題的能力，可作為資訊融入數學學習領域的範例。從以上相關文獻的探討及研究發現，國內外許多研究者利用 Logo 來幫助學童學習不同之數學概念，把 Logo 當成探索數學的媒介。Logo 提供一個自然的學習環境，讓學童能以具體的方式建構抽象的數學概念和察覺數學模式。利用 Logo 的小海龜幾何學畫各種多邊形，在活動中必須去分析各種多邊形的組成要素及性質，能從中學到思考的策略和幾何的概念。因此，研究者認為可以平面圖形的多邊形概念為主題，來探討國小六年級學童在 Logo 環境中之學習情況。

第三節幾何圖形概念與課程規劃

本研究以國小六年級學生利用 Logo 學習多邊形概念進行教學實驗，因此有必要釐清概念的意義，並探討概念的形成與幾何圖形概念的形成，最後探討我國國民小學課程中平面圖形的幾何概念。

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壹、概念的意義何謂概念？概念是什麼？各界對於概念一詞的定義，眾說紛紜，莫衷一是，幾乎沒有人能為「概念」下一個完整的定義。英文中概念一詞有 concept 和 conception 兩種說法，依張春興（1995）的解釋，concept 指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗。例如；幼兒吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後、在他的意識中將形成一種概括此類水果屬性的認識。此一認識即為概念；狹義一點來說，以一個概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念。概念的另一種說法 conception 有時和 concept 相通，但它常指的是某一概念形成（concept formation）的歷程。歐陽鍾仁（1987）歸納出：概念乃是一種認知過程（cognitive process）的形式或階層，在認知階層中，以思想的本質、觀點、以及物體間的關係為其特徵，使個體能夠做比較、概括、抽象及理解的活動，並以語言為其主要的表達工具。思考是一種複雜的行為方式和高級的心理活動。思考可以視為一種認知過程，它具有使用符號來表示物體或事件的特性。我們使用概念來整理及分類環境中的事物及經驗，同時進行思考，因此概念是認知的重要單位（鍾聖校，1990）。概念是包括重要屬性（attributes）或特徵（features）的同類事物之總稱。例如，書有很多種類和類型，有故事書、圖畫書、教科書、參考書、工具書…等，但它們都統稱為書，這就是「書」的概念。所以根據某些事物共有的重要屬性或特徵，將其歸為一類，就形成一概念（鄭麗玉，1993）。屬性是指可以辨認的特徵，舉凡事物之形、色、大小、質量等，都可以成為概念之屬性。例如「三角形」是一個概念，它的屬性只是「形狀」而已，凡是由三條直線所圍成的一切封閉圖形均為三角形。「正三角形」此概念的屬性就包含「形狀」與「邊長」，所以「正三角形」的範圍比「三角形」小，因為前者的限制較多。概念中的屬性愈少，也就是限制愈少，會比較容易學習。因此，概念學習的基本原則之一，是由簡而繁，由類化而分化（張春興、林清山，1989）。

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Skemp（1987）將概念分成兩種：初級概念（primary concept）和二級概念（secondary concept）。由肌肉、感官對外在世界經驗後而得的概念稱為初級概念，例如紅色、椅子、重、熱、甜等等；而由數個概念再抽象之後得到的概念稱為二級概念。如果概念 A 只是概念 B 的一個特例而已，我們就說 B 比 A 高階。這裡「較高階」也可說成「從其抽象而得」，而「更抽象」的意思就是「離外在世界實際經驗更遠」（陳澤民譯，1995）。概念具有外延（extensions）和內涵（intensions）兩個方面，概念所包含的範圍稱做外延，所共通具有的性質即為內涵。例如：長方形或菱形的外延包含在平行四邊形的外延；平行四邊形的內涵包含長方形或菱形的內涵。如果給某個概念增加某種性質，增加內涵，則其外延會縮小；相反地，如果除去某種性質，減少內涵，則其外延就會擴大（吳貞祥，1980）。因此，若對於概念的外延與內涵不能明瞭，則對概念的定義會產生疑義。綜合上述，當我們以一個概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全體時，我們稱此名稱或符號所代表者即為概念。所有事物的認知過程都必須經由概念來總結、概括、推論，以獲得有意義的學習；概念需透過有意義的學習，才能對人的認知發展和思考能力有所幫助。貳、概念的形成概念是一個象徵的建構（symbolic construction），它用來代表外界事物或事件的共有性。譬如「人」、「紅色」、「三角形」、「憤怒」與「學習」都是概念。事實上，日常生活所使用的語詞無一不是概念的名稱。概念之所以形成，當然是由於我們能夠對外界的事物進行歸類（categorization）（鄭昭明，1997）。張春興（1995）指出概念的形成是學習的，概念學習是一個抽象化或符號化的歷程，把一類具有共同屬性的事物抽象化，納入一個統攝性的觀念之內，或用一個概括性的文字或符號表示之。簡單概念學習的過程主要經由類化與辨別的交互作用，把對具體事物的經驗，經抽象化而形成超越具體對象的認識。複雜概念

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的學習，則需經由理解或假設驗證的思考歷程。在學習理論上，行為論者以類化與辨別的交互作用來解釋概念學習；認知論者則以理解或假設驗證的思考歷程來解釋。 Skemp（1987）認為概念的形成仰賴心智的抽象作用，在抽象過程中一種類似分類（classifying）及歸檔（fitting）的活動。從認知一件事物的多次知覺經驗中，我們會抽象出該事物的相似性。這些相似性在記憶之中可以留存很久，用來和現在輸入的新資料做比較。「抽象化（abstracting）」是一種心智活動過程，使我們了解各種周圍環境經驗之間的相似性、共通性。「分類」是把具有相似性、共通性的經驗歸在一起。「抽象（abstraction）」就是泛指抽象化的結果、過程，是一種延續性的心智變化，使我們能用已分類的舊經驗之相似性、共通性來認知新經驗。抽象化的結果便是獲得概念，它是我們領悟的一種東西，使我們有分類的能力（陳澤民譯，1995）。 Gagné 的學習階層理論將人類的學習類型分為八種，他認為學習活動有合理的先後順序，先學會簡單的才能學會複雜的。每一學習類型前後都有關聯，前一個學習形成後一個學習的「先備能力」（prerequisite）。概念學習（concept learning）位於學習階層的第六層，它必須具有抽象敘述的能力，同時也要有語文表達的能力。因此，概念形成是複雜的學習行為。它需要將事物的屬性或特徵抽象出來，並能辨識事物間的差異性，然後加以命名或分類。例如兒童除能辨識不管大小、顏色、內容等有文字或圖畫的一本本的東西統稱書外，尚能區分教科書和參考書的不同（林國平，1992）。數學知識的基本要素是概念，兒童如何形成概念是數學學習的重要問題。將同性質之物歸成一類而以一符號（名稱）代表之，就成為一概念（劉秋木，1996）。藉著概念的形成，我們將訊息按概念分類處理，不須對每一事物給一個名稱，可節省許多字彙及記憶上的負擔，因此可據以進行推理、決策或問題解決等思考活動，故概念形成可說是思考的基礎（鄭麗玉，1993）。概念的形成與分類分不開。一個概念形成的過程如圖 2-1（劉秋木，1996）：

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圖 2-1 概念形成的過程（取自劉秋木，1996，p. 66) 一、分析屬性一個最簡單的概念含有一些基本屬性，基本屬性有兩種：性質（property）和關係（relation）。要了解一個概念必須先辨認構成該概念的屬性，這種能力隨年齡而成長。一般而言，性質辨認的發展早於關係的辨認。一個概念是根據一些屬性所定義的，假如兒童對其定義的屬性都不能分辨，當然也不能理解該概念了。二、分類所謂分類是將同性質的東西分成一堆，概念是同屬性的東西之集合，所以分類是形成概念的基本操作。三、命名幼兒一出生就在語言世界裡，他從小就聽到豐富的語彙，可以說他使用的語彙都是學來的。但是他也不是完全被動地學習語言，當他具有表徵能力－以符號代表一事物或經驗，他就能發明字彙來代表他的經驗。 Skemp（1987）提出兩個學習數學的重要原則，第一個原則是：（1）超過一個人已有概念階級的高階概念不能用定義方式來溝通，只能蒐集有關的例子供他經驗，再靠他自己抽象以形成概念；（2）在數學中，有關的例子多少含有其他概念，我們在提供例子時必須確定學生已經形成這些預先概念（陳澤民譯，1995）。根據以上的分析瞭解概念的形成，將有助於研究者掌握兒童的先前概念，分析晤談時所呈現的想法，進而瞭解其概念形成的原因。參、幾何圖形概念的形成在認知心理學上概念和圖像（images）是有不同的，概念通常定義成對物體或事件的抽象，而圖像則是對物體或事件知覺上的呈現。這兩個範疇經常在心智環境中的各樣東西分析各東西的屬性同性質者歸成一類命名

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活動中交互影響，基本上是不能比較的。因此有人定義了第三種心智表徵的範疇，它同時具有前兩種範疇的特性，那就是幾何圖形（沈佩芳，2002）。圖形的概念是由具體物的抽象化而得到，是為了明確表現具體物的形狀、大小、位置等知覺特性的需要而產生的（吳貞祥，1980）。幾何圖形並非實際存在的東西，它是附著於具體存在的物體上，從具體實物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小、…等特性之抽象結果。學童最常接觸的是立體的圖形，平面圖形是則是透過立體圖形的面來辨識（劉好，1998）。平面圖形是將具體物的表面拓印出來的結果，它不受視覺位置、方向或翻轉的影響，故可透過分類、操作、比較、歸納、推理等形成概念（國立編譯館，1997a）。理解圖形概念的第一步，是把一個圖形從其他的圖形中辨別出來。這種辨別在高年級是靠圖形的定義，可是低年級則以直觀來辨別圖形。圖形概念的形成，有下列三種（吳貞祥，1980）：一、由一般化（又稱概括化）而形成例如正多邊形的概念是從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等圖形概念一般化而形成的，這些圖形共同的性質是等邊性和等角性，不考慮其頂點個數的不同。二、由特殊化而形成例如圖 2-2：四邊形→梯形→平行四邊形→長方形、菱形→正方形。圖 2-2 四邊形概念的特殊化過程

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箭頭表示特殊化的形成，分類的條件是有幾組平行的對邊？是否有直角？邊長是否相等？對四邊形進一步的分類，可以了解特殊四邊形的包含關係。三、由類推而形成一般化與特殊化的過程所形成的概念與其基礎的概念都在同一空間內，此處所謂類推則是把某一個空間所獲得的概念，想在其他的空間內實現時的作用。例如從平面上的直線概念，推究到球面上的直線概念的形成，可說就是類推的過程。分類活動可以分別從視覺性、功能性及關係性來考量。Piaget 將分類能力發展分成三階段：第一階段為形象聚集的階段，學童透過視覺能將物體形狀歸類，如將長方形、正方形各歸一類。第二階段為非形象聚集的階段，此時學童已能掌握物體某種屬性，從功能方面著手，將同一屬性物體歸在一起，組成一個集合但仍缺乏包含關係，如知道長方形、正方形、梯形都有四個邊所以也叫四邊形，但不易理解其間的集合關係。第三階段為分類能力獲得的階段，此時已能掌握部分與全體的關係，並能自行處理物體種類的包含關係（國立編譯館，1997b）。綜合以上描述幾何圖形概念的形成可知，日常生活中與幾何息息相關，而建立幾何空間的概念與圖形的察覺、圖形的辨識、發現圖形的性質與圖形間的關係是有相互關聯的。本研究以平面圖形中的多邊形做為研究的主要內容，觀察學童在 Logo 環境的學習下對其概念的發展是否有所幫助。以吳貞祥（1980）所描述之圖形概念形成之程序，讓學童從使用 Logo 的小海龜幾何學畫正方形開始，再一般化到長方形、菱形、平行四邊形、梯形；在三角形的部分則先從正三角形開始，再一般化到等腰三角形、不等邊三角形；從畫正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形…的過程中，形成正多邊形的概念並歸納出畫正多邊形的方法。經由圖形性質的比較，讓學生發現某一類圖形的性質都包含（於）另一類圖形的性質，以建立不同類圖形間的包含概念。同時讓學生經驗由特殊化而形成圖形概念，例如在畫平行四邊形時讓學生嘗試畫出鄰邊等長的情形，或者在畫等腰三角形時讓學生嘗試畫出有一個內角為 60 度的情形。

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肆、國小課程中平面圖形教材之規劃國小課程規劃與本研究有關的是民國八十五年開始實施的八十二年版國小數學課程標準（以下簡稱八十二年版課程）、八十九年頒布並於九十學年度開始實施之九年一貫課程暫行綱要（以下簡稱八十九年版課程）以及九十二年頒布並於九十四學年度開始實施之九年一貫課程綱要（以下簡稱九十二年版課程），其中所包含的平面圖形及其相關的幾何概念，分別說明如下： 一、八十二年版國小數學課程之平面圖形教材內容 根據民國八十二年教育部頒布的課程標準，數學科之「圖形與空間」領域內的「平面圖形」教材綱要如表 2-1。從表 2-1 的教材綱要中可看出低年級階段以觀察、複製實物的形體與表面，分辨平面圖形的形狀特徵，認識簡單的平面圖形，再利用圖形板與各種積木拼排圖形為主；中年級以透過製作活動，瞭解各種形狀的構成要素及其之間的關係，並能使用簡單的畫圖工具為主；高年級則透過操作與觀察以瞭解圖形間的關係，並能做簡單的應用（劉好，1998）。各年級所要學習的平面圖形概念、知識與技能為：低年級（一、二年級）：認識簡單的平面圖形、利用圖形板拼排圖形、辨別直線與曲線、全等的初步概念、比較圖形的大小、觀察線隊稱的現象、畫出指定長度的線段。中年級（三、四年級）：理解平面圖形的構成要素、理解平面圖形構成要素間的關係、角的初步概念、直線的垂直與平行、三角形的分類與命名、四邊形的分類與命名。高年級（五、六年級）：多邊形和正多邊形、多邊形的全等、圓周率、扇形、線對稱、縮圖、擴大圖、比例尺。

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表 2-1 八十二年版課程「平面圖形」之教材綱要年級平面圖形一．複製實物的面，分辨出類似三角形、四邊形及圓等圖形板的圖形。．觀察實物與圖形，辨別直線與曲線。．利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形。二．利用圖形板，拼排圖形，數出各圖形的數量。．利用相同的數量，全等的圖形板，拼排不同形狀的圖形。．利用不同的數量，全等的圖形板，比較圖形的大小。．透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象。．利用以公分為刻度單位的直尺，畫出指定長度的線段。三．透過製作的活動，瞭解三角形、四邊形的構成要素：角、邊、頂點及其個數；並認識周界及周長。．做出或畫出滿足部分條件（指定一邊或二邊的長度，周長或一些頂點）的三角形或四邊形。．透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角。．利用直角，瞭解長方形、正方形、直角三角形的特性。．角的初步概念。四．使用量角器量角度及畫角。．透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並作圖。．透過製作的活動，瞭解圓心、半徑、直徑、圓周。．透過直角認識直線的垂直與平行。．由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名。．由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形。．圓規的使用。五．透過圖形的疊合，認識全等的多邊形。．透過實測活動，認識圓周率。六．透過操作活動，認識線對稱圖形。．透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係。．瞭解比例尺的意義及表示方法，並應用於地圖的閱讀。二、九年一貫課程數學領域之平面圖形教材內容 （一）八十九年版九年一貫課程暫行綱要數學領域根據民國八十九年教育部頒布的九年一貫課程暫行綱要，數學領域分為四個階段：第一階段（1-3 年級）、第二階段（4-5 年級）、第三階段（6-7 年級）和第四階段（8-9 年級）。有關國小階段「圖形與空間」的能力指標如下表 2-2 （S-3-8 至 S-3-11 屬於七年級的部分，在此不列入）：

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表 2-2 八十九年版九年一貫課程數學領域國小階段「圖形與空間」之能力指標 S-1-1 能由形體的外觀辨認出某一形體。 S-1-2 能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。 S-1-3 能複製二維、三維的基本形體。 S-1-4 能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。 S-1-5 能察覺在生活情境或形體中的角。 S-1-6 能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置。 S-1-7 能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。 S-1-8 能辨認周遭物體中的直線、平面。 S-1-9 能辨認平面圖形的內部、外部及其輪廓線(周界)。 S-1-10 能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。 S-2-1 就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。 S-2-2 能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。 S-2-3 能透過實測察覺形體的性質。 S-2-4 能運用東西南北的語詞描述位置及方向。 S-2-5 能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。 S-2-6 能瞭解張開程度、旋轉程度和角的關係。 S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。 S-3-1 能使用形體的性質描述某一類形體。 S-3-2 能指出合於所予性質的形體。 S-3-3 從一類形體的特性中，指出那些性質也適用於另一類形體。 S-3-4 能利用構成要素間的可能關係，描述複合形體要素間的可能關係。 S-3-5 能利用形體的性質解決幾何問題。 S-3-6 能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。 S-3-7 能瞭解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。從表 2-2 之圖形與空間的能力指標中，針對國小各階段所要學習的平面圖形概念與性質為：第一階段（一～三年級）的內容有：正方形、長方形、三角形、圓形的外觀，角，位置，鉛垂線、水平線、水平面，直線、平面，圖形的內部、外部和周界，平面舖設。第二階段（四、五年級）的內容有：三角形、四邊形、圓形的組成要素與要素間的關係，兩形體的比較，透過實測察覺形體的性質，平行，直角、角度、

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量角器，辨認線對稱。第三階段（六年級）：描述形體的性質，圖形間的關係與運用，利用形體的性質解決幾何問題，標定位置，瞭解平行、垂直的概念（二）九年一貫課程（正式）綱要數學領域九十二年版九年一貫課程綱要數學領域將暫行綱要中的「圖形與空間」主題改為「幾何」主題。國小部分第一階段至第三階段，有部分內容重新修訂，國小部分「幾何」主題能力指標（教育部，2003），如下表 2-3：表 2-3 九十二年版九年一貫課程數學領域國小階段「幾何」之能力指標 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-06 能描述物體的相對位置。 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（N-2-17） S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（N-2-19） S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（N-3-15） S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（N-3-16） S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（N-3-17）從表 2-3 之幾何的能力指標中，發現幾何形體數量性質（如角度、邊長、周長、面積、體積）的內容也放入幾何的主題。能力指標雖以主題與階段區分，但仍有一些採跨主題的方式同時編列，如「數與量」和「幾何」，以強調其連