加減法計算之相關研究

本節分別從三個面向論述加減法計算的相關研究：一、加減計算 能力發展之相關研究；二、學童加減法錯誤類型原因及改善策略之探 討；三、數學加減計算之相關研究，茲敘述如下：

一、加減計算能力發展之相關研究

計算能力的發展是以循序漸進的方式習得，因此欲瞭解學童加減 計算能力之發展，就應先瞭解相關的先備知識有哪些，才能在教學時 產生事半功倍的效果。學童在入學前就早已具備了數學能力，此技能 與概念是學童透過日常生活經驗習得，非在學校正式環境中被指導，

因此又稱為「非正式數學能力」（黃惠禪，2003）。「非正式數學能力」

是幼兒時期最大的成就之一，分別表現在多少、序列、同等；唱數與 計數；實用算術等方面，茲分述如下：

（一）多少、序列、同等

Piaget 認為數字的存在是一項重要的指標，幼兒從二歲開始就發

展數量的概念（包括多少、序列和同等），但值得注意的是此概念技 能是內隱的，無法用口語明確表達出來（周淑惠，1997；桂冠前瞻教 育叢書編譯組譯，2000）。

（二）唱數與計數

周淑惠（1997）指出：唱數的學習是經由學童學唸 1、2、3 開始，

就像唱歌一樣，樂此不疲；像語言一樣不斷地被聽到與唱到，經由不 斷的反覆練習而學會了數目的先後順序，尤以 1 到 10 為甚；而 10 以 後複雜的唱數法，則是建構在既有的知識架構（1 到 10 的唱數）上。

能唱數不代表能正確使用計數策略來數數物品，例如：學童能唱數 1 到 20，但卻無法正確的數出桌上的 10 件物品。Baroody（1992）綜 合各方研究後分析發現：根據「技巧為先」（Skills-first）的觀點，計 數技能的獲得是經由模仿、練習、強化記誦而來。而 Gelman 在 1978 年則主張「原則為先」（Principles-first）的觀點，認為計數技巧的發 展是受到下列原則的指引（引自周淑惠，1997，57-58 頁）：

1.固定順序原則：每次計數時，採同樣的順序為原則。

2.一對一原則：每個物品只能有一個數目標記。

3.基數原則：最後一個物品的標記為此堆物品的總數。

4.抽象原則：實物、想像中的事物均能數數。

5.次序無關原則：只要遵守計數原則，無論從那一個開始數，並 不會影響其結果。

無論是「技巧為先」或「原則為先」觀點，學童一定都知道計 數的一項重要基本概念－－每樣物品只能數一次。

（三）實用算術

在日常生活中，到處都充滿了數量，例如：與父母上街購物、與 兄弟姐妹分糖果、和朋友玩撲克牌遊戲等，都和數字密不可分，從日 常生活裡學到的實用算術是非常有意義的。大部份的兒童在小學初期

就有實用算術的概念，有的甚至已進展到心理運算的層次，因此兒童 使用的加減法策略與計數實物是很難區分的，對兒童來說：加法就是 兩組實物合併後計數；減法就是從一組實物中取出一部份的東西後所 剩下來的實物（周淑惠，1997）。

「非正式數學能力」是學習「正規數學」的重要基礎，而所謂的

「正規數學」是指：學校教育所指導的系統性數學知識，兒童能聯結 運算的正規符號與方法，和原有的「非正式數學能力」相結合產生一 種新的意義（桂冠前瞻教育叢書編譯組譯，2000；黃惠禪，2003）。

許靜雯（2007）歸納了七項二年級學童應具備的加減計算之先備概 念，包括：瞭解100以內的數詞序列及其先後關係；能合成、分解、

比較100以內的數；瞭解「0」、「位值」、「＋」、「－」、「＝」、

「加數」、「減數」、「被加數」、「被減數」的概念與意義；精熟

「加減法」的程序性知識；能分辨加減法意義之不同；不過度類化或 外推不相容的運算規則；不使用無關規則。

綜合上述文獻可知：「唱數」是加減計算的基礎，數字的相對大 小、位值與數量表徵等能力的發展是同時並進的，如果不會 1 到 10 的數數，必定不會 10 以內的加減計算；但會 1 到 10 的數數，卻未必 會 10 以內的加減計算。因此本研究所設計的自編教材，依實驗參與 者的能力編排方式為：10 以內的加減法、20 以內的加減法、50 以內 的加減法、100 以內的加減法，循序漸進引導輕度智能障礙學童學習 直式加減法算則。

二、學童加減法錯誤類型原因及改善策略之探討

在日常生活及職場裡，數學知識與能力是不可或缺的基本技能，

不只是普通兒童需具備這些數學知識，連身心障礙學童也需要，才能 適應未來的生活。而擁有流暢的計算能力是日後學習抽象運算的基 礎，所謂「流暢的計算能力」是指運算時能純熟操作，不出差錯（教

育部，2003）。黃幸美（2005）認為：要培養學生流暢的計算能力，

適度的練習是必要的。

許多學者認為：瞭解學生在加減計算時容易犯哪些錯誤，並由教 師透過分析、診斷，針對計算錯誤的題目，示範正確的解題過程，讓 學生明瞭、修正錯誤的概念，不僅能大大提升教學效果，更能降低學 生計算錯誤的發生率，讓學童學習到所需的數學知識，面對未來的挑 戰（呂玉琴，1988；陳依涵，2008；簡秀麗，2006）。

劉天民（1993）與陳依涵（2008）指出：學生常犯的計算錯誤類 型大致可分為三類：「系統性的錯誤」、「隨機錯誤」與「粗心的錯 誤」。所謂「系統性的錯誤」是指：當學生計算遇到相同的狀況時，

都會使用同樣的錯誤計算方式而不自知；「隨機錯誤」發生的原因則 沒有規則可循；「粗心的錯誤」是指因為粗心而造成的計算失誤。

國內外分析兒童加減錯誤類型及原因的研究很多，研究者歸納整 理後，茲分為加法錯誤計算類型與減法錯誤計算類型兩方面來論述

（梅文慧，2003；陳依涵，2008；許靜雯，2007；黃偉鵑，1994；簡 秀麗，2006；Lerner,2003；Vanlehn,1990）：

（一） 加法錯誤計算類型

在加法計算的過程中，學生容易犯錯的類型大致可區分為：錯誤 的進位方式、錯誤的計算方向、錯誤的位值觀念與錯誤的合成觀念，

茲說明如下：

（1）錯誤的進位方式：當學生把加法計算改寫成直式加法時，以「錯 誤的進位方式」為最常出現的錯誤類型，例如：個位數的總合未超過 10，卻進位；或者總合超過 10，但卻沒有進位或進位方式錯誤等。

指導學生改進此錯誤的策略應以基本的概念著手，讓學生了解何時該 進位，何時不用進位。

表 2- 4 算，6＋7＝13，3 寫在十位數，1 進到個位數或者 1 寫在十位數，

（3）錯誤的位值觀念：學生將加法列成直式計算時，有時會出現被

表 2- 7

（2）錯誤的位值觀念：此現象為題型二位數減一位數時容易犯的錯

述的概念，納入同儕小老師在指導實驗參與者時的教學重點（附錄 二）。

三、數學加減計算之相關研究

國內關於加減法的研究大多著墨在加減法文字題理解上，研 究對象有：一般學童、學習障礙學童、學習低成就學童、智能障礙學 童與亞斯伯格症學童等；使用的教學策略有：繪本融入擬題教學、圖 示策略、CAI 介入方案、電腦融入解題策略、電腦化漸進提示策略、

遊戲與討論等。其研究結果皆顯示：教學策略介入後均能有效改善學 生的解題能力與學習態度（方意舒，2009；王瑋樺，2000；江美萱，

2008；吳雅琪，2003；宋慧敏，2003；李憶凰，2007；林秀燕，2004；

林淑惠，2005；徐玉娟，2004；郭姿伶，2008；張建煌，2007；楊淑 芬，2009；鄭人豪，2004；鄭惠萍，2007；謝佳伶，2008）。另外，

在分數、小數與時間加減的相關研究也都發現：精熟學習能有效改善 學童的數學學習情況，獲得較佳的學習成效（王瑞慶，2002；林孟嫺，

2007；許正泰，2008；郭致穎，2006；舒麗珠，2007；趙坤川，2005；

蕭蓉欣，2001）。岳修平譯（1998）認為：數學知識的種類可分為：

自動化技能、概念性理解和策略三種，概念性理解與策略可說是數學 學習的根基，但如果基本技能缺乏自動化過程則會妨礙到其他兩種數 學知識的發展。而與本研究相關的整數加減計算研究，對象以國小低 年級學童及國中七年級學生居多，大多利用電腦輔助教學與遊戲方式 來提升學童計算能力，都有不錯的效果（古光耀，2002；洪英伸，2000；

許長壽，2004；黃怡芳，2004）。研究者將數學加減法的相關研究整 理如下表：

表 2- 11

研究者

運算能力。這些研究發現：教師有計畫、有組織的運用電腦化動態評 量、直接教學法與鷹架學習方案等，介入補救教學活動，均能使學習 困難或有障礙的學童，在加減法計算上有顯著的進步，且此教學具有 保留成效。

從相關文獻知道：國內加減法計算研究仍以普通兒童居多，而在 身心障礙學童方面的研究則較少。可是在融合教育的潮流下，普通班 教師常常需要面對身心障礙學童，在面對身心特質不同於一般學童的 身心障礙學童時，老師如何進行較為艱難的數學教學活動，並依據實 際的教學成效進行補教教學呢？因此，本研究嘗試透過「同儕指導策 略」的教學策略，協助班上三名輕度智能障礙學童習得100以內直式 加減法計算技能，使輕度智能障礙學童在課業學習態度與學業成績上 能夠有所精進。