數感的意涵及重要性

數感在數學教育中日漸受重視，本節分為數感的意義、數感的向度及數感的重要性 三方面來探討。

壹、數感的意義

數感研究在美、澳國家近二十年，在國外的研究已行之有年，台灣在近十年來才慢 慢有研究，對於數感的定義數學教育家們各有其主張，表面上看來各家說法不同，其實 內涵大同小異。以下為研究者經過資料蒐集，分析整理後，歸納出數感的意義有三大類。

一、數感是一種直覺

根據美國數學教師學會（NCTM, 1989）出版的「學校數學課程與評量標準」中指出，

數感是一種對數的直覺，它源自於兒童對數各種意義的理解。Howden（1989）在他的研 究經驗中也發現：數感就是對於數與數或數與周遭的世界相關的一種直覺。國內學者支 毅君（1997）亦認為具有數感的人對於數所代表的意義大小及一些生活常見量的合理範 圍能有直覺與瞭解。

二、數感是一種較高層次的思考過程

Resnick（1989）認為數感是一種較高層次的思考過程，即使無法精確地定義數感，

我們亦可以從他提出的一些主要的特徵知道數感是一種思考方式。Resnick 列舉主要特徵 有：數感是一種非算則式的、是傾向於一種較複雜的表現方式、經常產生一種多樣化的 解題方式而不僅是單一的解題方式、是一種思考過程中的自我調整、是一種精緻化的心 智思考…等。Sowder（1992a）也同意數感是數的一種思考方式，而非知識本身。

三、數感是指對數的運算與瞭解

部分學者對數感的意義，則強調對數概念的瞭解及彈性操作與判斷數的重要性。

Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson 與 Yang（1999）認為數感是指對數與運算的 瞭解，有能力與願意去利用這種理解進行數學的判斷，並發展出有用有效率的策略來處 理環境中的各種數。Sowder（1988）認為數感是一個良好組織化的概念網，讓人可以連 結數與運算概念，來判斷數的質與量、並辨認計算結果的不合理以及使用非算式型態來 進行心算。楊德清（2000b）將數感解釋為對數字、運算以及數字和運算的所產生之情 境的一般性瞭解。Hope（1989）則認為數感可以說是一種對於數與數在使用與解釋上的 感覺、計算時對正確程度的瞭解，以及使用數來支持論證的常識；也可以是產生合理估 算、偵測算數錯誤、選擇最有效的計算程序和辨識數字組織型態的能力。

綜合上述學者對數感的定義，研究者將數感定義為對數所產生的直覺、多樣化的思 考方式，並能彈性的運用數以解決與數有關的問題及判斷數的合理性。

貳、數感的向度

學者對於數感的意義有不同的闡述，對於探討數感包含哪些向度也不盡相同，以下 分別敘述之。

一、NCTN 的觀點

美國數學教師學會（NCTM, 1989）出版的「學校數學課程與評量標準」中提出數感 具有五種成份：

（一）瞭解數的意義。

（二）操作實物來探索數之間的關係。例如，利用具體物或實物來進行數的合成與分 解活動，使兒童理解 10 的涵意。

（三）瞭解數的相對大小。例如，25 比 4 大和 21 很接近，大概是 50 的一半。

（四）對於數運算的相對效果能發展出良好的直覺。例如，知道整數乘以一個小於 1 的數，其積會小於被乘數。

（五）發展出測量物體的參照標準。

二、Sowder 的觀點

Sowder (1992a)定義數感的範圍是基於其他學者所鑑定出來的數感（Behr, 1989;

Greeno, 1989; Howden, 1989; Markovits, 1989; Resnick, 1989; Silver, 1989; Trafton, 1989）其範 圍包括:ġ ġ

（一）能夠合成或分解數。例如：12×25=3×4×25=3×100。

（二）能夠辨別數的大小。例如：瞭解 9.991>9.99 或 3 1＞

4 1。

（三）能夠處理數的合理範圍。例如：教室中不可能容納 1000 人。

（四）會使用參考點。例如：使用 1 為參考點，

9 8＋

8

7的和接近 2。

（五）能夠用有意義的方法去連結數與運算和相關符號。例如：算 100-65 的差可以分 成 100-60=40 和 40-5=35 兩個步驟來計算。

（六）了解運算在數上的效用。例如：469-179=190，那麼 469-279 等於多少。

（七）能夠發展有利的數和運算屬性的策略來執行運算。例如：要算 1000-796 等於多 少可以運用往上加的策略，知道 796 再加 4 就 800 了，再加 200 就是 1000，因此答案是 204。

（八）能夠靈活的使用數來估算算式的答案，並且辨識估算的適切性。例如：200÷18 等於多少，能將題目改成 200÷20 的形式。

（九）能夠理解數的意義。

三、楊德清的觀點

國內學者楊德清（1997，1998，2000b，2003）根據相關的文獻與研究報告也發展出 一個基本的數感架構，研究者經過整理後，歸納出六個要素：

（一）瞭解數的基本意義

有意義化的了解數系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的結構關係，

包括數型態與位值觀念。

（二）具有比較數大小的能力

能夠認知一個數的大小，能夠去比較數的大小。例如，知道 4 3大於

2

1；並將數排序。

例如，能將 0.5、

5 2、

7

4、0.9 等數由小到大依序排出；及了解數的稠密性等。例如，知

道5 2和

5

3之間有多少個分數等。

（三）運用參考點的能力

參考點是指可依賴以作為檢驗其他數的參照值。例如利用 1 作為參考點，進而知道

9 8和

8

7相較之下，誰較接近 1。

（四）瞭解運算對數的意義與影響

認知運算對數的影響，就是了解運算在不同的數系統下（包括整數與有理數）和不 同情境下所產生的影響。例如，知道 750÷0.9 答案比 750 大或小。

（五）發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力

在不同的情境下，作適當的選擇，來決定什麼型態的答案是適當的（正確的或大概 的），並據以決定哪一種計算工具是直接有效的且方便可得（如估算、心算、或計算器 等）進而運用此種工具以解決問題，並檢驗運算結果的合理性。

（六）瞭解和應用數的多重表徵

其中包括分解和合成數的能力，亦即認知數能夠以不同的型態去表達與呈現以便於 數的運算。包括能夠以彈性的方式適當的組合或分解數以方便執行運算。例如在心算 12

×9，先算 10×9，再算 2×9，最後再加總。

數感的向度雖因不同的詮釋角度而有所不同，但各學者的論點是大致都已有意義的 理解數和運算為基礎，因此研究者綜合上述的觀點，以國內學者---楊德清的定義為主，

建立本研究數感教學的架構：

一、瞭解數的基本意義。例如，知道 109 所代表的意義。

二、具有比較數大小的能力。例如：會比較 4 3和

2

1的大小。

三、瞭解運算對數的意義與影響。例如，知道 100×0.9 答案比 100 小。

四、發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力：包括心算及估算、知道數字和運 算推理的結果是否合理。例如，能在不同情境下做適當的選擇，如估算、新算或計算器 等方法來解決問題。

五、以多重方式表徵數的能力。例如，知道 4

3等於 0.75。

本研究依上述所定義的數感元素設計教學晤談題目，因「運用參考點的能力」，可 能會在其他題目中出現重複出現。例如，請學生估算 246×1.3 的乘積會比 246 大或是小，

目的是要測學生「了解運算對數的影響」能力，但學生會運用參考點來判斷乘積是大於 1 倍還是小於 1 倍；另外，在請學生比較

7 4和

5

2的大小時，目的是在瞭解學生「比較數 大小」的能力，學生還是會運用到參考點的策略來判斷。因此，研究者將運用參考點的 能力視為解題策略之ㄧ，僅採其他五項數感的要素，做為本研究之數感定義。

貳、數感的重要性

National Research Council（1989）在出版的 Everybody Counts 中主張數感教學應為小 學數學教育的主要目標。美國數學教師學會（NCTM），1989 年「學校數學課程與評量 標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics ）中也明確的將數感列 入數學教育課程標準之一。在 2000 年所公佈的「學校數學課程原則與標準」（The Principles and Standards for School Mathematics）在數與計算（Number and Operations）的標準中也明 白地指出「數與計算的標準主要是在發展兒童的數感」（Central to the Number and Operations Standard is the development of number sense），其中涵蓋三個教學目標：一、了解 數、數的表徵方式、數與數之間的關係和數字系統；二、了解計算的意義和它們之間的 相關；三、能流暢的計算並合理的估算（p.32）。此三個目標皆與數感有關。

Reys, Barger, Dougherty, Hope, Markovits, Parnas, Reehm, Sturdevant, Weber, 和

Bruckheimer 等人所編著的「發展中年級數感」（Developing Number Sense in The Middle Grades）中，提到了美國課程內容的轉變，如下表：

表 2-1 美國五至八年級課程內容的轉變（引自 NCTM, 1991, p.13）

漸受重視的課程內容 漸被忽略的課程內容

發展數感 記憶規則和演算法

發展運算常識 練習冗長的紙筆計算

發明演算法及程序 找出固定型式的答案

使用估算解決問題及檢驗答案合理性 記憶程序而不理解，如使用交叉相乘 探求整數、分數、小數和有理數的不同表徵

型式及運算之間的關係

不考慮題意地練習將數字化為整數與 發展計算技巧

發展對比率、比例及百分率的理解 學習單獨的主題

我們可由「漸受重視的課程內容」中發現，其重視的內容如發展數感、運算常識、

使用估算解決問題及檢驗答案合理性等，大部分與數感有關，課程改革的重心已越來越 重視發展學生們的數感，傳統的紙筆計算已逐漸被忽略了。

另外，我國九年一貫課程標準（教育部，2003）數學領域國民小學第二階段的目標 亦明白列出「培養流暢的數字感」，可見數感能力的培養也受到國內課程的重視。