增進數感的教學方法

有些學者認為數感的教學與評量非常不容易進行（Resnick, 1989；Sowder, 1992）。在 國外，已有許多數學教育工作者紛紛投入大量的心血與努力，希望整合數感教學於課程 中。如果數感是一種思考方式，那麼就必須整體發展有意義的數感教學活動。簡單的說，

想要提升學生的數感能力，就是努力使數學教學有意義。教師不僅要著重學生數學概念 的發展，同時也要鼓勵學生探究並討論問題（Sowder, 1992a）。因此，一個好的老師應該 培養好奇、探究的學習環境，使學生真正能夠親自「操作」數學，才是發展數感最佳的 方法。

研究者參考了相關的數感教學文獻，發現數感的教學多是以班級教學為主，方法多 為小組討論、提供過程導向的活動、生活化的練習等；部分融入建構主義的教學方式，

透過討論、質疑、辯證的方式造成學生的認知衝突，來增進學生反省思考的能力。無論 是何種方式，在研究上皆對發展學生數感有正面的幫助。本研究因為採一對一教學訪談 的方式，故大班教學的數感教學方式並不完全適用於本研究，因此，研究者乃加以微調。

本研究以低成學生為對象，在研究過程中選擇適合低成就學生的教學鷹架來輔助學生。

以下就各個學者所提出有關數感及對低成就學生的教學建議，以方法來分類，作一 有系統的分析整理，並作為本研究之參考：

壹、藉由教師的發問來發展數感

老師所出的問題與學生的討論結果，能在問題解決的情境下，創造一種溝通數感概 念的環境。在教師的引導下，可以幫助學生成功地與適時地應用他們所須的技巧 (Dougherty & Crites, 1989)。

在習慣使用數與計算的推論於處理問題解決時，有些學生可能需要協助，老師可藉 由發問來引導學生適當的思考，並協助學生發展明確的解決問題。老師可以發問如下的 問題：

一、我們將得到什麼類型的答案？

二、在此答案中最大的數字是多少？

三、你能猜猜看答案是多少嗎？

藉由教師的發問來培養學生不斷地自省，鼓勵其去思索答案的合理性，是協助學生 發展數感並瞭解數所必備的。

貳、提供生活化的練習，設計與生活情境相結合的課程

Thornton 與 Tucker（1989）認為欲發展學生的數感，老師必須提供生活化的練習，

並鼓勵學生由具體經驗自行建構數學知識，並強調教師應設計與真實生活經驗相結合的 課程。另外，Yang（2006）在透過真實情境發展數感的教學研究中也指出，教學者扮演 關鍵性的角色，設計挑戰性的活動，提供學生有價值且能引發學習興趣的數學問題，來 促進其思考及解決問題的能力。若學生能運用和連結生活中的數學概念時，他們就能理 解數學的重要性與實用性。由此可知，當數學問題能與生活情境相連結時，便能幫助學 生發展數感。

參、採用提示、認知衝突與簡化問題等鷹架策略

Kamii 與 Jones（1991）的研究報告說明，學生在初等數學課程的學習中，建構式

教學比傳統教學，在較高層次的思考、解決非例行性的問題（nonroutine problems）及心 算方面有較好的發展。黃明章（2001）針對國小六年級學童進行數感教學研究，也發現 學童經由小組討論、產生質疑、辯證的方式，造成認知上的衝突，重新建構自己的觀念，

增進反省思考的能力，提升多元的解決策略，對數感的成長具有正面的意義。

從建構主義的觀點來看，Driver 和 Oldham(1986，引自郭重吉)所發展的建構式主義 的教學模式有五個階段：（一）澄清和交換；（二）置於衝突的情境；（三）建構新的想 法；（四）評鑑；（五）回顧想法的改變。這也說明衝突的情境和反省在數感教學的概念 改變上，有很大的功用。因此，研究者在教學過程中一開始先布題引導學生思考，再針 對學生的反應給予「提示」，並製造其「認知衝突」，讓其反思自己的想法，重新建構新 的數學想法。

再者，教師在建構主義的研究裡有六個基本功能：示範、教練、鷹架和嗜好、橋樑、

反省、探索等（引林永喜，1998）。在教育情境上，鷹架可能包括示範、給線索、提示、

暗示、分解提問、放聲思考的示範和直接教學（Stuyf, 2002）。故研究者在研究過程中 視學生不同的反應，採取不同的鷹架策略。

根據Palincsar 與Campione（1993）所提到用以支持學習互動情境的四個具體策略分 別為提問、摘要、澄清與預測（引自蔡敏玲，2002，頁29），也可以發現，運用語言對 談做為教室教學的鷹架策略時，對談多以「提問」的型態出現，提問扮演教學鷹架的角 色實不容忽視。透過問題的提問，不但能引發學生對學習的興趣，也能引導學習方向，

還可透過問題的拆解，以問題「提示」問題，逐步「簡化」學習活動，同時，也能增加 問題的層次或具體性，作為學生學習狀況或已具備能力的評估。綜合上述，在研究過程 中，研究者依據學生當時不同的反應給予適當的鷹架。

肆、教學必須是具有意義及目的的

Howden（1989）認為提升數感，教學必須是具有意義、有目的，且能融入生活情境 的。他認為在教學的過程中，善用具體物與圖形可以提升學童數的概念，開放式的問題

亦可增進數感。

在解題過程中，低成就學童最常遇到的困境是問題表徵形成的困難，而國內外許多 研究指出，圖示表徵策略可協助低成就學童理解題意，形成內在表徵、降低認知負擔，

增進數學問題解決的成效（古明峰，1997；林秀燕，2004；徐文鈺，1992: 魏君芝，2003；

Fuson ＆ Willis,1989: Xin, Jitendra ＆ Deatline-Buchman, 2005）。

Empson（2002）也認為符號、繪圖、圖表及操作具體物等表徵工具能夠支持或協助 孩子發展他們的解題策略，也為這些解題策略提供了與別人溝通的視覺化基礎相同。另 外，教師本身應多使用多樣的表徵，同時也多鼓勵學生運用或選擇不同的表徵作為解題 策略，這樣才能促進不同的思考以建立數概念，並進而建立良好的數感。

表徵的運用使得解題過程意義化、合理化、生動化，學生的認知發展和操作不同的 表徵是相輔相成的（陳霈頡，楊德清，2005）。學生如果能用表徵和他人溝通，說明解 題過程和理由，才算是真正的理解。因此，在研究過程中，研究者採用適當的「圖示」

表徵來協助學生問題的轉譯，降低學生的認知負擔，以幫助其順利解題及理解。

伍、提供學生探索數的機會

Markovits 與 Sowder（1994）在一個為發展七年級學生數感的教學研究中，在教學 設計上，將重點放在提供豐富的探索數與數之間的關係及運算的機會上，使學生們可以 去發現規則、發明演算的方法及發展彈性使用數的策略。由上述可知，教師適當地設計 教學活動，以提升學生們的數感，是相當重要的。

Markovits 與 Sowder（1988）提到，教師在教數、數的大小、心算和估算時，若能 鼓勵孩子討論和探索不同的解題策略，將會幫助學生發展數感能力。

Howden（1989）曾提出兩個教學原則：1.對數友善：在發展數感之前須先對數產生 友善的感覺。這可從認識周遭的具體事物所具有的數開始。2.有技巧的教師與鼓勵好奇 與探索的環境：教師本身對數的敏銳與覺察，並營造出鼓勵學生探索數意義的環境，是 協助學生發展數感的關鍵因素。

Hope（1989）認為數感的提升，有賴於有意義與有目的的教學活動，此活動包含 計算、測量與估計。因本研究著重處理數與計算的部分，故只針對數與計算來說明：

一、計算與數感：

學校教的計算常脫離日常生活的經驗，例如圓桌半徑為 10 公尺之類的問題，設計 的題目常不符合學生的生活情境。因此，應該讓學生明白計算的幾個觀念：

（一） 計算通常是因某種目的而產生的。學生應該為了解決實際生活上的問題而計 算，不應只是流於機械式的計算。

（二） 依情境來選擇採用何種計算過程。應該鼓勵學生在計算前，根據實際情境仔 細考慮計算的方法。例如，

4

100，當在金錢情境時，可想成 100 元分給 4 人，學生很快

就可以知道每人分到 25 元。

（三） 計算通常可以簡化。思考數與其間的關係正是數感的要點。要讓學生不再依 賴紙筆計算，可用口語發問的方式，例如，109×9 可以看成 100×9＋9×9。

（四） 情境可以幫助判斷計算出來的答案是否合理。例如，當你去大賣場購物，挑 了三項不到 100 元的物品，結帳時卻要付 1000 元 ，馬上就會知道這是不合理的價錢。

（五） 必須能解釋計算出來的結果。例如，對生意人而言，1855÷12＝154.58333，代 表 1855 顆糖果可大約分裝成 155 打；對某些情況而言，可能需要精確的求至小數第二位。

二、估計與數感：

可以合理的估計數就是數感的表現。老師需在教學中強調以下幾點觀念：

（一） 估計包含比較數量：學生必須對「之間」、「大約」，「接近」等詞有感覺，可透 過比較常用的數量來學習。

（二） 可用不同的方式作為計算的答案：一旦學生學會運算的意義，並能組合數字時，

便可進行估計和、差、積、商。

（三） 估計的精確程度依使用目的而定： 必須告訴學生沒有任何一種估計一定是對 的，估計的精確程度完全視實際情境而定。

Sowder (1992b)的研究亦顯示，一個好的估計者擁有以下三種策略：

（一）重組（reformulation）：改變數字資料以方便心算。例如 0.24×439 改成 0.2×400＝

80。

（二）轉換（translation）：把原來結構轉成更易處理的形式。例如將 0.24×439 改成 4 1× 440＝110。

（三）調整（compensation）：是指將因為重組或轉換過程中改變了型式，所產生的「或 多」「或少」的差距做一些調整，可調整估計值至較接近的近似值。例如，將 0.24×439 改成 0.2×439 會呈現低估的現象，所以將其調整將 439 改為 450，變成 0.2×450＝90，估 計大約為 90。

（三）調整（compensation）：是指將因為重組或轉換過程中改變了型式，所產生的「或 多」「或少」的差距做一些調整，可調整估計值至較接近的近似值。例如，將 0.24×439 改成 0.2×439 會呈現低估的現象，所以將其調整將 439 改為 450，變成 0.2×450＝90，估 計大約為 90。