國立臺中教育大學數學教育學系
碩士在職專班碩士論文
指導教授：謝闓如 博士
國小六年級學生在異分母分數除法
文字題上低、中、高分組的解題想法
研究生：陳逸如 撰
中華民國一○四年六月
謝誌
時光一揮手，兩年求學日現下已接近尾聲，論文即將付梓送印，自己有所「產 出」，實為竭盡所能呀！這箇中滋味，也只有歷經論文磨練的研究生才能意會的 了（淚~）！ 學之，方知不足，從一問三不知到略知一二，這得感謝指導教授闓如老師的 指導，闓如老師對學問的嚴謹要求是我在老師身上學到最多的，自愧以往求學很 多時候只是囫圇吞棗，能寫出一些東西，大概已傾去腦袋瓜 99%的東西，甫寫出 的文字又殘害了指導教授多次，能集結成像樣的論文，真的很謝謝闓如老師的指 導；很謝謝口考教授─彥廷教授及心儀教授，因為有您們的省閱及寶貴意見，使 我的論文更臻於完善；謝謝研究所的老師們，上了您們的課使我對數學教育有嶄 新的看法，也拓展了我對學習的視野；謝謝研究所的同學們，因為課堂上有你們， 上課增添許多歡樂聲，也因為大家互相加油打氣，不吝分享，才能讓研究所時光 過得十分充實、快樂！ 謝謝我第一屆的畢業班學生，論文因為有你們的參與，使得研究不這麼枯 燥，也因為有論文才能更進一步認識你們，與你們交心；感謝我的父母，雖然您 們常說我是故意忙不回家探親，但我知道您們是心疼我閉門埋頭苦趕論文，謝謝 您們的體貼；謝謝我的公婆，我是個叛逆的媳婦，常不乖待在家裡，謝謝您們的 包容；謝謝我的老公，辛苦你常容忍我的壞脾氣，雖然對於假日都要陪我守在電 腦前頗有微詞，但還是默默承受，真的辛苦你，也謝謝你的支持與鼓勵，讓我論 文終於完工了！ 最後，我也期許自己，學到的知識定要能學以致用，方不負兩年老師們殷殷 的勉勵及指導，最後的最後，祝福大家，身體健康、萬事順心！ 陳逸如 謹致 中華民國 104 年 6 月I
摘要
本研究以自編測驗卷，針對臺中市大雅區某國小六年級生計 27 名進行施 測，並選取低、中、高分組各組 6 名學童共 18 名進行訪談，旨在探討國小六年 級學生在異分母分數除法文字題上低、中、高分組的解題想法。研究結果發現如 下： 一、國小六年級學生在包含除的問題情境較當量除表現佳。在包含除情境中以「帶 分數除以真分數」的表現最好，「帶分數除以帶分數」次之，「真分數除以真 分數」最低；在當量除的四種問題類型中，以「帶分數除以帶分數」答對率 略比「帶分數除以真分數」佳，「真分數除以真分數」再次之，「真分數除以 帶分數」最低。 二、影響學童解題的共同因素有兩個：關鍵字及多餘資訊。低分組學童解題時有 兩種狀況：當遇到無法理解的題目，便隨意運算及受到新學習干擾而無法正 確解題；中分組學生解題時有兩種狀況：使用嘗試錯誤的解題策略並檢視答 案及使用大數除以數的解題策略；高分組學童使用簡化策略、應用所學策略 及嘗試錯誤檢視答案合理性策略。 三、國小六年級學生在異分母分數除法文字題解題若經簡化策略引導可正確解 題。 四、國小六年級學生對異分母分數文字題的困難點在於不理解題意、數字影響、 不會列式、文字影響、無法使用關鍵字解題、無法得知答案是否正確及耐心 不夠等七種原因。 關鍵字：文字題、國小數學、異分母分數除法、解題想法III
Abstract
The purpose of this study was to explore 6th graders' problem-solving thinking
regarding non-common fractional division arithmetic word problems. Twenty-seven
6th graders were selected from one elementary school at Daya District, Taichung City
to participate in this study. Self-constructed paper-and-pencil test was given to 27
participants. Based on their responses on the test, eighteen students were chosen for
semi-structured interviews. The results were as follows:
1. 6th graders' performed better in measurement division than in determination of a
unit rate . In measurement division, students did best on “mixed fraction dividing
by proper fraction”, followed by “mixed fraction dividing by mixed fraction” , and
“proper fraction dividing by proper fraction”. In determination of a unit rate, students did best on “mixed fraction dividing by mixed fraction”, followed by
“mixed fraction dividing by proper fraction”, “proper fraction dividing by proper fraction”, and “proper fraction dividing by mixed fraction”.
2. There were two common factors influencing students problem-solving: key words
and surplus information. Low-achievers solved problem at random if they couldn’t
understanding the meaning of the problem, and they were disturbed by newly
learning context; middle-achievers used trial-and-error and check answer strategy,
and bigger number divided by smaller one strategy; high-achievers used multiple
strategies, such as simplified problem, applied learning knowledge, and
trial-and-error and made sure answer reasonably.
3. 6th graders would solve the problem successfully if they were guided by simplified
problem strategy.
4. The reason why 6th graders had difficulties in fractional division were followings:
they couldn’t understanding the meaning of the problem; they were affected by
IV
the answer was correct or not; they couldn’t solve problems by using keywords;
and they didn’t have enough patience.
Key words: word problem; elementary school mathematics; non-common fractional division; problem-solving thinking
V
目次
第壹章 緒論………1
第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………3 第三節 名詞解釋………3 第四節 研究的範圍與限制………5第貳章 文獻探討………...7
第一節 分數…….………...7 第二節 分數除法.………...16 第三節 分數教材.………...25 第四節 數學解題.………...29第參章 研究方法……….43
第一節 研究流程………..43 第二節 研究方法與工具………..45 第三節 研究對象………..53 第四節 正式施測………..55 第五節 資料整理與分析………..56第肆章 研究結果與發現………...57
第一節 國小六年級學童異分母分數除法的解題表現………...……...57 第二節 影響低、中、高分組解題的共同因素……….…...63 第三節 低、中、高分組解題想法………...…....77 第四節 學生經引導使用簡化數字策略的表現………...…...94 第五節 分數除法文字題的困難點………...…...…..…105第伍章 結論與建議………..…117
第一節 討論與結論………..……..117 第二節 建議………..………..122參考文獻……….125
中文………...……….125 英文………...……….129VI
附錄…...………....131
附錄一 國小六年級異分母分數測驗卷…...………...131 附錄二 訪談逐字稿…...……….…..133VII
表次
表 2-1-1 國內外對分數意義的見解………...9 表 2-3-1 92 年版九年一貫課綱能力指標與分年細目表………26 表 2-3-2 二至六年級分數教材之內容……….28 表 3-2-1 國小六年級異分母分數學習狀況測驗卷內容分析表……….47 表 3-2-2 預試之高分組和低分組答對率、鑑別度與難度一覽表……….49 表 3-5-1 研究對象的特質一覽表……….54 表 4-1-1 異分母分數除法文字題的整體答對率……….59 表 4-1-2 低、中、高分組異分母分數除法文字題的答對率……….60IX
圖次
圖 2-2-1 圖解 6 20 3 4 ………..18 圖 2-2-2 沒有餘數的分數除法例圖……….…..20 圖 2-2-3 有餘數的分數除法例圖……….…..20 圖 2-4-1 解題活動過程圖……….……...32 圖 2-4-2 Felisha 的等分法……….….35 圖 2-4-3 Daniel 的試驗和重分法………...36 圖 2-4-4 Viviana 的等比表格法………..36 圖 2-4-5 先縮小再放大………...37 圖 2-4-6 先放大再縮小………...37 圖 2-4-7 改變寬使面積為 1 平方公尺………38 圖 2-4-8 改變長使面積為 1 平方公尺………38 圖 2-4-9 將面積和寬都化為整數………..…….39 圖 3-1-1 研究架構………...43 圖 3-1-2 研究流程………...44 圖 4-2-1 L1生第十三題解題情形………..66 圖 4-2-2 L2生第五題解題情形………..67 圖 4-2-3 L4生第七題解題情形………..68 圖 4-2-4 L6生第三題解題情形………..72 圖 4-2-5 M4生第三題解題情形……….73 圖 4-2-6 H4生第三題解題情形………..74 圖 4-2-7 H2生第十六題解題情形………..75 圖 4-3-1 L3生第十一題解題情形………..78 圖 4-3-2 L4生第十四題解題情形………..79 圖 4-3-3 L1生第十二題解題情形………..79 圖 4-3-4 L2生第二題解題情形………..80 圖 4-3-5 L6生第二題解題情形………..81 圖 4-3-6 L5生第一題解題情形………..82 圖 4-3-7 M1生第七題解題情形……….83 圖 4-3-8 M1生第九題解題情形……….84 圖 4-3-9 M2生第十三題解題情形……….85 圖 4-3-10 M3生第九題解題情形……….86 圖 4-3-11 M5生第十二題解題情形……….87 圖 4-3-12 H3生第十一題解題情形………..89 圖 4-3-13 H3生第五題解題情形………..92 圖 4-4-1 M3生第二題解題情形……….95X 圖 4-4-2 M4生第七題解題情形……….………96 圖 4-4-3 M5生第十四題解題情形……….97 圖 4-4-4 M6生第一題解題情形……….98 圖 4-4-5 L1生第九題解題情形………100 圖 4-4-6 L2生第一題解題情形………..…..101 圖 4-2-7 L3生第十三題解題情形………102 圖 4-4-8 L4生第十二題解題情形………103 圖 4-4-9 L5第六題解題情形………104
1
第壹章
緒論
本研究旨在探討「國小六年級學生在異分母分數除法文字題上低、中、高分 組的解題想法」。全章共分為四節，第一節說明本研究動機，第二節是研究目的， 第三節針對研究中提及的相關名詞做釋義，最後說明研究的範圍及其限制。第一節 研究動機
有理數教學是小學的核心課程之一，也是小學教學中，最具挑戰的教學主題 （教育部，2003；Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007）。小學有理數學習著重於 分數的學習，對學生而言，分數的學習困難一是分數具有多重意義（呂玉琴，1991； 教育部，2003）；另一方面是學生過去學習整數計算的經驗造成分數學習的錯誤 （呂玉琴，1991）。小學的分數學習是有理數學習的開端，學生需要較長的時間來掌握分數的概 念（教育部，2003），美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）認為分數是兒童數知識重大的擴展，當學生十分理 解分數概念時，即能運用這些分數概念去解決測量、機率…等問題，擴大兒童數 系的知識（MCTM, 2000）。在小學階段，分數是佔了相當大的學習比例，至國、 高中階段，更將分數融入函數、代數的學習乃至於無理數的學習，其重要性無庸 置疑。 研究者在教學現場發現，市占率三大廠商的數學教材中，「分數除法」的單 元是由整數除以分數引入，進而分數除以整數，最後才是分數除以分數。在分數 除法上，學生多以將除數的分子與分母顛倒後再與被除數相乘做計算，也就是 b d b c a c a d。學生都很能熟練這樣的算法，久而久之的練習，只是機械化「顛
倒相乘」的演算（Seibert, 2002; Sinicrope, Mick, & Kolb, 2002），能夠真正理解分 數除法意義的學生卻是寥寥無幾，而分數除法困難的點就在於─何以除以一個數 等於乘以它的倒數（孫旭花、黃毅英、林智中，2009；Yim, 2010）。正因為學
2 生對分數除法意義的不了解，因此在分數除法文字題的解題上，就可能出現隨意 拼湊分數除法算式，或直接依賴「前數除以後數」、「大數除以小數」來進行解題 （顏宗斌，2004）。 九年一貫的基本理念是，要把每一位學生帶上來，且在數學教育裡，強調每 個學生都有權利要求受到良好的數學教育，厚實數學能力，培育出「帶著走」的 能力（教育部，2003）。NCTM（2000）認為解題應是數學學習的核心，教學目 標之一是使學生應用自我能力，有效地應用數學策略來解題。學生解決文字題的 能力擴展於其他學科上，更能應用在日常生活的解題上，此符合教育部（2003） 九年一貫強調的「帶著走」的能力。 教師若要引領學生學習，必須設計不同的教學環境，包括利用生活情境去導 入到數學內容（孫旭花、黃毅英、林智中，2008）。要讓學生不逃避數學，要懂 得學生如何思考，方能進一步設計更適合學生學習的教學方法、課程，以澄清學 生的迷思概念（misconception）。 國內有許多關於分數概念的研究，研究等分及分數量概念（林福來、黃敏晃、 呂玉琴，1996；詹婉華、呂玉琴，2004）；等值分數的研究（呂玉琴，1991；詹 婉華、呂玉琴，2004）；分數概念錯誤類型的研究（湯錦雲，2002；黃寶葵、劉 曼麗，2002；尤志弘，2007；黃志敘，2007）；分數除法相關研究（顏宗斌，2004； 李源順、胡蕙芬，2005；謝淡宜，2008；蔡典安，2014）；國內亦有許多關於數 學文字題的研究（古明峰，1999；吳昭榮、黃一蘋，2003；涂金堂，2007；李麗 君、陳玟樺，2010；李銘豐，2014）；分數文字題解題研究（顏宗斌，2005）。 雖然有國內有許多關於分數及文字題的研究，卻少有關於分數除法解題的資 料，低、中、高分組在分數除法文字題表現狀況的研究更顯不足。研究者希望藉 由本研究來探討國小六年級學生在異分母分數除法文字題上低、中、高分組的解 題想法，以期瞭解學童解題策略及解題的想法，進而協助教師理解學生的想法， 提供教育者與課程設計者在分數除法課程上的參考。
3
第二節 研究目的
在九年一貫課程綱要的分年細目中，五、六年級分數學習，是一嶄新的階段， 本研究欲探討國小六年級學童對分數除法文字題的表現，從學童解題的過程與想 法中深入了解學童解題表現的差異，本研究的目的為： 探究國小六年級學生在異分母分數除法文字題上低、中、高分組的解題想法 根據研究目的，國小六年級學生在異分母的分數除法研究中，待答的問題有 以下五點： 一、 低、中、高分組異分母分數除法文字題的解題表現如何？ 二、 影響低、中、高分組學生解題的共同因素為何？ 三、 低、中、高分組異分母分數除法文字題的解題想法有哪些？ 四、 學生經教師引導後，解題的表現為何？ 五、 對於學生而言，異分母分數除法的困難點在哪？第三節 名詞解釋
一、國小六年級學生 本研究中所指的國小六年級學生是指臺中市 102 學年度就讀六年級，且已學 習過分數除法單元的學生。 二、異分母分數除法 分數是指能化成q p的型態，p、q 皆為整數，其中 p≠0，稱為分數；p 稱為 分母，q 稱為分子（教育部，2003）；異分母分數除法是分數與分數相除之法， 且兩分數的分母互不相等。本研究採取上述定義作為操作型定義研究之。4 三、解題想法 甯自強（1991）提出解題活動是，兒童察覺解題情境，接著釋題，再依據解 題者的經驗設定目標並選擇具體的活動，加以實施來完成解題活動；Polya（蔡 坤憲譯，2006；Polya, 1945）解題歷程包括─了解問題、擬訂計畫、執行計畫及 驗算與回顧；Mayer（林清山譯，1983；Mayer, 1983）提出的解題歷程為─問題 轉譯、問題整合、解題計畫與監控及解題執行。本研究的解題想法是指，國小六 年級學生根據研究者自編的國小六年級異分母分數學習狀況測驗卷，獨立運用所 學的數學知識和技巧，無論解題正確與否，將之解題的想法。 四、解題表現 解題表現是甯自強（1991）解題活動、Polya（蔡坤憲譯，2006；Polya, 1945） 解題歷程中的「執行計畫」以及 Mayer（林清山譯，1983；Mayer,1983）解題歷 程中的「解題執行」的具體表現，本研究依據上述定義，將解題表現定義為，國 小六年級學生在研究者自編的國小六年級異分母分數學習狀況測驗卷執行解題 的表現。 五、解題因素 本研究的解題因素是指，國小六年級學生在研究者自編的國小六年級異分母 分數學習狀況測驗卷執行解題時影響解題者解題的原因。 六、低、中、高分組 得分在後 27％的為低分組，得分在前 27％的為高分組，其餘的為中分組。 本研究採取上述定義，低、中、高分組是依據研究者自編的國小六年級異分母分 數學習狀況測驗卷得分高低所區分的三大類類組。
5 七、困難點 困難是指事情的阻礙和障礙多，不易完成。而本研究的困難點是指，國小六 年級學生認為異分母分數除法不容易理解，在解題上容易失敗的關鍵原因。
第四節 研究範圍與限制
本節就研究的範圍與限制說明如下： 一、研究範圍 （一）研究對象 本研究對象是臺中市 102 學年度就讀國小六年級，為研究者所任教的班級之 學生。適用於該班學童之數學領域的能力指標是教育部於 2003 所公布的「國民 中小學九年一貫課程綱要」內容。 （二）研究內容 研究內容以分數除法文字題為主，題目皆只以文字方式呈現，涵蓋包含除及 當量除的異分母分數除法問題，目的在了解學童在解題時的列式及運算的情況， 並透過半結構式晤談了解學童的解題想法。 二、研究限制 就研究內容限制而言，本研究內容是異分母分數除法。異分母分數除法為九 年一貫國民小學數學領域六年級分數除法單元中的一部分，所以，不宜將本研究 過度推論、解釋至其它分數除法的議題。 就研究對象限制而言，研究因受限於時間、人力、經費等因素，僅選取臺中 市主推英語教學的某公立國小六年級一個班級的學童進行研究。故，研究結果只 適合提供給與本研究背景類似的學校做參考。 就研究方法與工具限制而言，本研究自編的異分母分數除法文字題測驗卷只6
針對包含除及當量除的題目做設計，所以，在非本研究範圍的推論要加以存疑。
在質的研究方面，採用「半結構性晤談」，礙於研究者能力與知識有限，而學生
的解題想法是多元、多變的，若要更清楚的掌握學生解題的想法，需要進一步的 深究。
7
第貳章 文獻探討
本研究探討國小六年級學童在異分母分數除法上低、中、高分組的解題表現 和解題想法，故本章文獻探討共分為四節，作為本研究的理論依據。第一節探討 的主題是分數，第二節探討的主題是分數除法，第三節探討的主題是分數除法教 材，第四節探討的主題是數學解題。第一節 分數
學童學習分數的困難點之一在於分數具有多重意義（呂玉琴，1991），分數 概念不同於自然數，探討分數意義是要項之一。本節從分數的意義、學童分數概 念的發展及分數概念相關研究等三部分來探討。 一、分數的意義 早在西元前 1650 年 Ahmes 紙草中就有分數的記載（林聰源，1995），而分 數這個名詞，英文為 fraction，此字源自於拉丁文的「frangere」，是破碎、分開 之意，用來描述一個單位被分開的某些部份（趙文敏，1985）。國內外對分數意 義有不同看法，以下分別說明： （一）Kieren（1976）提出分數的五個子結構： 1.部分─整體（part-whole）：首先，必須將整體的東西「均分」成幾小部分， 而分數即是整體-部分關係的數值化。 2.比（ratio）：其形式為 p/q，p、q 為整數，且 q≠0。 3.商（quotient）：其形式為 x = p/q，且 x 滿足方程式 q x = p。 4.測量（measure）：是數線上的測量或點。 5.乘法運算（multiplicative operators）：如，延展、收縮。例如，12 的2 3等於 8，其中2 3 就是乘法運算。8
（二）Behr, Lesh, Post 與 Silver（1983）詮釋分數的概念為：
1.部分-全部（part-to-whole）的比較：將連續量或離散量分割成大小等分的
部分或子集。
2.小數（decimal）：分數的另一種形式。
3.比（ratio）：是傳達相對量（relative magnitude）的概念，因此，比是一種 比較性的指標（comparative index）。 4.商（quotient）：符號 a/b 是指兩量之間的關係，也是一種運算操作，有時 可以寫成 a÷b 的形式。 5.運算式（operator）：將分數看成是運算式，是將 p/q 看成代數方程式的詮 釋。 6.測量值（measure）：連續量或離散量的測量，如數線上的點。
（三）Dickson, Brown 和 Gibson（1984）認為分數的意義有：
1.部分/全部（sub-area of whole）：整體域中的子區域（連續量情境）。 2.子集/集合（a subset of a set）：離散量集合的子集合和整體集合的比較。 3.數線上的一點（a point on number line）：數線上兩整數間一點的數值。 4.商（division operation）：兩數相除的結果。
5.比值（comparing the sizes）：兩集合或兩數量比較的結果。
（四）林碧珍（1990）將分數意義區分成五個模式： 1.部分─整體模式：全部區域中的部分區域，以連續量為主。 2.子集合─集合模式：集合中的部分集合。 3.數線模式：數線上的一數值。 4.商模式：兩個整數相除的結果。 5.比值模式：二個集合或二個度量相比的結果。
9 （五）呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）定義分數意義為： 1.部分/全部的意義：一個連續整體（連續量）等分後的幾部分。 2.子集/集合的意義：把一集合（離散量）等分後的幾組。 3.商的意義：兩數相除的結果。 4.數的意義：數線上一點所代表的數值。 5.比的意義：兩個集合（離散量）或兩個量（連續量）的比較結果 6.運算子的意義：可視為一種操作或含數。 研究者從以上文獻將分數意義統整為表 2-1-1。國內外對分數意義部份持相 同的見解，而分數在不同問題情境中具有不同的認知意義及多樣的表徵方式 （Behr et al., 1983），足見分數具有多重、複雜的意義，且大人及小孩都錯看了 分數的重要性（Kieren, 1976），故學童在學習分數上有著難以克服的困難（林福 來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。由此可見，在分數學習上，若概念稍一模糊，就 很有可能造成學習上的困難。 表 2-1-1 國內外對分數意義的見解 分數意義 學者
1.部分/整體（part-whole） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
2.子集/集合（a subset of a set） Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、 呂玉琴等人（2009）
3.測量值（measure） Kieren（1976）
4.比（ratio） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson
10
分數意義 學者
呂玉琴等人（2009）、
5.商（quotient） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、
呂玉琴等人（2009）、
6.運算（operator） Kieren（1976）、Behr 等人（1983）、 呂玉琴等人（2009）、 7.小數（decimal） Behr 等人（1983） 8.數線上的數值 Dickson 等人（1984）、林碧珍（1990）、 呂玉琴等人（2009）、 教育部（2003）在九年一貫課程綱要之數學領域中提到有理數的意涵有： 1.平分的意涵：低年級學童從平分的觀念學習分數，較容易化解分數學習中 常見的認知衝突。 2.測量的意涵：在為了解決「餘數」，同時發展出小數與分數。測量是調和 「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。 3.比例的意涵：比的原理是一種平分方式。 4.部分/整體的意涵：部分/整體是分數的重要意義之一，且真分數的暗示過 深（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，須透過單位的 強調來解決認知衝突。 教育部（2003）的分類中，因四種意涵的說明都很模糊，平分的意涵可以說 是部分/整體及子集/集合的意義，測量的意涵又不似 Kieren（1976、1980）的意 義，比例的意涵又包含平分的意義，部分/整體的意涵與平分意義較接近，四種 意涵意思說明不清，故研究者不將教育部的四種意涵過度推論歸納。
11 二、學童分數概念的發展 關於學童分數概念的發展，Piaget 的研究結果與主張是已被眾人所接受，國 內學者甯自強對學童分數概念發展也有多篇的專文論述，以下分別敘述 Piaget、 Inhelder 和 Szeminska（1960）及甯自強（1992a、1992b、1993a、1993d、1995、 1997a、1997b）對於兒童分數概念發展的看法。 （一）Piaget 等人（1960） Piaget 等人為進一步研究除法，以使用具體模具（蛋糕）做面積切割的研究， 提出兒童分數概念的發展。共分為五期： 1.Stage I（四歲到四歲半）：兒童難以將蛋糕均分成兩份，切出來的可能一大 一小、也可能共切成三份，因為兒童不清楚切兩 份該切幾刀，無法知道切成二等份應該注意到整 體的蛋糕。 2. Stage IIA（四歲到六歲）：兒童這時能將小範圍的整體分半，但是若整體 範圍變大分半仍有困難，若要求兒童必須進行 兩次連續二分法，兒童會切成四等份；而分三 等份對兒童來說是困難的，可能切出三小份留 一大塊剩餘的蛋糕，可能切四等份只拿其中三 等份。此時兒童不知道各部份的總和必然等於 整體。 3. Stage IIB（六歲到七歲）：二分法不再困難，三分法也逐漸發展，了解各 部份的總和等於整體。 4. Stage IIIA（七歲到十歲）：兒童對於三分法能有所掌控，各部份和全體有 先覺的瞭解（priori understanding），這代表兒 童了解各部分總和與整體必然的關係。 5. Stage IIIB（十歲左右）：兒童能利用再細分方式將蛋糕分成五等份或六等
12 份，並了解細分的各部份是再細分的整體。 Piaget 等人的研究中也提到，切割圖形，長方形最簡單，正方形次之，以圓 形最難，因為在等分長方形時，兒童較能手眼一致地立即做判斷。 （二）甯自強（1992a、1992b、1993a、1993d、1995、1997a、1997b） 甯自強（1992a）主張數是合成活動的成果，兒童的概念發展由整數至分數， 其心智發展過程是需要將數看成一種特殊的量，本質是一特定單位量與同類量之 間的關係，例如 5 個蘋果的 5 是 5 個蘋果的量與 1 個蘋果的量之間的關係；而子 分割活動，是將一個單位量打破的活動，成為一群各自獨立的子分割單位，子單 位數值化即為單位分數，兩個量加以合併考慮又維持各自獨立性稱為並置活動， 並置單位如果是部份-全體式的並置，即為分數（1993d）。甯自強（1992a、1992b、 1993a、1993d、1995、1997a、1997b）將兒童從整數概念到分數概念發展的運思 層次依序區分為序列性合成運思、累進性合成運思、部份-全體運思、測量運思 及共測概念等五階段，以下逐一說明。 1.序列性合成運思 序列性合成運思是指兒童依據數詞將指示的量依序全部表現出來以進 行量的合成與分解，並將合成與分解的結果重新合併加以數值化，此時期的 每一個數詞所代表的數都具有獨立性。而此時期的兒童尚未具備分數的概念， 無法處理單位量轉換的問題，且此階段的兒童屬於感官活動期，若缺乏感官 活動教材的給予，兒童是無法完成解題的。例如，給予 8 個積木，要求取出 其中的四分之一，兒童的答案不是「一個」積木就是「四個」積木。 2.累進性合成運思 累進性合成運思是指兒童不需像序列性合成運思期一樣必須將指示的 量依序全部表現出來才進行量的合成與分解，而可以將指示的量當作基礎， 一邊進行合成與分解的活動，一邊將累進的結果數值化。此時期兒童處在分
13 數的前置概念階段，且具有起始單位分數概念，但起始單位無法被複製，如 1 3是「3 顆蘋果中的 1 顆」，而 2 個 1 3是 2 6，不是 2 3；此時部分內嵌於全體的 關係，只是隱約的「部分-全體」關係。此階段的兒童屬於象徵活動期，兒 童能在缺乏感官活動教材的情境中，自動供給所需教材的表徵來進行解題活 動，雖然兒童在此階段知道如何做，但卻無法理解為何這樣做是可行的。 3.部份-整體運思 部分-整體運思是累進性合成運思的重組，其引入子分割活動，造成子 分割單位的質變，子分割單位脫嵌於集聚單位，自此開始成為單位分數單位。 如果單位分數1 4 所指示的量是單位分數單位，則合成單位分數單位可以集聚 成其他的加法性分數單位。如3 4代表由 3 個 1 4 所指示的單位分數單位所構成 的集聚單位，也就是說 2 個1 4 可以等於 2 4，而非 2 8，因為分子的 1 被重複， 分母的 4 保持不動。縱然兒童能在分數情境中使用部分-全體運思及子分割 單位的轉換活動，兒童仍然無法連絡兩個以上的子分割活動；此階段的兒童 處於象徵活動期察覺階段，兒童雖然可以察覺 8 個積木的3 4 與 8 個積木的 6 8 是相同的，但卻不認為3 4 與 6 8相等。 4.測量運思 測量運思是部分-全體運思的遞迴運用，在重複的運用部分-全體運思來 重組相同基數的次階集聚單位後，內嵌於最高階的聚集單位，對於部分-全 體關係切確掌握。此時期的兒童具有合成性的巢狀數的保留概念，此概念是 指一數由多種單位構成，一旦構成，其總和不會因為調整內部結構而發生改 變，而合成性的巢狀數的保留概念也是分數內容中的等值分數概念，故兒童 可以理解 8 個積木的3 4 與 8 個積木的 6 8是相同的，而 3 4 與 6 8是同一分量的測 量值。此時期的兒童處於抽象運思期，能有方法、策略及預期結果，知道該
14 如何做，也知為何而做。 5.共測概念 兒童此階段屬於形式運思期，具有等比例思考，透過通分，將原來的3 6 （以1 6為單位分數）及 2 4（以 1 4為單位分數），都同時轉換成以 1 12為共測單 位，來進行比較，便可以知道3 6與 2 4 是等值的，而 3 6與 2 4 是可以共測的，兒 童能以共測單位理解不同分數詞之間等值關係，因而進入有理數的概念階 段。 兒童分數概念發展由整數概念發展起，接著是單位分數，兒童發展順序是1 2、 1 4、 1 3，且切長方形的圖形對兒童來說較簡單，兒童要能掌握部分-全體的關係， 才能引入等值分數的概念，最後能以共測單位處理不同分數詞的問題。若學童尚 未發展此階段的概念就勉強學童接受下階段的分數課程，學童將會感吃力。經由 學童解文字題的作答情形及晤談情況，研究者對於學童的分數概念發展，可據此 些文獻判斷學童的分數概念發展是在哪一階段，以此理解學生解題的想法。 三、學童分數概念的相關研究 黃志敘（2007）選取雲林縣沿海某國小六年級生共計 32 位，藉由訪談、學 生課室的分組討論、學習單、數學日誌及教學日誌等實際紀錄，並以七巧板作為 分數離散量佈題之教具，探究國小六年級學童常見之分數迷思概念及兒童的解題 類型。研究結果顯示國小六年級學童常見的分數迷思概念有以下三種：不了解分 數的意義、缺乏子集合-集合之概念及缺乏單位量概念；在解題類型方面亦發現， 兒童能善用圖形表徵解題、以單位分量為基礎進行圖形組合與解題及利用分數的 乘、除法進行解題等策略。
15 湯錦雲（2002）以自編試題針對高雄市 2 所學校及高雄縣 3 所學校共計 422 名國小五年級學生進行施測並抽取學生進行面對面晤談，旨在探討學童分數的錯 誤類型及成因。研究發現分數概念的錯誤類型有缺乏六種分數概念、對分數的四 種誤解及其他五種錯誤共十五種類型的分數迷思概念。形成分數概念與運算錯誤 的原因有：不瞭解題意、過於依賴連續量的部份－全部模式、「分數是數線上的 一點」與「分數是數線上的線段長」的概念混淆、將先前知識做錯誤的類推、語 言的影響、缺乏先備知識、概念間缺乏連結、缺乏合理性的檢驗策略及學生自發 的錯誤想法。 尤志弘（2007）以自編試卷針對高高屏 6 所國小的五年級共 12 個班，共計 373 名學童為研究樣本，探討施行九年一貫後學童分數概念與運算能力的學習狀 況、可能錯誤類型及分數學習困難。研究發現，學童分數運算比分數概念表現好， 達顯著差異；學童分數概念學習以「數線」模式題目的學習狀況最差；以分數運 算而言，乘法和除法普遍學習狀況不佳；普遍的錯誤類型共有十一種，其中「單 位量指認錯誤」是錯誤率最高的類型；分數運算之加法、減法、乘法、除法的錯 誤類型都各有六至八種，其中以「整數化成分數錯誤」與「乘數的整數部份用乘 法，真分數部份用加法」的錯誤率最多。 Hart 等人（1981）針對 12~13 歲學童做等值分數及分數加法的研究。研究發 現學生在處理等值分數常見的問題是，只注意到分母和分子的大小而不是考量兩 者之間的比，因此有 20%的 12～13 歲的學生認為4 8 大於 2 4 。在分數加法上，常 犯的錯誤就是「分子加分子、分母加分母」。
Charalambous 與 Pitta-Pantazi（2007）以 Kieren 五個分數子結構為理論基礎， 採用結構方程建模技術（structural equation modeling techniques）對 646 個五、六 年級學童探討學童在 Kieren 五個分數子結構的表現及分數子結構間的概念關聯。 研究發現，五個分數子結構有關聯性，且學童在部分/整體表現最好，在測量值 的表現最差。
16 綜合以上文獻發現，當學童對分數稍一不慎，就很有可能造成概念的錯誤以 致於無法成功解題，而學童也容易因此在分數的學習上產生挫折的心理。本研究 在進行訪談前應將學童容易產生迷思概念之處，預先擬定好訪談大綱，以便了解 學生解題時的想法。 四、本節文獻對本研究啟示 從以上的文獻綜合得知，分數在不同情境下會有著不同的意義，不僅有多重 意義，對學生來說更是抽象難以理解。學童分數發展是具有階段性的，因此學童 在學習分數時要考量其運思發展階段，本研究依據文獻的所得，在編纂試題時仔 細思量題目意義，在訪談時適時分析學生在分數運思階段期落點為何，從而討論 學童解題的真正想法。
第二節 分數除法
分數除法是小學數學中最大難點之一，難點在於解釋為什麼「除以一個數等 於乘以它的倒數」（孫旭花、黃毅英、林智中，2009；Yim, 2010）。然而，為什 麼這樣算可以得到答案？何以明明就是除法卻要改成乘法計算？為什麼要將除 數的分子和分母互換？這一連串的為什麼使學生困惑，學生只好照著老師的算則 機械式的演算（張四海，1982）。倒數相乘法看起來跟分數除法毫無關聯，且倒 數相乘法對學生而言沒有意義，即使教師使用圖表表徵倒數相乘法的原則，學生 仍將倒數相乘法看作是解決分數除法不可解釋又謎樣的捷徑（Siebert, 2002）。 以下針對分數除法的類型、分數除法的算則及分數除法的相關研究作探討。 一、分數除法的類型 Siebert（2002）將除法分為兩類：包含除和等分除。在布題時，會以等分除 作為分數除以整數的問題之啟蒙例，以包含除作為分數除以分數的啟蒙例（呂玉17
琴等人，2009；Siebert, 2002）。Sinicrope, Mick 與 Kolb（2002）將分數除法分 為等分除（partitive division）、包含除（measurement division）、當量除
（determination a unit rate）、笛卡爾乘積逆運算（inverse of a Cartesian product, ICP） 及乘法逆運算（inverse of multiplication）。以下綜合 Siebert（2002）、呂玉琴等 人（2009）及 Sinicrope 等人（2002）的看法分項逐一說明五種分數除法類型的 定義。 （一）等分除（partitive division） 等分除可以視為「總量÷新單位數＝新單位量」（呂玉琴等人，2009；Siebert, 2002），例如「一盒月餅有 8 個，將3 4盒月餅分給 2 個人，每人可以吃多少盒月 餅？」在問題中3 4盒月餅是總量，分給 2 個人是「新單位數」，相除得到答案 3 8盒 就是「新單位量」，其中，因為要平分給 2 個人，所以是「等分除」。 （二）包含除（measurement division） 包含除可以視為「總量÷新單位量＝新單位數」（呂玉琴等人，2009；Siebert, 2002），例如「將31 2公尺長的緞帶每 3 8公尺剪成一段，共可剪幾段？」， 1 3 2公尺 是「總量」，3 8公尺是新單位量，答案 1 9 3段為「新單位數」，因為 3 8公尺是 1 3 2公 尺的一部分，所以稱這類型的問題為「包含除」問題。
（三）當量除（determination a unit rate）
一般我們將整數除法大致區分為等分除及包含除，但若推廣至分數的除法上， 這兩種分類不足以說明分數除法的意義（Sinicrope et al. , 2002）。例如：「 7 10公 尺長的鐵條重 14 公斤，1 公尺長的鐵絲重多少公斤？」這類型的問題可透過「14÷ 7 10＝20」的除法算式解題，但不易使用包含除的意義來解釋，因為 14 公斤不包 含 7 10公尺；又，將 14 公斤等分成 7 10份，用等分除的意義來解釋也有困難，因
18 為等分必定分成整數份。使用「當量」轉換的觀點，「 7 10公尺長的鐵條重 14 公 斤」，並不是將鐵條等分成非整數的 7 10份，而是以 1 公尺為單位，14 公斤的鐵絲 相當於 7 10份（單位）。故，當量除是指「當量值÷單位當量＝當量數」或「當量 值÷當量數＝單位當量」。
（四）笛卡爾乘積倒數（inverse of a Cartesian product, ICP）
Sinicrope 等人（2002）認為笛卡爾乘積倒數指的是，決定方形矩陣大小
（determining a dimension of a rectangular array），例子是「一個四邊形面積為 6 20 平方公分，長是3 4 公分，寬是多少？」且提供 6 20
÷
3 4的圖形表徵過程圖。如下 圖 2-2-1。 ↓ 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 ↓ 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 圖 2-2-1 圖解 6 20÷
3 4 (Sinicrope et al, 2002, p. 160) 1 步驟一 步驟三 步驟二 2 4 1 4 119 先畫出一個邊長 1 公分的正方形，將垂直的邊長分成 4 等份，並標註長度3 4 公分的位置（步驟一）；因為面積的分母為 20，故將水平的邊長分成 5 等份，使 得每塊小正方形面積是 1 20（步驟二）；由於面積 6 20平方公分是由 6 個 1 20組成， 可以看出長由 3 個1 4 組成，寬由 2 個 1 5組成，而得到答案 2 5 （步驟三）。 （五）乘法逆運算（inverse of multiplication） Sinicrope 等人（2002）認為乘法是除法的逆運算，所以分數除法是分數乘法 的逆運算，乘法逆運算的例子，如「調查 7 年級生午餐的喜好，48 位學生喜歡 吃 pizza，喜歡吃 pizza 的學生是喜歡吃沙拉的11 2倍，喜歡吃沙拉的學生有幾人？」 而可能的解法是─喜歡吃沙拉的人×3 2 =48（ 1 1 2化成假分數為 3 2
）
，若要解此題， 就要逆運算，原來式子是乘以 3 除以 2，變成除以 3 乘以 2。 本章第一節探討分數的意義就有五種以上，而 Sinicrope 等人（2002）歸納 出五種分數除法的類型，分數除法對國小學童來說是較抽象難以理解的（黃寶葵、 劉曼麗，2002），且從課綱及教材的順序來看，分數除法安排在六年級才學習， 足見分數除法需具備分數相關先備知識後才能進行學習的。本研究縮小研究範圍， 在題目的編纂上只採包含除及當量除的類型，雖只採取兩項分數除法的類型，但 在訪談學生時，也檢視學生對分數除法的這兩種類型是否有不同的看法。 二、分數除法的算則 兒童可以在連結整數除法和問題解法的真實情境下發展有意義的分數除法 觀念（Siebert, 2002）。Sinicrope 等人（2002）指出，我們必須知道分數除法的 文題類型為何、會形成哪些推理及會產生哪些數概念，才能知道什麼是分數除法 的意義。以下就 Feinhery（羅鴻翔譯，1980）、Sinicrope 等人（2002）、Sharp 與20 Adams（2002）及教育部（2003）的觀點逐一說明。 （一）Feinhery（羅鴻翔譯，1980）的觀點 Feinhery 認為在學習分數除法前必須學會四點：通分、在橫式中乘或除、用 橫式乘分數與帶分數及整數可以用分數表示。Feinhery 將分數除法區分成四種： 沒有餘數、有餘數、分子不能整除的及分母不能整除，並提供解題例子。 1.沒有餘數的分數除法：如例題「有3 4 公尺的帶子，每 1 4 公尺可做一個蝴蝶 結，可做幾個蝴蝶結？」在這問題中可用圖 2-2-2 的數線來表示，解法是3 4 ÷ 1 4 = 3 1 4 4 = 3 1=3，還可 以增進學生對3 4 ÷ 1 4 = 3 4 ÷ 4 1 乘除互逆的概念理解。 圖 2-2-2 沒有餘數的分數除法例圖（羅鴻翔譯，1980，頁 9） 2.有餘數的分數除法：算則如「5 8÷ 1 4 = 1 4 = 5 2 = 1 2 2」，可用圖 2-2-3 來 說明。從圖可看出5 8之中有 2 個 1 4 還餘 1 個 1 8，而 1 個1 8就是 1 2 個 1 4 ，故答案為 1 2 2
。
1 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 圖 2-2-3 有餘數的分數除法例圖（羅鴻翔譯，1980，頁 10） - - - - - 0 121 3.分子不能整除的分數除法：如例子5 6÷ 2 3 ，因這分數無法用除數的分子整 除，所以要通分，因此算式為5 6÷ 2 3 = = 1 =5 4 = 1 1 4（ 2 3 以 4 6 形式出現）。 4.分母不能整除的分數除法：因分母不能整除，故也要化成同分母，算則為 5 6÷ 1 4 = 10 12÷ 3 12=12 12 = 1 =10÷3=31 3
。
Feinhery 以分數除法中分母及分子是否能整除來區分分數除法算則的類型， 但深究其分數除法算則可發現，Feinhery 所提出的算則都以通分成同分母而成算 則。 （二）Sinicrope 等人（2002）的觀點 根據 Sinicrope 等人研究結果，不同的分數除法類型導引出不同的算則，分 數除法類型又包含：包含除、等分除、當量除、乘法逆運算及笛卡爾乘積倒數等 五種類型，Sinicrope 等人對五種類型的分數除法提出的算則如下： 1.包含除的類型：此類型的題目學生發展出同分母除法算則為 a c ad bc ad b d bd bd bc 。例如 5 1 5 3 8 1 5 3 8 3 8 3 8 3 8 1 。 2.等分除的類型：題目為等分數的算則有兩個，一是當分子可以被除數整除 時算則是a c b c b a ，例如4 2 4 2 5 5 ；一是當分子無 法被除數整除時算則是a c a b b c ，例如 3 3 2 5 5 2 。 3.當量除的類型：當量除情境發展的算則是 1 a a d ad ad b b c bc c c d bc d d c ，例如22 1 4 1 4 1 1 4 2 3 2 3 2 3 3 4 1 2 3 4 4 3 。 4.乘法逆運算的類型：算則是a c a d b d b c ，例如 3 1 3 2 4 2 4 1。 5.笛卡爾乘積倒數的類型：算則是a c a c b d b d ，例如 3 2 3 4 3 4 。 （三）Sharp 與 Adams（2002）的觀點 Sharp 與 Adams 提出兩種算則─顛倒相乘法和同分母法。 1.顛倒相乘法：是將除數顛倒，使被除數乘以除數的倒數，算則就是 a c a d ad b d b c bc，與 Sinicrope 等人（2002）提出的乘法 逆運算的算則一致。 2.同分母法：是將題目想成c d 可以從 a b 提出來幾次，所以將兩分數通分為同 分母使之成為ad bc bd bd ，對應的問題為 bc 可以從 ad 提出來幾 次，因此最後為ad bc，此同分母的算則為 a c ad bc ad b d bd bd bc ， 與 Feinhery（羅鴻翔譯，1980）提出的算則及 Sinicrope 等人（2002） 提出的包含除同分母除法的算則一致。 （四）教育部（2003） 教育部 92 年版課綱的分年細目詮釋沒有直接給予算則，而是以「一繩子長 1 1 2公尺，以一根長 2 5 公尺的木條去度量，要度量多少次？」為例。第一步先將 1 1 2化成 15 10， 2 5 化成 4 10，以 1 10公尺為共同單位，問題變成 15÷4 的問題，由此 得到的分數計算算則為11 2÷ 2 5 = 15 10÷ 4 10=15÷4= 15 4 = 3 3 4，與 Sinicrope 等人 （2002）提出的包含除同分母除法的算則同理；在理解除以某數等於乘以某數 的倒數後得到一般的分數除法計算方式，如27 4 ÷ 9 5= 27 4 × 5 9= 27 5 4 9 = 15 4 ，跟
23 Sharp 與 Adams（2002）提出的顛倒相乘法的算則同理。 以上文獻可知，分數除法的算則因題目類型及數字運用而有所不同，但研 究者在教學現場卻發現，當學生學完分數除法單元，幾乎都只使用顛倒相乘法 的算則，且部分老師也以顛倒相乘為分數除法學習的目標。Sharp 與 Adams （2002）指出，許多學生將顛倒相乘法與概念和意義脫離，因為學生沒有建構 乘除互逆的概念，也將顛倒相除法看成一種現有知識的重新組合，所以學生認 為分數除法就是沒有原因地要使用顛倒相除法。研究者依據上述分數除法算則 觀察學生在答題時使用的算則，驗證研究者在教學現場觀察到的現象是否屬 實。 三、分數除法的相關研究 黃寶葵與劉曼麗（2002）參考「國小分數與小數的教學、學習與評量」(呂 玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）一書編纂試題內容，選取高屏地區 6 所國小，每校 5 位六年級低成就學童，總計 30 位來自攜手計畫的學童進行紙筆 測驗。研究發現學童分數除法計算主要錯誤類型有：未將除數顛倒就相乘；整數 除以分子； 分母相同時分母不變，分子相除；大的分子(母)除以小的分子(母) 等四類。分數乘除法文字題主要錯誤類型有以下三種：單位多而錯亂、使用關鍵 字解題、受多於資訊的干擾。 顏宗斌（2005）以自編的學習單針對嘉義市某國小六年級學童，共計 131 人進行施測，並選取其中 2 名為訪談對象，研究目的在探討國小六年級學童在分 數基準化問題的解題活動類型與理解層次。研究發現 2 位訪談對象解題表現的關 鍵是圖形表徵能力的差異，表現較好的個案運用多元的解題策略：利用圖形表徵 協助解題、以代數符號紀錄題意並解題、利用等量公理解題、利用比與連比方式 解題。
24 謝淡宜（2008）對所任教班級學生共 29 人進行後設認知教學，利用課前及 課後學習單、課堂討論錄影及半結構式晤談，分析六年級學童分數除法概念建立 的歷程及成效。研究發現，課前以學習單提取學童的先備經驗，學習前後數學知 識是連結的，就較能使學習的轉移，進而抽象化出符號的演算，且學童在這樣的 學習過程中對分數除法也較能理解題意並推論出顛倒相乘的算則。 蔡典安（2014）採用準實驗研究法研究以單位量的概念為學習方式對六年級 學童進行分數除法教學之學習成效。研究對象為臺南市某國小六年級學童，研究 後對實驗組及對照組進行後測，並再一個月後進行延後測。研究結果發現，以單 位量的概念為學習方式對六年級學童分數除法學習具有良好的學習效果及良好 的保留概念，且以單位量的概念為學習方式可穩固學生分數的基本概念並提升學 生學習分數除法的效益。 Weinberg（2001）針對 387 個六、七年級的學生做施測，以診斷學童對分數、 除法以及兩者間關係的理解。施測分成四部分─寫下四種除法的方式，列出教學 順序；將比例的問題解題；寫出為何分數和除法關聯的理由；28 題有關分數、 除法、圖像、具體情境的選擇題。研究結果發現，六、七年級學生會使用乘法為 除法逆運算的觀念解題；學生在分數除法上較多是使用等分除的概念；有三分之 二以上的受試學生理解除法與分數間的關係；學生使用連減解決分數問題；學生 使用等式、等比策略來解題。 Ketterlin-Geller 和 Liu（2008）探討解題者利用放聲思考策略將解題過程口 語化以蒐集資料，並藉由訪談四名五、六年級學生解分數除法的解題想法。研究 結果發現學生的解題想法是因人而異，四位學生能正確回答分數乘法屬性，但卻 都無法正確回答分數除法性質，也都無法定義什麼是分數除法，對於分數除法的 認識都停留在最基礎，若要解分數除法變化題、使用策略或做延伸性思考，對四 位學生來說都有一定的難度。 以上文獻點出學童學習分數除法不同表現的可能性，本研究著重點在於了解
25 學童解題的想法，除了將本研究結果與文獻對照外，在訪談時加入「題目中哪句 話看不懂」的問句，更深入知道學童何以「看不懂」題目的原因，以期瞭解學童 分數除法的困難處。 四、本節文獻對本研究啟示 本節文獻探討了分數除法的類型、分數除法的算則，也探討分數除法相關研 究。探討分數除法類型時，為降低研究的複雜性，故只探討「包含除」及「當量 除」的問題類型；探討了分數除法的算則，據以檢視學童對分數除法是否真正理 解概念；最後藉由相關研究知悉學生分數除法迷思概念與錯誤類型，於施測前預 期學生的表現，使研究者晤談時更能抓住重點。本節的文獻可使研究者的研究及 分析更臻於完善。
第三節 分數教材
各版本有關分數教材順序的編纂，會因課程理念、能力指標與分年細目而有 所影響。本節對分數除法所依據的課程綱要中能力指標、分年細目及分數教材內 容進行相關分析。 一、分數相關之能力指標與分年細目 本研究的國小六年級學童是接受 92 年版課綱的九年一貫課程，故依據 92 年版課程綱要中數學學習領域的能力指標與分年細目，將課綱中有關分數學習的 指標整理成下表 2-3-1。數學學習領域將九年教育區分為成四階段，第一階段為 一至三年級，第二階段為四、五年級，第三階段為六、七年級，第四階段為八、 九年級。26 表 2-3-1 92 年版九年一貫課綱能力指標與分年細目表 能力指標 分年細目 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母 在 12 以內的單位分數，並比 較不同單位分數的大小。 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的 意涵。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之 「整數相除」的意涵。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之 「整數相除」的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分 數，作同分母分數的比較、加 減與整數倍計算，並解決生活 中的問題。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分 數，熟練假分數與帶分數的互 換，並進行同分母分數的比 較、加、減與非帶分數的整數 倍的計算。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分 的意義。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異 分母分數的比較，並用來做簡 單分數與小數的互換。 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數 的換算。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解 決異分母分數的比較與加減 問題。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數 的比較與加減。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計 算方法，並解決生活中的問 題。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及 計算方法，並解決生活中的問 題。
27 能力指標 分年細目 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標 記在數線上。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線 上。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍 數與兩數互質的意義，並用來 將分數約成最簡分數。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最 小 公 倍 數 與 兩 數 互 質 的 意 義，理解最大公因數、最小公 倍數的計算方式，並能將分數 約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及 計算方法，並解決生活中的問 題。 6-n-03 能理解除數為分數的意義及 計算方法，並解決生活中的問 題。 N-3-11 能熟練正負數的混合四則運 算。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合 計算。 在分年細目中可知，分數學習的教材安排學童從二年級開始就開始了初步的 分數概念；三年級學習同分母的比較與加減；四年級介紹平分的情境中「分數整 數相除」的概念，並且熟練假分數、真分數、帶分數互換，還要能進行同分母分 數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算；五年級要能在數線上標記分數、 利用約分擴分處理等值分數運算、進行異分母分數加減與比較，理解及解決生活 中分數乘法的問題；到了六年級加深至分數除法及分數四則運算；分數的基本認 識與學習幾乎已在國小完成。於分年細目中，與分數除法相關的細目指標從四年 級到六年級都有，藉此而知，至六年級學習分數除法單元，前置的概念發展與學 習經驗不是一蹴可幾的。 二、分數教材內容 現行教材雖有不同版本，然仍必須依據教育部制定的課程綱要及能力指標進 行編寫和審核，研究者將南一、康軒、翰林及部編四家版本各年級所應學習的分
28 數教材統整為表 2-3-2。 分數的學習從二年級下學期就編入教材中，以認識分母在 12 以內的單位分 數，並明定分數概念的學習情境為單位分數的內容物為單一個物；三年級要能解 決同分母的大小比較與加減問題；四年級熟練帶分數與假分數的互換後，要能進 行同分母的大小比較，並在理解等值分數後，進行簡單的異分母分數的大小比較 及解決異分母分數加減及整數倍的問題；五年級做通分、約分和擴分以進行異分 母分數加減和分數的乘法問題；六年級主要學習分數的除法及四則混和運算等多 步驟問題。分數教材是隨著學童學習心智成長及先備知識，教學目標逐年加深加 廣。 本研究以六年級上學期的分數除法之教學目標為依據，在試題的編纂上，縮 小分數除法的內容範圍，以異分母分數除法為主，以期了解學童異分母分數除法 的學習成效。 表 2-3-2 二至六年級分數教材之內容 年級 教學單元 教學目標 二下 分東西 分數 1.認識平分的概念及意義。 2.認識分母在 12 以內的單位分數。 三上 分數 認識分母在 20 以內的單位分數。 三下 分數的加減 解決同分母分數的大小比較與加減問題。 四上 分數 分數的加減和整數倍 1.認識真分數、假分數與帶分數。 2.進行真分數、假分數與帶分數的互換。 3.理解等值分數，在數線上進行簡單異分 母分數比較。 4.進行同分母分數的加、減及整數倍計算。 四下 整數、小數除以整數 1.做簡單分數與小數互換問題。 2.在平分的情境中，理解分數的整數相除
29 年級 教學單元 教學目標 的意涵。 五上 擴分、約分和通分 異分母分數的加減 1.利用約分、擴分處理等值分數的換算。 2.利用通分做簡單異分母分數的比較與加 減。 五下 分數的乘法 1.解決帶分數乘以整數、整數乘以分數、 分數乘以分數的問題。 2.察覺被乘數、乘數與積的關係。 六上 分數的除法 1.認識最簡分數。 2.解決分數除以整數、整數除以分數、分 數除以分數的問題。 3.理解被除數、除數和商的關係。 六下 小數和分數的四則運算 1.解決分數、小數的連加、連減和加減混 和多步驟問題。 2.解決分數、小數的連乘、連除和加減乘 除混和多步驟問題，並列成一個算式。 三、本節文獻對本研究啟示 從 92 年版能力指標與分年細目發現，二年級開始認識分數，一直到六年級， 每一年級都有分數的學習內容，因此得知，分數概念發展期從二年級到六年級逐 漸成熟，分數除法概念從四年級開始奠基，這些都非一時就可造就成的。各版本 間分數除法單元的教材中題目類型不一，教授分數除法概念順序、算則與策略也 不盡相同。而本研究以研究分數除法中異分母分數除法的部分，故採用 92 年版 課綱能力指標與分年細目為 N-3-03 之 6-n-03。
第四節 數學解題
從 1980 年代起迄今，數學解題一直是一個重要的研究議題，是當今教育主30 流（古明峰，1994；涂金堂，2007；吳昭榮、黃一蘋，2003）。教育部 92 年版課 程綱要提到數學外部的連則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、 溝通、評析諸能力的培養，也把「獨立思考與解決問題」列為十大能力指標之一 （教育部，2003）。數學是解題活動的產品，解題活動是數學物件的意義，數學 物件是指一個像具體事物一樣可以操作的數學概念（甯自強，1991）。本節針對 數學文字題、文字解題歷程、影響解題的因素、分數除法的解題策略與解文字題 的相關研究作探討。 一、數學文字題
數學文字題（Arithmetic word problems）是檢測國小學生解題技巧指標之一 （Hegarty, et al., 1992）。數學文字題是以文字的方式描述文題情境的數學問題， 解題者在解題時除了要將語文脈絡中數學運算符號連結，並轉譯成數學算式表徵， 執行運算到解題，使得解決數學文字題比一般數學算術來得難。 數學文字題的情境提供數學概念和運算與生活間的關聯，使數學具有解決生 活問題的意義（吳昭榮、黃一蘋，2003）。若細心體會生活，可以發現生活中處 處無不充滿著數學的氣息。涂金堂（2007）指出因為數學文字題是將日常生活的 實際生活情境融入到題目中，所以數學文字題是中小學課本中常出現的數學解題 類型。
Lewis 與 Mayer（1987）提出一致性假說（consistency hypothesis），分別以
一致性語言問題（consistent language problem, CL problem）和非一致性語言問題 （inconsistent language problem, IL problem）來說明比較量未知和參照量未知的 差異。解題者不需要將文字脈絡中的關係作轉換稱為一致性語言問題，反之則為
非一致性語言問題。例如：「小明有 20 元，小華比小明多 10 元，小華有多少錢？」
解法是「20＋10＝30」，問題文字敘述使用「多」字，解法則用加法，此為一致 性語言問題；「小明有 20 元，小明比小華多 10 元，小華有多少錢？」，解法是
31 「20－10＝10」，問題文字敘述使用「多」字，但解法卻是減法，此為非一致性 語言問題。 在李麗君、陳玟樺（2010）研究中發現，非一致性語言問題得答錯率顯著高 於一致性語言問題，非一致性語言問題的語意結構容易造成學生的理解困難。 Hegarty 等人（1992）指出，低正確率的學生常在非一致性語言問題中出現逆錯 誤（reversal errors）的現象，且這些學生需要花更多時間讀題，即使是對高正確 率的學生而言，他們也需要專注在非一致性語言問題和重讀題目。 兒童在語言方面有困難，解題表現也會不好，而成功的解題者要能理解題目 內容及數學語詞概念，還要有能分辨問題類型的能力，以選擇可用的程序和資料， 將問題表徵化來解題（古明峰，1999）。解題者是否能順利解題，深深的被語文 能力影響。本研究旨在探討學生解異分母分數除法的解題表現與解題想法，在編 纂研究工具時，會考量非一致性語言問題的影響，將題目盡量以生活化用語來呈 現。 二、文字題解題歷程 甯自強（1993e）認為教學的目的在於使兒童建構解題活動的類型，在兒童 尚未掌握解題活動類型前，其解題活動是個別的。又將解題活動分成三階段：感 覺活動、表徵活動及心智活動（1991）。感覺活動期時，學童必須以具體物為解 題；若兒童能以其他表徵代替具體物來解題，此為表徵活動；兒童解題時能在心 中進行解題活動，就是心智活動。利用這樣的區分是要確定兒童對學概念的理解 或兒童對數學物件的意義。解題者能否將文字符號正確表徵成數學符號，便是解 題的關鍵。以下說明甯自強（1991）、Polya（蔡坤憲譯，2006；Polya, 1945）和 Mayer（林清山譯，1983；Mayer, 1983）所提出的解題歷程。
32 （一）甯自強（1991）提出解題活動的過程 圖 2-4-1 解題活動過程圖（甯自強，1991，頁 49） 兒童在教師給予問題或是自己察覺週遭環境中的問題（情境），先將環境中 透過解釋活動選取顯著點（釋題），再依據解題者的經驗決定目標（設定目標） 並選擇具體的活動，加以實施來達成目標，即是解題活動。 （二）Polya 數學解題歷程模式（蔡坤憲譯，2006；Polya, 1945） Polya 在《如何解題》一書中提出解題活動分成四個階段： 1.了解問題：學生要知道問題裡的未知數、已知數和已知的條件是什麼，並 從不同角度來考慮這些條件，若需要輔助就畫圖，在此階段並 不預期一個確定的答案。 2.擬定計畫：解題過程最主要的就是構思出解題計畫。當找出已知和未知的 關聯性，知道需要有哪些計算、演算步驟或圖形才能求出未知 數，就是已經有解題計畫了。 3.執行計畫：謹慎地逐步把計畫付諸實現，並且檢視每一步驟，確定每一步 驟是正確的。 4.驗算與回顧：藉由回顧整個求解的過程，再次驗算答案，進而設想是否可 以應用在別的問題上。 （三）Mayer 的解題歷程模式（林清山譯，1983；Mayer,1983） Mayer 認為學習是學生主動的過程，學習效果取決於學習者如何處理接收到 情 境 釋 題 設定 目標 解題活動 （達成目標的活動） 解釋 解題 活動 不同層次的 解題活動
33 的訊息，Mayer 將解題歷程分為二步驟，問題表徵與問題解決，問題表徵又分為 問題轉譯和問題整合，問題解決分為解題計畫與監控及解題執行兩部分，說明如 下： 1.問題轉譯：解題者運用語言知識與事實知識，將問題的詞句轉變成心理表 徵，也將語文形式轉變為數學的形式，此階段解題者必須了解 已知的條件和解題目標。 2.問題整合：解題者需要有關解題的基模知識，將接收到的問題整合成連貫 有組織的結構，還要有分辨問題類型的能力。 3.解題計畫及監控：將問題分為幾個子問題，利用不同的策略知識逐步解題。 解題過程中解題者要能自我監控自己在解題計畫的哪一 個步驟。 4.解題執行：解題執行需要程序性知識，將計畫的結果運用計算的程序加以 解題。 本研究據以上三位學者提出的解題歷程模式為依據，擬定半結構式訪談大綱， 以期了解學生解題時「何以如此做？」，也檢視學生解題歷程是否與三位學者所 提出的解題歷程模式有相似之處。 三、影響解題的因素 若把解題看作是單純的「智力活動」，是一種錯誤，決心與情緒也扮演重要 角色（蔡坤憲譯，2006；Polya, 1945）。國外學者 Lester（1980）提出四個解題相 關因素、國內學者胡炳生（1999）提出七個解題相關因素，茲如後述。 （一）Lester（1980）四個解題的相關因素 1.問題本身：指的是問題本身的語法、型態、內容、結構…等。
34 2.個人特徵：不同解題者會有個別差異，包括個人認知、知識、基模、耐心、 情緒…等。 3.解題行為：包括組織及處理訊息的方法與能力、計劃與執行的能力、思維 的方式、監控解題的能力…等。 4.環境特徵：是外在的解題環境，包括教學、壓力…等。 （二）胡炳生（1999）七個有關數學解題的相關因素 1.數學知識：為解題的基礎，分為基礎知識及高層次知識。 2.數學解題方法：為解題基本手段，分為三層次─具體方法和技巧、數學通 用法則、數學解題的思考和策略。 3.數學思維：在解題的思維過程中應遵循的原則和策略，原則指的是熟悉、 簡單、多途化三原則，策略是化歸基本的、標準的數學題。 4.解題經驗：解題者成功與失敗的解題經驗都能對自身解題能力提升有幫 助。 5.邏輯：解數學題是一種邏輯活動，若想要解題活動有所成效就要合乎邏 輯。 6.興趣：一個人的思維與對解數學題的興趣，也會影響解題。 7.語文知識、社會生活知識與其他學科知識：數學文字題以文字呈現，文字 題情境與現實生活及其他學 科知識存有關連性。 影響解題因素有許多，本研究試著藉由訪談歸納六年級學生在解異分母分數 除法文字題解題的影響因素，以了解學童在解題時會遇到的挫折與困難，提供教 育者在教學上的參考。 四、分數除法的解題策略 李源順、胡蕙芬（2005）在分數除法的教學實驗發現，雖然實驗組後測的答
35
對率高於對照組，但答對率仍偏低，顯示分數除法的解題對兒童來說是較吃力的。 本部分說明 Huinker（1998）、Brendefur 與 Pitingoro（1998）和 Yim（2010）提 出學童分數除法策略。 （一）Huinker（1998）的研究 Huinker 指出學童會先探索包含除的問題情境再解決等分除的問題情境， Huinker 觀察學童在解分數除法時，學童會先模擬分數除法的問題情境再分享並 解釋解法的理由，當問題解決並討論後，就會用算式將問題記錄下來。Huinker 觀察到學生使用的策略如下： 1.包含除的策略 包含除的策略就是使用等分（grouping）的方法，題目是「Jim 有41 2條 糖果，他要給每位他的朋友3 4 條糖果，Jim 共可以分給幾位朋友？」，學生 Felisha 的解題方法如下圖 2-4-2。她知道她必須再重分，因此要將 1 條等分 成 4 等分，並將3 4 條圈一圈，使每個人分得 3 4 條糖果，結果共可以分給 6 位朋友。Felisha 在日記上寫說「把分數除法看成像是普通數字一樣分組」。 圖 2-4-2 Felisha 的等分法（Huinker, 1998, p178） 2.等分除的策略 如下圖 2-4-3，題目是「11 2條糖果要分給 4 個人，每人可以得到幾條糖
果？」學生 Daniel 等分除的策略是試驗和重分（check and rename），他先
試著每人分1
36 2 6 條，但會剩下 1 6條，最後再將一條等分成 8 等分，得到 12 8 條糖果，成功 將11 2條糖果分給 4 個人，每人得 3 8條糖果。 圖 2-4-3 Daniel 的試驗和重分法（Huinker, 1998, p179） Huinker 所觀察到的是，學童能利用圖形表徵方式解題，並透過等分法，以 及試驗和重分法進行分數除法解題。若學童能自行發展自己的策略及算則，學童 能更有彈性的選擇解題策略，並使口語、數學符號、象徵與真實生活經驗連結， 學童更能整合知識（Huinker, 1998）。 （二）Brendefur 與 Pitingoro（1998）的研究 Brendefur 與 Pitingoro 提出學生使用等比表格去解決分數除法問題。題目是 「11 4杯麥片要分給 4 個人，1 個人可以得幾杯麥片？」，從學生 Viviana 的等比 表格來看她的解題方法，等比表格如下圖 2-4-4。Viviana 將11 4杯麥片乘以 4，得 到 5 杯麥片，相同的，要將 4 個人乘以 4，得到 16 人，若要問 1 個人可以得幾 杯麥片，就將 5 杯麥片除以 16，答案為 1 個人可以得 5 16杯。 麥片杯數 11 4 5 5 16 人數 4 16 1
圖 2-4-4 Viviana 的等比表格法（Brendefur & Pitingoro, 1998, p.205） ×4
×4
÷16
