第二章 文獻探討
第三節 分數教與學的相關研究
本研究之研究目的在透過「繪本故事情境」融入國小三年級分數概念的教學 活動，探究學童在此過程的學習成效、學習保留效果與學習情形；因此本節針對 分數教學的相關研究和分數迷思概念的相關研究加以探討。
一、分數教學的相關研究
近年來學者對分數概念的學習逐漸重視，探究分數概念學習之相關文獻頗為豐 富，整理如下表 2-2-5：
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31 Moyer-Pa
ckenha &
Anderso 於文字題的問題整合有困難，而無法解題；Stamatia 與 Stella(2004)的研究發現學 童在分數概念之發展呈現三種類別：分數是兩個獨立的整數、分數是部分－全體之 概念和能分辨分子、分母，並理解分數可能小於、大於或等於單位分數；
Moyer-Packenha 與 Anderso(2012)的研究顯示，運用圖像表徵在靜態與動態之不同 方式下，對課室中的低成就學童的學習，兩組學童的分數概念前後測間均顯著改進，
而且無論在靜態組或動態組都提升了其學習成效。
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由上述分析發現，雖然等分概念是分數教學的啟蒙，但是部分中高年級的學童 仍然缺乏等分概念，鑒於等分概念是分數學習的基石，所以本研究將二年級下學期 所學的等分概念納入三年級上學期的教學實驗課程內容。此外，本研究教學課程設 計是以教科書為本，再加入離散量情境的問題，並讓學童實際操作等分和口語表徵 轉譯的活動。另外，林碧珍(1990)的研究發現，國小學童解數學文字題的能力比基 本的計算能力差，因此本研究的試題編製分為一般題和情境文字題兩種試卷，期能 了解繪本融入分數教學是否有助於學童對於解文字題的問題有所助益。
二、分數迷思概念的相關研究
許多國內外的研究(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；詹婉華、呂玉琴，2004；
陳靜姿，2007；Hart, 1981; Mack, 1998)指出，兒童在學習分數相關概念時，經常 產生困難，且學習成效不佳。尤其對剛接觸分數的三年級學童而言，「分數符號」
很抽象，很難跟自己的生活經驗連結，且對學童而言分數的學習也是全新的概念。
此時如果學童沒有建立清楚且正確的概念，將會影響到之後分數的學習，所以三年 級分數課程是奠定分數啟蒙概念的重要時期(蔡職鴻、劉曼麗，2012)。也有研究指 出：孩童對整數的想法會干擾到分數的學習(呂玉琴，1991b; 教育部，2007；Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984)。特別是三年級的學童剛從熟悉的整數概念和運算 進入到分數概念的學習，因為這兩者之間的差異易造成分數學習的阻礙。另一個造 成分數學習困難的原因是分數具有多重的意義，Dickson, Brown 和 Gibson(1984) 指出分數具有五種不同的意義，這些不同的分數意義造成了多變的分數問題情境，
學童面對這麼多不同的分數表示方式，因此也是造成學習分數困難的另一個原因。
茲將探究分數迷思概念學習之相關文獻，整理如下表 2-2-6：
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Bergeron & Herscovics(1987)和游政雄、呂玉琴(2002)的研究也指出兒童的等 分概念並不完備，如大部分的國小三年級學童在處理分數板之問題時，只注意到分 數板分割成的塊數，而沒注意到分割後的每一塊是否相等。黃靖瑩(2003)對全國國 小中年級學童進行分數概念的施測，發現在等分概念上有較多的學童對未等分的分 數問題有迷思概念。且有些學童會用字面上的意義去了解分數，認為幾分之幾是要 做「分」的動作，卻忽略分數是要對全體進行等分割的活動(林福來、黃敏晃，1993；
侯慧淳、楊瑞智，2011)，呂玉琴(1991)亦指出「部分/全體」分數的意義中，分割 後的每一部分都要相等，是相當重要的概念。Piaget, Inhelder 與 Szeminska (1960) 的研究發現學童在了解「部分/全體」的分數運算之前，必須具備七個子概念，「分 割後的每一部份都是相等的」是其中的一個。而 Columba(1989)亦指出等分概念在 連續量是把全體分為相等的部分，在離散量是將一堆分散的物體分成數量相同的子 集合。徐文明、張煌熙(2007)發現國小三年級學童在等分概念上，未能比較出等分 之後的每一份是否一樣大小。
(二)不了解分數的意義
分數符號對剛接觸「分數」單元的三年級學童來說是非常抽象的符號，而且分 數的形式是學童首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的 精熟，另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤(教育部，2008)。
蔡職鴻、劉曼麗(2012)的研究亦發現學童不了解「一個」分數的意義，其錯誤的情 形分成兩種：一是依分母的數值來選擇答案，二是依分子的數值來選擇答案，即答 案受整數系統之影響。而不了解分數的意義又分為忽略或混淆單位量和受整數之影 響視分數的分子和分母為兩個獨立的整數兩種類型，茲說明如下：
1.忽略或混淆單位量概念
分數概念之學習是學童第一次學習數學之中關於兩個量的相對比較關係，其 中的基準量就是單位量。例如「把一個圓形披薩平分成4片，那麼拿了其中的3 片可以說是多少個披薩﹖」此時之單位量是一個圓形披薩，學童需要知道一個和
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一片的相對比較關係才能正確解題，所以單位量的確認是處理分數問題的基礎。
也有研究指出學童缺乏單位量概念(Iwasaki & Hashimoto,2000)而且學童在解題 常會忽略單位量，此原因為學童不了解分數的意義所造成(Cramer etal.,2002)。
且單位量概念對於分數的學習非常重要，但一般學童的單位量概念並不穩固，常 常無法察覺問題之單位量的差異，即無法正確的指認出單位量(楊德清、洪素敏，
2003；溫世展，2011；Cramer,Post & delMas,2002)。
Figueras, Filloy, and Voldemoros (1987)及 Figueras (1989)將學童指認單位 量的困難分成以下三種類型(摘錄自呂玉琴，1991b)：
(1)忽略給定的單位量。例如，學童無法看出整個圖形是單位量，而將圖形二分為 著色部份及白色部份，並視分數為這二部份之比較結果。
(2)受分子控制。學童在解題過程只考慮到問題中的分子，深受其影響。
(3)受分母控制。學童在解題過程只考慮到問題中的分母，深受其影響。
2.受整數之影響，視分數的分子和分母為兩個獨立的整數
許多學童因不了解分數的意義之部分/全體關係，而受整數基模之影響，視 分數的分子和分母為兩個獨立的數，未將分數視為一個數(徐文明、張煌熙，2007；
游政雄、呂玉琴，2002；楊德清，2000；Behr, et al.,1984；Cramer et al.,2002)。
此迷思概念導致學童在進行分數相關問題之解題活動時，如分數的大小比較而產 生之迷思概念。
(三)等量概念不足
Behr, Wachsmuth, Lesh & Post (1984)之研究指出學童在進行同分子分數和同 分母分數和異分子異分母分數的比較問題時，會採取不同的解題策略。而國內學者 呂玉琴(1991b)亦發現學童在處理分數比大小的問題時會使用兩種不正確的方法解 題：一是依據分母的大小比較，二是依據分子的大小比較。
三年級學童在做分數比大小的題目時的迷思概念，依照分子相同與分母相同的 情況，可分成單位分數比大小(分子相同)和同分母分數比大小(分母相同)兩種型式
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探討。另外長方形的「等積異形」的問題，亦屬於等量概念不足，所以接續加以說 明。
1.單位分數比大小概念
單位分數是學童最早學習到的分數形式，亦是最簡單的分數形式。游政雄、
呂玉琴(2002)發現很多學童在做單位分數大小比較問題時，是根據分母的大小來 進行比較，而造成其解題錯誤，即普遍認為「N (分母)越大，
1
N
就會越大」。2.同分母分數大小比較
蔡職鴻、劉曼麗(2012)的研究發現當單位量相同，要求學童比較兩個具有相 同單位的同分母分數之大小時，雖然僅有少數學童出現答題錯誤，但是學童依舊 有迷思概念產生。
3.長方形「等積異形」的問題
國內學者呂玉琴(2009)在分數概念的啟蒙教學中，強調學童在分割長方形的 方式時，常會出現「等積異形」的問題，此時學童應學習不論怎麼分割，同一塊 蛋糕的
1
2
是一樣大的，但是一般學童常會受視覺之影響而認為不一樣大，此時可 以透過分割(操作)的方式，讓學童察覺。Armstrong, Barbara & Larson(1995)發 現以長方形表徵分數且要求學童比較分數大小時，加入分數符號與否，學童採取 的策略不同表現的結果亦有所差異。加入分數符號之後，採取部分/全部策略之 學童不但增加而且降低了整體錯誤率。而洪郁雯(2006)亦以小學三年級學生為研 究對象，探究具體表徵融入數學教學之學習成效。其中即應用色紙剪貼的方式，解決長方形之等積異形的問題，研究發現即使原來的正方形一樣大，但是學童因 為受圖形不同分法所產生的不同形狀之視覺所影響，而普遍會認為三角形和長方 形是不一樣大的，但是透過實作剪貼色紙的過程，和重新將色紙拼湊而成的圖形，
藉由如此的具體表徵，學童澄清了自我的迷思概念，並且發現原本一樣大的色紙，
不管怎麼平分，只要平分成的份數相同，那麼其中每一份的面積還是會一樣大。
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從上述相關研究顯示，學童在不同階段的分數概念學習時，都會產生一些錯 誤的迷思概念。探究其原因，多源於對分數的基本概念不理解而造成。因此，研 究者認為，應從分數的啟蒙教學開始，透過孩童實際或貼近的生活情境去闡釋「分 數」的相關概念，期能讓學童從基本的概念達到真正的理解，進而去解決相關之 程序性的運算問題。