第四章 研究結果與討論
第三節 教學前後數感能力的改變
本節主要在探討，經過一連串的教學訪談後，學生數感能力的改變及策略運用的情 形。根據研究問題，研究者在最後兩次訪談時，設計了多道問題，訪談問題中涵蓋了不 同的題型，分別對三位個案進行訪談。不同的問題需運用到不同的數感策略，研究者根 據學童的回答，來分析學童數感能力的改變。
由前兩節的描述中可以發現，在訪談的初始，三位個案常會要求要計算，對於不瞭 解題意的題目常隨意猜測。面對研究者的提問時，也常回答「不知道ㄟ」或是「覺得…」， 不然就是沉默很久而難以回答，回答問題顯得沒有自信。而在陸續經過幾次訪談後，學 童在解題過程中，學生也會主動類推策略，試著用所知道方法來解題。不過研究者也發 現學童有時對策略的運用會混淆，例如面對整數除以小於 1 的數其結果會變大還是變小 的問題會有所混淆；回答兩個小於 1 的分數相乘其結果會變大或變小仍不清楚等。以下 分別來分析學童數感能力及策略應用的改變。
壹、比較數大小能力之改變情形
經歷了多次的訪談對話，學生數的大小比較能力方面的表現有相當程度的改變。在 訪談的初始，三位個案大多無法說明背後原因、不暸解分數的意義而無法解釋、亦或想 用傳統算則的方法來解答。但是到訪談後期，學生已能比較分數的大小，並利用一些策 略如「同分子比分母」、「補 1」等來幫助自己解題；也會運用生活情境或圖示來舉例說 明背後的想法。以下分別就使用策略及說明解釋兩部份來說明學生比較數大小能力的改 變。
一、會運用數感策略來比較數的大小
學生在訪談後期，已能運用一些數感策略，如補 1 策略、同分子比分母等，做數 的大小比較，這些策略是學生在訪談初期不曾出現過的。
在分子分母的差都是 1 的情況下，三位個案在教學前都傾向以傳統算則的方式來解 題。經歷教學之後，三位學生中 S01 已能理解並加以運用，S02 和 S03 則尚有困難，仍
須研究者的提示與協助。三位學生呈現了不同的反應，S01 在訪談初期雖已察覺關係，
S02 和 S03 一開始因為分數概念尚不清楚，因此，面對此類問題時會回答錯誤或回
SO2：
28。【H21239-1402】
而 S03 因為對分數的意義仍不夠了解，所以尚無法獨立的回答
在經歷了一連串引導後，他試著比較
SO3：應該吧【笑】…因為…
16
1 比較大。
……
研：還是你畫圖好了，來畫圖看看。
SO3：嗯。
研：這樣是誰大？
SO3：
16 15。 研：為什麼？
SO3：因為…比較大塊【指空白的部分】。
研：你看塗顏色的部分呢？兩個塗顏色的部分誰比較大？
SO3：
29
28比較大塊。
研：所以要怎麼比？是比誰切一塊，誰比較大塊還是…
SO3：塗顏色的部分。
……
研：可是你剛剛為什麼一直說
16
15比較大？
SO3：因為他比較小。
研：哪裡比較小？
SO3：數字。
研：數字小就大？
SO3：嗯！【H31614-1808】
由例 3-1、3-2 和 3-3 中可以發現，經過一連串的訪談後，S01 補 1 策略已能自行運 用；S02 還需經過提示才能運用；至於 S03 仍存在著分數的錯誤概念，不能主動去發現 分子跟分母的關係，並利用此關係去解題。由前述的例子中可以發現，S03 仍因數概念 不足，亦無數感可言。
另外，在不同的分數大小比較問題中，研究者發現 S02 與其他兩位個案不同的是，
10大。【H21122-1132】
由以上例子可以知道，S02 能發現分子間的倍數關係，並善用「同分子比分母策略」；
【例 3-6】
SO1：嗯。【H10108-0212】
比較特別的是 S03，研究者在前面提過 S03 的數概念仍不足，他混淆了比較量與剩
SO3：然後 11 份裡面的 5 份，然後就
11
5 比較大。
研：圓形圖裡面的 5 份？你可不可以再講詳細一點。
SO3：就變成圓形圖裡面，有 11 份跟 13 份，兩個，然後再把圖裡面的 5 份，然後 再比比看。
研：比比看，然後呢？
SO3：看哪一個比較大？
研：哪一個大？
SO3：
11 5 。
研：為什麼它比較大？怎麼比的？
SO3：因為它切得比較少。
研：切得比較少？然後呢？
SO3：一片比較大。
研：他的每一片比較大片？
SO3：嗯！【H30538-0623】
由上述的例子可知，在「同分子比分母」的情境，下 S01 和 S03 不需要引導已能自 主的使用圖形表徵及自行設定情境來解釋與說明。
而在同樣的問題中，S02 一開始的解釋讓研究者認為他仍保留在記誦的階段（如例 3-8 所示），他先指出先前教過，接著 S02 想用通分的方式來解釋，但經過研究者逐步引 導其解釋背後原因時，他想到可以用畫圖的方式來解釋。他畫出兩個線段圖來解釋說 明，因為該分數距離原點比較遠所以比較大。由於 S02 使用數線的方式來解釋同分子比 分母，這種方法是研究者沒示範過的，在最後的總結性訪談中 S02 出現此策略，而且也 能合理的解釋當中的原因。分析現象，研究者認為可能事先前在說明三個分數中某分數 比較接近哪個分數，以及在分子分母都差 1 的分數大小比較時，研究者曾用過數線來舉 例，因此，S02 應是將先前研究者在不同問題情境中教過的策略類推到此情境中。
【例 3-8】
SO2：因為分子一樣，就看分母，分母越小就越大。
研：你怎麼知道的？
SO2：上次有教。
研：你解釋一遍給我聽。
……
SO2：因為…因為…兩個通分的話。
……
研：以前講過很多方法阿！
SO2：我忘了ㄟ…啊…要畫圖。
研：怎麼畫？
SO2：嗯…
11
5 話…11…【喃喃自語】（畫圖中）【如下圖】。
研：可是我怎麼記得老師以前有講過，在分的時候每一塊要一樣大，你這樣有一 樣大嗎？
SO2：有阿..好啦！不要那麼介意啦！
研：你可以解釋一下嗎？
SO2：
11 5 跟
13
5 的距離相差了一段，所以就看距離越遠的人就越大。【H20939-1120】
由以上三位個案的反應可知道，S01 經過多次晤談後，能正確的運用數感策略解題 及解釋此概念；並且由一開始的需要具體的圖例來說明，過度到抽象思考。S03 的反應 則較特殊，他在某個固定情境下，如「同分母比分子」的問題中才出現比較分數的策略，
在其他問題中則常因為數概念不足而混淆，產生錯誤的判斷。而 S02 雖仍停留在記誦階 段，尚不能運用自如，但經過協助引導後，仍能想到用圖示法來解釋，而且是將從研究 者先前在其他情境中示範過的策略類推到此概念上來。
貳、在選取不同計算策略與判斷答案的合理性能力之改變情形
Dougherty 與 Crites（1989）將偵測不合理的答案納入數感定義中。學生除了選取適 當的解題策略之外，判斷答案合理性也是解題過程中必備的要項，如果沒有具備判斷答
案合理性的能力，即是對解題過程缺乏感知。以下分別就學生的計算策略選取及判斷答 案合理性的能力來敘述。
一、計算策略選取能力的改變 （一）估算技巧的改變
教學前，學童對於「被乘數乘以比 1 小的數」的乘法問題，多是記誦傳統規則，無 法解釋為何整數乘以比 1 小的數其答案會變小。經過多次教學訪談後，研究者發現學童 在數字比較小的乘法問題中，能運用參考點的方式來估算答案大約接近多少，如例 3-9，
3-10 所示。
【例 3-9】
研：第 3 題 800 乘以 0.8 答案大約是多少？
SO3：嗯…答案應該是變小。
研：為什麼？
SO3：因為乘數沒有大於 1 研：那答案大約是多少？
SO3：大約…應該是比 800 還要小 研：大概是在哪裡？
SO3：大概…大約是 500 到 800 之間。【H30523-0533】
【例 3-10】
研：來 965 乘以 0.9 你覺得答案大約是多少？
S02：960 乘以 0.9 的話，大約把它化成 1 的話..965…
研：你說把誰化成 1？
S02：0.9。
研：把 0.9 看成 1 喔？
S02：對阿！
研：那答案你說大約是 965，那是比 965 大還是小？
S02：嗯…應該是小。【H20637-0704】
由上述的例子可以得知，在被乘數的數值較小，且乘數是小數的情況下，學生多能 利用參考點來估算答案的多寡或大小，這部份對學生來講是有明顯的進步的。但值得注
意的是，學生的估算仍有限制，當被乘數的數字較大時，有些學童估算的答案會錯得相 當離譜且不自覺；同時他們也會忘了用估算策略或參考點的方式來估算，需要研究者提 醒才想到要使用。例如，請學童估算 50141×0.45 答案大約等於多少時，S01 一開始表明 不好做估算（如例 3-11 所示），經過研究者提示他用重組策略改變數字，雖然 S01 改變 了數字，但估算出的答案錯得離譜而不自知。
【例 3-11】
研：第一題 50141×0.45，估估看這答案大概是多少？
S01：不太好估。
研：為什麼不太好估？可以用一些方法啊，我以前有教過你一些方法，有哪一些 方法可以用？
S01：【沈默一下】。
研：來，先回答我答案大概是多少？
S01：不知道（笑）。
……
研：50141，乘以 0.45，你可以改變一下數字啊。
S01：喔！
研：怎樣？
S01：把這個 50141 改成 50000。
研：然後呢？
S01：然後把它看成 45，然後相乘，相乘之後…
研：把誰看成 45？把 0.45 看成 45？
S01：嗯，然後相乘之後，啊就答案出來，後面再加兩位小數。
研：看成 45，你覺得好算嗎？
S01：比較好算，對，沒錯。
研：你可以一眼看出來？答案大約是多少？
S01：750000【想了一會兒才回答】。【G10101-0210】
由上述 S01 的反應可以發現，雖然經過研究者提示他嘗試著去改變數字，將 50141 看成 50000，但卻把 0.45 看成 45，顯示其是受到小數乘法直式算則的影響。他先將乘數 看成整數去做計算，最後再補上小數點；但即使 S01 這樣去估算，他的答案仍錯得離譜。
同樣的 S02 也跟 S01 一樣受小數乘法的直式算則影響，先將 0.45 看成 45 去估算，估出
答案大約是 20 多萬。而 S03 則認為估算出來的答案比原來的被乘數還要大，其原因為 答案會越乘越大，從此反應看來，經過一連串的訪談後，S03 遇到數值大的題目是傾向 從直覺的反應來判斷，沒有去發現數字間的關係。
由三位個案的反應，研究者推論他們對數的位值概念仍相當糢糊，對數的敏感度不 足，因此無法靈活的運用數，且無法對數產生意義化。Hope（1989）指出估算的運用過 程能幫助學生培養數感。但在本研究中發現，學生在數值大的情況下並不會主動，甚至 不知道如何運用估算策略來解題，而是採用傳統算則來進行解題。Burns（1994）和 Kami
由三位個案的反應，研究者推論他們對數的位值概念仍相當糢糊，對數的敏感度不 足，因此無法靈活的運用數，且無法對數產生意義化。Hope（1989）指出估算的運用過 程能幫助學生培養數感。但在本研究中發現，學生在數值大的情況下並不會主動，甚至 不知道如何運用估算策略來解題，而是採用傳統算則來進行解題。Burns（1994）和 Kami