第二節 研究目的
在九年一貫課程綱要的分年細目中，五、六年級分數學習，是一嶄新的階段，
本研究欲探討國小六年級學童對分數除法文字題的表現，從學童解題的過程與想 法中深入了解學童解題表現的差異，本研究的目的為：
探究國小六年級學生在異分母分數除法文字題上低、中、高分組的解題想法
根據研究目的，國小六年級學生在異分母的分數除法研究中，待答的問題有 以下五點：
一、 低、中、高分組異分母分數除法文字題的解題表現如何？
二、 影響低、中、高分組學生解題的共同因素為何？
三、 低、中、高分組異分母分數除法文字題的解題想法有哪些？
四、 學生經教師引導後，解題的表現為何？
五、 對於學生而言，異分母分數除法的困難點在哪？
第三節 名詞解釋
一、國小六年級學生
本研究中所指的國小六年級學生是指臺中市 102 學年度就讀六年級，且已學 習過分數除法單元的學生。
二、異分母分數除法 分數是指能化成
q
p
的型態，p、q 皆為整數，其中 p≠0，稱為分數；p 稱為 分母，q 稱為分子（教育部，2003）；異分母分數除法是分數與分數相除之法，且兩分數的分母互不相等。本研究採取上述定義作為操作型定義研究之。
4
三、解題想法
甯自強（1991）提出解題活動是，兒童察覺解題情境，接著釋題，再依據解 題者的經驗設定目標並選擇具體的活動，加以實施來完成解題活動；Polya（蔡 坤憲譯，2006；Polya, 1945）解題歷程包括─了解問題、擬訂計畫、執行計畫及 驗算與回顧；Mayer（林清山譯，1983；Mayer, 1983）提出的解題歷程為─問題 轉譯、問題整合、解題計畫與監控及解題執行。本研究的解題想法是指，國小六 年級學生根據研究者自編的國小六年級異分母分數學習狀況測驗卷，獨立運用所 學的數學知識和技巧，無論解題正確與否，將之解題的想法。
四、解題表現
解題表現是甯自強（1991）解題活動、Polya（蔡坤憲譯，2006；Polya, 1945）
解題歷程中的「執行計畫」以及 Mayer（林清山譯，1983；Mayer,1983）解題歷 程中的「解題執行」的具體表現，本研究依據上述定義，將解題表現定義為，國 小六年級學生在研究者自編的國小六年級異分母分數學習狀況測驗卷執行解題 的表現。
五、解題因素
本研究的解題因素是指，國小六年級學生在研究者自編的國小六年級異分母 分數學習狀況測驗卷執行解題時影響解題者解題的原因。
六、低、中、高分組
得分在後 27％的為低分組，得分在前 27％的為高分組，其餘的為中分組。
本研究採取上述定義，低、中、高分組是依據研究者自編的國小六年級異分母分 數學習狀況測驗卷得分高低所區分的三大類類組。
5
七、困難點
困難是指事情的阻礙和障礙多，不易完成。而本研究的困難點是指，國小六 年級學生認為異分母分數除法不容易理解，在解題上容易失敗的關鍵原因。
第四節 研究範圍與限制
本節就研究的範圍與限制說明如下：
一、研究範圍
（一）研究對象
本研究對象是臺中市 102 學年度就讀國小六年級，為研究者所任教的班級之 學生。適用於該班學童之數學領域的能力指標是教育部於 2003 所公布的「國民 中小學九年一貫課程綱要」內容。
（二）研究內容
研究內容以分數除法文字題為主，題目皆只以文字方式呈現，涵蓋包含除及 當量除的異分母分數除法問題，目的在了解學童在解題時的列式及運算的情況，
並透過半結構式晤談了解學童的解題想法。
二、研究限制
就研究內容限制而言，本研究內容是異分母分數除法。異分母分數除法為九 年一貫國民小學數學領域六年級分數除法單元中的一部分，所以，不宜將本研究 過度推論、解釋至其它分數除法的議題。
就研究對象限制而言，研究因受限於時間、人力、經費等因素，僅選取臺中 市主推英語教學的某公立國小六年級一個班級的學童進行研究。故，研究結果只 適合提供給與本研究背景類似的學校做參考。
就研究方法與工具限制而言，本研究自編的異分母分數除法文字題測驗卷只
6
針對包含除及當量除的題目做設計，所以，在非本研究範圍的推論要加以存疑。
在質的研究方面，採用「半結構性晤談」，礙於研究者能力與知識有限，而學生 的解題想法是多元、多變的，若要更清楚的掌握學生解題的想法，需要進一步的 深究。
7
第貳章 文獻探討
本研究探討國小六年級學童在異分母分數除法上低、中、高分組的解題表現 和解題想法，故本章文獻探討共分為四節，作為本研究的理論依據。第一節探討 的主題是分數，第二節探討的主題是分數除法，第三節探討的主題是分數除法教 材，第四節探討的主題是數學解題。
第一節 分數
學童學習分數的困難點之一在於分數具有多重意義（呂玉琴，1991），分數 概念不同於自然數，探討分數意義是要項之一。本節從分數的意義、學童分數概 念的發展及分數概念相關研究等三部分來探討。
一、分數的意義
早在西元前 1650 年 Ahmes 紙草中就有分數的記載（林聰源，1995），而分 數這個名詞，英文為 fraction，此字源自於拉丁文的「frangere」，是破碎、分開 之意，用來描述一個單位被分開的某些部份（趙文敏，1985）。國內外對分數意 義有不同看法，以下分別說明：
（一）Kieren（1976）提出分數的五個子結構：
1.部分─整體（part-whole）：首先，必須將整體的東西「均分」成幾小部分，
而分數即是整體-部分關係的數值化。
2.比（ratio）：其形式為 p/q，p、q 為整數，且 q≠0。
3.商（quotient）：其形式為 x = p/q，且 x 滿足方程式 q x = p。
4.測量（measure）：是數線上的測量或點。
5.乘法運算（multiplicative operators）：如，延展、收縮。例如，12 的
2 3
等於 8，其中2
3
就是乘法運算。8
（二）Behr, Lesh, Post 與 Silver（1983）詮釋分數的概念為：
1.部分-全部（part-to-whole）的比較：將連續量或離散量分割成大小等分的 部分或子集。
2.小數（decimal）：分數的另一種形式。
3.比（ratio）：是傳達相對量（relative magnitude）的概念，因此，比是一種 比較性的指標（comparative index）。
4.商（quotient）：符號 a/b 是指兩量之間的關係，也是一種運算操作，有時 可以寫成 a÷b 的形式。
5.運算式（operator）：將分數看成是運算式，是將 p/q 看成代數方程式的詮 釋。
6.測量值（measure）：連續量或離散量的測量，如數線上的點。
（三）Dickson, Brown 和 Gibson（1984）認為分數的意義有：
1.部分/全部（sub-area of whole）：整體域中的子區域（連續量情境）。 2.子集/集合（a subset of a set）：離散量集合的子集合和整體集合的比較。
3.數線上的一點（a point on number line）：數線上兩整數間一點的數值。
4.商（division operation）：兩數相除的結果。
5.比值（comparing the sizes）：兩集合或兩數量比較的結果。
（四）林碧珍（1990）將分數意義區分成五個模式：
1.部分─整體模式：全部區域中的部分區域，以連續量為主。
2.子集合─集合模式：集合中的部分集合。
3.數線模式：數線上的一數值。
4.商模式：兩個整數相除的結果。
5.比值模式：二個集合或二個度量相比的結果。
9
（五）呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）定義分數意義為：
1.部分/全部的意義：一個連續整體（連續量）等分後的幾部分。
2.子集/集合的意義：把一集合（離散量）等分後的幾組。
3.商的意義：兩數相除的結果。
4.數的意義：數線上一點所代表的數值。
5.比的意義：兩個集合（離散量）或兩個量（連續量）的比較結果 6.運算子的意義：可視為一種操作或含數。
研究者從以上文獻將分數意義統整為表 2-1-1。國內外對分數意義部份持相 同的見解，而分數在不同問題情境中具有不同的認知意義及多樣的表徵方式
（Behr et al., 1983），足見分數具有多重、複雜的意義，且大人及小孩都錯看了 分數的重要性（Kieren, 1976），故學童在學習分數上有著難以克服的困難（林福 來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。由此可見，在分數學習上，若概念稍一模糊，就 很有可能造成學習上的困難。
表 2-1-1 國內外對分數意義的見解
分數意義 學者
1.部分/整體（part-whole） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
2.子集/集合（a subset of a set） Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）
3.測量值（measure） Kieren（1976）
4.比（ratio） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
10
分數意義 學者
呂玉琴等人（2009）、
5.商（quotient） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
6.運算（operator） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、
呂玉琴等人（2009）、
7.小數（decimal） Behr 等人（1983）
8.數線上的數值 Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
教育部（2003）在九年一貫課程綱要之數學領域中提到有理數的意涵有：
1.平分的意涵：低年級學童從平分的觀念學習分數，較容易化解分數學習中 常見的認知衝突。
2.測量的意涵：在為了解決「餘數」，同時發展出小數與分數。測量是調和
「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。
3.比例的意涵：比的原理是一種平分方式。
4.部分/整體的意涵：部分/整體是分數的重要意義之一，且真分數的暗示過 深（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，須透過單位的 強調來解決認知衝突。
教育部（2003）的分類中，因四種意涵的說明都很模糊，平分的意涵可以說 是部分/整體及子集/集合的意義，測量的意涵又不似 Kieren（1976、1980）的意 義，比例的意涵又包含平分的意義，部分/整體的意涵與平分意義較接近，四種 意涵意思說明不清，故研究者不將教育部的四種意涵過度推論歸納。
11
二、學童分數概念的發展
關於學童分數概念的發展，Piaget 的研究結果與主張是已被眾人所接受，國 內學者甯自強對學童分數概念發展也有多篇的專文論述，以下分別敘述 Piaget、
Inhelder 和 Szeminska（1960）及甯自強（1992a、1992b、1993a、1993d、1995、
1997a、1997b）對於兒童分數概念發展的看法。
（一）Piaget 等人（1960）
Piaget 等人為進一步研究除法，以使用具體模具（蛋糕）做面積切割的研究，
提出兒童分數概念的發展。共分為五期：
1.Stage I（四歲到四歲半）：兒童難以將蛋糕均分成兩份，切出來的可能一大
1.Stage I（四歲到四歲半）：兒童難以將蛋糕均分成兩份，切出來的可能一大