第貳章 文獻探討
本研究探討國小六年級學童在異分母分數除法上低、中、高分組的解題表現 和解題想法，故本章文獻探討共分為四節，作為本研究的理論依據。第一節探討 的主題是分數，第二節探討的主題是分數除法，第三節探討的主題是分數除法教 材，第四節探討的主題是數學解題。
第一節 分數
學童學習分數的困難點之一在於分數具有多重意義（呂玉琴，1991），分數 概念不同於自然數，探討分數意義是要項之一。本節從分數的意義、學童分數概 念的發展及分數概念相關研究等三部分來探討。
一、分數的意義
早在西元前 1650 年 Ahmes 紙草中就有分數的記載（林聰源，1995），而分 數這個名詞，英文為 fraction，此字源自於拉丁文的「frangere」，是破碎、分開 之意，用來描述一個單位被分開的某些部份（趙文敏，1985）。國內外對分數意 義有不同看法，以下分別說明：
（一）Kieren（1976）提出分數的五個子結構：
1.部分─整體（part-whole）：首先，必須將整體的東西「均分」成幾小部分，
而分數即是整體-部分關係的數值化。
2.比（ratio）：其形式為 p/q，p、q 為整數，且 q≠0。
3.商（quotient）：其形式為 x = p/q，且 x 滿足方程式 q x = p。
4.測量（measure）：是數線上的測量或點。
5.乘法運算（multiplicative operators）：如，延展、收縮。例如，12 的
2 3
等於 8，其中2
3
就是乘法運算。8
（二）Behr, Lesh, Post 與 Silver（1983）詮釋分數的概念為：
1.部分-全部（part-to-whole）的比較：將連續量或離散量分割成大小等分的 部分或子集。
2.小數（decimal）：分數的另一種形式。
3.比（ratio）：是傳達相對量（relative magnitude）的概念，因此，比是一種 比較性的指標（comparative index）。
4.商（quotient）：符號 a/b 是指兩量之間的關係，也是一種運算操作，有時 可以寫成 a÷b 的形式。
5.運算式（operator）：將分數看成是運算式，是將 p/q 看成代數方程式的詮 釋。
6.測量值（measure）：連續量或離散量的測量，如數線上的點。
（三）Dickson, Brown 和 Gibson（1984）認為分數的意義有：
1.部分/全部（sub-area of whole）：整體域中的子區域（連續量情境）。 2.子集/集合（a subset of a set）：離散量集合的子集合和整體集合的比較。
3.數線上的一點（a point on number line）：數線上兩整數間一點的數值。
4.商（division operation）：兩數相除的結果。
5.比值（comparing the sizes）：兩集合或兩數量比較的結果。
（四）林碧珍（1990）將分數意義區分成五個模式：
1.部分─整體模式：全部區域中的部分區域，以連續量為主。
2.子集合─集合模式：集合中的部分集合。
3.數線模式：數線上的一數值。
4.商模式：兩個整數相除的結果。
5.比值模式：二個集合或二個度量相比的結果。
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（五）呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）定義分數意義為：
1.部分/全部的意義：一個連續整體（連續量）等分後的幾部分。
2.子集/集合的意義：把一集合（離散量）等分後的幾組。
3.商的意義：兩數相除的結果。
4.數的意義：數線上一點所代表的數值。
5.比的意義：兩個集合（離散量）或兩個量（連續量）的比較結果 6.運算子的意義：可視為一種操作或含數。
研究者從以上文獻將分數意義統整為表 2-1-1。國內外對分數意義部份持相 同的見解，而分數在不同問題情境中具有不同的認知意義及多樣的表徵方式
（Behr et al., 1983），足見分數具有多重、複雜的意義，且大人及小孩都錯看了 分數的重要性（Kieren, 1976），故學童在學習分數上有著難以克服的困難（林福 來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。由此可見，在分數學習上，若概念稍一模糊，就 很有可能造成學習上的困難。
表 2-1-1 國內外對分數意義的見解
分數意義 學者
1.部分/整體（part-whole） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
2.子集/集合（a subset of a set） Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）
3.測量值（measure） Kieren（1976）
4.比（ratio） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
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分數意義 學者
呂玉琴等人（2009）、
5.商（quotient） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
6.運算（operator） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、
呂玉琴等人（2009）、
7.小數（decimal） Behr 等人（1983）
8.數線上的數值 Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
教育部（2003）在九年一貫課程綱要之數學領域中提到有理數的意涵有：
1.平分的意涵：低年級學童從平分的觀念學習分數，較容易化解分數學習中 常見的認知衝突。
2.測量的意涵：在為了解決「餘數」，同時發展出小數與分數。測量是調和
「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。
3.比例的意涵：比的原理是一種平分方式。
4.部分/整體的意涵：部分/整體是分數的重要意義之一，且真分數的暗示過 深（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，須透過單位的 強調來解決認知衝突。
教育部（2003）的分類中，因四種意涵的說明都很模糊，平分的意涵可以說 是部分/整體及子集/集合的意義，測量的意涵又不似 Kieren（1976、1980）的意 義，比例的意涵又包含平分的意義，部分/整體的意涵與平分意義較接近，四種 意涵意思說明不清，故研究者不將教育部的四種意涵過度推論歸納。
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二、學童分數概念的發展
關於學童分數概念的發展，Piaget 的研究結果與主張是已被眾人所接受，國 內學者甯自強對學童分數概念發展也有多篇的專文論述，以下分別敘述 Piaget、
Inhelder 和 Szeminska（1960）及甯自強（1992a、1992b、1993a、1993d、1995、
1997a、1997b）對於兒童分數概念發展的看法。
（一）Piaget 等人（1960）
Piaget 等人為進一步研究除法，以使用具體模具（蛋糕）做面積切割的研究，
提出兒童分數概念的發展。共分為五期：
1.Stage I（四歲到四歲半）：兒童難以將蛋糕均分成兩份，切出來的可能一大 一小、也可能共切成三份，因為兒童不清楚切兩 份該切幾刀，無法知道切成二等份應該注意到整 體的蛋糕。
2. Stage IIA（四歲到六歲）：兒童這時能將小範圍的整體分半，但是若整體 範圍變大分半仍有困難，若要求兒童必須進行 兩次連續二分法，兒童會切成四等份；而分三 等份對兒童來說是困難的，可能切出三小份留 一大塊剩餘的蛋糕，可能切四等份只拿其中三 等份。此時兒童不知道各部份的總和必然等於 整體。
3. Stage IIB（六歲到七歲）：二分法不再困難，三分法也逐漸發展，了解各 部份的總和等於整體。
4. Stage IIIA（七歲到十歲）：兒童對於三分法能有所掌控，各部份和全體有 先覺的瞭解（priori understanding），這代表兒 童了解各部分總和與整體必然的關係。
5. Stage IIIB（十歲左右）：兒童能利用再細分方式將蛋糕分成五等份或六等
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份，並了解細分的各部份是再細分的整體。
Piaget 等人的研究中也提到，切割圖形，長方形最簡單，正方形次之，以圓 形最難，因為在等分長方形時，兒童較能手眼一致地立即做判斷。
（二）甯自強（1992a、1992b、1993a、1993d、1995、1997a、1997b）
甯自強（1992a）主張數是合成活動的成果，兒童的概念發展由整數至分數，
其心智發展過程是需要將數看成一種特殊的量，本質是一特定單位量與同類量之 間的關係，例如 5 個蘋果的 5 是 5 個蘋果的量與 1 個蘋果的量之間的關係；而子 分割活動，是將一個單位量打破的活動，成為一群各自獨立的子分割單位，子單 位數值化即為單位分數，兩個量加以合併考慮又維持各自獨立性稱為並置活動，
並置單位如果是部份-全體式的並置，即為分數（1993d）。甯自強（1992a、1992b、
1993a、1993d、1995、1997a、1997b）將兒童從整數概念到分數概念發展的運思 層次依序區分為序列性合成運思、累進性合成運思、部份-全體運思、測量運思 及共測概念等五階段，以下逐一說明。
1.序列性合成運思
序列性合成運思是指兒童依據數詞將指示的量依序全部表現出來以進 行量的合成與分解，並將合成與分解的結果重新合併加以數值化，此時期的 每一個數詞所代表的數都具有獨立性。而此時期的兒童尚未具備分數的概念，
無法處理單位量轉換的問題，且此階段的兒童屬於感官活動期，若缺乏感官 活動教材的給予，兒童是無法完成解題的。例如，給予 8 個積木，要求取出 其中的四分之一，兒童的答案不是「一個」積木就是「四個」積木。
2.累進性合成運思
累進性合成運思是指兒童不需像序列性合成運思期一樣必須將指示的 量依序全部表現出來才進行量的合成與分解，而可以將指示的量當作基礎，
一邊進行合成與分解的活動，一邊將累進的結果數值化。此時期兒童處在分
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數的前置概念階段，且具有起始單位分數概念，但起始單位無法被複製，如
1
3
是「3 顆蘋果中的 1 顆」，而 2 個1 3
是2
6
，不是2
3
；此時部分內嵌於全體的 關係，只是隱約的「部分-全體」關係。此階段的兒童屬於象徵活動期，兒 童能在缺乏感官活動教材的情境中，自動供給所需教材的表徵來進行解題活 動，雖然兒童在此階段知道如何做，但卻無法理解為何這樣做是可行的。3.部份-整體運思
部分-整體運思是累進性合成運思的重組，其引入子分割活動，造成子 分割單位的質變，子分割單位脫嵌於集聚單位，自此開始成為單位分數單位。
如果單位分數
1
4
所指示的量是單位分數單位，則合成單位分數單位可以集聚 成其他的加法性分數單位。如3
4
代表由 3 個1
4
所指示的單位分數單位所構成 的集聚單位，也就是說 2 個1
4
可以等於2
4
，而非2
8
，因為分子的 1 被重複，分母的 4 保持不動。縱然兒童能在分數情境中使用部分-全體運思及子分割 單位的轉換活動，兒童仍然無法連絡兩個以上的子分割活動；此階段的兒童 處於象徵活動期察覺階段，兒童雖然可以察覺 8 個積木的
3
4
與 8 個積木的6 8
是相同的，但卻不認為3
4
與6
8
相等。4.測量運思
測量運思是部分-全體運思的遞迴運用，在重複的運用部分-全體運思來 重組相同基數的次階集聚單位後，內嵌於最高階的聚集單位，對於部分-全 體關係切確掌握。此時期的兒童具有合成性的巢狀數的保留概念，此概念是 指一數由多種單位構成，一旦構成，其總和不會因為調整內部結構而發生改
測量運思是部分-全體運思的遞迴運用，在重複的運用部分-全體運思來 重組相同基數的次階集聚單位後，內嵌於最高階的聚集單位，對於部分-全 體關係切確掌握。此時期的兒童具有合成性的巢狀數的保留概念，此概念是 指一數由多種單位構成，一旦構成，其總和不會因為調整內部結構而發生改