分數的意義及課程地位分析

第二節 分數的意義及課程地位分析

一、分數的意義

本研究主要目的在於透過「繪本故事情境」融入國小三年級分數概念的教學活 動，探究學童在此過程的學習成效、學習保留效果與學習情形；因此本節先從分數 的起源，其次是分數的重要性、分數的意涵，接著是兒童分數概念發展來探討分數 的意義。

(一)分數的起源

對史前人類的社會而言，自然數之概念使用已足夠；但當人類之間往來日趨 頻繁，隨之增加的交易與分配使自然數已不敷使用，遂逐漸發展出分數的概念(趙 文敏，1985)。

18 是用來命名等分割出來的量。 Freudenthal(1983)認為分數起源於「分割」一個物 件的活動記錄與結果，分數可以表現物件分割真實的情形。而國內的學者甯自強

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容易產生混淆的一個關鍵課程。而九年一貫數學領域課程綱要中也特別指出，學生 在小學畢業前，要能熟練小數與分數的四則計算(教育部，2003)。再者，九年一貫 課程綱要中亦提到，國小階段的數學內容中，「有理數」是小學的核心課程之一，

也是小學教育中，最有挑戰性的教學主題(教育部，2005)。並且，「有理數」教學 的困難，主要在於它牽涉兩種非常不同的表徵形式－分數與小數；學生較缺乏有理 數的前置經驗，而且日常生活中的有理數情境也比較少。至於分數的形式，是學生 首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面 整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤(教育部，2008)。由此可見，

「分數」對於小學生而言，是一個既複雜且重要的概念，其發展是學童未來學習許 多概念與技能的基礎與關鍵(李曉莉，1997)，會深深影響後續的數學發展(林碧珍，

1990)，故可見其重要性之端倪。

此外，過去也有許多研究(楊瑞智，2000；詹婉華，2003；Nabors, 2003)指出，

學童學習「分數」概念時，會產生許多困難。而李彥典(2008)與顏淑如(2008)的研 究也都呼應這樣的觀點，並且發現：國小三年級學童對「等分」概念以及「單位量」

概念普遍存在學習困難。因此，若能從學童在初學分數之時，即透過不同管道去詮 釋分數的相關概念，進而促進學童對於分數概念的理解應是可行之道。

然而，從 97 年九年一貫數學領域之課程發展來看，關於「分數」概念，小學 階段二年級學童所學習的是「分裝與平分」的概念；三年級學童則是學習「單位分 數」、「初步認識分數」、「同分母分數的比較與加減」的概念；至於四年級學童，

則開始學習「真分數、假分數、帶分數間的轉換」「同分母分數的比較與加減」、

「非帶分數的整數倍」、「等值分數」與「簡單異分母分數的大小比較」「用平分 理解整數相除的意義」等概念。

由此看來，三年級學童所學分數的相關概念，是分數的啟蒙；而分數概念包含 很多的子概念，如：等分概念、單位量概念、單位分數概念…等，這些子概念又可 分為「連續量」與「離散量」兩種不同的情境。所以學童在學習分數時，雖然花了

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很多的時間來學習，學習成效卻不彰。無論國內外的研究報告都指出學童學習分數 是困難的(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；蔡職鴻、劉曼麗，2012；Cramer, Post,

& delMas, 2002)。尤其對剛接觸分數的三年級學童來說，「分數符號」是非常抽象 的符號，而且是學童學習的全新概念。此時如果學童沒有建立清楚且正確的分數概 琴，2008；林碧珍，1990；楊瑞智，2000；Behr, Harel, Post & Lesh，1992；Behr, Lesh, Post & Silver, 1983)對於分數的意義，多主張分數具有多重的意義。研究者茲綜合 彙整如下表 2-2-1 所示：

Behr, Harel, Post & Lesh

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點所代表的數值；5.比的意義：是兩個集合(離散量)或兩個量(連續量)的比較結果；

6.運算子的意義：可視為是一種操作或函數。

林碧珍(1990)將分數的意義分成五種：1.部分/全體模式(全部區域的部分區域)；

2.子集合/集合模式(集合中的部分集合)；3.數線模式(數線上的一個數值)；4.商模 式(兩個整數相除的結果)；5.比值模式(兩個集合或兩個度量相比的結果)。

楊瑞智(2000)將分數的意義分成七種：1.部分/全體(連續量)；2.子集合/集合 (離散量)；3.乘法運算元；4.整數除法的結果(亦即商)；5.一個數/數線上的一點；

6.比值(含速率、密度)；7.機率。

Behr, Harel, Post & Lesh(1992)亦認為分數的意義有五種建構：1.部分/全體；

2.比；3.運算；4.整數除法的結果(亦即商)；5.測量。

Behr, Lesh, Post & Silver (1983)認為分數的意義包括：1.測量；2.比(含速率、

密度)；3.商；4.線性坐標(數線上的點)；5.小數；6.運算。

綜上所述，研究者認同多位學者所主張的，分數具有多重的意義。學者們普 遍認為，分數的意義包括：1.部份/全體；2. 子集合/集合；3.數(數線上的一個數)；

4.比值(含速率、密度)；5. 商(整數除法的結果)。而上述這些分數的意義，亦鋪陳 在小學各階段的數學課程之中(葉乃丰，2007)。其中「部份/全體」與「子集合/集 合」是在國小教材中最先出現的分數意義，所以對國小三年級學童而言，分數有此 兩種意義，茲說明如下：

1.部分/全體的意義

部分/全體的意義是將一個連續的整體(連續量情境)加以等分後的幾部分。

連續量是指物品須經過人為的切割，才能得到的分數量或小數量，如一條蛋糕、

一個披薩…等(呂玉琴，2008)。例如：小瑛把一條長方形蛋糕平分成 5 份，取其 中的 2 份是幾條蛋糕﹖可以透過具體操作或圖像表徵，找到部分與全體兩個量之 間的關係，且此部分與全體關係的掌握是分數概念是分數意義的主要內涵，即由 此一分數上的意義衍生了其他四個分數的意義。有許多學者(Behr et al.,1992;

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Kieren, 1993; Streefland,1991)認為「部分-全體」之有意義的建構，是分數概念學 習成熟的中心，而「部分-全體」的分數意義必需要能與平分的建構作有效的連 結，才是有效的分數學習。學童一旦不能掌握分數的部分/整體之關係，就會失 去概念性的理解來支撐所學。而且對於之後的分數學習，學童就很容易靠強記死 背來解題，等時間一久就易遺忘或混淆，接著便會產生一連串的錯誤或迷思概念 (蔡職鴻、劉曼麗，2012)。

2.子集合/集合的意義

子集合/集合的意義是將一集合(離散量情境)加以等分組後的幾組。離散量 是指物品不須經過人為的切割，透過一個一個的分配，即能得到的分數量或小數 量，如一盒鉛筆有 12 枝、1 箱有 6 瓶礦泉水…等。例如：一包糖果有 10 顆，小 銘吃掉 3 顆，是吃掉幾包糖果﹖由於分數必須在等分的前提下才有意義，因此假 設此處所指之離散物具有相同大小和性質。

國小學童對於分數概念的理解會影響未來數學學習的關鍵與發展(林碧珍，

1990；李曉莉，1997)。但由於現在國小階段分數已有多種複雜的意義，可見學童 在分數概念的學習上有諸多的困難(呂玉琴，1991)。因此，在分數啟蒙教學階段「部 分－整體」關係的意義中，如果未能建立良好的「單位量」概念，學童在其他分數 意義的「基準量」概念發展也會因此產生困難(魏麗枝、游自達，2007)。

(四)兒童分數概念的發展

瑞士心理學家 Piaget 指出學童的認知發展順序是漸進的。他以其所主張之兒童 認知發展理論，設計活動以研究兒童對分數概念的發展，結果發現，從知覺的部分

－整體關係和操作的細分之間有很大的差別。且 Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960) 曾對 3 至 8 歲兒童的分數概念發展過程做一系列的研究，研究結果有以下發現：(引 自李彥典，2008)

1.四歲到四歲半的兒童，對於要將一個物品分成兩半感到很困難，在分割之前，沒 有預先設想的計畫或基模(Schema)，對於不同形狀的分割，則以長方形較容易，

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圓形次之，正方形較難。此階段之最大特徵是缺乏部分和全體之間的關係，不會 發現到他所接觸的部分是另一個比較大的全體中所含的一部份。

2.四到六歲的兒童對於有規則的、小範圍的物品具有分為兩半的能力。但如果原來 的整體大小增加，那麼分成一半的能力便會延緩。此時期的兒童尚無法將物品分 成相等的三份，在分割圖形時亦是利用長方形比較容易解決。

3.六到七歲的兒童已能成功地將物品平分成三等份，而不必利用嘗試錯誤的方法，

但對於操作的了解，仍處於具體的層次。例如:分餅，在此階段的兒童具有整體性 的保留概念，因此能了解各個分割塊數所得之總量與整個餅是一樣的。

4.十歲左右的兒童會實施六等分的分法。他會先以三等分法分一個餅，再將此三塊 餅用二分法再分一次。

Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960)的研究亦發現兒童在了解分數運算之前，

必須具備下列七個子概念：

1.必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考。

2.一個分數包含各部份的限定數，分配東西時，各部份必須與接受者相對應。

3.子分割活動中，全體必須被全部分完，沒有餘數。

4.全體被切割成各部份的數與切割數間，有一個固定的關係。

5.分數的概念是指分割後的每一部份都是相等的。

6.當兒童操作了再細分的部分概念時，他們了解到此細分的部份是全體的一部份，

同時此一細分的部份本身也是一可再細分的全體。

7.因為部分的總和等於全體，其全體始終保持不變。

綜合上述文獻，分數是源於「分割」一個物件的活動記錄與結果，所以分數是 用來命名等分割出來的量(Freudenthal，1983)；且分數對於學童來說，是一個既複 雜又重要的概念，其發展是學童未來學習許多概念與技能的基礎與關鍵(李曉莉，

1997)，會深深影響後續的數學發展(林碧珍，1990)；有學者(Behr et al.,1992; Kieren, 1993; Streefland,1991)認為「部分-全體」之有意義的建構，是分數概念學習成熟的

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中心，而學童對於「部分-全體」的分數意義必需要能與平分的建構作有效的連結，

才是有效的分數學習；Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960)的研究發現，十歲左右 的兒童會實施六等分的分法，他會先以三等分法分一個餅，再將此三塊餅用二分法 再分一次，可見國小三年級學童正處於此階段。

二、國小三年級分數的課程地位分析

由於本研究是以小學三年級學童作為探究的對象，因此，本段將針對小學三 年級所涉及的分數概念內涵進行探討。首先，102 學年度的九年一貫課程綱把原本 92 課綱二年級的「分數」細目，在 97 課綱中移到三年級，並與三年級的「分數」

細目內容合併。茲將內容整理如下:

表 2-2-2 數學領域 92 課綱和 97 課綱在國小二、三年級分數的分年細目修正對照表

表 2-2-2 數學領域 92 課綱和 97 課綱在國小二、三年級分數的分年細目修正對照表