國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：陳彥廷 教授
故事情境融入國小三年級分數教學之
學習成效研究
研究生：洪素琴 撰
中華民國一 四年一月
I
故事情境融入國小三年級分數教學之
學習成效研究
摘要
本研究旨在運用繪本的故事情境融入國小三年級數學領域的「分數」單元教 學，透過兩週6堂課的教學實驗，從學生的學習歷程、後測和延宕測實驗組與對照 組的比較，探究學生的數學學習成效。因此，本研究選擇臺中市一所個案學校三年 級兩班學生共54位(實驗組：27位；對照組：27位)作為研究對象。實驗組進行繪本 故事情境融入「分數」單元教學；對照組則進行傳統課室教學型式之「分數」單元 教學。本研究在研究過程中蒐集的資料包括兩組學生在進行教學實驗前的第一次評 量數學成績、教學過程的錄影帶、學童的學習單、研究者於每堂教學後的教學日誌、 教學後的分數概念學習成就測驗後測成績、延宕測成績。研究發現，經過繪本故事 情境融入「分數」單元教學後，運用繪本故事情境融入「分數」單元教學之模式能 促進學生對「分數」概念的學習。而教學過程中，實驗組學童的學習情形亦顯示其 對於故事情境融入數學教學的喜愛。此外，本研究亦針對學童在後測、延宕測的解 題表現進行分析，結果顯示，實驗組學童在「有故事情境試卷」之後測表現達顯著 性差異；而在「無故事情境試卷」和「有故事情境試卷」之延宕測表現皆達顯著性 差異。 關鍵字：分數、故事情境、學習成效II
Exploring the effect of learning by using story context in
"fractions" for grade three elementary school students
Abstract
The purpose of the current study was to explore the effects of integrating story contexts of picture books in “fraction” teaching of third graders’ mathematics. With an experiment implemented for six class sessions over two weeks, the study compared and discussed how the experimental group and the control group performed in the learning processes, posttest and retetion tests. Fifty four students were selected to participate in the current study, including 27 students in the experimental group and 27 in the control group. The experimental group received the fraction instruction which used story contexts of pictures books whereas the control group received
traditional classroom fraction instruction. The data collected involved the two groups’ first-term test scores before the experiment, video clips of teaching processes, students’ worksheets, the researcher’ teaching journals after each class session. The posttest scores of learning achievement in fraction concepts and retention test scores were also collected in the current study. The study results revealed that the integration of story contexts of story books in fraction teaching could improve students’acquiring the concepts about fractions. The experimental group showed their love for the way in which story contexts were integrated in mathematics teaching. In addition, based on the analysis of performances in the post-test and the retention test, a significant difference was found in the the experimental group’ performance in the test with story contexts. Two other significant differences were found both in the experimental group’s retation test without story contexts and that with story contexts.
III
目錄
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究背景與動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 名詞釋義 ... 5 第四節 研究範圍與限制 ... 6 第二章 文獻探討 ... 8 第一節 「繪本融入」教學的理論基礎 ... 8 第二節 分數的意義及課程地位分析 ... 17 第三節 分數教與學的相關研究 ... 28 第四節 繪本融入教學與相關研究 ... 39 第三章 研究方法 ... 47 第一節 研究設計 ... 47 第二節 研究對象 ... 55 第三節 研究工具 ... 56 第四節 資料蒐集與分析方法 ... 72 第五節 研究的信效度 ... 76 第四章 研究結果 ... 77 第一節 實驗組與控制組學童在實施不同教學後的學習成效比較 ... 77 第二節 實驗組與控制組實施不同教學後學習保留成效比較 ... 83 第三節 實驗組學童在故事情境融入「分數」單元教學的學習情形 ... 89 第五章 結論與建議 ... 110 第一節 結論與討論 ... 110 第二節 建議 ... 113 參考文獻 ... 115 附錄 ... 131 附錄一 繪本融入三年級數學分數單元教學活動設計 ... 131 附錄二 繪本融入數學分數單元後測試卷無情境試卷( A 卷) ... 146IV 附錄三 繪本融入數學分數單元後測試卷有情境試卷( B 卷) ... 148 附錄四 繪本融入數學分數單元延宕測試卷無情境試卷( A1 卷) ... 151 附錄五 繪本融入數學分數單元延宕測試卷有情境試卷( B1 卷) ... 153 附錄六 學習單 ... 156 附錄七 教學日誌 ... 162
V
表目錄
表 2-2-1 各學者對於分數意義的觀點 ... 20 表 2-2-2 數學領域 92 課綱和 97 課綱在國小二、三年級分數的分年細目修正對照表 ... 24 表 2-2-3 數學領域國小三年級分數的分年細目與對照之能力指標 ... 25 表 2-2-4 三年級上學期分數教學之活動名稱、教學目標與分年細目 ... 25 表 2-2-5 國小分數相關研究 ... 29 表 2-2-6 國小分數迷思概念相關研究 ... 33 表 2-2-7 國小繪本融入數學教學相關研究 ... 43 表 3-1-1 實驗處理表 ... 53 表 3-2-1 實驗組與控制組三年級上學期數學期中測驗平均統計分析 ... 55 表 3-3-1 研究工具內涵分析 ... 56 表 3-3-2 三年級上學期分數教學之活動名稱、教學目標與分年細目 ... 57 表 3-3-3 本研究設計的故事情境教學活動內涵 ... 58 表 3-3-4 「分數」概念成就測驗試題之雙向細目表(無故事情境 A 卷) ... 63 表 3-3-5 無故事情境 A 卷信效度分析，預試共 285 份 ... 66 表 3-3-6 「分數」概念情境文字題測驗試題之雙向細目表(有故事情境 B 卷) ... 69 表 3-4-1 資料蒐集方式與研究目的之對應表 ... 72 表 3-4-2 資料編碼說明 ... 75 表 4-1-1 後測「分數概念學習成就試卷」組內迴歸係數同質性檢定表 ... 79 表 4-1-2 後測「分數概念學習成就試卷」單因子共變數分析檢定摘要表 ... 79 表 4-1-3 「無故事情境」的「分數概念學習成就試卷」事後比較摘要表 ... 80 表 4-1-4 後測「分數概念情境文字題試卷」組內迴歸係數同質性檢定表 ... 80 表 4-1-5 後測「分數概念情境文字題試卷」單因子共變數分析檢定摘要表 ... 81 表 4-1-6 「有故事情境」之「分數概念情境文字題試卷」事後比較摘要表 ... 81 表 4-1-7 實驗組學童在分數後測試卷表現的得分情形 ... 82 表 4-2-1 延宕測「分數概念學習成就試卷」組內迴歸係數同質性檢定表 ... 84 表 4-2-2 延宕測「分數概念學習成就試卷」單因子共變數分析檢定摘要表 ... 85 表 4-2-4 延宕測「分數概念情境文字題試卷」組內迴歸係數同質性檢定表 ... 86 表 4-2-5 延宕測「分數概念情境文字題試卷」單因子共變數分析檢定摘要表 ... 86 表 4-2-6 「有故事情境」的「分數概念情境文字題試卷」事後比較摘要表 ... 87 表 4-2-7 實驗組學童在分數延宕測試卷表現的得分情形 ... 88 表 4-3-1 學童作答表現類型 ... 94 表 4-3-2 實驗組學童在繪本故事情境融入「分數」單元表現的綜合分析 ... 109VI
圖目錄
圖 2-1-1 雙重編碼模式(資料來源 Paivio,1986) ... 13 圖 2-1-2 表徵系統的交互作用模式(譯自 Lesh et al.,1987) ... 15 圖 2-2-3 國小三年級數學分數課程地位分析圖(虛線標示者為三年級分數單元內容) ... 27 圖 3-1-1 研究架構圖 ... 48 圖 3-1-2 研究流程圖 ... 50 圖 3-1-3 數學繪本融入分數單元教學流程圖 ... 52 圖 4-3-1 A04 學童作答表現 ... 91 圖 4-3-2 A08 學童作答表現 ... 91 圖 4-3-3 A06 學童作答表現 ... 91 圖 4-3-4 A18 學童作答表現 ... 92 圖 4-3-5 A04 學童作答表現 ... 92 圖 4-3-6 A25 學童作答表現 ... 92 圖 4-3-7 A04 學童作答表現 ... 97 圖 4-3-8 A10 學童作答表現 ... 97 圖 4-3-9 A22 學童作答表現 ... 97 圖 4-3-10 A16 學童作答表現 ... 98 圖 4-3-11 學童作答情形 ... 101 圖 4-3-12 S07 學童與作品合照 ... 101 圖 4-3-13 A14 學童作答表現 ... 103 圖 4-3-14 A05 學童作答表現 ... 103 圖 4-3-15 A20 學童作答表現 ... 103 圖 4-3-16 A25 學童作答表現 ... 103 圖 4-3-17 A08 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-18 A21 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-19 A22 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-20 A20 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-21 A14 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-22 A26 學童作答表現 ... 104 圖 4-3-23 A12 學童作答表現 ... 105 圖 4-3-24 A23 學童作答表現 ... 105 圖 4-3-25 A01 學童作答表現 ... 107 圖 4-3-26 A25 學童作答表現 ... 107 圖 4-3-27 A14 學童作答表現 ... 108 圖 4-3-28 A19 學童作答表現 ... 108 圖 4-3-29 A26 學童作答表現 ... 1081
第一章 緒論
本研究旨在探討將繪本的故事情境融入國小三年級數學領域的「分數」單元 的教學後學童之學習成效。本章共分四節，第一節研究背景與動機；第二節研究目 的與問題；第三節名詞釋義；第四節研究範圍與限制。第一節 研究背景與動機
國小階段的數學課程中，「分數」概念可說是學童從整數系的理解擴充到有理 數系認識的起源，它與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，而這些概念也都 是國小學童必須學習的重要概念(教育部，1993；詹婉華、呂玉琴，2004)。從九年 一貫課程綱要(教育部，2008)中數學學習領域的分段能力指標分析發現，在「數與 量」主題的 62 條能力指標中，有關分數概念的能力指標即有 10 條( N-1-05、N-2-09、 N-2-10、N-2-11、N-2-12、N-2-16、N-3-06、N-3-07、N-3-09、N-3-13 )，約占有 16.1%，此顯示「分數」概念在數學學習領域數與量的主題中，占有重要的地位。 這些年來，研究者任教中、高年級的二十年經驗發現，許多學童在學習分數概 念時，常常只是學會一般的機械式運算，例如：他們都能琅琅上口「分數相除只要 把除數分子分母顛倒，除號改成乘號」，但是，他們卻只能說出「五分之三是五份 中的三份」的分數意義。可見，許多學童對於分數的基本意義與概念並不清楚。而 許多國內外的研究(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；陳靜姿，2007；詹婉華、呂 玉琴，2004；Hart, 1981; Mack, 1998)也指出，兒童在學習分數相關概念時，經常 產生困難，且學習成效不佳。尤其對剛接觸分數的三年級學童而言，「分數符號」 是很抽象的，很難跟自己的生活經驗連結，且對學童而言分數的學習也是全新的概2 念。這時如果學童沒有建立清楚且正確的概念，將會影響到之後分數的學習，所以 三年級分數課程是奠定分數啟蒙概念的重要時期(蔡職鴻、劉曼麗，2012)。 而林碧珍(1990)也提到，學童如果無法理解「分數」概念，則國小階段以後的 數學發展將會受到阻礙。因此，研究者開始思考，或許可以透過不同的教學方式， 促進學童對於「分數」概念的理解，而不要讓學童落入只會機械式運算，「只知其 然卻不知所以然」的學習困境。過去研究也顯示，分數常是學童學習數學的絆腳石， 學童解題時，常會逃避使用分數(呂玉琴，1991；楊瑞智，2000，Greer，1987)。 學童為何學習分數有困難呢？已有研究指出：孩童對整數的想法會干擾到分數的學 習(呂玉琴，1991; 教育部，2007；Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984)。特別是三 年級的學童剛從熟悉的整數概念和運算進入到分數概念的學習，因為這兩者之間的 差異易造成分數學習的阻礙。另一個造成分數學習困難的原因是分數具有多重的意 義，Dickson, Brown 和 Gibson (1984)指出分數具有五種不同的意義，這些不同的 分數意義造成了多變的分數問題情境，學童面對這麼多不同的分數表示方式，因此 也是造成學習分數困難的另一個原因。
美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,NCTM, 2000) 在《學校數學課程原則和標準》 (Principles and Standards for School Mathematics) 中提到，使用表徵來模式化及詮釋數學現象，可以增進學生對學習內容的理解。 Lesh, Post 和 Behr (1987) 提出與數學學習有關的五種表徵，分別為實物、具體操 作物、圖像、語言與符號。而分數與小數、百分率、比、除法等概念之關係也十分 密切，所以學童學習時所面臨的情境解題變化很多，因此學生需瞭解各種表徵系統， 並透過表徵來呈現想法，例如圖像、符號、語言、實物與具體操作等。所以繪本也 可以融入數學的多重表徵，利用多重表徵融入數學分數教學活動，可以幫助學童從 各種不同的角度來意義化問題情境，以及建立各個表徵之間的聯結，有助於分數概 念之學習(張熙明、楊德清，2006)。
3 兒童故事書有助於兒童數學學習，並且提出實際執行的觀點。美國數學教師協會 ( NCTM, 2000 )也指出，故事書的閱讀對於促進兒童數學的學習扮演重要的角色。 愛聽故事，是人類的天性，全世界的人皆是如此。故事對於學童來說具有很大的吸 引力，並且能帶給他們快樂，學童對故事更是百聽不膩，即使是講述閱讀過的故事， 無論經過幾次的閱讀或聆聽，除了更加熟悉外，每次總會有新的認知與感受，且一 本愈有趣的圖畫書，愈能深刻留在記憶中(林真美，1999)。而河合隼雄(2005)指出 教學之首要任務是在於能否引發學生的興趣與注意，而繪本就具備這樣的特質。鍾 靜(2012)亦認為雖然圖畫書(繪本)之內容不一定可以完全代表真實生活情境，但卻 是數學素材與生活連結的橋樑，它不但能讓兒童在腦海中產生真實情境，更能讓兒 童感知數學知識與能力是可以運用於日常生活之中的。由此可見，運用故事情境融 入數學的學習，是促進兒童對數學理解的管道之一。 林碧珍(1990)的研究發現國小學童解數學文字題的能力比基本的計算能力差， 尤其數學學習低成就的學童只能勉強閱讀題目，但卻不了解題意。而 Muth(1991) 亦指出，對於文字題中的無關訊息，學童常會誤認為文字題的所有訊息都會被使用， 因此造成學童對於文字題的問題整合有困難，而無法解題。由此可見，數學文字題 涉及的認知歷程極為複雜，而且數學中的文字題牽涉到的不只是數學的基本運算能 力，還涉及到學童的概念理解能力，而對國小學童而言，是相當困難的題目。 由上述可知，繪本不但具有多重表徵，可以幫助學童由不同的角度來意義化問 題情境，亦是數學素材與生活連結的橋樑，能讓學童感知數學是可用在日常生活中 的，所以繪本融入數學教學是可行之途徑。且國小學童解數學文字題的能力不佳， 本研究希望透過繪本故事情境，提升學童在文字題之學習表現。 本研究應用繪本在數學教學上，希望透過繪本故事情境讓學童能解決生活中的 數學問題，此亦呼應到數學文字題的解題精神，及九年一貫數學課程重視兒童認知 發展層次與生活經驗的連結，強調有意義的學習(教育部，2008)。所以研究者希望 透過故事情境提升學童文字題的解題能力。因此，本研究期望透過教學實驗，以「繪
4 本」故事情境鋪陳上課情境脈絡，經由教師布題引導學童思考分數相關概念。再以 研究者自編的三年級數學「分數學習成就測驗」進行無情境的分數概念學習成就和 有故事情境的分數概念情境文字題兩份試卷後測，6 週後再施以無情境的分數概念 學習成就和有故事情境的分數概念情境文字題兩份試卷延宕測，以探究實驗組與控 制組學童在分數學習的學習成效和保留效果，並比較其在學習分數概念之學習成效 差異。期能對國小中年級教師從事分數教學及設計分數教學活動時有所幫助。
第二節 研究目的
基於上述研究動機，本研究擬運用繪本的故事情境融入國小三年級數學領域的 「分數」單元教學，透過兩週6堂課的教學，實驗組實施「繪本故事情境融入分數 單元教學活動」；控制組實施「以教科書為主要教材的分數單元教學活動」，研究 者自行設計繪本故事情境融入數學分數單元教學，再以分數單元學習成就後測測驗 (分為無故事情境的分數概念學習成就試卷及有故事情境的分數概念情境文字題試 卷)和延宕測驗(分為無故事情境的分數概念學習成就試卷及有故事情境的分數概 念情境文字題試卷)作為評量工具，從實驗組學生的學習歷程、實驗組與控制組的 後測、延宕測比較，探究學生在本研究所鋪陳的「繪本故事情境融入分數單元教學」 之學習成效。據此，提列本研究之目的如下： 一、比較實驗組與控制組學生在繪本故事情境是否融入「分數」單元教學後的學習 成效。 二、比較實驗組與控制組學生在繪本故事情境是否融入「分數」單元教學後的學習 保留效果。 三、探討實驗組學生在繪本故事情境融入「分數」單元教學中的學習情形。5
第三節 名詞釋義
一、國小三年級學童
本研究所指的國小三年級學童是指 102 學年度就讀於臺中市某國小的三年級 學童。二、繪本融入數學教學
本研究所指的「繪本融入數學教學」是指研究者根據 102 學年度翰林版之數 學教科書第五冊第九單元之教材內涵，運用繪本《噢!披薩》和《門鈴又響了》之 故事情境，融入此單元的「分數」概念進行教學設計，並以教師自編之繪本融入教 材進行教學，佈題的內容依序是繪本情境、改編繪本情境和課本例題的上課方式。三、分數概念
本研究所指的分數概念包含平分、認識分數與單位分數(分母只用小於 12 的 數字)、分數數詞序列數數(和 1 等值的分數)、同分母分數大小比較和解情境問題， 每種概念皆包含連續量和離散量的情境。四、一般傳統教學
本研究所指的一般傳統教學是以坊間教科書為本所進行之講述式為主的教 學。五、分數學習成效
本研究是以受試者在研究者自編的三年級數學之「分數學習成就測驗」成績， 作為其在分數學習的學習成效。學童答對題數愈多，表示學習成效愈好，反之成效 愈低。6
六、學習保留成效
本研究所指的學習保留成效是指學童在研究者自編的三年級數學之「分數學習 成就測驗」延宕測成績，得分愈高表示學童之學習保留成效愈高；反之成效愈低。第四節 研究範圍與限制
鑑於本研究期望在國小三年級分數單元中，運用繪本融入教學活動設計並實 踐，以探究學童在此過程的學習成效。茲提出本研究之範圍與限制如下:一、研究範圍
囿於時間與人力之限制，本研究以臺中市北屯區某國小三年級一個班的學童， 施以繪本融入教學活動，並以自編數學之分數學習成就測驗為評量工具，探討實驗 組與控制組之學習成效。二、研究限制
(一)研究對象本研究僅限於臺中市某國小三年級兩個班的學生，以三年級上學期數學期中
評量平均成績，選定較接近的兩個班級為實驗組與控制組，所以研究結果僅為兩班 之現象，雖具參考價值，但不能過度推論。 (二)教學範圍本研究所進行的「繪本故事情境融入分數單元教學」之範圍是植基於教育部
7 公布之《國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要》中，三年級學童在分數單元 學習之能力指標，再參考 102 學年度翰林版所編製之數學教科書第五冊、習作及 教師手冊所進行的課程規劃與設計。本研究所指的分數概念包含平分、認識分數與 單位分數(分母只用小於 12 的數字)、分數數詞序列數數、同分母分數大小比較和 解情境問題，每種概念皆包含連續量和離散量的情境。 (三)研究時間
鑑於時間與人力之限制，本研究是以 102 學年度翰林版所編製之數學第五冊
教科書中分數單元教材而設計，教學時間為每週 3 節課，為期兩週，因此共進行 6 節課。8
第二章 文獻探討
由於本研究主要在運用「繪本故事情境」融入國小三年級分數概念教學，以 探究學童在此過程的學習情形與學習成效。因此，本章文獻探討共分為四節：第一 節，論述「繪本融入」教學的理論基礎；第二節，探討分數的意義及分數的課程地 位分析；第三節，分析有關分數教與學的相關研究；第四節，則分析繪本融入教學 與相關研究。第一節 「繪本融入」教學的理論基礎
學習是一連串的過程(Sidman,2010)。人類的學習極其複雜，無法使用單一的 學習理論來解釋。而繪本故事情境融入數學概念的教學是一種知識建構的歷程，其 涉及的理論基礎包括建構主義、多元表徵理論以及強調與生活連結的真實數學教育。 所以，本節茲針對繪本故事情境融入數學教學的相關理論基礎加以探討。
一、建構主義
建構主義是在解釋「知識和學習」的一種理論模式。而建構教學所主張的是把 教學過程的重心由教師轉移到學習者，以學習者為主體，所以建構主義強調下列三 個意義(張靜嚳，1996)： 1. 知識是學習者主動去建構的，不是被動的接受或吸收。 2. 學習者用自己的經驗在建構自己個人的知識，個人所建構的知識只是用來讓個 人的經驗得到較合理的解釋，而使他們更能適應其所生活的環境，目的在於思 考與瞭解，而不是記憶事實或真理。9 3. 個人所建構之知識的意義是需要與別人討論而不斷的加以調整而形成之共識， 且會受到當時文化與社會的影響，並非只是單向的建構。 因此建構主義著重兒童對知識的主動建構與互動分享，教師的角色由傳授者轉 變為協助者。在教學的過程中，強調學生、老師與社會三者互動之關係，教學活動 的設計以學童為主，讓學童能主動學習與參與，藉著學習過程獲得新事物，並透過 同化和調適去建構新知識。因此，建構教學不同於傳統教學只強調學習的結果成就， 而是注重學習的過程。所以主張把知識學習的重心放在認知的主體「學習者」之上， 強調主體在認知過程的主動建構，不刻意探討知識內容的問題(朱則剛，1994)。 從建構主義的觀點來看，知識不但是由主體內在所建構，同時也受到情境的影 響，調節新舊經驗的衝突，去建構新的意義。Piaget 認為個體的認知發展著重在主 體同化、調適與平衡的認知發展，Vygotsky 和 Bruner 則以社會建構的觀點，強調 知識建構的文化層面(引自張春興，1996)。 因此以建構主義的觀點來看，在閱讀上兒童所扮演的不再只是看得懂文章或故 事內容，而是在閱讀之過程中，透過自己生活中的經驗與情感，去跟文章或故事產 生互動與交流，進而主動建構出個人的意義。所以繪本運用在教學上，其內容是一 種經驗的傳達，透過這樣的經驗，學生可以主動去建構繪本中要傳達的知識，並與 自己的生活產生連結。 以下分別就 Ausubel、Piaget 和 Vygotsky 的學習理論加以說明： (一)Ausubel 的有意義的學習理論 Ausubel 認為在良好的教學情境中，學生才能理解符號表徵的知識內容，進而 提高能力，才屬於有意義的學習(李小融，2003)。Ausubel(1968)亦認為先備知識 是影響學習最重要的一個因素；沒有先備知識，學習不可能發生；有了先備知識， 還要看概念正確與否；正確的概念有助於理解，錯誤的概念有礙於學習，但真正深 刻的學習也是來自於錯誤及發現錯誤。所以任何教學的首要原則就是，確認學生的 先備知識是什麼，然後再據此教之才能發生有意義的學習，即唯有配合學童能力與
10 經驗的教學，才能使學童產生有意義的學習。 (二)Piaget 的認知發展理論
Piaget 的理論有認知發展的過程和認知發展的階段兩部分(Huitt & Hummel, 2003)。他認為個體在面對學習時會透過同化(assimilation)與調適(accommodation) 兩種方式，達成認知平衡。基模(schema)是人類認知發展的基本單位，也是個人同 化新訊息和產生訊息回憶的既有認知結構，人們透過基模作用，主動建構文章之理 解；而同化是指個體改變既有的認知基模去適應新環境之要求，而達到目的；調適 則是指個體主動調整自己既有的認知基模，去適應環境要求的心理歷程(張春興、 林清山，1992)，即利用既有知識去推演類化而產生學習。 Piaget 也提出兒童認知發展的四個階段：感覺動作期(0-2 歲)、前運思期(2-7 歲)、具體運思期(7-12 歲)和形式運思期(12 歲以上)。此四個階段之認知發展是循 序漸進的，無法跳躍，即認知發展的順序不變(Biehler & Snowman, 1990；陳李綢、 郭妙雪，1998)。許瑛玿、洪榮昭(2003)和陳李綢、郭妙雪(1998)亦指出 Piaget 認 知發展階段的「具體運思期」階段有以下特徵：具有守恆和可逆的概念、有清楚的 邏輯思考能力且能依物體的屬性來分類，而非單以物體的外型作分類依據。本研究 之研究對象為國小三年級學童，其認知發展正值需要藉由表徵(圖像、操作)強化學 習之具體運思階段。 (三) Vygotsky 的社會建構理論
Vygotsky(1978)提出社會建構理論(social development theory)，認為人類的學 習與理是解源自於一連串的人際心理與自我心理的心智運作歷程。且強調社會、文 化、語言等互動行為，對於學童之認知發展影響深遠，是促進學童學習的重要因素 (張春興，1995；張世忠，2000；李美芳、黃立欣譯，2009)。 Vygotsky 也提出學生的學習與發展有兩種水平，一種是真正發展水平，即學 生已建立之現有水平；另一種是潛在發展水平，即經由教師引導或與同儕中較有能 力者一起解決問題的過程，使學童達到更高層次的水平，兩種水平間之差距，即為
11 該學童的可能發展區(ZPD)。在發展可能發展區的過程中，別人所給予學童的協助， 稱為鷹架作用(scaffolding)。「鷹架」被喻作暫時性的支持學生，直到學生能自行 學習，這也是教師應扮演好之角色。 Vygotsky 發現人際互動對認知發展有深遠的影響，藉著成人或能力較高的同 儕幫助，學童能夠處理一些比較複雜而不會處理的問題。在教學的過程中教師的任 務是為學童搭起鷹架，而在提供之前，教師必須了解學習者是否具有足夠的先備知 識，以協助其達到教學目標。
二、多元表徵理論
表徵(representation)是人類學習之重要媒介，藉由「表徵」作用，個人才得以 理解外在世界、簡化思考過程並進行運思，進而與他人溝通(游自達，1995)。在認 知心理學上，「表徵」是指於訊息處理之過程中，把訊息編碼轉譯成另一種形式， 以進行儲存或表達的歷程(張春興，1989)。蔣治邦(1994)指出「表徵」是藉由某一 種形式，把心中的想法或事物重新表現出來，而達到溝通的目的。 美國數學教師協會(NCTM,2000)在《學校數學的原則與標準》(Principles and Standards for School Mathematics)中提到，使用表徵來模式化和詮釋數學現象，可 促進學生對學習內容的理解，意即幫助學生呈現解題方法與理解之情形，而且有助 於自我了解或是與別人溝通想法，也能幫助學生重組相關概念間之關係的連結，並 應用數學解決真實世界的問題。並且在師生的互動過程中，教學者若能運用表徵來 幫助學生理解數學概念，且學生透過表徵來傳達其所內化的數學概念，當然教學者 也可以從學生的表徵來檢視其數學理解的情形(English & Halford , 1995)。國小的分數向來是較難理解的教材，其原因在於分數的學習需要把具體操作轉 變為抽象的概念，因為學童常無法將現實世界中完整的物品切割成分數的型式。 Bruner(1966)認為，認知發展的歷程也就是形成表徵系統的過程，可將學習分為三 個循序漸進的發展歷程，包括動作、圖像與符號表徵系統。而 Lesh, Post 和 Behr
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(1987)提出與數學學習有關的五種表徵，分別為實物、具體操作物、圖像、語言與 符號。而且分數與小數、百分率、比、除法等概念之關係亦十分密切，所以學童學 習時所面臨的情境解題變化很多，因此學生需瞭解各種表徵系統，並透過表徵來呈 現想法，例如圖像、符號、語言、實物與具體操作等(Behr, Wachsmuth & Post, 1988; Lesh, Behr & Post,1987)。由此可知，繪本也可融入數學的多重表徵。多重表徵融 入分數教學活動後，可以幫助學童從各種不同的角度來意義化問題情境，以及建立 各個表徵之間的連結，有助於分數概念之學習(張熙明、楊德清，2006)。 有些學者(楊德清，2000a；NCTM, 1989, 2000)主張抽象觀念是建立在實際的 生活經驗上，所以兒童藉由實際的操作經驗，可增強其心理的認知和圖像的表徵， 進而發展成為抽象的概念。張熙明、楊德清(2006)亦指出教師在進行分數教學時不 能只有偏重算則與解題程序，且應同時兼具學童的思考與理解能力之發展，並能善 用多重表徵的教學方式，如圖表、具體物、抽象符號…等等，來幫助學生能從各種 不同的角度來意義化問題情境，和建立各個表徵間的連結。 因為表徵具有系統性、多義性和多樣性(蔣治邦，1997)，所以各個研究者在分 類上各持有不同的觀點，以下針對三種研究上較為常用的觀點加以說明： (一)雙重編碼理論 Paivio 在研究名詞(Noun )的記憶能力表現中發現，具有形體的名詞較抽象名 詞更容易喚起記憶。這項發現在後續的研究中更逐漸證實人類的認知能力包括「語 文」及「圖像」兩部分，因而發展出目前正廣泛應用的雙碼理論(Dual Coding Theory)。 Paivio(1986)提出雙重編碼模式，他指出當人類在學習時有兩套處理不同類別 資訊的系統：「語文」及「非語文如圖像」這兩個系統，如圖 2-1-1 所示，語文系 統在接受語文方面的刺激，會將此資訊表徵化(具像化)，並將其進行編碼後，儲存 至文字記憶區；而非語文如圖像系統則處理視覺化資訊，會將圖形表徵化(具像化)， 將其進行編碼後，再儲存至圖像記憶區，也會在所對應的語文記憶區中留下一個文
13 參照 連結 字性的對照版本。此將語文與非語文如圖像兩種系統所呈現的資訊連結在一起，就 是「參照連結」(referential connection)。 圖 2-1-1 雙重編碼模式(資料來源 Paivio,1986) Paivio（1971）提出人類的圖像系統比語文系統有較佳的處理能力，而且 在觀念的呈現方式是透過這兩種系統同時呈現，會比只利用其中一種呈現方 式的效果還要好。而學習者的學習成效是依「文字編碼」、「圖像編碼」、 以及「參照連結」等三種連結所建立之品質而定。Mayer & Sims（1994）也 發現：文字資訊與視覺資訊同時呈現比先後呈現更能有效的幫助建立“參照 連結”而提昇學習效果。因此，以雙重編碼理論觀點來說，學習者需要同時 使用「語文系統」與「圖像系統」來有效的處理資訊，若能促進此三種連結 之建立，就能有效提昇學習的成效。 感官系統 語文刺激 非語文刺激(圖像) 具 像 的 連 結 語文的回應 非語文的回應(圖像) 非 語 文 系 統 語 文 系 統 logogens imagens 聯 想 的 架 構 聯 想 的 架 構
14 (二)Bruner 的表徵理論 Bruner(1966)認為認知發展的歷程就是形成表徵系統的過程，他提倡了表徵系 統，認為學習分為三個循序漸進的發展歷程，包括動作、圖像與符號表徵系統。 1.動作表徵(enactive representation)時期：學童是藉由動作反應或是操作的經驗來了 解外在的世界，即個體需透過具體物的操作來達成運思。例如：花片的操作或點 數。 2.圖像表徵(iconic representation)時期：學童是藉由在感官內留下的圖像或是心像 (mental image)來了解外在的世界，是一種由觀察中學習的經驗，而「心像」是 指外在實物之影像，即使具體物消失，在學習者腦中仍留有心像。例如：用畫圈 圈來代表花片的點數。 3.符號表徵(symbolic representation)時期：此期的學童可以透過語言符號來代表外 界和自己的想法，是一種由思考中學習的經驗，而符號與心像不同，其與實物之 外形並無相似之處。例如：5 6。 所以 Bruner 主張學習的過程是由操作具體物的動作表徵，再進入圖像表徵， 待運思成熟後，最後進入能以符號代表知識的符號表徵，此時才表示學童之認知能 力已達最高層次。 Bruner 亦提出「發現學習理論」，強調由學生主動探索的學習，認為從事象的 變化中發現其原理原則，學生經由自己的探討所發現的關係比強加記憶得到的知識 更容易記住與使用，所以教師應引導學生自行發現才是有意義的學習。 (三)Lesh 等人的多元表徵理論 國小的分數向來是較難理解的教材，其原因在於分數的學習需要把具體操作轉 變為抽象的概念，因為學童常無法將現實世界中完整的物品切割成分數的型式。一 般而言，Bruner(1966)指出用動作表徵、圖像表徵和符號表徵三種方式呈現。而 Lesh(1987)在其研究中建議將此三種表徵模式延伸成五個表徵類別，如圖 2-3-1。
15 圖 2-1-2 表徵系統的交互作用模式(譯自 Lesh et al.,1987) 1.real scripts (實物)：用真實生活的情境或物品，來表示問題中的情境與內容。例 如： 披薩。 2.Manipulative model (具體操作物)：透過具體的操作物來學習新概念。例如：圓 形分數板。 3.static picture (靜態圖像)：用靜態的圖像來表示。例如： 。 4.written symbols (書寫符號)：用數學的符號或算式來表示。例如：1 4。 5.spoken language (語言)：用口語來表示概念或解題之過程。例如：四分之一。 Lesh等人所著重的是「表徵之間的關係」，並將這些表徵間之關係稱為「轉換 (translations)」，每一個轉換對學生而言就是一個概念的重新詮釋。Lesh、Behr 和 Post 認 為學 生必須具 有以下三 個條件才 可算是了 解一個概 念 (引自 呂玉琴， 1991a)： 1.學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間。 2.在給定的表徵系統內，必須能很有彈性的處理這個概念。 3.必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。 static picture 圖像 Manipulative model 具體操作物 written symbols 符號 real scripts 實物 spoken language 語言 如 披薩 如 如 如 四分之一 如 圓形分數板
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蔡職鴻、劉曼麗(2012)以國小三年級數學低成就學童為研究對象，指出學童極 不易在分數的表徵之間進行轉換。而在教學現場，學生在各種表徵之間的轉換有時 會出現困難，教師必須使用不同的表徵來協助學生建立新概念並連結舊經驗，才能 讓學生將「具體表徵」抽象化，進而推論出「算則」。
Lesh, Post & Behr(1987)亦指出學童要能用不同之表徵表現出同一概念，或能 在表徵間自由轉換，才算是真正掌握了解了數學概念。而國小的數學教育，我們應 先重視概念的理解，再引導學童把具體操作物、圖像、符號與語言四種表徵做有意 義的連結。因此，研究者對於學童分數的學習，是透過不斷的提供學童練習的機會， 讓學童能在分數的四種表徵間自由的轉換，期能幫助學童建立正確的分數概念，進 而提升學童分數之學習成效。
三、真實的數學教育
荷蘭的真實數學教育(Realistic Mathematics Education，簡稱 RME)主張數學「是 一種人類的活動」，而且數學「必須與學生的真實生活情境聯結」，是從做數學中 而獲得的(Freudenthal,1971)。且主張數學是人類的解題、尋求問題的活動和組織材 料的活動，所以，數學是幫助學習者與周遭環境產生意義的一種工具，而真實情境 是學習數學的起始點。亦主張一個數學題目是否能促進學生進行數學化的思考，在 於其真實的程度，所以情境在於幫助學童利用自己的經驗和知識，進行數學化的思 考，因此情境若能與學生的真實生活越貼近，越有利於學生進行數學化的思考，數 學學習越有效。
Van den Heuvel-Panhuizen (2000)提出其進一步的觀點：
1.數學必須與現實世界連結，跟社會有關而且貼近學童的生活經驗，並強調數學是 一種人類的活動，所以數學課應給予學童引導，藉由操作創造數學。
2.「水平的數學化」與「垂直的數學化」：水平的數學化是提供學童在真實生活情 境中，幫助其組織和解題的工具，從生活進入至符號的世界；而垂直的數學化是
17 在符號的世界內，數學本身自己內部改造之過程，如果個人將數學化置於心中， 就可產生不同的理解層次。 3.提供學童所能理解的解題情境：學童能理解之情境不一定局限於現實世界中，而 是在學童心中有能製造真實畫面之素材，此種情境脈絡雖然不一定會真實發生， 但在學童的腦海中是卻是真實的。 綜上所述，從建構主義教學的觀點，繪本教學提供學生學習的情境，使其主動 去建構和統整的經驗；從雙重編碼理論的觀點，繪本教學透過圖像與語文產生的連 結，使學習者能強化認知，有效地增強記憶；從 Lesh 等人的多元表徵理論，繪本 教學透過圖像將具體操作物、符號與語言等表徵做有意義的連結，使學習者能在分 數的四種表徵間自由的轉換，幫助其數學之學習；以真實情境之觀點，繪本教學能 提供貼近學生的真實生活情境，使學習與真實生活情境聯結，進而產生有意義的數 學學習。由此可見繪本教學有其教育上的價值。
第二節 分數的意義及課程地位分析
一、分數的意義
本研究主要目的在於透過「繪本故事情境」融入國小三年級分數概念的教學活 動，探究學童在此過程的學習成效、學習保留效果與學習情形；因此本節先從分數 的起源，其次是分數的重要性、分數的意涵，接著是兒童分數概念發展來探討分數 的意義。 (一)分數的起源 對史前人類的社會而言，自然數之概念使用已足夠；但當人類之間往來日趨 頻繁，隨之增加的交易與分配使自然數已不敷使用，遂逐漸發展出分數的概念(趙 文敏，1985)。18 而早在數千年前的古代埃及，其在數學上就已經使用分數了，只是當時所使用 的分數其分子都是 1，也就是現在的「單位分數」，例如 而且其分數都可以表示成，分母相異的單位分數之連加，例如 所以，古埃及所使用的分數，其用單位分數表示的方法有無限多種，一般約定成俗 的，可能是最少的那一種。而從中國漢簡《算術書》中的『約分術』，亦可發現， 古代中國的數學也已經使用分數(洪萬生，2005)。由此可見，人類使用分數已有相 當的歷史了。 分數概念是起源於人們必須對連續量做分割，才能解決平分的問題，所以分數 是用來命名等分割出來的量。 Freudenthal(1983)認為分數起源於「分割」一個物 件的活動記錄與結果，分數可以表現物件分割真實的情形。而國內的學者甯自強 (1993)、呂玉琴(1995)亦指出分數概念起源於測量，透過分割活動與集聚活動的進 行，以解決不滿一個單位量的量之數值問題。 (二)分數的重要性 國小階段的數學課程中，「分數」概念可說是學童從整數系的理解擴充到有理 數系認識的起源，它與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，而這些概念也都 是國小學童必須學習的重要概念(教育部，1993；詹婉華、呂玉琴，2004)。從九年 一貫課程綱要(教育部，2008)中數學學習領域的分段能力指標分析發現，在「數與 量」主題的 62 條能力指標中，有關分數概念的能力指標即有 10 條(N-1-05、N-2-09、 N-2-10、N-2-11、N-2-12、N-2-16、N-3-06、N-3-07、N-3-09、N-3-13)，約占有 16.1%， 顯示「分數」概念在數學學習領域之中，占有重要的地位。 許嘉凌、劉曼麗(2008)指出，在國小數學課程中，「分數」向來是國小學童最 1 64 63 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 ≠ = + + + + + 4 1 2 1 4 3 + = 20 1 4 1 2 1 5 4 + + =
19 容易產生混淆的一個關鍵課程。而九年一貫數學領域課程綱要中也特別指出，學生 在小學畢業前，要能熟練小數與分數的四則計算(教育部，2003)。再者，九年一貫 課程綱要中亦提到，國小階段的數學內容中，「有理數」是小學的核心課程之一， 也是小學教育中，最有挑戰性的教學主題(教育部，2005)。並且，「有理數」教學 的困難，主要在於它牽涉兩種非常不同的表徵形式－分數與小數；學生較缺乏有理 數的前置經驗，而且日常生活中的有理數情境也比較少。至於分數的形式，是學生 首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面 整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤(教育部，2008)。由此可見， 「分數」對於小學生而言，是一個既複雜且重要的概念，其發展是學童未來學習許 多概念與技能的基礎與關鍵(李曉莉，1997)，會深深影響後續的數學發展(林碧珍， 1990)，故可見其重要性之端倪。 此外，過去也有許多研究(楊瑞智，2000；詹婉華，2003；Nabors, 2003)指出， 學童學習「分數」概念時，會產生許多困難。而李彥典(2008)與顏淑如(2008)的研 究也都呼應這樣的觀點，並且發現：國小三年級學童對「等分」概念以及「單位量」 概念普遍存在學習困難。因此，若能從學童在初學分數之時，即透過不同管道去詮 釋分數的相關概念，進而促進學童對於分數概念的理解應是可行之道。 然而，從 97 年九年一貫數學領域之課程發展來看，關於「分數」概念，小學 階段二年級學童所學習的是「分裝與平分」的概念；三年級學童則是學習「單位分 數」、「初步認識分數」、「同分母分數的比較與加減」的概念；至於四年級學童， 則開始學習「真分數、假分數、帶分數間的轉換」「同分母分數的比較與加減」、 「非帶分數的整數倍」、「等值分數」與「簡單異分母分數的大小比較」「用平分 理解整數相除的意義」等概念。 由此看來，三年級學童所學分數的相關概念，是分數的啟蒙；而分數概念包含 很多的子概念，如：等分概念、單位量概念、單位分數概念…等，這些子概念又可 分為「連續量」與「離散量」兩種不同的情境。所以學童在學習分數時，雖然花了
20 很多的時間來學習，學習成效卻不彰。無論國內外的研究報告都指出學童學習分數 是困難的(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；蔡職鴻、劉曼麗，2012；Cramer, Post, & delMas, 2002)。尤其對剛接觸分數的三年級學童來說，「分數符號」是非常抽象 的符號，而且是學童學習的全新概念。此時如果學童沒有建立清楚且正確的分數概 念，將會影響到日後分數的學習，所以三年級分數課程是奠定分數概念基礎的重要 時期。 因此，針對三年級學童進行「分數」相關概念之課程活動設計，以促進其對於 「分數」相關概念的理解具其重要性。 (三)分數的意涵 分數在使用時，常會因不同的情況而有不同的解釋。因此，國內外學者(呂玉 琴，2008；林碧珍，1990；楊瑞智，2000；Behr, Harel, Post & Lesh，1992；Behr, Lesh, Post & Silver, 1983)對於分數的意義，多主張分數具有多重的意義。研究者茲綜合 彙整如下表 2-2-1 所示： 表 2-2-1 各學者對於分數意義的觀點 學者 分數的意義 呂玉琴 (2008) 林碧珍 (1990) 楊瑞智 (2000) Behr, Lesh, Post & Silver
(1983)
Behr, Harel, Post & Lesh
(1992) 部分/全體 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 子集合/集合 ˇ ˇ ˇ 商 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 數 ˇ ˇ ˇ ˇ 比值 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 運算子 ˇ ˇ ˇ ˇ 機率 ˇ 測量 ˇ ˇ 呂玉琴(2008)認為分數具有六種意義：1.部分/全體的意義：是將一個連續的整 體(連續量)等分後的幾部分；2.子集合/集合的意義：是把一集合(離散量)等分組後 的幾組；3.商的意義：是兩數相除結果的表示方式；4.數的意義：是數線上的一個
21 點所代表的數值；5.比的意義：是兩個集合(離散量)或兩個量(連續量)的比較結果； 6.運算子的意義：可視為是一種操作或函數。 林碧珍(1990)將分數的意義分成五種：1.部分/全體模式(全部區域的部分區域)； 2.子集合/集合模式(集合中的部分集合)；3.數線模式(數線上的一個數值)；4.商模 式(兩個整數相除的結果)；5.比值模式(兩個集合或兩個度量相比的結果)。 楊瑞智(2000)將分數的意義分成七種：1.部分/全體(連續量)；2.子集合/集合 (離散量)；3.乘法運算元；4.整數除法的結果(亦即商)；5.一個數/數線上的一點； 6.比值(含速率、密度)；7.機率。
Behr, Harel, Post & Lesh(1992)亦認為分數的意義有五種建構：1.部分/全體； 2.比；3.運算；4.整數除法的結果(亦即商)；5.測量。
Behr, Lesh, Post & Silver (1983)認為分數的意義包括：1.測量；2.比(含速率、 密度)；3.商；4.線性坐標(數線上的點)；5.小數；6.運算。 綜上所述，研究者認同多位學者所主張的，分數具有多重的意義。學者們普 遍認為，分數的意義包括：1.部份/全體；2. 子集合/集合；3.數(數線上的一個數)； 4.比值(含速率、密度)；5. 商(整數除法的結果)。而上述這些分數的意義，亦鋪陳 在小學各階段的數學課程之中(葉乃丰，2007)。其中「部份/全體」與「子集合/集 合」是在國小教材中最先出現的分數意義，所以對國小三年級學童而言，分數有此 兩種意義，茲說明如下： 1.部分/全體的意義 部分/全體的意義是將一個連續的整體(連續量情境)加以等分後的幾部分。 連續量是指物品須經過人為的切割，才能得到的分數量或小數量，如一條蛋糕、 一個披薩…等(呂玉琴，2008)。例如：小瑛把一條長方形蛋糕平分成 5 份，取其 中的 2 份是幾條蛋糕﹖可以透過具體操作或圖像表徵，找到部分與全體兩個量之 間的關係，且此部分與全體關係的掌握是分數概念是分數意義的主要內涵，即由 此一分數上的意義衍生了其他四個分數的意義。有許多學者(Behr et al.,1992;
22 Kieren, 1993; Streefland,1991)認為「部分-全體」之有意義的建構，是分數概念學 習成熟的中心，而「部分-全體」的分數意義必需要能與平分的建構作有效的連 結，才是有效的分數學習。學童一旦不能掌握分數的部分/整體之關係，就會失 去概念性的理解來支撐所學。而且對於之後的分數學習，學童就很容易靠強記死 背來解題，等時間一久就易遺忘或混淆，接著便會產生一連串的錯誤或迷思概念 (蔡職鴻、劉曼麗，2012)。 2.子集合/集合的意義 子集合/集合的意義是將一集合(離散量情境)加以等分組後的幾組。離散量 是指物品不須經過人為的切割，透過一個一個的分配，即能得到的分數量或小數 量，如一盒鉛筆有 12 枝、1 箱有 6 瓶礦泉水…等。例如：一包糖果有 10 顆，小 銘吃掉 3 顆，是吃掉幾包糖果﹖由於分數必須在等分的前提下才有意義，因此假 設此處所指之離散物具有相同大小和性質。 國小學童對於分數概念的理解會影響未來數學學習的關鍵與發展(林碧珍， 1990；李曉莉，1997)。但由於現在國小階段分數已有多種複雜的意義，可見學童 在分數概念的學習上有諸多的困難(呂玉琴，1991)。因此，在分數啟蒙教學階段「部 分－整體」關係的意義中，如果未能建立良好的「單位量」概念，學童在其他分數 意義的「基準量」概念發展也會因此產生困難(魏麗枝、游自達，2007)。 (四)兒童分數概念的發展 瑞士心理學家 Piaget 指出學童的認知發展順序是漸進的。他以其所主張之兒童 認知發展理論，設計活動以研究兒童對分數概念的發展，結果發現，從知覺的部分 －整體關係和操作的細分之間有很大的差別。且 Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960) 曾對 3 至 8 歲兒童的分數概念發展過程做一系列的研究，研究結果有以下發現：(引 自李彥典，2008)
1.四歲到四歲半的兒童，對於要將一個物品分成兩半感到很困難，在分割之前，沒 有預先設想的計畫或基模(Schema)，對於不同形狀的分割，則以長方形較容易，
23 圓形次之，正方形較難。此階段之最大特徵是缺乏部分和全體之間的關係，不會 發現到他所接觸的部分是另一個比較大的全體中所含的一部份。 2.四到六歲的兒童對於有規則的、小範圍的物品具有分為兩半的能力。但如果原來 的整體大小增加，那麼分成一半的能力便會延緩。此時期的兒童尚無法將物品分 成相等的三份，在分割圖形時亦是利用長方形比較容易解決。 3.六到七歲的兒童已能成功地將物品平分成三等份，而不必利用嘗試錯誤的方法， 但對於操作的了解，仍處於具體的層次。例如:分餅，在此階段的兒童具有整體性 的保留概念，因此能了解各個分割塊數所得之總量與整個餅是一樣的。 4.十歲左右的兒童會實施六等分的分法。他會先以三等分法分一個餅，再將此三塊 餅用二分法再分一次。
Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960)的研究亦發現兒童在了解分數運算之前， 必須具備下列七個子概念： 1.必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考。 2.一個分數包含各部份的限定數，分配東西時，各部份必須與接受者相對應。 3.子分割活動中，全體必須被全部分完，沒有餘數。 4.全體被切割成各部份的數與切割數間，有一個固定的關係。 5.分數的概念是指分割後的每一部份都是相等的。 6.當兒童操作了再細分的部分概念時，他們了解到此細分的部份是全體的一部份， 同時此一細分的部份本身也是一可再細分的全體。 7.因為部分的總和等於全體，其全體始終保持不變。 綜合上述文獻，分數是源於「分割」一個物件的活動記錄與結果，所以分數是 用來命名等分割出來的量(Freudenthal，1983)；且分數對於學童來說，是一個既複 雜又重要的概念，其發展是學童未來學習許多概念與技能的基礎與關鍵(李曉莉， 1997)，會深深影響後續的數學發展(林碧珍，1990)；有學者(Behr et al.,1992; Kieren, 1993; Streefland,1991)認為「部分-全體」之有意義的建構，是分數概念學習成熟的
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中心，而學童對於「部分-全體」的分數意義必需要能與平分的建構作有效的連結， 才是有效的分數學習；Piaget, Inhelder 與 Szeminska(1960)的研究發現，十歲左右 的兒童會實施六等分的分法，他會先以三等分法分一個餅，再將此三塊餅用二分法 再分一次，可見國小三年級學童正處於此階段。
二、國小三年級分數的課程地位分析
由於本研究是以小學三年級學童作為探究的對象，因此，本段將針對小學三 年級所涉及的分數概念內涵進行探討。首先，102 學年度的九年一貫課程綱把原本 92 課綱二年級的「分數」細目，在 97 課綱中移到三年級，並與三年級的「分數」 細目內容合併。茲將內容整理如下: 表 2-2-2 數學領域 92 課綱和 97 課綱在國小二、三年級分數的分年細目修正對照表 92 課綱 97 課綱 內涵 分年細目 內涵 分年細目 能在具體情境中，進行分裝與平分的活 動。 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活 動。 2-n-07 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內 的單位分數，並比較不同單位分數的大 小。 2-n-10 能在具體情境中，初步認識分數，並解 決同分母分數的比較與加減問題。 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解 決同分母分數的比較與加減問題。 3-n-09 由上表 2-2-2 可知，在 97 課綱將原本 92 課綱的分年細目 2-n-10 和 3-n-09 合 併成 3-n-11，並將分年細目 2-n-10 的「比較不同單位分數之大小」內容刪除。所 以 102 學年度的小學三年級學童是初次接觸「分數」概念。 接續，研究者再將三年級階段與「分數」概念有關的分年細目並對照能力指 標彙整如下表 2-2-3 所示：25 表 2-2-3 數學領域國小三年級分數的分年細目與對照之能力指標 分年細目 內涵 能力指標 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 N-1-05 N-1-06 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 N-2-09 N-2-10 綜合上表 2-2-3 觀之，二年級所教授的「分數」相關概念為「認識平分」、三 年級所教授的「分數」相關概念可分為「認識分數」、「認識單位分數」的概念性 知識；以及「同分母分數大小比較」、「解分數情境問題 (用分數語言的轉換)」 的程序性知識。 然而，本研究施行的時程，是三年級上學期。因此，研究者再將二年級下學 期與三年級上學期教科書中所牽涉到關於「分數」概念的活動與該活動中的教學目 標以及該活動所關連之分年細目彙整如下表 2-2-4 所示： 表 2-2-4 三年級上學期分數教學之活動名稱、教學目標與分年細目 活動名稱 教學目標 分年細目 一 認識平分 透過等分單一個物的經驗，認識「平分」的意義，並能辨識 圖形是否平分。 2-n-07 二 認識單位分數 在連續量和離散量的情境中，認識單位分數的意義，並學會分 數的記號。 3-n-11 三 認識分數 認識分子異於 1，且總量不超過 1 的分數。 3-n-11 四 跟 1 等值的分數 在連續量和離散量的情境中，建立分數(≦1)的數詞序列，並 會做數數活動。 3-n-11 五 分數大小比較 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較問 題。 3-n-11 六 解題 能用分數語言的轉換，解決生活中有關分數的問題。 3-n-11 研究者有感於平分概念的建構是分數概念學習的基石，基石若不穩固分數概念
26 的學習就會受影響，所以決定分數教學的第一節先從認識平分帶入，接著第二、三 節是認識單位分數、簡單分數，第四節是由數數活動建立分數的數詞序列，即找出 跟 1 等值的分數，第五節是同分母分數的大小比較，第六節則是解題活動。 數的主要啟蒙原則是從量到數，「量」就是透過分類，決定一個單位。如果這 種物質單位與另一個單位之間有一種天然的界線，我們稱之為離散量；如果沒有天 然的界線，則為連續量(翰林第五冊數學備課用書，2013)。例如：一條 12 公分長 的繩子是連續量；而 3 顆蘋果、6 個人之天然界線是很明顯的，即為離散量。 以下，茲針對三年級「分數」概念相關的單元以及其未來三年級下學期相關的 單元繪製教材地位圖如下圖 2-2-1：
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圖 2-2-3 國小三年級數學分數課程地位分析圖(虛線標示者為三年級分數單元內容)
28 識分裝與平分，三年級上學期所學有關「分數」概念的相關概念包括：認識分數、 認識單位分數、數數活動(跟 1 等值的分數)、同分母分數的大小比較、解情境問題。 這些概念，將銜接四、五、六年級用圖形找等值分數、整數相除得商與分數的關係、 異分母分數比較大小、整數乘以分數、用約分、擴分找等值分數、異分母分數的比 較與加減、分數的乘法和除法、並熟練計算以解決生活中的問題、進而能在具體情 境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。此外，分數的學習也與小數、比和 比值等概念息息相關，由此可見，分數概念在小學階段實佔有重要的地位。 而本研究實施的「故事情境融入分數教學」所涉及的概念則包括平分、認識 單位分數和分數、同分母分數比較大小、解情境問題等。因此，本研究在課室中實 施的「故事情境融入分數教學」素材，以及教學後所實施的後測與延宕測，也都以 上述相關概念作為設計的架構。
第三節 分數教與學的相關研究
本研究之研究目的在透過「繪本故事情境」融入國小三年級分數概念的教學 活動，探究學童在此過程的學習成效、學習保留效果與學習情形；因此本節針對 分數教學的相關研究和分數迷思概念的相關研究加以探討。一、分數教學的相關研究
近年來學者對分數概念的學習逐漸重視，探究分數概念學習之相關文獻頗為豐 富，整理如下表 2-2-5：29 表 2-2-5 國小分數相關研究 研究者 研究題目 研究對象 研究內容 研究結果 林碧珍 (1990a) 從圖形表 徵與符號 表徵之間 的轉換探 討國小學 生的分數 概念 國小五和 六年級學 童共 424 人 以分數概念測驗工具 蒐集資料及抽訪學生 12 人，作為深入了解 學生的解題策略及思 考方法。 研究發現約有 22%的國小高年級學童，認為 等分就是形狀和面積皆相同；且對於三個等 值分數的處理，缺乏等號關係的遞移性；在 部分/整體和集合/子集合模式中，在給圖形 表示出分數題型，學童無法辨識單位量。在 給分數畫出圖形題型，學童會忽略整個圖形 或受分子、分母的影響。國小學童解數學文 字題的能力比基本的計算能力差，尤其數學 學習低成就的學童只能勉強閱讀題目，但卻 不了解題意。 呂玉琴 (1991b) 國小學生 分數概 念:1/2vs 2/4 國小三至 六年級 自編試題測驗探討國 小三至六年級學童對 等值分數概念之瞭解。 約有 30%的國小四至六年級學童在連續量情 境中沒有等分概念；四年級學童未學過等值 分數，五年級學童則學過，測驗結果顯示兩 者並無差異，且五年級學童的答對率不到一 半；且有很多(一半以上)國小五、六年級之 學 童 ， 雖 然 已 學 過 等 值 分 數 ， 仍 不 認 為 1 2= 2 4。 林福來 黃敏晃 呂玉琴 (1996) 分數啟蒙 的學習與 教學之發 展性研究 國小 二年級 探討學生學習分數的 先備知識，並進行分數 啟蒙的教學實驗，以檢 驗學生在良好的學習 環境中，可能的學習 區。 參加實驗的學生約 90%能操作連續量實物的 二等分、三等分、四等分，與離散量實物的 二等分、三等分、四等分及五等分，能以二 分之一、四分之一等分數語言描述連續量分 配的結果，但奇數個離散物二等分的結果要 用二分之一表達仍有困難。學生處理實物分 配問題的策略相當多元化。 游政雄 等(2003) 台灣北部 地區國小 學童分數 單位量概 念的表現 國小一至 六年級 採筆試及一對一半結 構式對談。探討台灣北 部地區國小學童分數 單位量概念的表現。 研究發現低年級學童在處理標出單位量一 半的部分量問題時，單位量的內容為奇數個 的情境比偶數個的情境困難度增加很多；中 年級學童在處理以一半語言敘述比二分之 一的符號問題還容易；分數的學習會造成學 童對單位量的誤解；學童處理分數符號表徵 問題比圖形表徵問題困難約有 19.5%~58.5% 的國小學童會傾向自我假設於同一情境中 出 現 的 各 個 具 有 相 同 之 單 位 量 ； 約 有 36.2%~40.5%的高年級學童對於內容物個數 多於單位量內容物個數的問題，無法將多餘 資訊排除。 陳明宏 呂玉琴 (2005) 國小四年 級學童分 數概念之 診斷教學 研究 國小 四年級 針對學童進行分數概 念之診斷教學研究，其 分數概念包含等分概 念、簡單分數概念 (簡 單分數：單位分數內容 研究發現接受診斷教學的學童在分數概念 課堂的表現有利於學習；接受診斷教學的學 童在分數概念後測試題的整體分數概念及 各子概念的答對率皆高於接受小組討論式 教學的學童；接受診斷教學的學童在期中評
30 物為單一個)、單位量 概念和等值分數概念。 量分數試題的整體分數概念及各子概念的 答對率皆高於接受小組討論式教學的學童。 林筱娟 劉曼麗 (2011) 國小二年 級分數診 斷教學之 研究 國小 二年級 實施診斷教學於國小 二年級分數正規課程 中，並探討其實施歷程 及成效。課程內容包含 「等分」、「單位分 數」、「單位量」與「單 位分數比大小」。 研究者先透過平分實作、將分數符號轉換成 圖像表徵、比較同是 1/N 但其單位量不同之 範例、將圖像轉換成分數符號和提供具體物 的方法製造學生之認知衝突，再澄清其易產 生分數迷思概念之診斷教學法，實驗後發現 學童在成就測驗的平均答對率高達 81％，可 提升分數的學習成效。 張英傑 陳映汝 (2012) 分數啟蒙 教材內容 之分析比 較 四種版本 教科書有 關分數之 教材 針對教育部審定合格 的四個版本，九十九學 年度二年級下學期數 學教科書有關分數之 啟蒙教材，比較各版本 之異同。 版本之分數啟蒙教材佔學習內容的比重相 近；問題表徵型式都是以符號表徵所佔比例 最重，其次是圖像表徵；而表徵轉譯活動的 安排，各版本都是在單位分數概念安排較 多，且多是轉譯成符號表徵；在分數概念啟 蒙教學活動，各版本都是先利用學生對公平 與平分的直覺引入等分概念後，才以連續量 情境帶入單位分數「1 2」的教學，而且都是以 學生較易理解的具體物操作、圖像表徵來輔 助數學符號的引入，或者用二者組合之表徵 的方式呈現問題。因此研究結論建議教科書 的編寫，可以增加離散量情境的問題、讓學 生實際等分的操作活動、口語表徵轉譯活動 及如何辨識單位量的教材。 陳祐禎 邱貴發 (2013) 遊戲情境 對國小學 生分數學 習之影響 國小 三年級 以國小三年級學童二 班 50 人為研究對象， 實驗組使用分數概念 的數位遊戲教材，控制 組使用與遊戲組相同 故事情境的數位繪本 教材。 研究發現無論是遊戲組或繪本組在經過實 驗處理之後，學習成就測驗都有顯著的進 步，但兩組間並無顯著差異；而遊戲組學生 給予「芬紫與芬姆王國」遊戲正向的回饋， 且兩組對分數的學習也都持正向的態度。 Muth (1991) 探究中學 生在含有 多餘訊息 的數學應 用題的學 習表現。 8 年級 學童 確定提示學童的無關 訊息，對學童的解題表 現有何影響。 對於文字題中的無關訊息，學童常不會判 斷，即會誤認為文字題中的所有訊息都會被 使用到，因此造成學童對於文字題的問題整 合有困難，而無法解題。 Stamatia & Stella (2004) 探究學童 分數概念 發展之情 形 10 到 16 歲 的學童 對 200 名 10 到 16 歲的 學童，施以問卷調查以 探究學童分數概念發 展之情形。 研究發現學童在分數概念之發展呈現三種 類別：對分數之理解源自於自然數的原始概 念，即分數是兩個獨立的數；分數是部分－ 全體之概念；第三部分的學童表現較佳，能 分辨分子和分母，並理解分數可能小於、大 於或等於單位分數。
31 Moyer-Pa ckenha & Anderso (2012) 檢查圖像 表徵在靜 態與動態 之不同方 式下，對課 室中的低 成就學童 學習的影 響。 19 位三年 級低成就 學童 檢查圖像表徵在靜態 與 動 態 之 不 同 方 式 下，對課室中的低成就 學童學習的影響。 分成使用動態虛擬教具 (DVM)和靜態畫報 模型 (SPM)兩組圖案模型， 1.研究結果顯示兩組的分數概念前後測間均 顯著改進。 2.無論在靜態組或動態組都提升其學習成 效，且使用畫報模型之學童增加了可視化 技術。 綜合上表 2-2-5 的相關文獻，林碧珍(1990)的研究發現，國小學童解數學文字 題的能力比基本的計算能力差，尤其數學學習低成就的學童只能勉強閱讀題目，但 卻不了解題意；呂玉琴(1991b)的研究發現約有 30%的國小四至六年級學童在連續 量情境中沒有等分概念；林福來、黃敏晃、呂玉琴(1996)亦發現，參加實驗的國小 二年級學生約 90%能操作連續量實物與離散量實物的二、三、四等分，但奇數個 離散物二等分的結果要用二分之一表達仍有困難；中年級學童在處理以一半語言敘 述比二分之一的符號問題還容易(游政雄、呂玉琴、吳宏毅、劉世能，2003)；林筱 娟、劉曼麗(2011)的研究發現，國小二年級學童實施分數診斷教學法可提升其學習 成效；有研究建議教科書之分數啟蒙教材內容，可增加離散量情境的問題、讓學生 實際等分的操作活動、口語表徵轉譯活動及如何辨識單位量的教材(張英傑、陳映 汝，2012)；陳祐禎、邱貴發(2013)的研究發現，無論是遊戲組或繪本組，在經過 教學實驗之後，學習成就測驗都有顯著的進步；Muth(1991)的研究指出學童對於 文字題中的無關訊息，常會誤認為文字題的所有訊息都會被使用，因此造成學童對 於文字題的問題整合有困難，而無法解題；Stamatia 與 Stella(2004)的研究發現學 童在分數概念之發展呈現三種類別：分數是兩個獨立的整數、分數是部分－全體之 概念和能分辨分子、分母，並理解分數可能小於、大於或等於單位分數； Moyer-Packenha 與 Anderso(2012)的研究顯示，運用圖像表徵在靜態與動態之不同 方式下，對課室中的低成就學童的學習，兩組學童的分數概念前後測間均顯著改進， 而且無論在靜態組或動態組都提升了其學習成效。
32 由上述分析發現，雖然等分概念是分數教學的啟蒙，但是部分中高年級的學童 仍然缺乏等分概念，鑒於等分概念是分數學習的基石，所以本研究將二年級下學期 所學的等分概念納入三年級上學期的教學實驗課程內容。此外，本研究教學課程設 計是以教科書為本，再加入離散量情境的問題，並讓學童實際操作等分和口語表徵 轉譯的活動。另外，林碧珍(1990)的研究發現，國小學童解數學文字題的能力比基 本的計算能力差，因此本研究的試題編製分為一般題和情境文字題兩種試卷，期能 了解繪本融入分數教學是否有助於學童對於解文字題的問題有所助益。
