第四章 研究結果與討論
第二節 協助發展數感的教學策略
本節主要敘述研究者協助學生發展數感所運用的教學策略，並分析這些策略的成 效。綜合第一節的發現，三位個案數感能力的展現大致可分為基本概念不足、認知表徵 不足而影響概念、及能記憶計算或判斷的規則但不懂運用的技巧等三類問題。因此根據
所發現的這三大類問題，研究者採取不同策略來進行訪談，以協助個案發展數感能力。
首先，在基本概念的問題方面，根據 Howden（1989）的觀點，他認為要提升數感，
教學必須具有意義、有目的，且能融入生活情境，在教學過程中善用具體物與圖形可以 增加學童數的概念。因此，若學童出現數概念方面的問題，研究者採取簡化問題、圖示 或轉換問題的方式以求更貼近學童的生活經驗；再則依據建構主義的六個基本功能：示 範、教練、鷹架和嗜好、橋樑、反省、探索等（林永喜，1998）。在訪談過程中，研究 者會運用認知衝突的策略來刺激學生檢驗各種不同的例子，及去證明或否定他們最初的 想法。其次，在認知表徵不足而影響概念這類型的問題上，研究者運用參考點、圖示、
簡化問題、轉換問題情境、認知衝突等方式加以協助。最後，在能記憶計算或判斷的規 則但不懂運用技巧方面，研究者則透過簡化問題、轉換問題情境、重組、轉換、參考點、
同分母比分子等鷹架來加以協助學童。
本節先描述訪談過程中研究對象遇到問題，再敘述研究者針對學生此困難提供的策 略及教學鷹架的效果如何。以下針對第一節所分的三類思維，提供不同的數感策略敘述 如后。
壹、基本概念不足時所用的策略
一、當學童不暸解分數的意義時所用的策略
學生因為不瞭解分數的意義，因此無法正確的比較分數大小，而比較數大小的能力 也明顯不足。當研究者請學生比較分數大小時，根據不同的問題，三位研究對象分別出 現三種不同的反應，例如在比較分子相同、分母不同的兩個分數大小時，S03 認為分母 比較大的分數就比較大；S01 有發現兩個分數的分子相同，可是卻不知如何去解釋；S02 亦發現兩個分數的分子相同就比分母，但研究者請他解釋原因時，他卻是用通分計算的 方法來解釋。針對三位研究對象不同的反應，研究者也運用不同的策略來引導學童瞭 解，並進行分數大小的比較：
（一）出現「分母比較大的分數就比較大」的問題，運用「簡化問題」、「認知衝突」
研：不用通分的方式，先想想看，來
研：那還有什麼方法可以判斷？
S03：用畫的。
研：那你來畫一下好了。
S03：【畫圖中】
……
研：好！這是多少？【指著 S03 畫出的兩個長條圖】
S03：
13 5 。 研：另一個呢？
S03：
11 5。
研：從圖中可以看出哪個分數比較大嗎？
S03：
11 5。
研：你剛剛一開始講的
13
5 比較大，合理嗎？
S03：不合理。
研：那你從這裡發現什麼？
S03：【不講話】
研：它的分子都是 5，分母一個是 11、一個是 13。
S03：【依舊沉默】
研：發現什麼？
S03：【依舊沉默】
研：如果他分子一樣的話，那分母越大的話這個分數會越…
S03：小！
研：那如果分子都一樣，分母越小的話的，這個分數會越…
S03：越小。
研：兩個都越小？
S03：越大【改口】！【A30216-0336】
由此以上的例子可知，「圖示」法可讓學童看圖說故事，能說出分子相同分母不同 的狀況下，哪一個分數比較大。為了確定S03已經理解此概念，研究者又多出了一道題 目繼續追問，如例2-3所示，
【例 2-3】
研：那我再問一題喔！
6 4和
7
4哪一個分數比較大？
S03：
6 4。 研：為什麼？
S03：因為分母越小，分數越大。
研：你是用記的嗎？背口訣的？
S03：（搖頭）。
研：為什麼分母越小，分數越大？
S03：因為用畫的話…【聲音越來越小，很沒信心的感覺，研究者幾乎聽不到】
研：用畫的？然後呢？
S03：畫起來比較多…【A30337-0408】
由例 2-3 可知道，經過「簡化問題」、「認知衝突」及「圖示」等策略後，S03 面對 類似的題目不需再畫圖，便能回答何者較大。而研究者請他解釋原因時，他則選擇用圖 示的方式來說明其背後原因。雖然他的回答很沒自信且解釋得不是很清楚，但值得肯定 的是，S02 已逐漸釐清其原本的錯誤觀念，且不需要真的畫圖具體的圖像來說明背後原 因。
研究者也在過程中發現，學童能進一步的運用其他的圖形表徵，例如，除了會用圓 形圖外，亦會使用長條形圖來表示【札 960412】。學童不會只使用單一的圖形表徵方式 來解答題目，可知除了模仿研究者的解題方式之外，也有其自己的想法出現，不會一味 的運用單一特定的表徵。
（二）當學童發現「兩個分數的分子相同」，但不會利用此關係來比較時，運用「簡
研：兩個喔？等一下、等一下來…這個
S02：…【A20217-0301】
因為 S02 解釋不清，因此研究者就針對 S02 自己所舉的例子，「圖示」給 S02 看（如
研：來起來，不要趴著。為什麼？
S02：面積。【A20409-0507】
綜上所述研究者發現，面對像 2 1和
3
1這種較「單純」且貼近學童經驗的分數時，學
童雖可以輕易的回答出來，但仍然很難擺脫傳統算則的影響。因此，研究者藉由「簡化 問題」---改變數字，過度到「圖示」，從較數字較小的分數來比較大小，幫助學童去理 解「兩個分數比大小，當部份量（分子）相同時，則比較全體的量（分母）」的概念。
再藉由此類推到比較 11
5 和 13
5 的大小，讓學童逐漸拋開傳統算則的影響，真正理解「同
分子比分母，分母越大該分數就越小」的概念。
二、小數稠密性的迷思，利用「圖示」和「認知衝突」策略
對於小數稠密性的問題，學童皆忽略了兩個小數間會有無限個小數。當研究者在研 究之初問及學童有幾個小數介於兩個小數間時，學童皆無法正確回答。因此，在處理學 童小數稠密性的迷思上，研究者先要求學童「圖示」，先畫出數線圖，再將小數標示在 數線上。接著，利用此圖形表徵，將學童所給定的兩個小數中間的線段再進行細分，目 的在製造學生的「認知衝突」，讓學童瞭解數線可以無限分割。例如，在面對 9.4 和 9.5 之間多少小數的問題，當研究者問 S01「9.4 跟 9.5 之間有多少個小數」，S01 表明不懂題 目的意思，如例 2-6 所示。
【例 2-6】
研：好！再來第二題 9.4 跟 9.5 之間有多少個小數？為什麼？
S01：他們之間喔？
研：恩！9.4 跟 9.5。
S01：【想了好一會】我看不懂他的意思ㄟ。
研：9.4 跟 9.5 中間啊！看不懂意思喔！那你會不會用畫的？
S01：好阿！
研：你用數線表示出 9.4 跟 9.5，這兩個數你覺得他中間會有多少個小數？
S01：【想了一會】9.4 跟 9.5 中間…有幾個小數…看不懂ㄟ…【C10413-0424】
所以研究者請他畫數線圖，把題目的意思畫出來，研究者逐步引導 S01 畫出以下的 數線圖（圖 4-2-2），但當研究者進一步提問 9.4 和 9.5 之間有多少個小數時，S01 回答一
個。（研：那現在問你喔！9.4 跟 9.5 這兩個數的中間有多少個小數？S01：一個。
【C10508-0510】）S01 解釋因為 9.4 跟 9.5 差 0.1，所以 9.4 和 9.5 中間有一個小數，顯示 其對於小數的概念不清楚，把 0.1 當成是 1 個個數，亦不知道 0.1 在數線上所代表的意 義為何，因此才會把 0.1 當作是 9.4 和 9.5 中間的小數。
圖 4-2-2 S01 訪談問題 C（二）解題記錄 1
接著，研究者依據學生的回答及學生提出的解題策略給予「認知衝突」，研究者把 9.4 和 9.5 再細分成 10 等分。然後問學童，數線上所表示的兩個小數間的線段可不可以 再繼續分割，經過此步驟，學童豁然開朗，知道兩個小數之間會有無限多個小數，如例 2-7 所示。
【例 2-7】
研：那我問你喔！如果我在 9.4 跟 9.5 中間再繼續分呢？
S01：【沉默】
研：分十個小段呢？
S01：【沉默】
研：那他會有幾個小數？
S01：無限多個ㄟ！
研：為什麼？
S01：因為它可以一直分、一直分、一直分阿！【C10535-0605】
由上述的例子可知，若給予學童適當的引導，還是能幫助學童克服小數稠密性的迷 思。但因為學童本身對於數線的概念不足，所以當他畫出數線圖後，仍無法運用數線上 的線段可無限分割的觀念回答問題，故研究者再進一步把數線當中的一個線段細分，運 用「認知衝突」的方式讓學童明瞭數線可以無限分割，進而理解兩個小數中間有無限多 個小數。在訪談過程中研究者發現，S01 和 S03 皆能用數線表示出小數的位置，S02 則 表明對於用數線表示小數有困難。而三位學童共同的現象皆為畫出數線、標上小數後，
仍不知道數線可以無限分割，他們並無法依據所畫的數線回答兩個小數間會有無限多個 小數。研究者推論會有此現象的原因可能在於學童對數線的觀念不清楚，因此，光是採 用「圖示」無法立即協助學童理解，反而是製造學童的「認知衝突」後，效果比較明顯。
三、當不瞭解數線的意義時，採「認知衝突」、「圖示」、「轉換問題」策略
如第一節所言，因為學童不瞭解分數的意義，所以更進一步影響到數線概念，姑且 不談論學童的分數概念，其在數線上的問題大致有：忽略數線的起始數、忽略數線上的 參考值等問題。因此，研究者依據學童不同的反應，採取不同的策略。當學童忽略數線 的起始數時，研究者先提醒學童注意線段左右兩端的標示，接著「轉換問題」，使其貼 近學童的生活情境，藉由生活經驗相關的問題來幫助其思考。而當學童忽略線段上所標 示的數值，研究者同樣先提醒其注意數線上的參考數值，接著再製造「認知衝突」，讓 學童進而思考自己答案的正確性。例如，在以下的題目中， S01 因為忽略了數現左右所 標示的數字，而回答空格裡的答案是 0.5。因此研究者先提醒學童注意線段左右兩端的 標示，當學童正確反應出空格是
2
1的一半卻要用計算的方式算出 2
1的一半是多少時，研
究者接著「轉換問題」情境，先問一塊披薩分成一半再分一半是多少，使其貼近生活的 情境，S01 很快的變反應出答案是
4
1，如例 2-8 所示。
【例 2-8】
研：來你看這一題！框框裡的答案是多少？
研：來你看這一題！框框裡的答案是多少？